期末精选题练习（三）-2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 以核心素养为导向，系统整合七年级下册六大考点，通过分层题型构建“概念理解-方法提炼-实践应用”的三阶训练体系，强化几何直观、运算能力与数据意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |相交线与平行线|4题|平行线判定/性质综合应用、辅助线添加（延长线/作平行线）|从基础角关系推导到实际场景（机器人轨道）的几何建模| |实数|4题|平方根/立方根求解、无理数估算（夹逼法）、定义新运算|从数的开方到实数性质应用，构建代数运算体系| |平面直角坐标系|4题|坐标特征分析、图形平移、新定义（长距）应用|数形结合，从点坐标到图形变换的空间观念培养| |二元一次方程组|4题|代入/加减消元法、实际问题建模、定义新运算|从方程解法到实际应用，强化模型意识| |不等式与不等式组|4题|解集求解与数轴表示、实际方案优化、关联方程|从不等关系到实际决策，培养逻辑推理能力| |数据收集与描述|4题|频数/频率计算、统计图分析与补全|从数据整理到信息解读，发展数据意识|

期末精选题练习（三）-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024） 考点目录 考点一：相交线与平行线 考点二：实数 考点三：平面直角坐标系 考点四：二元一次方程组 考点五：不等式与不等式组 考点六：数据的收集、整理与描述 易错精练 考点一：相交线与平行线 1．如图，已知∠DFB=120°，∠ACB=60°. （1）求证：AC∥DE； （2）若∠D=∠A，∠ACD=130°，求∠B的度数. 2．已知：如图， ∠D+∠3=180°， AE平分∠BAD交 CD于点 F，交 BC延长线于点 E， ∠4=∠E. 求证： AB∥CD. 证明： ∵∠D+∠3=180°，(已知) ∴AD∥BC，(理由： 　 　） ∴∠1=∠ 　 　. (理由： 　 　） ∵AE平分∠BAD，(已知) ∴∠1=∠ 　 　， ∴∠2=∠E. ∵∠4=∠E，(已知) ∴∠2=∠4， ∴AB∥CD. (理由： 　 　） 3．如图，从①DF∥CA， ②∠FDE=∠A， ③DE∥BA，三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可以组成 1个命题.从中选择一个真命题，写出已知求证，并证明. 如图，已知 ▲ ，求证： ▲ . （填“①”， “②”， “③”) 证明： 4．综合与实践 2026年4月，在2026中关村论坛年会上，中国自主研制的“夸父”系列人形机器人首次规模化亮相，身高近一米六的白色引导机器人全天候在岗提供会场导航．在人形机器人的精密装配过程中，双臂协同作业是实现高精度操作的关键．如图，有两条平行的装配轨道AB与CD，即AB∥CD．左机械臂与轨道AB的接触点记为M，右机械臂与轨道CD的接触点记为N．为了实现复杂的装配任务，通过M、P、Q、N来调节三个机械臂PM、PQ和QN的位置．在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂PM、PQ和QN不共线． （1）如图1所示，当机械臂PM∥QN时， ①若∠P=55°，求∠Q的度数； ②试说明：∠AMP=∠QND； （2）如图2所示，当∠AMP=30°，∠QND=50°，∠MPQ=α时，求∠PQN= 　 　（用含α的式子表示）； （3）当∠AMP=β（0°＜β＜90°），∠QND=θ（0°＜θ＜180°）时，直接写出∠MPQ与∠PQN的数量关系（用含β，θ的式子表示）． 考点二：实数 5．解方程： （1） （2） 6．阅读下面的文字，解答问题，例如： 即 的整数部分是2，小数部分是 （1）试解答： 的整数部分是　 　，小数部分是　 　． （2）已知 小数部分是m， 小数部分是n，且 请求出满足条件的x的值. 7．已知：实数 a，b满足 （1）可得 a=　 　， b=　 　 ； （2）若一个正实数 m的两个平方根分别是 2x+a和 b-x，求 x和 m的值. 8．在数学活动课上，老师提出了一个关于“估算算术平方根”的问题. 小红发现，对于一个正整数n，如果它不是完全平方数，可以通过适当的方法来估算 的大小. （1）【初步感知】 已知52=25， 62=36.若m是 的整数部分，则m=　 　. （2）【方法探究】 小红在研究中发现了一个有趣的现象：对于正数a，b，若a≈b，则 她在估算 时想到的方法是：因为 的整数部分是4，所以可以取a=4，则 则 【学以致用】 请利用小红的方法，估算 的值. 考点三：平面直角坐标系 9．已知点，点. （1）若点轴上，求的值； （2）若直线轴，求点M 的坐标. 10．围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史.如图是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上A，B两颗棋子的坐标分别为，. （1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系； （2）分别写出C，D两颗棋子的坐标； （3）有一颗黑色棋子E的坐标为，请在图中画出黑色棋子E. 11．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离中的较大值称为点A 的“长距”，当点 P 的“长距”等于点 Q的“长距”时，称 P，Q两点为“等距点”. （1）点A(2，3)的“长距”等于　 　，点 B(-7，5)的“长距”等于　 　． （2）若C(-1，2k+3)，点C在第三象限，点 C，D(-6，5)两点为“等距点”，求k的值. 12．如图1，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足：，将线段平移得到线段，点A对应点C，点B对应点D，点C的横坐标与点D的纵坐标都为2． （1）直接写出A，B，C，D四点的坐标； （2）E是x轴上一点，三角形的面积是三角形面积的2倍，求点E的横坐标； （3）如图2，点Q在线段上，连接交y轴于点P，连接，若三角形与三角形的面积差为2，求点Q的坐标． 考点四：二元一次方程组 13．解方程组： （1）； （2） 14．某商店卖甲种笔记本和乙种笔记本．若买1个甲种笔记本和2个乙种笔记本需要11元；买2个甲种笔记本和3个乙种笔记本需要18元． （1）求甲种笔记本和乙种笔记本的单价． （2）淇淇用35元买笔记本，两种笔记本都要买，钱正好用完．共有哪几种购买方案？ 15．如图所示，某学校开发一块长方形试验田 ABCD作为劳动教育实践基地，通过初步设计，该试验田由大小形状完全相同的 7块小长方形组成，经测量，试验田 ABCD的周长为 102米，请计算该试验田的面积. 16．定义：关于x，y的二元一次方程 ax+by=c (a≠c≠0)的常数项c未知数x的系数a互换所得到的方程叫“关于x系数的交换方程”，例如：x+3y=7的关于x系数的交换方程为7x+3y=1． （1）求方程5x-2y=3与它的“关于x系数的交换方程”组成的方程组的解． （2）请说明方程 ax+by=c (a≠c≠0)与它的“关于x系数的交换方程”组成的方程组的解中的x值与a、b、c无关． 考点五：不等式与不等式组 17．解不等式：4x-1≥3x+2，并把解集表示在数轴上. 18．解不等式组 ①② 请结合题意填空，完成本题的解答. （1） 解不等式①， 得　 　； （2） 解不等式②，得　 　 （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为　 　. 19．当下“即时零售、线上线下同价促销”已成为消费热潮．某品牌日用品线下门店与线上平台推出不同优惠方案，某家庭计划采购该品牌日用品，原价总计为元（）． 线下方案：全场8折，另收配送费10元． 线上方案：每满100元减25元，不满100元的部分不优惠，免配送费． 问题： （1）当原价总计为120元时，选择哪种方案更省钱？省了多少元？ （2）当原价总计超过100元且小于200元时，求满足什么条件，线下方案比线上方案更省钱？ （3）若该家庭预算不超过300元，且选择线上方案，求原价的最大值． 20．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程. 例如：方程 2x-6=0的解为 x=3，不等式组 的解集为 1<x<4.因为 1<3<4，所以称方程 2x-6=0为不等式组 的关联方程. （1）在方程①3x-2=0， ②x+1=0， ③x-（3x+1)=-5 中，不等式组 的关联方程是　 　；（填序号) （2）若不等式组 的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是　 　；（写出一个即可) （3）若方程 都是关于 x的不等式组 的关联方程，求 m的取值范围. 考点六：数据的收集、整理与描述 21．为了了解中学生的体能状况，某校抽取了50名学生进行1分钟跳绳测试，将所得数据整理后，分成5组，并绘成了如图所示的频数直方图（图中数据含最低值不含最高值）． 其中前4个小组的频率依次为0.04，0.12，0.4，0.28． （1）第4组的频数是多少？ （2）第5组的频率是多少？ （3）哪一组的频数最大？ （4）补全频数直方图． 22．某大学农学院的学生为了解试验田杂交水稻秧苗的长势，从中随机抽取样本对苗高进行了测量，根据统计结果（数据四舍五入取整）绘制统计图． （1）求本次抽取的样本水稻秧苗的株数； （2）求出样本中苗高为17cm的秧苗的株数，并补全折线统计图． 23．某商场试销A、B两款型号的洗碗机，四个月共售出400台．试销结束后，该商场想从中选择一款洗碗机进行经销，请根据提供的两幅统计图完成下列问题． （1）第四个月销量占总销量的百分比是 　 　%； （2）通过计算补全洗碗机月销量的折线统计图； （3）结合折线统计图，判断该商场应选择哪款洗碗机进行经销？请说明理由． 24．某县对辖区内部分初中学生就“每天完成书面作业的时间”进行了随机调查，为便于统计学生每天完成书面作业的时间(用t表示，单位：h)状况，设置了四个选项，分别为A：t≤1，B：1<t≤1.5， C：1.5<t≤2，D：t>2，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图. 请根据以上提供的信息解答下列问题： （1）此次调查，选择选项A的学生人数是多少? （2）在扇形统计图中，选项D所对应的扇形圆心角的度数为多少? （3）如果该县有15 000名初中学生，那么请估算该县“每天完成书面作业的时间不超过90 min”的初中学生人数. （4）请回答你每天完成书面作业的时间属于哪个选项，并对老师的书面作业布置提出合理化建议. 答案解析部分 1．【答案】（1）证明：∵∠CFE=∠DFB=125°，∠ACB=55°， ∴∠ACB+∠CFE=125°+55°=180°， ∴AC∥DE（同旁内角互补，两直线平行） （2）解：∵∠ACB＝60°，∠ACD＝130°， ∴∠BCD＝∠ACD−∠ACB＝70°， ∵AC∥DE， ∴∠A＝∠DEB（两直线平行，同位角相等）． ∵∠A＝∠D， ∴∠D＝∠DEB（等量代换）， ∴CD∥AB． ∴∠B＝∠BCD＝70°． 2．【答案】同旁内角互补，两直线平行；E；两直线平行，内错角相等；2；同位角相等，两直线平行 3．【答案】解：①③ ； ② 证明： ∵DE∥BA ∴∠FDE=∠BFD ∵DF∥CA ∴∠A=∠BFD ∴∠FDE=∠A 4．【答案】（1）解：①∵PM∥QN， ∴∠PQN=∠P=55°，∠AMP=∠AHN； ②延长NQ交AB于点H，如图， ∵AB∥CD， ∴∠AHN=∠HND， ∴∠AMP=∠QND； （2）α+20° （3）解：过点P作PK∥AB，过点Q作QT∥CD，如图， ∵AB∥CD，QT∥CD，PK∥AB，∠AMP=β，∠QND=θ， ∴QT∥PK，∠AMP=∠MPK=β，∠TQN=∠QND=θ， ∴∠PQT=∠QPK， ∵∠PQN=∠PQT+∠TQN，∠MPQ=∠MPK+∠KPQ， ∴∠PQN=∠PQT+θ，∠MPQ=β+∠KPQ， ∵∠PQT=∠QPK， ∴∠MPQ-∠PQN=β-θ． 5．【答案】（1）解： ∴x+2=±4， （2）解： 6．【答案】（1）4； （2）解： 的整数部分是4，小数部分是 的整数部分是13，小数部分是 所以x+1=±1 解得： 7．【答案】（1）-2；3 （2）解：由题意可得：， ∴． ∵，， ∴， ∵ ∴ 8．【答案】（1）5 （2）解：因为 且36<39<49，所以 所以 的整数部分是6。 取a=6，由ab=39，可得 将a=6，b=6.5代入估算公式 可得： 答： 的值为6.25. ​​​​​​ 9．【答案】（1）解：由题意得： 解得 （2）解：由题意得： 解得 ∴点的坐标为 10．【答案】（1）解：画出相应的平面直角坐标系如解图所示. （2）点C的坐标 点D的坐标 （3）如解图，点E即为所求. 11．【答案】（1）3；7 （2）解：根据定义及点所在象限可知：点C，D(-6，5)两点为“等距点”，|-6|>|5|， ∴|2k+3|=-6 由条件可知2k+3<0， ∴2k+3=-6 解得k=-4.5 12．【答案】（1）解：，， （2）解：如图，过点C作轴于点G，过点A作于点F， ∵，，， ∴， ∴， ， ， ， 设点E的坐标为，则， ∴， ∵三角形的面积是三角形面积的2倍， ∴， 解得：或， 即点E的横坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， ∵点Q在线段上， ∴， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， 联立，得：， 解得：， ∵三角形与三角形的面积差为2， ∴或， ∴或， 解得：或， ∴或， ∴当时， 当时， ∴点Q的坐标为或． 13．【答案】（1）解： 把①代入②，得3x+2x-3=7， 移项、合并同类项，得5x=10， 解得：x=2， 把x=2代入①，得y=2×2-3=1， ∴方程组的解为 （2）解： ②×2，得6x+4y=6③， ③-①， 得x=2， 把x= 2代入②， 得：3×2+2y=3， 解得： ∴方程组的解为. 14．【答案】（1）甲种笔记本单价为元，乙种笔记本的单价为元； （2）共有种购买方案：买甲种笔记本本，乙种笔记本本，买甲种笔记本本，乙种笔记本本，买甲种笔记本本，乙种笔记本本． 15．【答案】解：设小长方形的长为 x米，宽为 y米， 依题意得： 解得： ∴实践基地的面积为：2x-（x+y)=2×15×（15+6)=630（平方米). 答：该实践基地的面积为 630平方米. 16．【答案】（1）解：由题得 解得 （2）解：由题得 两式相减得(a-c)x=c-a 由a≠c知a-c≠0，两边除以a-c得x=-1 所以的x值与a、b、c无关 17．【答案】解：移项，得： 4x-3x≥2+1， 合并同类项，得：x≥3， 所以x≥3是原不等式的解， 在数轴上表示为： 18．【答案】（1）x≤3 （2）x≥-2 （3） （4）- 2≤x≤3. 19．【答案】（1）解：当原价元时，线下花费：（元）， 线上花费：（元）， 因为，且（元）， 答：选择线上方案更省钱，省了元． （2）解：当时，线下花费元，线上仅满个元，实际花费为元， ∵线下方案比线上方案更省钱， ∴， 解得：， ∴， 答：当时，线下方案比线上方案更省钱． （3）解：预算不超过元，即线上实际花费不超过元， 分类讨论： 当时，无优惠，实际花费，此时； 当时，优惠元，则，解得，此时； 当时，优惠元，得，解得，此时； 当时，优惠元，得，解得，此时； 当时，优惠元，得，解得，此时； 比较所有情况可得，的最大值为元． 答：原价的最大值为元． 20．【答案】（1）①③ （2）x-1=0 （3）解： 得： m<x≤m+2. 方程 2x-1=x+2的解为 x=3，方程的解为 x=2. ∴m的取值范围为 1≤m<2. 21．【答案】（1）解：第4组的频数是0.28×50＝14． （2）解：第5组频率为1－0.04－0.12－0.4－0.28＝0.16（或8÷50=0.16）． （3）解：由统计图可知170～180这一组频数最大． （4）解：由（1）得第4组的频数为14，所以补全频数直方图如图所示： ​​​​​​​ 22．【答案】（1）解：本次抽取的样本水稻秧苗的株数为：（株）； （2）解：苗高为的秧苗的株数有（株）， 苗高为的秧苗的株数有（株）， 补全统计图如下： 23．【答案】（1）30 （2）解：第三个月A、B两款洗碗机的销量为：（台）， 从折线图可知，第三个月A款洗碗机的销量为50台， 第三个月B款洗碗机的销量为（台）； 第四个月B款洗碗机的销量为：（台）， 补全洗碗机月销量的折线统计图如下： （3）解：该商店应选择B款洗碗机进行经销；理由是B款洗碗机的销量逐月递增，而A款洗碗机的销量有下降趋势． 24．【答案】（1）24÷24%-56-24-12=8. 答：此次调查，选择选项A的学生人数是8. （2）360°×=43.2°. 答：在扇形统计图中，选项D所对应的扇形圆心角的度数为43.2°. （3）15 000×=9 600. 答：估计该县“每天完成书面作业的时间不超过90 min”的初中学生人数为9 600. （4）作业量再C等级，可以适当减少作业量；答案不唯一，合理即可. 学科网（北京）股份有限公司 $