河南周口市项城市第一高级中学2025-2026学年高二下学期领航班期末备考数学综合测试卷2

**基本信息** 高二下期数学期末备考卷，覆盖复数、立体几何等模块，解答题融合数列、统计回归等综合应用，通过分层设计考查数学抽象、逻辑推理与数据观念。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|复数实部、平行六面体向量、三角函数零点等|以基础概念辨析考查数学抽象与几何直观| |多选题|3|解三角形、空间线面关系、三次函数零点|通过多选项设计深化逻辑推理能力| |填空题|3|不等式最值、函数零点、排列组合|聚焦关键能力，如运算求解与创新意识| |解答题|5|数列证明与求和、双曲线定值、统计回归分析等|综合应用数学思维，统计题结合实际数据考查数据观念，立体几何题体现空间观念|

2025-2026年度高二下期 领航班 期末备考 数学综合测试卷2 一、单选题 1．设复数，其中是实数，是虚数单位，若的实部为1，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】设，再根据复数运算与相等的性质可得，进而可得. 【详解】由的实部为1，可设，故，即，故，则，解得，故，则. 故选：D 2．如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（   ） A．8 B．6 C．0 D． 【答案】A 【分析】令，，，由题意得，，由空间向量的运算法则可得，，结合平面向量数量积的运算，即可求得的值. 【详解】令，，， 由题意可知，， 则， ， ， 即， 则， 整理得. 故选：A. 3．已知向量 满足 ，且 ，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据向量夹角余弦的表示代入计算得，再利用向量垂直的数量积的表示即可得到答案. 【详解】，即，则， 因为，则，则，则， 则，则. 故选：B. 4．已知，函数在上恰有3个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简得到，确定，根据题意得到，解得答案. 【详解】 . 时，，有3个零点，故， 解得. 故选：D 5．某校春季体育运动会上，甲，乙两人进行羽毛球项目决赛，约定“五局三胜制”，即先胜三局者获得冠军.已知甲、乙两人水平相当，记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了五局”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知每局比赛甲，乙获胜的概率都是，利用独立事件的概率乘法公式计算，，再结合条件概率公式求解. 【详解】因为甲、乙两人水平相当，所以每局比赛甲，乙获胜的概率都是， 比赛进行了五局，分甲获胜和乙获胜两种情况， 甲获得冠军，可能进行了3局或4局或5局比赛， 则，， ， 所以. 故选：. 6．已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则这6个零点之和为（    ） A．7 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象变换，画出图像，找到对称轴，根据对称性求和. 【详解】由函数的图象，经过翻折变换，可得函数的图象， 再经过向右平移1个单位，可得的图象， 最终经过翻折变换，可得的图象，如下图： 则函数的图象关于直线对称， 求函数的零点，等价于解， 由题意可得，方程存在两个不等的实数根，则或，， 根据函数的对称性，可得六个零点，分为三组关于直线对称， 所以这6个零点之和为， 故选：B. 7．设是椭圆：和双曲线：的公共焦点，是它们在第一象限的公共点，与双曲线的右支交于另一个点，若以为直径的圆过点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，可得，再由可得,代入后得即可求解答案. 【详解】椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，若以为直径的圆过点，则满足， 所以，可得， 所以，化简得出， 又因为，所以， 所以，即得， 所以，代入，可得， 则椭圆的离心率. 故选：D. 8．已知函数，则函数（   ） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．在上单调递增 D．值域为 【答案】B 【分析】对于A，根据函数的点对称公式进行验证即可；对于B，根据函数的直线对称公式进行检验即可；对于C，对函数求导，判断单调性；对于D，根据函数的单调性求出函数的最大值，进而可判断选项. 【详解】化简函数得， 因为， 所以关于直线对称，B正确； 因为不恒等于0，不满足关于点对称的必要条件，故A错误； 对函数求导得. 令，则，解得. 所以当时，，此时在上单调递增； 当时，，此时在上单调递减； 所以C错误； 根据单调性可知，当时，取最大值为，所以D错误. 故选：B. 二、多选题 9．在中，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若为钝角，则 【答案】ABD 【分析】对于AB，利用大角对大边与正弦定理的边角变换即可判断；对于C，举反例排除即可；对于D，利用正弦函数的单调性即可判断. 【详解】对于A，由大角对大边知，若，则， 所以由正弦定理得，故A正确； 对于B，若，则由正弦定理得， 所以由大边对大角，故B正确； 对于C，取，，则，， 所以不成立，故C错误； 对于D，若为钝角，则，所以， 因为在上单调递增，所以，故D正确. 故选：ABD. 10．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B：若，，则，而，故，故B正确； 对于C，若，，，则或与是异面直线，故C错误； 对于D：若，，根据面面垂直的判定定理可得，故D正确； 故选：BD． 11．已知函数，若函数的图象与轴的三个交点依次为，且，则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若成等差数列，则 【答案】BCD 【分析】由有三个零点，得有两个不相等的实数根，求解即可判断A；利用导数求出的极值，结合零点的个数建立不等式即可求解判断B；时得出函数图象关于点中心对称，即可判断C；由题得，得出，结合成等差数列，即可判断D； 【详解】对于A，，因为有三个零点， 所以至少有三个单调区间，即有两个不相等的实数根， 所以，解得，故A错误； 对于B，当时，， ， 由或，由， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 因为有三个零点，所以，解得，故B正确； 对于C，， 所以函数的图象关于点中心对称， 所以，故C正确； 对于D， ， 所以， 若成等差数列，则，所以， 得，所以， 解得，即，故D正确； 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：判断B选项的关键是发现，从而得到函数图象是中心对称图形，对称中心为；CD选项的判断，解答时要注意利用． 三、填空题 12．已知，且，则的最小值是__________. 【答案】8 【分析】通过对变形可得和，然后利用基本不等式可解. 【详解】因为，所以， 所以，所以. 又，所以，即， 即，所以， 则，当且仅当时，等号成立. 故答案为：8 13．函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由，可得，令，分析可知该函数为奇函数，且，则只需函数与函数在上的图象有且只有一个公共点，分析函数的单调性，考察函数与函数的图象相切于原点时的临界位置，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】由，可得， 令，该函数的定义域为， 因为， 所以，函数为奇函数，且， 要使得函数有三个零点，即函数有三个零点， 只需函数在上有且只有一个零点， 即只需函数与函数在上的图象有且只有一个公共点， 当时，， 所以，函数在上单调递增， 因为， 令，其中，则，即函数在上单调递减， 作出函数与函数在上的图象如下图所示： 当直线与函数的图象相切于原点时，， 由图可知，当时，直线与函数在上的图象有且只有一个交点， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 14．甲、乙、丙、丁四人报数，每人报出了一个正整数，且它们之和为11．设这四人报出的最大数为，则_____． 【答案】 【分析】先求出甲、乙、丙、丁报出的数的所有可能情况，然后求出四人报出的最大数的所有可能取值，并求出取每个值对应的概率，最后利用数学期望的计算公式求即可． 【详解】设甲、乙、丙、丁报出的数分别为a，b，c，d，则，且， 利用隔板法，将11个1分成4组，每组至少有1个1，则形成10个空， 任取3个即可完成分组，则甲、乙、丙、丁报出的数有种情况． 分析可知的所有可能取值为3，4，5，6，7，8． 当时，a，b，c，d的取值只能是三个3，一个2，有种情况， 则； 当时，有两种情况：①中有两个是4，余下两个分别为1，2， 则有种情况； ②中只有一个是4，余下三个分别为2，2，3或1，3，3， 有种情况，则； 当时，中只有一个是5，其余三个分别是1，2，3或1，1，4或2，2，2， 有种情况，则； 当时，中只有一个是6，余下的三个数是：1，2，2或1，1，3， 则有种情况，则； 当时，a，b，c，d中只有一个是7，余下三个数是1，1，2， 有种情况，则． 当时，a，b，c，d中只有一个是8，余下三个数是1，1，1， 则有种情况，则． 故． 【点睛】思路点睛：解决排列组合问题的常用方法有主元法、位置分析法、隔板法、捆绑法、插空法等，一般思路是先选后排，或用两个计数原理．遇到新的问题情境，要认真读题，抓住要点，分清主次．遇到的问题难度较大时，有时可采用先分类，再分步的方法，情况比较多时，用排除法也比较容易解决问题． 四、解答题 15．已知数列满足. (1)求并证明数列为等比数列； (2)若，求满足条件的最大整数. 【答案】(1)，证明见解析 (2)2025. 【分析】（1）对递推式两边取倒数变形可得，然后根据等比数列定义证明即可； （2）利用分组求和可得，可得，即可得解. 【详解】（1）因为，所以，所以. 又因为， 所以是以为首项，公比为的等比数列. （2）由（1）可知所以. 所以 ， 要使， 则，由可知，所以， 即的最大值为2025. 16．设双曲线C：（，）的一条渐近线为，焦点到渐近线的距离为1．，分别为双曲线的左、右顶点，直线过点交双曲线于点，，记直线，的斜率为，． (1)求双曲线的方程； (2)求证为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）借助渐近线定义及点到直线距离公式计算即可得； （2）设出直线方程，联立曲线可得与交点纵坐标有关韦达定理，作商即可得所设参数与纵坐标的关系，借助斜率公式表示出斜率后，消去所设参数即可得证. 【详解】（1）由题意可得，解得， 故双曲线的方程为； （2）由双曲线的方程为，则，， 由题意可知直线斜率不为，故可设，，， 联立，消去可得， ，即， 则，， 则，即， ，， 则 ， 即为定值.    【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 17．某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下： 会员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 锻炼时长（小时） 3 4 2 5 6 4 5 3 4 4 40 体重减少量（千克） 1.0 1.5 1.0 2.0 2.5 1.8 2.0 1.0 1.6 2.0 16.4 并计算得： (1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明； (2)求经验回归方程（结果精确到 0.01 ）； (3)该俱乐部推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2个小时，实际观测到的平均体重减少量增加了0.8千克.请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释. (参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，. 参考值：) 【答案】(1)答案见解析 (2)； (3)答案见解析 【分析】(1) 利用相关系数公式直接代入数据求解即可； (2) 利用公式，先求一次项系数，再利用经过样本中心点，可求出，从而可得回归直线方程； (3)利用一次项系数可解释会员平均每周锻炼时长增加2个小时，预测平均体重减少量增加0.84千克，与实际效果相当，说明具有参考价价. 【详解】（1）由表可知：                             所以= , 因为与的相关系数接近1, 所以与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与的关系. （2）由题可知： =                ， 所以 （3）由(2)可知：根据线性回归方程预测，会员平均每周锻炼时长增加2个小时， 预测平均体重减少量增加0.84千克，与实际增加值0.8千克较为接近， 因此实际结果与预测结果基本一致，说明该回归模型具有参考价值； 造成一定差异的原因可能是由于样本数据过少， 或者造成体重减少的原因还受其他因素影响， 比如睡眠，饮食、锻炼强度以及效果等. 18．已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数的最小值为0，求的值. 【答案】(1)有极小值，无极大值； (2)答案见详解； (3) 【分析】（1）利用导数讨论函数单调性，根据单调性可得极值； （2）求得，分、、、四种情况讨论，分析导数的符号变换，由此可得出函数的增区间和减区间； （3）分，两种情况分类求出最小值即可列式求参. 【详解】（1）当时，，则， 当时，，当时，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，有极小值，无极大值. （2） 若，则时单调递减，时单调递增； 若，则时单调递增， 时单调递减，时单调递增； 若，则时单调递增； 若，则时单调递增，时单调递减，时单调递增 （3）令， 当时，，函数在上单调递增，故无最小值 所以，由得， 所以时单调递减，时单调递增， 所以， 所以. 19．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，动点在棱上移动，连接． (1)证明：平面平面； (2)若点为棱的中点，平面，平面． （i）与所成的最小角为，求； （ii）设平面平面，，与所成角的最小值为，当最小时，求的值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）作出辅助线，得到⊥，由平面，得到，从而得到⊥平面，又平面，证明出面面垂直； （2）（i）作出辅助线，得到，故⊥平面，故当在直线上时，与所成的角最小，即，求出各边长，利用求出答案； （ii）设，分，和三种情况，画出图形，证明线面垂直，得到三种情况下的最小值，比较后得到时，最小值为，并求出，得到结论. 【详解】（1）连接， 因为底面是边长为2的正方形，所以⊥， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面，所以⊥平面， 又平面， 所以平面平面； （2）（i）设，则为中点，连接， 因为点为棱的中点， 所以， 因为平面，所以⊥平面， 又平面，故当在直线上时，与所成的角最小， 即， 因为，所以， 因为底面是边长为2的正方形，所以， 故，由勾股定理得， 所以； （ii）设，若，即为中点，此时， 平面平面，显然此时， 取中点，连接，则，⊥， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 又，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，即， ，故， 与所成角的最小值为，即与所成角的最小值为， 由于与平面上的直线的夹角最小， 故当与点重合时，，此时与所成角最小，最小值为， 其中，故； 若时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，则， 过点作⊥于点，连接， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， ，故， 与所成角的最小值为，即与所成角的最小值为， 故当，此时与所成角最小，最小值为， 其中， 由于，故，故； 若时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，则， 过点作⊥于点，连接， 同理可证⊥，， 与所成角的最小值为，即与所成角的最小值为， 故当，此时与所成角最小，最小值为， 其中， 当时，为等腰直角三角形，⊥， 此时重合，取得最大值，最大值为， 故取得最小值，最小值为， 由于，故当时，满足要求， 此时，过点作，交于点，则， 即，故， 又，故，故， 因为点为棱的中点，所以 其中，故，即，解得， 综上，. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年度高二下期 领航班 期末备考 数学综合测试卷2 一、单选题 1．设复数，其中是实数，是虚数单位，若的实部为1，则（    ） A． B． C．2 D． 2．如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（   ） A．8 B．6 C．0 D． 3．已知向量 满足 ，且 ，则 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知，函数在上恰有3个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．某校春季体育运动会上，甲，乙两人进行羽毛球项目决赛，约定“五局三胜制”，即先胜三局者获得冠军.已知甲、乙两人水平相当，记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了五局”，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则这6个零点之和为（    ） A．7 B．6 C． D． 7．设是椭圆：和双曲线：的公共焦点，是它们在第一象限的公共点，与双曲线的右支交于另一个点，若以为直径的圆过点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，则函数（   ） A．关于点对称 B．关于直线对称 C．在上单调递增 D．值域为 二、多选题 9．在中，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若为钝角，则 10．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 11．已知函数，若函数的图象与轴的三个交点依次为，且，则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若成等差数列，则 三、填空题 12．已知，且，则的最小值是__________. 13．函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为______. 14．甲、乙、丙、丁四人报数，每人报出了一个正整数，且它们之和为11．设这四人报出的最大数为，则_____． 四、解答题 15．已知数列满足. (1)求并证明数列为等比数列； (2)若，求满足条件的最大整数. 16．设双曲线C：（，）的一条渐近线为，焦点到渐近线的距离为1．，分别为双曲线的左、右顶点，直线过点交双曲线于点，，记直线，的斜率为，． (1)求双曲线的方程； (2)求证为定值． 17．某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下： 会员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 锻炼时长（小时） 3 4 2 5 6 4 5 3 4 4 40 体重减少量（千克） 1.0 1.5 1.0 2.0 2.5 1.8 2.0 1.0 1.6 2.0 16.4 并计算得： (1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明； (2)求经验回归方程（结果精确到 0.01 ）； (3)该俱乐部推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2个小时，实际观测到的平均体重减少量增加了0.8千克.请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释. (参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，. 参考值：) 18．已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数的最小值为0，求的值. 19．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，动点在棱上移动，连接． (1)证明：平面平面； (2)若点为棱的中点，平面，平面． （i）与所成的最小角为，求； （ii）设平面平面，，与所成角的最小值为，当最小时，求的值． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $