精品解析：河北省邢台市翰林高级中学2024-2025学年高一下学期第五次质量检测数学试题

2024-2025学年高一下学期第五次质检 数学试题 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题. 3.选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡的相应位置，在试卷和草稿纸上答题无效. 第I卷选择题（共58分） 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 样本数据11，12，13，14，15，16，17，18，19，20第80百分位数是（ ） A. 18 B. 19 C. 18.5 D. 18或19 2. 已知某圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 某个家庭中有两个小孩，两个都是男孩的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 某学校为了了解本校教师课外阅读教育专著情况，对老年、中年、青年教师进行了分层抽样调查，已知老年、中年、青年教师分别有36人，48人，60人，若从中年教师中抽取了4人，则从青年教师中抽取的人数比从老年教师中抽取的人数多（ ） A. 5人 B. 4人 C. 3人 D. 2人 5. 一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（ ） A. 8 B. C. 16 D. 6. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称作鳖臑.如图，在鳖臑中，平面ABC，是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，且，则异面直线BC与SA所成角的大小为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 7. 在正三棱锥中，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥的顶点为，母线长为2，轴截面为，若为底面圆周上异于的一点，且二面角的大小为，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 二、多选题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得 部分分，有选错的得 0 分） 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 平行于同一条直线的两个平面平行 B. 平行于同一平面的两个平面平行 C. 平行于同一平面的两直线关系不确定 D. 两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面 10. 下列说法正确是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是 B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是 C. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为32 11. 已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A=“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B=“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（ ） A. 事件A与事件B的样本点数分别为12，8 B. 事件A，B间的关系为 C. 事件发生的概率为 D. 事件发生的概率为 第II卷 非选择题 （共92分） 三、填空题( 本大题 3小题，每小题 5 分，共 15 分) 12. 为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择自行车，他记录了次骑车所用时间（单位：分钟），得到频率分布直方图，则骑车时间的众数的估计值是_____分钟 13. 已知△ABC的平面直观图是边长为的正三角形，那么原△ABC的面积为 14. 如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中点，将分别沿BE，CE折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面CDE⊥平面BCE，则所得几何体ABCDE的外接球的体积为______． 四、解答题(本大题共 5小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明或演算过程） 15. 如图，在正方体中，E是中点. （1）求证：平面； （2）设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 16. 小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏,规则:小王先掷一枚骰子,向上的点数记为x;小李后掷一枚骰子,向上的点数记为y, (1)在直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点共有几个?试求点(x,y)落在直线x+y=7上的概率; (2)规定:若x+y≥10,则小王赢；若x+y≤4,则小李赢,其他情况不分输赢.试问这个游戏规则公平吗?请说明理由. 17. 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得．1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，其余均为不中奖．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为，，，求： （1）事件，，的概率； （2）1张奖券的中奖概率； （3）1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 18. 某报社发起“建党100周年”主题征文比赛，活动中收到了来自社会各界的大量文章，报社从中选取了60篇文章，打算以专栏形式在报纸上发表，已知这些文章的作者各不相同，且年龄都集中在内，根据统计结果，作出频率分布直方图如图所示. （1）估计这60名作者年龄的平均数；（同一组数据用该组所在区间的中点值作代表） （2）估计这60名作者年龄的中位数；（结果保留整数） （3）为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这60篇文章中抽出20篇文章，并邀请相应作者参加座谈会，若从参加座谈会的年龄在的作者中随机选出2人作为代表发言，求这2人中至少有1人的年龄在的概率. 19. 如图正方体棱长为2，是线段的中点，平面过点. （1）画出平面截正方体所得截面，并简要叙述理由或作图步骤； （2）求（1）中截面多边形的面积； （3）平面截正方体，把正方体分为两部分，求较小的部分与较大的部分的体积的比值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一下学期第五次质检 数学试题 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题. 3.选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡的相应位置，在试卷和草稿纸上答题无效. 第I卷选择题（共58分） 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 样本数据11，12，13，14，15，16，17，18，19，20的第80百分位数是（ ） A. 18 B. 19 C. 18.5 D. 18或19 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】共10个数．已经从小到大排列好，因为， 所以第80百分位数是第8个和第9个数的平均数，即18.5． 故选：C． 2. 已知某圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆台体积公式计算即得. 【详解】根据题意，可得该圆台的体积为: . 故选：B. 3. 某个家庭中有两个小孩，两个都是男孩的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法求得基本事件的总数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，有两个小孩的家庭，其小孩性别构成的所有基本事件共有{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}，共有4个， 设A＝“第一个男孩”，B＝“第二个也是男孩”，所以P(AB)＝. 故选：C. 4. 某学校为了了解本校教师课外阅读教育专著情况，对老年、中年、青年教师进行了分层抽样调查，已知老年、中年、青年教师分别有36人，48人，60人，若从中年教师中抽取了4人，则从青年教师中抽取的人数比从老年教师中抽取的人数多（ ） A. 5人 B. 4人 C. 3人 D. 2人 【答案】D 【解析】 【分析】设从老年教师和青年教师中抽取的人数分别是x，y，然后根据分层抽样的原理列方程，然后解方程求解即可. 【详解】设从老年教师和青年教师中抽取的人数分别是x，y.因为老年、中年、青年教师分别有36人，48人，60人，且从中年教师中抽取了4人，所以，解得，则. 故选：D. 5. 一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（ ） A. 8 B. C. 16 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的周长即可． 【详解】还原直观图为原图形如图所示， 因为，所以，还原回原图形后， ，， 所以， 所以原图形的周长为． 故选：C 6. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称作鳖臑.如图，在鳖臑中，平面ABC，是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，且，则异面直线BC与SA所成角的大小为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】将底面补形为正方形，找到异面直线BC与SA所成角的平面角，在求解即可. 【详解】作正方形，连接SD，则异面直线BC与SA所成角的平面角为 （或其补角），如图所示 由已知有平面ABC，所以 又因为， 则面SCD，因为, 所以面SCD，所以， 设则，， ，则， 所以 故选：C. 7. 在正三棱锥中，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出辅助线，得到或其补角是直线与所成的角，求出各边长，利用余弦定理求出答案.. 【详解】取棱的中点，连接，， 因为是的中点，所以，⊥， 则或其补角是直线与所成的角，. 由题中数据可知，，， 由勾股定理得， 在中，由余弦定理可得， 则， 故. 故选：A 8. 已知圆锥的顶点为，母线长为2，轴截面为，若为底面圆周上异于的一点，且二面角的大小为，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记为的中点，即可求出、，取的中点，连接，从而得到二面角的平面角为，即可求出、，再由勾股定理求出，即可得解. 【详解】如图所示，记为的中点，则垂直于底面，所以， 又， 所以，取的中点，连接， 显然有，即二面角的平面角为， 即，又， ，，则， 的面积为. 故选：A. 二、多选题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得 部分分，有选错的得 0 分） 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 平行于同一条直线的两个平面平行 B. 平行于同一平面的两个平面平行 C. 平行于同一平面的两直线关系不确定 D. 两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过举反例说明选项A错误，其它选项根据线面、面面平行的判定和性质直接判断即可. 【详解】对于A，如图，平行于同一条直线的两个平面相交, 故A错误； 对于B，平行于同一平面的两个平面平行正确，故B正确； 对于C，平行于同一平面的两直线关系不确定，可以平行，相交，也可以异面，故C正确； 对于D，根据两个平面平行的性质定理，两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面正确，故C正确； 故选：BCD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是 B. 已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是 C. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为32 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，根据简单随机抽样的特征，计算出相应的概率； B选项，根据平均数求出m，再利用方差公式进行计算即可； C选项，先对数据从小到大进行排序，再根据百分位数的计算方法计算即可； D选项，求出的方差，从而根据方差的性质计算出的方差，从而计算出标准差. 【详解】用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为，A正确； 已知一组数据1，2，m，6，7平均数为4， 所以，解得：， 所以， 则这组数据的方差是，B正确； 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10个数，从小到大排列12，13，14，15，17，19，23，24，27，30， 由于，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数， 即，所以第70百分位数是，C错误； 若样本数据的标准差为8，所以的方差为64， 则数据的方差为， 所以数据的标准差为，D错误. 故选：AB 11. 已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A=“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B=“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（ ） A. 事件A与事件B的样本点数分别为12，8 B. 事件A，B间的关系为 C. 事件发生的概率为 D. 事件发生的概率为 【答案】CD 【解析】 【分析】计算出所有结果数，分别列举出事件A、B的结果情况，即可判断选项A、B；根据古典概型的概率计算公式即可判断选项C、D. 【详解】解：由题用表示甲罐、乙罐中取小球标号的情况， 则所有的情况有：，， ，，共20种， 其中满足事件A结果有：，，， ，共11种， 其中满足事件B的结果有：，， ，共8种，故选项A错误； 因为事件B的结果均在事件A中包含，故，故选项B错误； 因为，所以的结果数有11种， 所以，故选项C正确； 因为，所以的结果数有8种， 故，故选项D正确. 故选：CD 第II卷 非选择题 （共92分） 三、填空题( 本大题 3小题，每小题 5 分，共 15 分) 12. 为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择自行车，他记录了次骑车所用时间（单位：分钟），得到频率分布直方图，则骑车时间的众数的估计值是_____分钟 【答案】 【解析】 【分析】利用最高矩形底边的中点值即为样本数据的众数可得结果. 【详解】由频率分布直方图可知，骑车时间的众数的估计值是分钟. 故答案为：. 13. 已知△ABC的平面直观图是边长为的正三角形，那么原△ABC的面积为 【答案】## 【解析】 【分析】根据原图和直观图的关系求得原图的面积. 【详解】直观图如下图所示，是边长为的正三角形，是的中点， ，过作，交轴于， 由于，所以是等腰直角三角形， 所以. 原图如下图所示，则三角形的高等于， 所以三角形的面积为. 故答案为： 14. 如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中点，将分别沿BE，CE折起，使得平面ABE⊥平面BCE，平面CDE⊥平面BCE，则所得几何体ABCDE的外接球的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】作出图形，确定几何体的外接球的球心的位置，结合球的体积公式即可求解 【详解】由题可得均为等腰直角三角形，如图， 设的中点为， 连接，则， 因为平面平面，平面平面， 所以平面平面， 易得， 则几何体的外接球的球心为，半径， 所以几何体的外接球的体积为． 故答案为： 四、解答题(本大题共 5小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明或演算过程） 15. 如图，在正方体中，E是的中点. （1）求证：平面； （2）设正方体棱长为1，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证，再用直线与平面平行的判定定理证明平面； （2）利用等体积法，求三棱锥的体积. 【小问1详解】 证明：因为在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为正方体的棱长是1，E是的中点，所以， 三角形ABC的面积， 三棱锥的体积. 16. 小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏,规则:小王先掷一枚骰子,向上的点数记为x;小李后掷一枚骰子,向上的点数记为y, (1)在直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点共有几个?试求点(x,y)落在直线x+y=7上的概率; (2)规定:若x+y≥10,则小王赢；若x+y≤4,则小李赢,其他情况不分输赢.试问这个游戏规则公平吗?请说明理由. 【答案】(1)36个，概率为；（2）公平． 【解析】 【分析】(1)根据题意判断为古典概型，所有的基本事件总数为36个，其中点落在直线上包含6种情况，故概率为P=； (2)由题意，判断x+y≥10和x+y≤4的概率是否相等即可，根据古典概型概率公式求解即可． 【详解】(1)因都可取1,2,3,4,5,6,故以为坐标的点共有6×6=36个. 记“点落在直线上”为事件A, 则事件A包含的点有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6个, 由古典概型概率公式可得事件A的概率为P(A)=. (2)记“x+y≥10”为事件B,“x+y≤4”为事件C,用数对(x,y)表示x,y的取值. 则事件B包含的基本事件为(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)，共6个数对; 事件C包含的基本事件为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)，共6个数对. 由(1)知基本事件总数为36个, 所以P(B)=，P(C)=, 所以小王、小李获胜的可能性相等,因此游戏规则是公平的. 17. 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得．1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，其余均为不中奖．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为，，，求： （1）事件，，的概率； （2）1张奖券的中奖概率； （3）1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 【答案】（1）事件，，的概率分别为，，； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用古典概型的概率计算公式，即可求解； （2）根据互斥事件的概率加法公式，即可求解； （3）根据对立事件的概率计算方法，即可求解． 【小问1详解】 由题意，每1000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个， 故，，； 【小问2详解】 1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖， 设“1张奖券中奖”这个事件为，则， ∵，，两两互斥， ∴． ∴1张奖券的中奖概率为； 【小问3详解】 设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件， 则事件与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件， ∴， ∴1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为． 18. 某报社发起“建党100周年”主题征文比赛，活动中收到了来自社会各界的大量文章，报社从中选取了60篇文章，打算以专栏形式在报纸上发表，已知这些文章的作者各不相同，且年龄都集中在内，根据统计结果，作出频率分布直方图如图所示. （1）估计这60名作者年龄的平均数；（同一组数据用该组所在区间的中点值作代表） （2）估计这60名作者年龄的中位数；（结果保留整数） （3）为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这60篇文章中抽出20篇文章，并邀请相应作者参加座谈会，若从参加座谈会的年龄在的作者中随机选出2人作为代表发言，求这2人中至少有1人的年龄在的概率. 【答案】（1）41.5 （2）42 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图频率之和为1求出，从而求出这60名作者年龄的平均数；（2）利用百分位数的计算公式计算出中位数；（3）利用列举法求解古典概型的概率. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知， 所以. 样本平均数的估计值. 【小问2详解】 因为前两组频率之和为，前三组频率之和为， 所以中位数在中， 中位数的估计值为. 【小问3详解】 由题可知抽出的20篇文章的作者中，年龄在的有2人，记为，年龄在的有3人，记为， 现从这5个人中选出2人，所有不同的结果有10种： 至少有1人的年龄在内对应的不同的结果有7种： 所以所求概率. 19. 如图正方体的棱长为2，是线段的中点，平面过点. （1）画出平面截正方体所得的截面，并简要叙述理由或作图步骤； （2）求（1）中截面多边形的面积； （3）平面截正方体，把正方体分为两部分，求较小的部分与较大的部分的体积的比值. 【答案】（1）截面见解析，理由或作图步骤见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，利用平行线的传递性可证得，可知四点共面，再由于三点不共线，可得出面即为平面截正方体所得的截面； （2）分析可知，四边形为等腰梯形，求出该等腰梯形的高，利用梯形的面积公式可求得截面面积； （3）利用台体的体积公式可求得三棱台的体积，并求出剩余部分几何体的体积，由此可得结果. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接. 因为是的中点，所以. 在正方体中，，， 所以四边形是平行四边形，所以，所以， 所以四点共面. 因为三点不共线，所以四点共面于平面， 所以面即为平面截正方体所得的截面. 【小问2详解】 由（1）可知，截面为梯形，， ，， 同理可得， 如图所示： 分别过点在平面内作，，垂足分别为点， 则，，， 所以，则， 因为，，，则四边形为矩形， 所以，，则， 所以， 故梯形的面积为. 【小问3详解】 多面体为三棱台，，， 该棱台的高为2，所以，该棱台的体积为 ， 故剩余部分的体积为. 故较小的那部分与较大的那部分的体积的比值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$