精品解析：上海市民立中学2025～2026学年高一下学期期末考试数学模拟测试

高一下学期期末考试数学模拟测试 一、填空题（本大题共10个小题，1~8题每题5分，9~10题每题6分，满分52分） 1. 已知某扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为______. 2. 甲新入职某公司，已知该公司对新入职人员约定：第一年收入为5万元，以后每年收入都是上一年的1.02倍，则依此约定，甲工作10年的总收入约为________万元.（精确到1万元） 3. 已知， 的值为_________. 4. 在复平面上，复数，对应的点分别为A、B，O为坐标原点，则_________. 5. 函数的最小正周期为______． 6. 若，则与的夹角为___________ 7. 在复数范围内分解因式=_______________. 8. 设点P是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置出发，沿单位圆按逆时针方向转动角后到达点，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角到达．若点的横坐标为，则点的纵坐标为______． 9. 设，是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为，则在的斜坐标系中，，.则下列结论中，正确的是__________________（填序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④； 10. 已知函数，则当时，函数的值域为_____________． 二、选择题（本大题共4个小题，每题6分，满分24分） 11. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 12. 数列，，（），若是递增数列，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 13. 如图是一大观览车的示意图，已知观览车轮半径为80米，观览车中心到地面的距离为82米，观览车每30分钟沿逆时针方向转动1圈.若是从距地面42米时开始计算时间时的初始位置，以观览车的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设从点运动到点时所经过的时间为t（单位：分钟），且此时点P距离地面的高度为h（单位：米），则h关于t的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 14. 欧拉公式（其中，为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式，下列结论中正确的是（ ） A. 的实部为 B. 在复平面内对应的点在第一象限 C. D. 的共轭复数为 三、解答题（本大题共5个小题，满分74分，13+13+14+16+18） 15. 设数列是等比数列，已知，. （1）求； （2）若，证明数列是等差数列，并求其前项和的最小值. 16. 在复平面内，复数，对应的点分别为，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”. （1）求实数； （2）定义复数的一种运算“”：，求. 17. 如图，某学校兴趣小组欲测量湖泊对岸两座建筑物C、D之间的距离.他们在湖边选取了两个观测点A和B，并测得A、B两点间的距离为200米.已知A、B、C、D在同一水平面上. （1）若，，求观测点A到建筑物D的距离（即线段AD的长）. （2）假设你只携带了一个测角仪（可以测量以你为顶点的水平角），请设计一个方案，通过测量必要的角来计算建筑物C、D之间的距离（即线段CD的长度）. 要求：①写出你需要测量的角，测出的值用希腊字母等表示； ②利用你测量的角和已知边长AB，写出CD长的表达式（不需要化简）. 18. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． （1）已知，求； （2）（ⅰ）设向量的夹角为，证明：； （ⅱ）已知非零向量满足，求． 19. 已知， （1）指出函数的奇偶性、单调区间、最值和最小正周期（不必证明），并用“五点法”作出该函数在一个周期内的大致图像 （2）利用正弦函数与余弦函数的性质，证明：函数在是严格增函数. （3）讨论方程在上解的情况. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期期末考试数学模拟测试 一、填空题（本大题共10个小题，1~8题每题5分，9~10题每题6分，满分52分） 1. 已知某扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用扇形面积公式可求得该扇形的面积. 【详解】因为某扇形的圆心角为，半径为，该扇形的面积为. 故答案为：. 2. 甲新入职某公司，已知该公司对新入职人员约定：第一年收入为5万元，以后每年收入都是上一年的1.02倍，则依此约定，甲工作10年的总收入约为________万元.（精确到1万元） 【答案】55 【解析】 【分析】由已知每年收入都是上一年的1.02倍，可得每年收入是以5为首项，公比为的等比数列，求和即可. 【详解】由已知每年收入都是上一年的1.02倍，可得每年收入是以5为首项，公比为的等比数列， 所以甲工作10年的总收入约为万元. 故答案为：55. 3. 已知， 的值为_________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用诱导公式化简，结合齐次式代入计算即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：2. 4. 在复平面上，复数，对应的点分别为A、B，O为坐标原点，则_________. 【答案】1 【解析】 【分析】由复数几何意义即可得A、B两点坐标，再由向量坐标形式的数量积公式即可求解. 【详解】由题得， 所以. 故答案为：1. 5. 函数的最小正周期为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由正切型函数周期性定义计算即可得. 【详解】由正切型函数性质可知. 故答案为：. 6. 若，则与的夹角为___________ 【答案】 【解析】 【分析】两边平方，化简得到，计算得到答案. 【详解】 则 故答案为： 【点睛】本题考查了向量夹角的计算，意在考查学生的计算能力. 7. 在复数范围内分解因式=_______________. 【答案】 【解析】 【分析】先求得的根，然后进行因式分解. 【详解】由得， 解得， 所以. 故答案为： 8. 设点P是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置出发，沿单位圆按逆时针方向转动角后到达点，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角到达．若点的横坐标为，则点的纵坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】由在单位圆上，得到的坐标，再根据三角函数的定义得出的值，从而求出的值，在运用两角差的余弦公式求解. 【详解】由题可知，因为， 所以 . 故答案为： 9. 设，是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为，则在的斜坐标系中，，.则下列结论中，正确的是__________________（填序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④； 【答案】① 【解析】 【分析】对于①，由平行可得，进而得到，即；对于②，由向量模长的运算判断；对于③，由题可得，再根据数量积的运算律求解即可；对于④，直接根据向量的加法运算及新定义即可判断． 【详解】对于①，若，则存在唯一的，满足，即， 又不共线，，整理得，故①正确； 对于②，因， 由， 可得 ，因不能恒成立，故②错误； 对于③，若，则. 即 ，故③错误； 对于④， ，故④错误． 10. 已知函数，则当时，函数的值域为_____________． 【答案】 【解析】 【详解】， 当时，，， 故的值域为. 二、选择题（本大题共4个小题，每题6分，满分24分） 11. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦的二倍角公式，求出结果. 【详解】由二倍角公式得. 故选：D. 12. 数列，，（），若是递增数列，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】在数列，，由是递增数列， 得，， 而当时，，则， 所以的取值范围是. 13. 如图是一大观览车的示意图，已知观览车轮半径为80米，观览车中心到地面的距离为82米，观览车每30分钟沿逆时针方向转动1圈.若是从距地面42米时开始计算时间时的初始位置，以观览车的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设从点运动到点时所经过的时间为t（单位：分钟），且此时点P距离地面的高度为h（单位：米），则h关于t的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出观览车的角速度，再求出对应的角，根据三角函数的定义可的坐标，从而可求. 【详解】观览车的角速度为， 设，其中， 则，故，故， 故点的纵坐标为， 所以. 故选：A. 14. 欧拉公式（其中，为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式，下列结论中正确的是（ ） A. 的实部为 B. 在复平面内对应的点在第一象限 C. D. 的共轭复数为 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数实部定义、复数的几何意义、模长的计算和共轭复数定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，则实部为，A错误； 对于B，对应的点为， ，，对应的点位于第二象限，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，则其共轭复数为，D错误. 故选：C. 三、解答题（本大题共5个小题，满分74分，13+13+14+16+18） 15. 设数列是等比数列，已知，. （1）求； （2）若，证明数列是等差数列，并求其前项和的最小值. 【答案】（1） （2）证明：由，将变形为代入， 得. 计算相邻两项差值，结果为与无关的常数， 又， 故是首项为，公差为的等差数列. 根据等差数列前项和公式，. 根据二次函数性质，结合，可知当或时取得最小值， 代入计算得，， 即的最小值为. 【解析】 【分析】(1) 利用等比数列任意两项的推广关系求解公比，结合已知项计算首项，最终推导得到通项公式. (2) 通过对数运算化简得到的通项表达式，依据等差数列定义完成数列类型证明，再借助二次函数单调性求解前项和的最小值. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，由等比数列通项的推广性质得. 代入，，得，整理得，即. 由，得， 因此数列的通项公式为. 【小问2详解】 略 16. 在复平面内，复数，对应的点分别为，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”. （1）求实数； （2）定义复数的一种运算“”：，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算 ，再根据“理想复数”的概念计算即可 （2）由（1）可得复数 ，分别计算 ，按照计算即可 【小问1详解】 由题得 是“理想复数” 【小问2详解】 由（1）知，则 由 得 17. 如图，某学校兴趣小组欲测量湖泊对岸两座建筑物C、D之间的距离.他们在湖边选取了两个观测点A和B，并测得A、B两点间的距离为200米.已知A、B、C、D在同一水平面上. （1）若，，求观测点A到建筑物D的距离（即线段AD的长）. （2）假设你只携带了一个测角仪（可以测量以你为顶点的水平角），请设计一个方案，通过测量必要的角来计算建筑物C、D之间的距离（即线段CD的长度）. 要求：①写出你需要测量的角，测出的值用希腊字母等表示； ②利用你测量的角和已知边长AB，写出CD长的表达式（不需要化简）. 【答案】（1） 米 （2）测量，，，， （答案不唯一） 【解析】 【小问1详解】 在中，已知，，则， 由正弦定理可得， 故观测点A到建筑物D的距离为米. 【小问2详解】 若测量，，，， 在中，有， 由正弦定理可得. 在中，有， 由正弦定理可得. 在中，有， 由余弦定理可得， 代入上式整理可得. 18. 在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． （1）已知，求； （2）（ⅰ）设向量的夹角为，证明：； （ⅱ）已知非零向量满足，求． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）（ⅰ）由题意可得，再由同角的平方关系即可得证； （ⅱ）将已知条件代入可求得与的夹角为，再由（ⅰ）的结论即可得答案. 【小问1详解】 因为， 可得：． 【小问2详解】 （ⅰ）证明：因为 ， 且，则， 所以． （ⅱ）已知，则． 因为， 所以， 则可得：． 又因为， 所以，即． ， 将代入上式可得：． 设与的夹角为，， 根据向量的夹角公式． 因为， 所以． 因为，且，所以． 与的夹角为， 则． 19. 已知， （1）指出函数的奇偶性、单调区间、最值和最小正周期（不必证明），并用“五点法”作出该函数在一个周期内的大致图像 （2）利用正弦函数与余弦函数的性质，证明：函数在是严格增函数. （3）讨论方程在上解的情况. 【答案】（1）为非奇非偶函数； 的单调递增区间为，单调递减区间为； 最大值为，最小值为；最小正周期为； 该函数在一个周期内的大致图象为： （2）， 设且， 则， ， ，即，又， ，即， 因此，即， 所以函数在是严格增函数. （3）当时，方程有2个解； 当或时，方程无解； 当或时，方程有1个解. 【解析】 【分析】（1）利用奇偶函数的定义和正弦函数的性质即可求出； （2）利用正弦函数与余弦函数的性质，同时结合增函数的定义即可证明； （3）将方程在上解的问题转换成图象交点问题即可求解. 【小问1详解】 ， 又，故为非奇非偶函数， 令，解得； 令，解得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为. 最大值为，最小值为，最小正周期为， 令，取，对应， 故该函数在一个周期内的大致图象为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得， 当时，， ， 故当时，方程有2个解； 当或时，方程无解； 当或时，方程有1个解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $