精品解析：吉林长春市二道区2025-2026学年九年级下学期6月中考模拟数学试题

2026.6.11−二道区区模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 2026年五一长假期间，长春文旅热度高，成为全国文旅市场中备受瞩目的“明星城市”，共接待国内游客达到了人次．其中这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由4个完全相同的小正方体堆成的几何体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，利用直尺和三角板，画一条直线与已知直线平行，则画图的依据是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同位角相等，两直线平行 D. 同旁内角互补，两直线平行 6. 如图，飞机于空中A处探测到目标C，此时 ，，从飞机上看地平面指挥台B的俯角为α．则飞机与指挥台的距离 为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在 中，点 、 、 、 分别在圆上，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，点 是双曲线（ ， ）上的一点，点 是轴负半轴上一点，连接 交 轴于点 ，且 ．当时，的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 5的算术平方根是________． 10. 若单项式的次数是___________. 11. 已知，比较大小：_____（填“>”“<”或“=”） 12. 甲、乙、丙三名同学参加短跑测试，已知他们几次测试成绩的平均数相同，方差如下：，，，则成绩最稳定的是______． 13. 如图是一个的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点 、 、 均在格点上，则经过点 的的长度是_____． 14. 如图，在 中， ， 平分 ，按以下步骤作图： ①以点 为圆心，适当长为半径画弧，与边 相交于点 ，与边 相交于点 ； ②以点 为圆心， 长为半径画弧，与边 相交于点 ； ③以点 为圆心， 长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点 ； ④作射线 ，与 相交于点 ，与边 相交于点 ． 给出下面四个结论： ①；②；③；④若 ，则． 上述结论中，正确结论的序号有_____． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中有1个红球和1个白球，乙口袋中有1个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．小明从甲、乙两袋中各随机摸出一个球，用画树状图（或列表）的方法，求摸出的两个球颜色相同的概率． 17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点 、 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作 ，使点 在格点上． （1）在图①中， 面积为1； （2）在图②中， 面积为2． 18. 科技创新是推动高质量发展的核心动力，吉林省重点研发计划涵盖新能源、智能制造、医药健康、新材料、现代农业、生态环保六大领域，尽显吉林老工业基地转型升级、生态产业提质发展的风貌．某科技企业助力省内产业智能化升级，计划批量生产智能巡检设备，总共需完成180台生产任务，开工后技术团队升级工艺，实际每月生产数量为原计划的1.5倍，最终提前2个月完工，求企业原计划每月生产设备的数量． 19. 如图，在 中， 平分 交 于 ，作 交 于点 ，作交 于点 ． 求证：四边形是菱形． 20. 冰雪运动是吉林省最亮眼的名片之一，其中学开展“助力入冬会冰雪进校园”活动，组织学生进行冰壶定点投壶训练．甲、乙两名同学各投壶10次，统计投中得分情况，绘制成如下统计图．（注：得分规则：投中不同区域分别得6分、7分、8分、9分、10分，投中次数为对应得分的次数） （1）甲同学定点投壶成绩的中位数为_____分；乙同学定点投壶成绩的众数为_____分； （2）计算甲、乙两名同学定点投壶成绩的平均数并从平均数的角度判断谁的定点投壶成绩更好一些； （3）若乙同学又多投了一次壶，命中了7分，其中会改变的统计量为_____．（填序号） ①平均数 ②众数 ③中位数 21. 小明和小东在一条公路上分别从甲、乙两地出发，相向而行．小明从甲地出发，以每小时70千米的速度驶向乙地；小东在小明出发后，沿同一条公路从乙地出发驶向甲地．两人与甲地的距离（千米）与小明行驶时间（小时）之间的函数关系如图所示． （1）小东比小明晚出发_____小时； （2）求 所在直线对应的函数关系式； （3）小明出发后_____小时与小东相遇． 22. 解答下列各题 （1）【感知】如图①， 为 的直径，且 ， 为 上一点，过点 作 于点 ，则 的最大值为_____．（直接写出结果） （2）【探究】如图②，在 和中，，点 在 内部，，连结．若 ，求 的长． 以下是小明的部分解答过程，请你补全： 解：，， ， ∴在 和中，． __________， _____． 又， _____， ． ， _____． （3）【应用】如图③，在 和中，，，连结 、 ．若，，则面积的最大值为_____． 23. 如图，在矩形 中， ， ．点 在边 上，点 关于直线 的对称点为点 ，连接，延长 交射线 于点 ． （1）下列线段中，始终与线段 相等的是_____； ① ② ③ （2）当点 与点 重合时，求的值； （3）当时，求 的长； （4）连接 ，当 时，直接写出线段 的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，抛物线（k是常数）经过点 ．点 在抛物线的图像上，横坐标为（ ），点 与点 关于点 对称，点 和点 到直线的距离相等，且轴（点 在点 的左侧），连接 ． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）证明： ； （3）当直线 与抛物线有两个交点时，设这两个点分别为点 、 （点 在点 左侧）． ①若，求的取值范围； ②点 在轴上．当点 与点 到直线 的距离相等，且点 与点 到直线 的距离也相等，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026.6.11−二道区区模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 2. 2026年五一长假期间，长春文旅热度高，成为全国文旅市场中备受瞩目的“明星城市”，共接待国内游客达到了人次．其中这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：用科学记数法表示为． 3. 如图是由4个完全相同的小正方体堆成的几何体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：该几何体的主视图为： 4. 下列各式计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查指数运算法则，包括同底数幂的乘法、除法、幂的乘方以及加法运算的性质．通过计算各选项，判断哪个结果为即可． 【详解】解：对于选项A：，∵指数不同，不能合并，∴不等于． 对于选项B：，∵同底数幂相乘，指数相加，即，∴等于． 对于选项 C：，∵幂的乘方，指数相乘，即，∴不等于． 对于选项 D：，∵ 同底数幂相除，指数相减，即 ，∴不等于， 故选B 5. 如图，利用直尺和三角板，画一条直线 与已知直线 平行，则画图的依据是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同位角相等，两直线平行 D. 同旁内角互补，两直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】由图可根据同位角相等，两直线平行进行判定． 【详解】解：如图， 由平行线的画法可知，与相等，且与是一对同位角， 所以画法的依据是：同位角相等，两直线平行． 6. 如图，飞机于空中A处探测到目标C，此时 ，，从飞机上看地平面指挥台B的俯角为α．则飞机与指挥台的距离 为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得： ， ，从而可得，然后在 中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图： 由题意得： ， ， ∴， 在 中，, ∴（m）， ∴机与指挥台的距离 为m， 故选：C． 7. 如图，在 中，点 、 、 、 分别在圆上，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵在 中，点 、 、 、 分别在圆上， ∴， ∵， ∴ 8. 如图，在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，点 是双曲线（ ， ）上的一点，点 是 轴负半轴上一点，连接 交 轴于点 ，且 ．当时， 的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】过点 作于点D，根据三角形相似，得，根据，得到，继而求得求解即可; 【详解】解：过点 作于点D， 根据题意，得 ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴; 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 5的算术平方根是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根求法，根据算术平方根定义：若，（），则叫 的平方根，其中叫做算术平方根．熟记算术平方根定义是解决问题的关键． 【详解】解：5的算术平方根是， 故答案为：． 10. 若单项式的次数是___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据单项式的次数可进行求解． 【详解】∵单项式的次数是单项式中所有字母的指数和， ∴单项式的次数是2； 故答案为2． 【点睛】本题主要考查单项式的次数，熟练掌握单项式的次数的求法是解题的关键． 11. 已知，比较大小：_____（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质1：不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号方向不变．求解即可．. 【详解】解：∵ ， ∴． 12. 甲、乙、丙三名同学参加短跑测试，已知他们几次测试成绩的平均数相同，方差如下：，，，则成绩最稳定的是______． 【答案】丙 【解析】 【详解】解：∵， ∴， 因此，成绩最稳定的是丙． 13. 如图是一个的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点 、 、 均在格点上，则经过点 的的长度是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先找到圆心 的位置，然后根据弧长公式可进行求解． 【详解】解：连接 ，由网格的特点作的垂直平分线交于点 ，连接， 则点 为经过点 的的圆心， 由图知， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴的长度是． 14. 如图，在 中， ， 平分 ，按以下步骤作图： ①以点 为圆心，适当长为半径画弧，与边 相交于点 ，与边 相交于点 ； ②以点 为圆心， 长为半径画弧，与边 相交于点 ； ③以点 为圆心， 长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点 ； ④作射线 ，与 相交于点 ，与边 相交于点 ． 给出下面四个结论： ①；②；③；④若 ，则． 上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由作法可得：，即可判断①；再结合三角形外角的性质，等角对等边即可判断②；利用直角三角形的性质即可判断③；证明，结合 ， ，求出，即可得到，利用，即可判断④． 【详解】解：由作法得：，故①正确； ∵ 平分 ， ∴， ∵，， ∴，即， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即，故④错误； 综上，正确的结论有①②③． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，二次根式的运算； 利用完全平方公式和整式乘法的法则展开，然后合并同类项可得最简结果，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 16. 如图，甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中有1个红球和1个白球，乙口袋中有1个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．小明从甲、乙两袋中各随机摸出一个球，用画树状图（或列表）的方法，求摸出的两个球颜色相同的概率． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，树状图如下： 共有种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有3种， ∴摸出的两个球颜色相同的概率为． 17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点 、 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作 ，使点 在格点上． （1）在图①中， 面积为1； （2）在图②中， 面积为2． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据网格线的特点及三角形的面积公式作图； （2）根据网格线的特点及三角形的面积公式作图． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 科技创新是推动高质量发展的核心动力，吉林省重点研发计划涵盖新能源、智能制造、医药健康、新材料、现代农业、生态环保六大领域，尽显吉林老工业基地转型升级、生态产业提质发展的风貌．某科技企业助力省内产业智能化升级，计划批量生产智能巡检设备，总共需完成180台生产任务，开工后技术团队升级工艺，实际每月生产数量为原计划的1.5倍，最终提前2个月完工，求企业原计划每月生产设备的数量． 【答案】30台 【解析】 【分析】设原计划每月生产设备的数量为 台，则实际每个月生产设备的数量为台，然后根据题意列分式方程求解即可． 【详解】解：设原计划每月生产设备的数量为 台， 根据题意得：， 解得， 经检验：是原方程的解且符合题意， 答：原计划每月生产设备的数量为30台． 19. 如图，在 中， 平分 交 于 ，作 交 于点 ，作交 于点 ． 求证：四边形是菱形． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定，涉及平行四边形的判定和角平分线的性质，以及等角对等边，根据题意可证得四边形为平行四边形，结合角平分线的性质和平行线的性质即可证明为菱形． 【详解】证明：∵ ， ∴四边形为平行四边形， ∵ 平分 ， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 则四边形是菱形． 20. 冰雪运动是吉林省最亮眼的名片之一，其中学开展“助力入冬会冰雪进校园”活动，组织学生进行冰壶定点投壶训练．甲、乙两名同学各投壶10次，统计投中得分情况，绘制成如下统计图．（注：得分规则：投中不同区域分别得6分、7分、8分、9分、10分，投中次数为对应得分的次数） （1）甲同学定点投壶成绩的中位数为_____分；乙同学定点投壶成绩的众数为_____分； （2）计算甲、乙两名同学定点投壶成绩的平均数并从平均数的角度判断谁的定点投壶成绩更好一些； （3）若乙同学又多投了一次壶，命中了7分，其中会改变的统计量为_____．（填序号） ①平均数 ②众数 ③中位数 【答案】（1）8；6 （2）甲的平均数 ，乙的平均数，甲的成绩更好 （3）① 【解析】 【分析】（1）将甲同学10次定点投壶成绩由小到大排列，第5位与第6位的平均数即为中位数，将乙同学10次定点投壶成绩由小到大排列，出现次数最多的成绩即为众数； （2）分别求出甲乙两位同学定点投壶成绩的平均数，较大的成绩好一些； （3）分别计算出乙同学10次定点投壶成绩的平均数、众数、中位数，再计算出多投了一次壶，命中了7分，这11次定点投壶成绩平均数、众数、中位数，即可求解． 【小问1详解】 解：由统计图可知， 甲同学定点投壶的10次成绩由小到大排列：6，7，7，7，8，8，9，9，9，10． 第5次与第6次成绩的成绩为：8，8， ∴甲同学定点投壶成绩的中位数， 乙同学定点投壶的10次成绩由小到大排列：6，6，6，6，7，7，8，9，9，10． 6出现的次数最多，有4次， ∴乙同学定点投壶成绩的众数为6； 【小问2详解】 解：甲同学定点投壶成绩的平均数， 乙同学定点投壶成绩的平均数， ∵， ∴甲同学定点投壶成绩更好一些； 【小问3详解】 解：乙同学定点投壶10次平均数为7.4，众数为6，中位数为7． 乙同学又多投了一次壶，命中了7分，这时 乙同学定点投壶的11次成绩由小到大排列：6，6，6，6，7，7，7，8，9，9，10． 乙同学定点投壶成绩的平均数， 6出现的次数最多，有4次， ∴乙同学定点投壶成绩的众数仍为：6， 第6次定点投壶成绩为：7， ∴中位数仍为：7 综上，改变的统计量为①平均数． 21. 小明和小东在一条公路上分别从甲、乙两地出发，相向而行．小明从甲地出发，以每小时70千米的速度驶向乙地；小东在小明出发后，沿同一条公路从乙地出发驶向甲地．两人与甲地的距离（千米）与小明行驶时间（小时）之间的函数关系如图所示． （1）小东比小明晚出发_____小时； （2）求 所在直线对应的函数关系式； （3）小明出发后_____小时与小东相遇． 【答案】（1）1； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）结合图象可知平行于 轴段对应时间即小东晚出发的时间； （2）用待定系数法将已知点坐标代入计算即可； （3）由图象结合题意可知 与 交点所对应的横坐标即为两人相遇时小明出发后经过的时间，解方程即可． 【小问1详解】 由题意结合图象可知，在第1小时内，小东离甲地的路程保持不变，所以小东比小明晚出发1小时； 【小问2详解】 设 所在直线对应的函数关系式为 ， 将，代入得， 解得， 所以 所在直线对应的函数关系式为. 【小问3详解】 设 所在直线解析式为，由已知得， 所以 所在直线解析式为， 由图象可知， 与 交点所对应的横坐标即为两人相遇时小明出发后经过的时间， 所以， 解得， 所以小明出发后小时与小东相遇． 22. 解答下列各题 （1）【感知】如图①， 为 的直径，且 ， 为 上一点，过点 作 于点 ，则 的最大值为_____．（直接写出结果） （2）【探究】如图②，在 和中，，点 在 内部，，连结．若 ，求 的长． 以下是小明的部分解答过程，请你补全： 解：，， ， ∴在 和中，． __________， _____． 又， _____， ． ， _____． （3）【应用】如图③，在 和中，，，连结 、 ．若，，则面积的最大值为_____． 【答案】（1）5 （2）；； ； ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆的性质，圆上的点到直径的最大距离等于圆的半径，即可求出 的最大值； （2）先根据已知条件证明 与 相似，再结合相似三角形的性质求出 的长度； （3）先根据已知条件证明 与 相似，再结合相似三角形的性质求出 的长度，最后根据三角形面积公式分析出 面积最大时的情况并计算其最大值． 【小问1详解】 解：已知 为 的直径， ，所以圆的半径为 ， ， 是圆上的点 到直径 的垂线段， 根据圆的性质，圆上的点到直径的最大距离等于圆的半径， 所以点 与点 重合时， 取得最大值，最大值为 ； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：在 中：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当时， 的面积最大， ∴最大面积额为：． 面积最大值为． 23. 如图，在矩形 中， ， ．点 在边 上，点 关于直线 的对称点为点 ，连接，延长 交射线 于点 ． （1）下列线段中，始终与线段 相等的是_____； ① ② ③ （2）当点 与点 重合时，求的值； （3）当时，求 的长； （4）连接 ，当 时，直接写出线段 的长． 【答案】（1）③ （2） （3）或 （4）或 或 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质和轴对称的性质可得，因此； （2）由矩形的性质和（1）的结论可得，，使用勾股定理计算出，从而得到，最后根据正切函数的定义进行计算即可； （3）分为点 在点 的左侧和点 在点 的右侧两类讨论，根据题干条件求出 与 ，使用勾股定理计算出 ，从而求出 ，根据轴对称的性质求出 即可； （4）设，分为点 在点 的左侧和点 在点 的右侧两类讨论，当点 在点 的右侧时，容易证明，则，进而得到，利用勾股定理求出 ，进一步求出 ；当点 在点 的左侧时，同理，作于点 ，容易证明四边形是矩形，则，，在中，利用勾股定理构造方程，求解出 即可． 【小问1详解】 解：∵四边形 是矩形， ∴ ， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴， 而在点 的运动过程中，线段 、线段 与线段 不一定相等， ∴始终与线段 相等的是线段 ； 【小问2详解】 解：如图， 由（1）可知，， ∵点 与点 重合， ∴， ∵四边形 是矩形， ∴ ，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，； 【小问3详解】 解：①当点 在点 的左侧时，如图， ∵四边形 是矩形， ∴ ，， ∵， ∴， 由轴对称的性质可得，，，， ∴， 在中，， 由（1）可知，， ∴； ②当点 在点 的右侧时，如图， 同理可得，， 在中，， ∴； 综上所述，或； 【小问4详解】 解：设， ①当点 在点 的右侧时，如图， ∵四边形 是矩形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理（3）可得，，，， ∴， 在中，， ∴； ②当点 在点 的左侧时，如图，作于点 ， 同理①可得，， ∴， ∴， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 整理，得， 解得 或； 当时，点 和点 重合且是 的中点，点 是 的中点，满足 ，符合题意， 综上所述， 的长为或 或 ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，抛物线（k是常数）经过点 ．点 在抛物线的图像上，横坐标为 （ ），点 与点 关于点 对称，点 和点 到直线的距离相等，且轴（点 在点 的左侧），连接 ． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）证明： ； （3）当直线 与抛物线有两个交点时，设这两个点分别为点 、 （点 在点 左侧）． ①若，求 的取值范围； ②点 在 轴上．当点 与点 到直线 的距离相等，且点 与点 到直线 的距离也相等，直接写出 的值． 【答案】（1） （2）点 的坐标为． ∵点 与点 关于原点对称， ∴点 的坐标为． ∵点 和点 到直线的距离相等，且轴， ． ， ． 即． （3）① ②或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）求出两点的横坐标，二者相减即可求出 ； （3）设直线 与 轴交于点 ，求出直线的解析式，从而求出点 的坐标，再根据点 与点 到直线 的距离相等，且点 与点 到直线 的距离也相等，得到且，再对 的正负分类讨论建立方程即可求出 的值. 【小问1详解】 解：∵抛物线过原点，将原点代入得：， ， 抛物线的解析式为. 【小问2详解】 解：略 【小问3详解】 ①解：首先要保证直线 与抛物线有两个交点，则，即， 联立与抛物线解析式来求 横坐标， 即，则， 解得， 则， 由第二问知 ， 故由得， 故 解得：或， 又∵ ， 综上，； ②解：设，设直线 与 轴交于点 ， 由， 设直线 的解析式为：， 将点 代入得：， 解得：， 故直线 的解析式为：， 同理得： ， 令得： ， 故， 由第一小问可知， ∵点 与点 到直线 的距离相等，且点 与点 到直线 的距离也相等， ∴且，如下图所示： 当时，且 ∴ 解得：； 当时，且 ∴ 解得：或（舍去）； 综上所述：或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $