精品解析：河南濮阳市2025-2026学年高二下学期学业质量监测数学试题

河南濮阳市2025-2026学年高二下学期学业质量监测 数学试题 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 计算：（ ） A. 26 B. 325 C. 650 D. 15600 【答案】C 【解析】 【详解】 2. 函数的图象在点处的切线的斜率为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可得切线斜率. 【详解】由题意可知：，则 所以函数的图象在点处的切线的斜率. 3. 已知某地青年男性的身高（单位：）服从正态分布，且，在该地区随机抽取1名青年男性，则该男性身高不低于的概率为（ ） A. 0.05 B. 0.15 C. 0.25 D. 0.35 【答案】A 【解析】 【分析】由正态分布对称性结合题设可得答案． 【详解】由题可得：，则，， 则. 4. 函数的单调递增区间为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定函数定义域，再求导并解导数大于零的不等式，得到单调递增区间. 【详解】函数的定义域为， . 令，由，，得，即. 故函数的单调递增区间为. 5. 为庆祝端午节，某班级组织了一台晚会，有3个唱歌节目、2个小品节目和1个戏曲节目，要求3个唱歌节目互不相邻，则这台晚会节目的不同安排方法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】先排列2个小品和1个戏曲节目，排列数为：， 3个非唱歌节目排好后，形成4个空位，将3个唱歌节目插入4个空位中， 排列数为：， 故总安排方法数为：． 6. 高一某班有名学生，其中男生有人，女生有人，在某次考试中，女生的物理成绩的优秀率为，男生的物理成绩的优秀率为，从该班随机抽取1名学生，则这名学生本次考试物理成绩优秀的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设事件A为“抽到的学生物理成绩优秀”，事件为“抽到的是男生”，事件为“抽到的是女生”， 则，， 已知， 代入全概率公式得： ． 7. 已知直线与函数的图象交于点，与直线交于点，当最小时，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设直线与直线垂直，问题化为求出平行于的直线与相切情况下的切点，只需与切点重合有最小，再由点在直线上求参数值. 【详解】由，可化为，显然其与直线垂直，示意图如下： 由图，当平行于的直线与相切，且恰好为切点时，最小， 由，令，则，即切点为， 所以过切点，则. 8. 已知数列满足，，是数列的前项和.若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据构造法写出数列的通项公式，再利用裂项相消法求出，根据的范围判断实数的取值范围. 【详解】因为，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 所以， 所以， 不等式对恒成立，则实数的取值范围为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某AI软件的开发团队为迎合市场需求开发了一款手机软件，该软件最近5个月的用户数量如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 用户数量（百万） 0.5 0.7 1.1 1.3 1.7 若关于的线性回归方程为，则（ ） A. 变量，正相关 B. C. 可以预测当时，用户数量首次突破2百万 D. 当时，实际用户数量高于预测值 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由表格数据变化情况可判断；对于B，由回归方程过点可判断选项正误；对于C，由B分析可得回归方程，据此可判断选项正误；对于Ｄ，比较预测值与实际数量大小可判断选项正误． 【详解】对于A，由表格数据可得随着的增大而增大，故变量正相关，故A正确； 对于B，由表格数据可得，，因过点， 则，故B错误； 对于C，由B可得回归方程为：，当时，，故C正确； 对于D，当时，由回归方程可得预测值为，而用户实际数量为，故D错误． 10. 已知是函数的极大值点，则（ ） A. B. 是的极小值点 C. 的单调递减区间为 D. 恰有3个零点 【答案】BCD 【解析】 【详解】函数，定义域为，， 是的极大值点，有，解得或， 当时，，在上单调递减，不合题意； 当时，， 解得或，解得， 在和上单调递增，在上单调递减， 是的极大值点，是的极小值点，符合题意. 所以A选项错误，BC选项正确； ，时，时， 的极大值为，的极小值为， 所以恰有3个零点，D选项正确. 11. 如图，在三棱锥中，，，，，分别为，的中点，则（ ） A. 平面平面 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】若中点为，根据已知并应用线面、面面垂直的判定定理证明平面平面判断A，构建合适的空间直角坐标系，标注相关点坐标，应用向量法求线面角、异面直线所成角、面面角的正余弦值判断B、C、D. 【详解】由 ​，，可得和均为等腰三角形， 若中点为，则，且，又， 故，所以， 由且都在平面内，则平面， 由平面，则平面平面，故A正确； 以为原点， 为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 由为中点，即，为中点，即， 由，，， 设平面的一个法向量， 则， 取，则，，故， 设直线与平面所成角为， 则，故B错误； 由，， 则，故C正确； 由，，设平面的一个法向量， 则，取，则，，故， 又平面法向量， 则，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若展开式中的系数为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求出的通项，令，则，求解即可. 【详解】的通项为：， 令，则，解得：. 故答案为：. 13. 如图，在三棱台中，平面，，，，，是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据外接球的性质，确定球心在过中点，且垂直于平面的直线上，再以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，设三棱锥的外接球球心为，利用，求出的值，即可求得答案. 【详解】 由题意得：，,则的外接圆圆心为中点. 则三棱锥的外接球球心在过点且垂直于平面的直线上. 平面，则易得,又， 故可以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系. ,,,,，设， 则， 由，解得. 所以外接球的半径， 三棱锥的外接球的表面积. 14. 已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简不等式，将不等式恒成立问题转化为两函数图象的位置关系，再利用导数研究函数的图象，求出直线与曲线相切时的值，最后作出两函数图象，数形结合即可得解． 【详解】因为不等式恒成立， 所以不等式恒成立． 设，， 则由题意知函数的图象恒不在直线的下方， 又， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 当时，，且， 又直线恒过点， 当直线与曲线相切时，设切点为， 则，解得或， 故当直线与曲线相切时的值为或． 在同一平面直角坐标系中作出直线与函数的图象如图所示， 结合上图可知，当函数的图象恒不在直线的下方时，实数的取值范围为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设为数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意知①， 当时，， 当时，②， ①②得， ，又， ∴数列是首项为1，公比为4的等比数列，. 【小问2详解】 由题意得， 是首项为，公比为的等比数列， . 16. 某医学研究院为了解患肝病与长期持续饮酒的关系，随机抽取200名中老年人对其肝脏的状态和饮酒习惯进行调查，得到成对样本分类统计数据如下表： 肝病患者 非肝病患者 合计 长期持续饮酒 40 60 100 非长期持续饮酒 20 80 100 合计 60 140 200 （1）依据小概率值的独立性检验，分析长期持续饮酒与患肝病是否有关联； （2）从肝病患者样本中按比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求这3人中至少有2人长期持续饮酒的概率. 附：. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为长期持续饮酒与患肝病有关联 （2） 【解析】 【分析】（1）计算的值，由此作出判断. （2）利用超几何分布的概率计算公式求得这3人中至少有2人长期持续饮酒的概率. 【小问1详解】 零假设为：长期持续饮酒与患肝病之间无关. 根据列联表中的数据，得， ∴根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为长期持续饮酒与患肝病有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. 【小问2详解】 由题意知，抽取的6人中，长期持续饮酒的有4人，非长期持续饮酒的有2人， 再从这6人中随机抽取3人，记这3人中长期持续饮酒的人数为， 则. 17. 某生物实验系统中初始时刻有一个可分裂细胞，1分钟后这个细胞分裂成两个新细胞，共有三种分裂情况：产生两个可分裂细胞，概率为；产生一个可分裂细胞与一个不可分裂细胞，概率为；产生两个不可分裂细胞，概率为.新产生的每个可分裂细胞在1分钟后又会按照上述概率分裂成两个新细胞.当系统中没有可分裂细胞时实验达到完成状态. （1）求第2分钟末时实验首次达到完成状态的概率； （2）记第2分钟末时的可分裂细胞个数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 4 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式求解即可. （2）判断出的取值，根据独立事件的乘法公式及全概率公式求出对应的概率，即可得到分布列，进而求出数学期望. 【小问1详解】 设第2分钟末时实验首次达到完成状态的概率为，有以下两种情况： 第1分钟末系统中有一个可分裂细胞与一个不可分裂细胞；第1分钟末系统中有两个可分裂细胞. 根据题意有. 【小问2详解】 的所有可能取值为0，1，2，3，4， ， ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 4 . 18. 已知双曲线：（，）的离心率为2，且经过点. （1）求的方程. （2）过的右焦点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交直线于点，. （i）证明：； （ii）求的面积的最小值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）由（1）知，， 设，，直线， 代入，整理得， ，且，得， ，， ∴直线，， ∴直线，， ，， ， . （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由双曲线上的点和离心率，求出得双曲线的方程； （2）（i）设直线，代入双曲线方程，利用韦达定理证明即可； （ⅱ）利用面积公式结合韦达定理把表示成的函数，通过解析式判断最小值. 【小问1详解】 设双曲线的半焦距为. 由题知，，，， 的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii） ， 其中， ， ， ∴当时，. 19. 已知函数（）． （1）讨论的单调性； （2）已知函数，有2个不同的零点，，且． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：． 【答案】（1）当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减 （2）（i）； （ii）由，是的2个不同的零点，且， 则，， 即，， 所以，即， 要证，只需证， 由（ⅰ）知，，， 所以即证，即证． 设，则，只需证． 设，， 则，则在区间上单调递增， 所以，即，即． 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式得到该函数的定义域，再求，分和两种情况分析的符号，进而即可讨论的单调性； （2）（i）根据函数解析式得到该函数的定义域，再求，分和两种情况分析的符号，从而分析的单调性来判断的零点个数，进而结合的最值即可求解； （ii）根据零点的性质，将需证的结论转化为即证，从而构造函数，求导，结合函数的单调性，最值即可证明． 【小问1详解】 由，则的定义域为，， 当时，，则在区间上单调递增； 当时，， 当时，；当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减． 【小问2详解】 （ⅰ）由题知，，定义域为，则， 当时，，则在区间上单调递增， 所以在区间上最多有一个零点，不符合题意； 当时，， 当时，；当时，， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又有2个不同的零点，且当时，，当时，， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南濮阳市2025-2026学年高二下学期学业质量监测 数学试题 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 计算：（ ） A. 26 B. 325 C. 650 D. 15600 2. 函数的图象在点处的切线的斜率为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知某地青年男性的身高（单位：）服从正态分布，且，在该地区随机抽取1名青年男性，则该男性身高不低于的概率为（ ） A. 0.05 B. 0.15 C. 0.25 D. 0.35 4. 函数的单调递增区间为( ) A. B. C. D. 5. 为庆祝端午节，某班级组织了一台晚会，有3个唱歌节目、2个小品节目和1个戏曲节目，要求3个唱歌节目互不相邻，则这台晚会节目的不同安排方法种数为（ ） A. B. C. D. 6. 高一某班有名学生，其中男生有人，女生有人，在某次考试中，女生的物理成绩的优秀率为，男生的物理成绩的优秀率为，从该班随机抽取1名学生，则这名学生本次考试物理成绩优秀的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与函数的图象交于点，与直线交于点，当最小时，（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，，是数列的前项和.若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某AI软件的开发团队为迎合市场需求开发了一款手机软件，该软件最近5个月的用户数量如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 用户数量（百万） 0.5 0.7 1.1 1.3 1.7 若关于的线性回归方程为，则（ ） A. 变量，正相关 B. C. 可以预测当时，用户数量首次突破2百万 D. 当时，实际用户数量高于预测值 10. 已知是函数的极大值点，则（ ） A. B. 是的极小值点 C. 的单调递减区间为 D. 恰有3个零点 11. 如图，在三棱锥中，，，，，分别为，的中点，则（ ） A. 平面平面 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 平面与平面夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若展开式中的系数为，则______． 13. 如图，在三棱台中，平面，，，，，是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为________. 14. 已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设为数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 某医学研究院为了解患肝病与长期持续饮酒的关系，随机抽取200名中老年人对其肝脏的状态和饮酒习惯进行调查，得到成对样本分类统计数据如下表： 肝病患者 非肝病患者 合计 长期持续饮酒 40 60 100 非长期持续饮酒 20 80 100 合计 60 140 200 （1）依据小概率值的独立性检验，分析长期持续饮酒与患肝病是否有关联； （2）从肝病患者样本中按比例用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求这3人中至少有2人长期持续饮酒的概率. 附：. 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 17. 某生物实验系统中初始时刻有一个可分裂细胞，1分钟后这个细胞分裂成两个新细胞，共有三种分裂情况：产生两个可分裂细胞，概率为；产生一个可分裂细胞与一个不可分裂细胞，概率为；产生两个不可分裂细胞，概率为.新产生的每个可分裂细胞在1分钟后又会按照上述概率分裂成两个新细胞.当系统中没有可分裂细胞时实验达到完成状态. （1）求第2分钟末时实验首次达到完成状态的概率； （2）记第2分钟末时的可分裂细胞个数为，求的分布列和数学期望. 18. 已知双曲线：（，）的离心率为2，且经过点. （1）求的方程. （2）过的右焦点的直线与的右支交于，两点，直线，分别交直线于点，. （i）证明：； （ii）求的面积的最小值. 19. 已知函数（）． （1）讨论的单调性； （2）已知函数，有2个不同的零点，，且． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $