精品解析：上海市金山中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

上海市金山中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷 2025.6 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1－6题每个空格填对得4分，7－12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 已知集合，则___________. 2. 函数的最小正周期为______． 3. 若复数满足，其中为虚数单位，则___________. 4. 不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是___________ 5. 已知，，用表示为__． 6. 已知，则的值为_____________. 7. 已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则___________. 8. 已知复数的实部为1，且，若是关于的方程的根，则___________. 9. 已知是等比数列，若分别是方程的两个根，则___________. 10. 已知，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为___________. 11. 已知点是外接圆圆心，角所对的边分别为，且有，若，则实数的值为___________. 12. 对于正整数，设是关于的方程的实数根，记，其中表示不超过的最大整数，为的前项和，则___________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知非零实数，则下列命题中成立的是（ ）． A. B. C. D. 14. 要得到函数的图象，只需将函数的图象(　　) A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 15. 设、、是半径为的圆上三点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 16. 已知各项均为正实数的数列，若对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得（为的前项和），那么称为数列，记，称为的“和数列”，则下列命题中真命题的序号为（ ） ①存在等差数列为数列 ②存在等比数列为数列 ③若数列为严格增数列，则其“和数列”为严格增数列 ④若数列的“和数列”为严格增数列，则为增数列 A. ①②③ B. ①③④ C. ①③ D. ②③ 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 已知复数，为虚数单位，为实数． （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围． 18. 记公差大于零的等差数列的前项和为，已知是与的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 19. 如图，某学校准备在宿舍楼前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似”冰淇淋”般的凉爽感，已知，线段，弓形花园上一点，其中，设. （1）将线段、的长度、分别用含有的代数式表示出来； （2）现准备在点处修建喷泉，求点与点距离的最大值以及对应的的值. 20. 如图，设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）－仿射坐标系中，，以下两个结论①若，则；②若，则是否一定成立？（不必说明理由） （2）在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在轴、轴正半轴上，分别为BD、BC中点，求的最大值. 21. 设，函数的定义域为.若对满足的任意，均有，则称函数具有“性质”. （1）在下述条件下，分别判断函数是否具有性质，并说明理由； ①； ②； （2）已知，且函数具有性质，求实数的取值范围； （3）证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市金山中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷 2025.6 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1－6题每个空格填对得4分，7－12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 已知集合，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】化简集合，根据交集运算求解. 【详解】集合是函数的定义域，对数函数中真数大于0，所以， 又，所以. 故答案为：. 2. 函数的最小正周期为______． 【答案】 【解析】 【分析】已知的最小正周期为,根据图象变换的原则,即可得到的最小正周期 【详解】函数的最小正周期即函数的最小正周期,所以所求最小正周期为． 故答案为 【点睛】本题考查正切型函数的最小正周期,考查图象变换 3. 若复数满足，其中为虚数单位，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法和模的公式即可求解. 【详解】由，得，故. 故答案为： 4. 不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】二次函数开口向上恒大于等于0，则即可。 【详解】因为对一切实数都成立，所以， 即。 故答案为： 【点睛】此题考查二次函数，开口向上恒大于0只需即可，属于简单题目。 5. 已知，，用表示为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算性质和换底公式求解. 【详解】因为，， 所以， ； 所以． 故答案为: . 6. 已知，则的值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据同角三角函数关系得出，再根据两角差正切公式计算求解. 【详解】， 所以， 则. 故答案为：7. 7. 已知向量、满足，且在上的数量投影为1，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据数量投影的计算公式得到，故，得到答案. 【详解】在上的数量投影为1， 则，即， 故，即， 所以， 又，所以. 故答案为： 8. 已知复数的实部为1，且，若是关于的方程的根，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据复数模求出复数，再由根与系数的关系求解即可. 【详解】设， 则，解得， 所以或， 由题意可知，. 故答案为：1 9. 已知是等比数列，若分别是方程的两个根，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数关系及等比数列性质可得，再由等比数列性质可知奇数项同号，得． 【详解】因为分别是方程的两个根，则，所以， 又因为， 再由，知同号，又因为，所以,故. 故答案为： 10. 已知，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同，通过，，三种情况讨论求解即可 【详解】，任意实数均有. 当时，任意实数均有，且， 时，符合题意； 任意实数均有，即， ， 只能任意实数均有，则， 当时，，则， ，符合题意； 当时，. 所以，， 又，符合题意. 综上所述，满足条件的有序实数对有，，共3个. 故答案为：3 11. 已知点是外接圆圆心，角所对的边分别为，且有，若，则实数的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用半角公式结合余弦定理计算得，根据外心的性质，结合向量数量积的运算律计算得，代入计算可得结果. 【详解】由半角公式可得， 又由余弦定理可得， 则. 设为中点，因为为外接圆的圆心，则有， 因为， 由可得， 即， 可得，即， 即，故. 故答案为：. 12. 对于正整数，设是关于的方程的实数根，记，其中表示不超过的最大整数，为的前项和，则___________. 【答案】1012 【解析】 【分析】令，根据的单调性结合零点存在性定理得到方程存在唯一的实数根，再由可得当时，，从而，当时，，最后计算的前2025项和即可. 【详解】设，则函数单调递增， 且，故方程存在唯一的实数根， 且， 当时，，据此可得， 当时，，可得，从而， ，. 故答案为：1012. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知非零实数，则下列命题中成立的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法即可判断，，，根据函数的单调性即可判断. 【详解】由已知当，，所以，故错误； 因为，当时，所以，故错误； 当非零实数，一正一负时，无意义，故错误； 因为在上单调递增，且， 所以，故正确. 故选：. 14. 要得到函数的图象，只需将函数的图象(　　) A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． 【详解】因为g（x）＝cos（2x）= sin（2x）= sin（2x），故其图象向右平移个单位，可得函数的图象， 故选B． 【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式的应用，属于基础题． 15. 设、、是半径为的圆上三点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设圆心为点，分析得出，再由平面向量的减法与数量积的运算性质得出，再利用与同向时可求得的最大值. 【详解】设圆心为点，则，，，则， . 当且仅当与方向相同时，等号成立，因此，的最大值为. 故选：C. 【点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．本题采用了“形化”，结合了平面向量数量积的定义，利用两个向量方向相同取得最值来求解. 16. 已知各项均为正实数的数列，若对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得（为的前项和），那么称为数列，记，称为的“和数列”，则下列命题中真命题的序号为（ ） ①存在等差数列为数列 ②存在等比数列为数列 ③若数列为严格增数列，则其“和数列”为严格增数列 ④若数列的“和数列”为严格增数列，则为增数列 A. ①②③ B. ①③④ C. ①③ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定定义，举例说明判断命题①④；按公比分类判断命题②；结合单调性推理判断命题③. 【详解】对于①，设等差数列的首项为，公差为，当时，， 对于任意的正整数，令，即， 因为是正整数，所以对于每一个，都存在唯一的正整数使得， 因此存在等差数列为数列，①正确； 对于②，设等比数列的首项为，公比为， 若，则，由，得，当时，此方程无解； 若，令，即， 当变化时，很难保证对于任意的正整数，都存在唯一的正整数使得等式成立， 例如，当时，，方程无正整数解， 因此不存在等比数列为数列，②错误； 对于③，，对任意，知存在， 使得， 则，即，且数列为严格增数列，， 因此其“和数列”为严格增数列，③正确； 对于④，例如，显然是所有正整数的排列， 且数列的“和数列”为严格增数列，但不是递增数列，④错误. 故选：C 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 已知复数，为虚数单位，为实数． （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的概念可得出关于的等式与不等式，进而可求得实数的值； （2）根据条件得出该复数的实部和虚部都为正数，则可得出关于实数的不等式组，进而求解即可． 【小问1详解】 由复数为纯虚数，得，解得. 【小问2详解】 因为复数在复平面内对应的点位于第一象限， 所以，解得， 即的取值范围为． 18. 记公差大于零的等差数列的前项和为，已知是与的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等比中项的性质及等差数列的通项公式可得结果； （2）由等差数列的前项和公式及裂项相消法求前项和可得结果. 【小问1详解】 由已知，，即， 解得（舍）或， . 【小问2详解】 由（1）得，， ， 19. 如图，某学校准备在宿舍楼前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似”冰淇淋”般的凉爽感，已知，线段，弓形花园上一点，其中，设. （1）将线段、的长度、分别用含有的代数式表示出来； （2）现准备在点处修建喷泉，求点与点距离的最大值以及对应的的值. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）在中利用正弦定理可表示出； （2）在中，由余弦定理表示出，再结合的范围及正弦函数的性质可求出其最大值. 【小问1详解】 因为，， 所以，. 【小问2详解】 因为， 所以， 在中，由余弦定理易得， 因为，所以， 当，即时， 取最大值取最大值. 20. 如图，设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）－仿射坐标系中，，以下两个结论①若，则；②若，则是否一定成立？（不必说明理由） （2）在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在轴、轴正半轴上，分别为BD、BC中点，求的最大值. 【答案】（1）①成立②不成立； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量坐标运算法则以及仿射坐标系定义利用共线定理和数量积坐标运算，即可判断①成立，②不成立； （2）由－仿射坐标系中向量坐标表示以及数量积的运算律计算可得结果； （3）设，以为基底将表示出来，得出数量积的表达式，再由正弦定理以及辅助角公式计算即可得出最大值. 【详解】（1）①成立，②不成立. 若，则存在非零实数满足， 因此可得，即，所以①成立， 若，可得， 则，因此不成立，即②不成立 （2）由，得，且， 所以， 则， 故， 因为与的夹角为， 则，解得； （3）依题意设，且， 因为为BC的中点，则， 因为为BD中点，同理可得 所以 由题意可知，， 则 在中，由余弦定理得，所以， 代入上式得 在中，由正弦定理得， 设，则，且， 所以， 因为，则， 故当时，取最大值， 则的最大值为. 21. 设，函数的定义域为.若对满足的任意，均有，则称函数具有“性质”. （1）在下述条件下，分别判断函数是否具有性质，并说明理由； ①； ②； （2）已知，且函数具有性质，求实数的取值范围； （3）证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件 【答案】（1）①是，因为对任意， 所以符合定义； ②不是，令 ，， 故不符合题意. （2）； （3） 证明：充分性： 若函数为增函数，则对任意均有， 即，因此，对任意，若， 则，函数具有性质，充分性得证； 必要性： 若对任意，函数均具有性质， 假设函数不是增函数，则存在，满足，即， 而，故存在，使，且，即， 即对于，存在，但是， 与“对任意，函数均具有性质”矛盾，因此假设不成立， 即函数为增函数，必要性得证． 【解析】 【分析】（1）根据函数具有性质的条件判断①；举反例可判断②； （2）原问题等价于当时，恒成立，即恒成立，得； （3）利用函数的单调性以及不等式的性质判断充分性，利用反证法判断必要性. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 显然，所以设， 则， 当时，取最小值， 原问题等价于当时，恒成立.， 即恒成立， 由，可得， 所以得. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $