上海海洋大学附属大团高级中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

大团中学2025学年高一下期末 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分． 1. 复数，则__________． 2. 已知，且，则__________． 3. 若点是角终边上的一点，则_____. 4. 设扇形的周长为8，面积为4，则扇形的圆心角的弧度数是_____________． 5. 若为偶函数，且，则的值为______． 6. 设向量满足且，则向量在方向上的投影是__________． 7. 在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最大内角的余弦值为__________． 8. 在中，角所对边分别为，，则__________． 9. 已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是_____． 10. 如图，正六边形的边长为，半径为1的图的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为______ 11. 如图，在一块空地上有四棵树，若把它们所在的位置看成点，则这四个点恰好是一个平行四边形的四个顶点，且米，米，，现要用挡板围出一个形状为矩形的展览区，使得其边分别经过点，则该展览区的最大面积约为__________平方米（精确到1平方米）． 12. 已知函数，下列命题： ①函数是奇函数； ②函数的图像是轴对称图形； ③函数在区间上共有13个零点； ④函数在区间上是严格增函数； 其中真命题有______（填所有真命题的序号）． 二、选择题（本大题共有4题，满分12分）． 13. 已知复数（为虚数单位），则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 14. 在平行四边形中，是线段的中点，若，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 15. 某函数在一个周期内的图像，此函数的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 16. 定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在锐角三角形中，，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为，其“直径”为，现有两个命题： ①； ②的取值范围是． 则下列论断正确的是（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题． 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. （1）已知，求的值； （2）若，求的值． 18. 已知复数满足. （1）求； （2）已知是关于的实系数一元二次方程的一个根，分别求 的值. 19. 已知向量，，且． （1）求及； （2）记，求函数的最小值． 20. 已知． （1）若，求的最小正周期和初始相位； （2）根据的表达式，先经过怎样的平移变换，再经过怎样的伸缩变换后得到，请写出完整的变换过程； （3）若且对任意恒成立，求的最大值． 21. 利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为． （1）设，，为虚数单位，求复向量、的模； （2）设、是两个复向量， ①已知对于任意两个平面向量，，（其中），成立，证明：对于复向量、，也成立； ②当时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数． 大团中学2025学年高一下期末 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分． 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】2 【5题答案】 【答案】或 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】2 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】1096 【12题答案】 【答案】②③ 二、选择题（本大题共有4题，满分12分）． 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】C 【15题答案】 【答案】B 【16题答案】 【答案】C 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 【17题答案】 【答案】(1)；(2) 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）， （2） 【20题答案】 【答案】（1）的最小正周期为，初始相位为 （2）的图象先向左平移个单位长度，得到的图象； 再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），即可得到的图象 （3） 【21题答案】 【答案】（1）， （2）①证明见解析；② 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $