26.2.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 教学设计 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质，通过复习y=2x²+1、y=2(x-1)²与y=2x²的平移关系，提出y=2(x-1)²+1的新问题，搭建旧知到新知的学习支架，梳理平移规律与性质的知识脉络。 该资料以数形结合为核心，让学生动手画图、分组讨论归纳性质，培养几何直观与空间观念。典例中喷水池问题引导建立坐标系、列顶点式解析式，发展模型意识与应用意识。随堂检测与分层小结帮助学生夯实基础，教师可清晰把握重难点，提升课堂效率。

26.2.2　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 第3课时　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 教学设计 课题 26.2.2 第3课时 二次函数y＝a(x－h)2+k的图象和性质 授课人 教学目标 1.（2022新课标）能画二次函数 y=a(x−h)2+k 的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与二次函数y＝ax2的图象之间的位置关系． 2.（2022新课标）通过图象了解二次函数 y=a(x−h)2+k 的性质. 3.知道二次函数 y=ax2与 y=a(x−h)2+k 的联系.会应用二次函数 y=a(x−h)2+k 的性质解题. 4.会用二次函数的知识解决简单的实际问题，会用数学的思维分析、转化、解决实际问题. 教学重点 掌握二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质. 教学难点 掌握二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与二次函数y＝ax2的图象之间的平移规律. 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 情境导入 （1）函数y＝2x2＋1的图象与函数y＝2x2的图象之间有什么关系？ （2）函数y＝2（x－1）2的图象与函数y＝2x2的图象之间有什么关系？ 问题：函数y＝2（x－1）2＋1的图象与函数y＝2（x－1）2的图象之间有什么关系？函数y＝2（x－1）2＋1有哪些性质？ 学生自主解答问题，教师根据学生的回答做好总结，从而引入新课. 通过创设情境，以问题形式引导学生复习已学内容，为后面学习新课做好铺垫 探究新知 二次函数y=a（x-h）2+k的图象 问题：画出二次函数y＝－(x＋1)2－1的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标. 师生活动：学生列表，并在准备好的坐标纸上描点、连线，画出函数的图象. 教师巡视指导，做好纠正和点拨. 思考：你能发现二次函数y＝－(x＋1)2－1有哪些性质吗？ 师生活动：学生分组讨论，互相交流，发表见解后，达成共识： 抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝－1，顶点坐标是(－1，－1)．当x＝－1时，y有最大值是－1；当x>－1时，y随x的增大而减小；当x<－1时，y随x的增大而增大. 教师对学生的发现进行鼓励，对于二次函数，引导学生从图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、函数的最值及增减性等方面进行分析. 思考：二次函数y＝－(x＋1)2－1的图象与二次函数y＝－x2的图象之间的关系. 学生思考后总结如下：把抛物线y＝－x2向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到抛物线y＝－(x＋1)2－1. 思考：你能根据上述探究，归纳出二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象和性质吗？ 师生活动：学生讨论、交流，积极发言，师生共同提示、补充、总结： (1)当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下. (2)对称轴是直线x＝h. (3)顶点坐标是(h，k). (4)二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由二次函数y＝ax2的图象沿x轴向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位长度，再沿对称轴向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|个单位长度得到． 简单地说，就是左加右减，上加下减，平移的方向、距离要根据h，k的值来决定. 教师补充说明：形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数的解析式称为顶点式，顶点式能直接反映出抛物线的顶点坐标. 通过具体例子，让学生观察函数图象，启发学生思考，归纳出二次函数的图象和性质，让学生在实践中感悟，提高学生利用数形结合思想解决问题的能力. 典例精析 【例1】对于抛物线y＝－(x＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④x＞1时，y随x的增大而减小． 其中正确结论有（　　） A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3 【解析】①∵a＝－1＜0，∴抛物线的开口向下，正确； ②对称轴为直线x＝－1，错误； ③顶点坐标为(－1，3)，正确； ④x＞1时，y随x的增大而减小，正确． 综上所述，结论正确的是①③④，共3个，故选D． 【方法总结】 明晰抛物线y=a(x—h)²+k的各种形式，解决性质问题 抛物线y=a(x—h)²+k有多种形式，比如当h=0,k≠0时，变为y=ax²+k;当h≠0,k=0时，变为y=a(x-h)².解决各种形式的抛物线的性质问题的关键是要记准抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 【例2】已知抛物线的顶点为(－1，2)且过原点，求抛物线的函数解析式． 【解】∵抛物线的顶点为(－1，2)， ∴可设抛物线的函数解析式为y＝a(x＋1)2＋2． 又抛物线过(0，0)， ∴0＝a(0＋1)2＋2， 解得a＝－2， ∴抛物线的函数解析式为y＝－2(x＋1)2＋2． 【方法总结】 巧设顶点式求二次函数的解析式 已知二次函数图象的顶点坐标(h,k),常设解析式为y=a(x-h)²+k,然后将图象上一个已知点的坐标代入，便可求得二次函数的解析式. 【例3】（教材p41例2）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3.6 m，如图所示，水管应多长？ 教师为学生理解问题、顺利解答问题，进行分层次设问： (1)分析该题的突破口是什么？ (2)如何建立平面直角坐标系？ (3)你能求出该抛物线的函数解析式吗？ (4)根据解析式你能求出水管的长度吗？ 【解】如图,以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管在所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. 点(1.6,3)是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式为 y=a（x-1）2+3（0≤x≤3.6）， 由这段抛物线经过点（3.6，0），可得 0=a（3.6-1.6）2+3（0≤x≤3.6）， 解得：a=-． 因此 y=-（x-1.6）2+3（0≤x≤3.6）， 令x=0，则y=1.08． 也就是说，水管的长应为1.08m. 【方法总结】 解决二次函数实际问题，先审题，需要建立坐标系的先建立坐标系，然后根据条件列出解析式，把相关数据代入，求出解析式，再解决相应问题. 师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答． 本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流，注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法。 随堂检测 1．抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（　　） A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 D．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 答案：B. 2．下列关于二次函数y＝－2(x－2)2＋1图象的叙述，其中错误的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线x＝2 C．此函数有最小值是1 D．当x＞2时，y随x的增大而减小 答案：C. 3．二次函数y＝2(x＋2)2－1的图象是（　　） 答案：C. 4．指出下面函数的开口方向，对称轴和顶点坐标． （1）y＝5(x＋2)2＋1；　　　　　　　 （2）y＝－7(x－2)2－1； （3）y＝(x－4)2＋3；　　　　　　 　 （4）y＝－(x＋2)2－3． 解：（1）开口向上 对称轴为x＝－2 顶点坐标为(－2，1) （2）开口向下 对称轴为x＝2 顶点坐标为(2，－1) （3）开口向上 对称轴为x＝4 顶点坐标为(4，3) （4）开口向下 对称轴为x＝－2 顶点坐标为(－2，－3) 5．已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是(1，－2)，求这个二次函数的关系式． 解：由函数顶点坐标是(1，－2)， 设二次函数的关系式为y＝a(x－1)2－2． 图象过点(0，0)，则0＝a(0－1)2－2， 解得a＝2， ∴这个二次函数的关系式为y＝2(x－1)2－2． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况. 课堂小结 【课堂小结】 引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？ 1. 方法层面 学习了二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质，牢牢把握数形结合的核心思想，借助平移法推导图象，对比y=ax2，y=ax2+k，y=a(x-h)2的图象探究新函数的特征，体会类比迁移、由简到繁的函数研究方法，理清图象左右平移与解析式的对应关系，掌握顶点式的研究思路. 2. 知识内容层面 掌握二次函数y=a(x-h)2+k的图象特征、平移规律、核心性质以及参数a、h的作用. 3. 概念联系与区别 联系：y=a(x-h)2+k是二次函数顶点式的一般形式，是y=ax2、y=ax2+k、y=a(x-h)2的综合延伸；四类函数图象形状、开口规律一致，均为抛物线，前三者均是该函数的特殊形式. 区别：y=ax2顶点在原点，y=ax2+k顶点在\( y \)轴上，y=a(x-h)2顶点在x轴上，而y=a(x-h)2+k顶点为(h,k)，可落在平面直角坐标系任意位置；h控制左右位置，k控制上下位置，a控制开口方向和大小. 核心易错点：混淆“左加右减”规律，搞错平移方向；误将对称轴记为x=-h；写错顶点坐标(h,k)；混淆参数h、 k的作用；搞错对称轴两侧的增减性. 【知识网络】 教学说明：教师提问并引导学生总结归纳二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质． 巩固所学知识，加深对二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 相关概念的理解. 作业布置 板书设计 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 1.图象 2.性质. 3.与y=ax2的关系 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $