第1章 有理数2026-2027学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

**基本信息** 以“概念生成-性质探究-应用拓展”为主线，构建有理数知识体系，提炼“定义辨析-数形结合-规律迁移”三阶解题方法，强化抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |有理数概念|4类基础题|分类标准（定义/正负性）、相反意义量表示法|从自然数到有理数的数系扩展，明确0的分界作用| |数轴与绝对值|6类中档题|数轴三要素判断、绝对值非负性应用、“奇负偶正”符号化简|数轴作为数形结合载体，链接相反数与绝对值的几何意义| |大小比较与综合|5类优质题|作差/商法、距离公式、折叠对称规律|从基本法则到动态问题（动点/折叠），培养推理意识与应用能力|

第1章 有理数 思维导图 1.1 从自然数到有理数 1.1.1 自然数 自然数是人类最早认识的数，来源于计数和测量，在实际生活中自然数主要有两类应用：一是用来计数，比如统计班级人数、苹果个数；二是用来测量，比如测量课本长度、大楼高度；此外自然数还可以用来排序或者编号，比如排名、门牌号、学号等。 最小的自然数是0，没有最大的自然数，所有自然数都是整数，但整数不只有自然数，还包含负整数。 1.1.2 分数的产生与意义 在实际分配、测量过程中，当结果无法用自然数表示时，就产生了分数。分数可以转化为小数，所有分数都可以写成两个整数相除的形式，因此都可以表示为有限小数或无限循环小数；反过来，有限小数和无限循环小数也都可以转化为分数。 在实际问题中，百分数是分数的一种特殊形式，用来表示一个数是另一个数的百分之几，也叫百分率或百分比，通常不写成分数形式，采用百分号%表示。 1.1.3 正数与负数 为了表示具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量规定为正，用大于0的数表示，叫做正数；把与它意义相反的量规定为负，用在正数前面加上负号“-”的数表示，叫做负数。 需要注意：0既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界点。判断一个数的正负不能只看符号，比如-a不一定是负数，当a本身是负数时，-a就是正数。 常见的相反意义的量：收入与支出、盈利与亏损、上升与下降、向东与向西、增加与减少等。 1.1.4 有理数的分类 有理数可以按照定义和正负性两种方式分类： 分类标准 具体类别 按定义分类 有理数 ─ 整数：正整数、0、负整数 ─ 分数：正分数、负分数 按正负性分类 有理数 ─ 正有理数：正整数、正分数 ─ 0 ─ 负有理数：负整数、负分数 注意：所有有限小数和无限循环小数都属于分数，因此都是有理数；无限不循环小数不能转化为分数，不属于有理数（后续会学习这类无理数）。 常见概念辨析：①非负数：指正数和0；②非正数：指负数和0；③非正整数：指负整数和0；④非负整数：指正整数和0（也就是自然数）。 1.2 数轴 1.2.1 数轴的定义与三要素 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，因此数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 对三要素的说明：①原点：数轴上表示0的点，是数轴的基准点；②正方向：通常规定向右或者向上为正方向，用箭头表示；③单位长度：选取适当的长度作为单位长度，同一数轴上单位长度必须统一，不能出现不同长度代表同一个单位的情况。 1.2.2 数轴与有理数的关系 任意一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。一般来说，当数轴方向朝右时，原点左边的点表示负数，原点右边的点表示正数，原点表示0，也就是所有正数都在原点右侧，所有负数都在原点左侧。 注意：数轴上的点不都表示有理数，比如后面学习的无理数π也可以用数轴上的点表示，因此有理数和数轴上的点不是一一对应的关系。 1.2.3 数轴的应用 · 利用数轴可以比较有理数的大小：数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大； · 利用数轴可以直观表示相反意义的量，帮助理解相反数的概念； · 利用数轴可以解决距离、动点等实际问题，将数和形结合起来，简化思考过程。 1.3 绝对值 1.3.1 相反数 如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数是0。 相反数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数（0除外）的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。 相反数的性质：①若a和b互为相反数，则a + b = 0，反过来也成立，即如果a + b = 0，那么a和b互为相反数；②互为相反数的两个数绝对值相等；③相反数等于本身的数只有0。 多重符号化简：一个数前面的“-”号个数为奇数时，化简结果为负；“-”号个数为偶数时，化简结果为正，也就是“奇负偶正”。例如：-(-(-3))=-3，-(-(+3))=3。 1.3.2 绝对值的定义 一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，读作“a的绝对值”。 根据绝对值的定义，可以得到绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，写成公式就是： |a| = ｛ a（a>0），0（a=0），-a（a<0）｝ 也可以写成：|a| = ｛ a（a≥0），-a（a<0）｝，两种写法等价。 1.3.3 绝对值的性质 1. 绝对值具有非负性，任意一个数的绝对值都是非负数，也就是|a|≥0，当几个非负数的和为0时，每一个非负数都等于0，例如：若|a| + |b| = 0，则a = 0且b = 0； 2. 绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数，例如：若|x|=3，则x=3或x=-3； 3. 绝对值等于本身的数是正数和0（也就是非负数），绝对值等于它的相反数的数是负数和0（也就是非正数）； 4. 互为相反数的两个数绝对值相等，即|a|=|-a|。 1.4 有理数的大小比较 1.4.1 有理数大小比较的基本法则 1. 利用数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2. 根据正负性比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 3. 两个负数比较大小：绝对值大的反而小。 1.4.2 有理数大小比较的常用方法 · 作差法：对于两个有理数a、b，如果a - b > 0，那么a > b；如果a - b = 0，那么a = b；如果a - b < 0，那么a < b。 · 作商法：对于两个正有理数a、b，如果a/b > 1，那么a > b；如果a/b = 1，那么a = b；如果a/b < 1，那么a < b。 · 倒数法：对于两个同号的有理数，倒数大的数反而小，适合分子相同的分数比较大小。 【类型一】正负数的定义 1．下列各数中，是负数的是（     ） A．3 B．0 C． D．2.5 【答案】C 【分析】根据“小于0的数是负数”，逐一判断各选项即可得到答案. 【详解】解：∵ ， ∴3是正数， 故选项A不符合要求； ∵ 既不是正数也不是负数， 故选项B不符合要求； ∵ ， ∴是负数， 故选项C符合要求； ∵ ，∴2.5是正数， 故选项D不符合要求.综上. 2．下列说法中正确的是（   ） A．0是正数 B．0是负数 C．0不是自然数 D．0不是正数也不是负数 【答案】D 【分析】根据正数、负数、自然数的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：根据定义，大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不大于0也不小于0， ∴0不是正数，也不是负数， 故选项A、B不符合题意，选项D符合题意； ∵初中教材规定，0是自然数， ∴选项C不符合题意． 3．有理数中，正数有_____个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了有理数的分类，掌握正数就是大于0的数是解题的关键． 根据正数就是大于0的数逐个判断，然后统计即可解答． 【详解】解：有理数，0，20，，，，，中，正数有20，，，共3个． 故答案为：3． 【类型二】相反意义的量 1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若把气温零上记作，则表示气温为（     ） A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 【答案】B 【分析】根据题意，零上温度记为正，相反意义的零下温度就记为负，由此可得出结论． 【详解】解：∵将气温零上记作，即零上记为正， ∴与零上意义相反的零下记为负， ∴表示气温为零下． 2．某人转动转盘，如果用圈表示沿逆时针方向转了3圈，那么沿顺时针方向转了5圈记作（     ） A．圈 B．圈 C．圈 D．圈 【答案】A 【详解】解：∵顺时针方向与逆时针方向的意义相反， ∴如果用圈表示沿逆时针方向转了3圈，那么沿顺时针方向转了5圈记作圈． 3．为响应“体重管理年”的有关倡议，小秦对自己的体重进行了统计，若体重增加记为，那么体重减少应记为________． 【答案】 【分析】本题考查相反意义的量，增加与减少是一对相反意义的量，规定增加用正数表示，减少就用负数表示． 【详解】解：体重增加记为，即增加用正数表示，增加与减少是相反意义的量， 体重减少应用负数表示，应记为． 【类型三】有理数的定义 1．下列关于有理数的说法正确的是（   ） A．有理数分为正有理数和负有理数 B．整数分为正整数和负整数 C．有理数是可以写成两个整数之比（比的后项不为0）的数 D．0不是有理数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类与定义． 根据有理数的相关概念逐一判断选项正误． 【详解】解：有理数分为正有理数、0和负有理数，A选项错误； 整数分为正整数、0和负整数，B选项错误； 有理数是可以写成两个整数之比（比的后项不为0）的数，C选项正确； 0是有理数，D选项错误； 故选：C． 2．有下列一组数：，，，，0，，2025，则下列说法正确的是（   ） A．有理数有6个 B．是正数，不是分数 C．非正数有3个 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了有理数、正数、分数、非正数的定义，理解其定义是解题的关键． 根据相关知识点逐一判断各选项的正误． 【详解】解：A：整数和分数统称有理数，题目中的7个数均为有理数，故该选项不合题意； B：10.1是有限小数，属于分数，故该选项不合题意； C：非正数包含0和负数，则有，，，共3个，故该选项符合题意． 故选：C． 3．①正有理数包括正整数和正分数；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和0．以上说法中，正确的序号为_________． 【答案】①⑤/⑤① 【分析】根据有理数的分类，整数的定义，偶数和自然数的定义，逐一判断每个说法的正误，即可得到结果． 【详解】解：①根据正有理数的分类，正有理数包括正整数和正分数，该说法正确； ②整数是正整数、0、负整数的统称，原说法漏掉0，故该说法错误； ③有理数是整数和分数的统称，其中整数包含0， ∴有理数包括正整数、0、负整数、正分数、负分数，原说法漏掉0，故该说法错误； ④0是偶数，也是自然数，原说法错误； ⑤根据偶数的定义，偶数包括正偶数、负偶数和0，该说法正确． 【类型四】数轴三要素 1．下列选项中所画的数轴正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数轴的定义要求必须同时具备三个要素：原点、正方向、统一的单位长度； 【详解】解：选项A：没有画出正方向，不符合要求，错误； 选项B：没有标出原点，不符合要求，错误； 选项C：到0的单位长度和0到1、1到2的单位长度不一致，单位长度不统一，错误； 选项D：同时满足原点、正方向、统一单位长度三个要求，是正确的数轴． 2．判断下列图中所画的数轴正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，熟知数轴的三要素是正确解答此题的关键．根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度逐个判断即可． 【详解】解：（1）中没有原点，故错误； （2）符合数轴的三要素，故正确； （3）原点左边的数字、位置不对，故错误； （4）中单位长度不相等，故错误， 故选：B． 3．在直线下面的方框里填整数或小数，上面的方框里填分数． 【答案】见解析 【分析】本题考查数轴．根据数轴上的点表示整数或小数即可． 【详解】解：如图： 【类型五】相反数的定义 1．的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的相反数是． 2．如图，数轴上表示的相反数的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵的相反数为3， ∴对应数轴上的点． 3．如图，数轴上每格表示1个单位长度．若，两点表示的两个数互为相反数，则点表示的数是___________． 【答案】 【分析】此题考查了相反数，数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数． 首先根据，两点表示的两个数互为相反数和，两点之间的距离求出点A表示的数为，点B表示的数为3，然后根据点C的位置求解即可． 【详解】解：∵，两点表示的两个数互为相反数， ∴点A表示的数为，点B表示的数为3， ∴点C表示的数为． 故答案为：． 【类型六】绝对值的性质 1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的绝对值是（     ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：负数的绝对值等于它的相反数，是负数， ∴. 2．某商品的质量按照“超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数”．下面四个零件中，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：∵， ∴最接近标准质量的是选项C． 3．如果，则______，如果，则______．化简：______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的定义与化简，根据绝对值的性质求解即可. 绝对值等于一个正数的数有两个，且互为相反数，化简绝对值需先判断绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质去绝对值符号． 【详解】解：根据绝对值的定义，若，则. 当时， 解得． 当时， 由， 故， 因此． 因为，所以， 根据“负数的绝对值是它的相反数”，可得： ． 【类型七】有理数的大小比较 1．下列四个数中，最小的数是（     ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】先化简各选项中的数，再根据有理数大小比较规则，即可找出最小的数． 【详解】解：、， ， 最小的数是． 2．下面是某日几个城市的最低气温： 沈阳 北京 石家庄 海口 广州 气温最低的城市为（    ） A．北京 B．石家庄 C．沈阳 D．海口 【答案】C 【分析】本题考查有理数大小比较的实际应用，解题思路为比较给出的五个气温的大小，找到最小气温对应的城市即可． 【详解】解：∵负数小于正数，负数比较大小时，绝对值越大的数越小，又，，，且， ∴， ∴最低气温为，对应城市为沈阳． 3．比较大小：_____（请用“>”“=”“﹤”填写）． 【答案】> 【分析】先化简，再根据两个负数比较大小的法则：两个负数，绝对值大的其值反而小，即可判断． 【详解】解：，，， ， ，即． 【类型八】数轴上表示有理数并比较大小 1．在数轴上表示下列各题：并用“＜”号连接．3.5，，0，2，4， 【答案】解：在数轴上表示各数如图， 用“＜”号连接：， 【详解】略 2．画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：并将每个数用“”连接起来： 4，，，，0． 【答案】，． 【详解】略． 3．已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数且b在数轴上对应的点与原点的距离为3． (1)_____，_____． (2)在数轴上表示下列各数：，，，，，，并用“”把这些数连接起来． 【答案】(1)2， (2)数轴见解析， 【分析】（1）根据点在数轴上的位置，确定a的值，根据绝对值的意义，确定b的值； （2）先在数轴上表示出各数，根据数轴上的数右边的比左边的大，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵数a在数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3， ∴，； （2）解：，，， 在数轴上表示各数，如图： 用“”连接各数为：． 【类型九】有理数分类 1．把下列各数对应的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ 正数集合：{   …}； 分数集合：{   …}； 非负整数集合：{   …}． 【答案】正数集合：{①⑤…} 分数集合：{③④⑤⑦…} 非负整数集合：{①⑥…} 【分析】本题考查有理数的分类，需明确正数、分数、非负整数的定义，逐一判断各数所属类别后完成归类，即可求解． 【详解】解：正数是大于的数和都大于所以正数集合：{①⑤…} 分数包含正分数、负分数，有限小数与百分数也属于分数范畴、、、都满足分数的定义所以分数集合：{③④⑤⑦…} 非负整数是正整数和0，是正整数，属于非负整数所以非负整数集合：{①⑥…} 2．把下列有理数填在相应的集合内： 正有理数集合： 负有理数集合：． 整数集合：． 【答案】；； 【分析】本题考查了有理数的分类，解题的关键是熟练掌握正有理数、负有理数、整数的定义，根据正有理数、负有理数、整数的定义即可求解． 【详解】解：正有理数集合：； 负有理数集合：； 整数集合：， 故答案为：；；． 3．把下列各有理数填入相应的集合内： ，，0.6，，0，，． 负有理数集合：{                         …}； 整数集合：{                             …}； 负分数集合：{                           …}； 非负有理数集合：{                       …}． 【答案】；；； 【分析】本题考查了有理数的分类，根据负有理数、整数、负分数及非负有理数的定义将各有理数进行分类即可． 【详解】解：，， 负有理数集合：是负整数，属于负有理数；是负分数，属于负有理数；是负分数，属于负有理数；是负无限循环小数，属于负有理数， ∴负有理数集合为； 整数集合：是负整数，属于整数；0是整数；是正整数，属于整数， ∴整数集合为； 负分数集合：是负分数；是负分数；是负无限循环小数，可化为负分数，属于负分数， ∴负分数集合为； 非负有理数集合：0.6是正分数，属于非负有理数；0是非负有理数；是正整数，属于非负有理数， ∴非负有理数集合为． 【类型十】正负数的应用 1．外卖小哥小张某天骑电动车在东西走向的路上送外卖，往东行驶的路程记作正数，往西行驶的路程记作负数．全天行程的记录如下（单位：）： ，，，，，，，，，． (1)当小张将最后一个外卖送到目的地时，距出发地的距离为多少千米？ (2)若小张的电动车充满电能行驶，在该电动车一开始充满电而途中不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 【答案】(1)4千米 (2)他能完成上面的行程，理由见解析 【分析】本题考查了正负数的实际应用，正负数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）把行程中的正负数相加即可解答； （2）求出所行驶的路程后进行比较即可． 【详解】（1）解：， 答：当小张将最后一个外卖送到目的地时，距出发地的距离为4千米． （2）解：， 因此他能完成上面的行程． 2．出租车司机小李新年这天从鼓楼出发，上午营运时是在南北走向的大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午所接的六位乘客的行车里程（单位：）如下： ． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车耗油量为（升/千米），这天上午小李接送乘客，出租车共耗油多少升？ (3)若出租车起步价为元，起步里程为（包括3km），超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【答案】(1)鼓楼以北处 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法和正负数的意义，有理数的运算在实际问题中的应用，包括位置的确定、耗油量的计算以及车费的计算． ()先将这几个数相加，根据题干规定，若和为正，则在出发点的南方；若和为负，则在出发点的北方；； ()将这几个数的绝对值相加，再乘以耗油量，即可得出答案； ()分别计算六次行程的车费后求和，即可． 【详解】（1）解：． 答：将最后一位乘客送到目的地时，小李在鼓楼以北处． （2）， ， 答：出租车共耗油． （3）第次里程，车费元； 第次里程，车费元； 第次里程，车费元； 第次里程，车费元； 第次里程，车费元； 第次里程，车费元； 总车费为(元)． 答：小李这天上午共得车费元． 3．在机器人社团活动中，小明通过编程使一只电子蚂蚁从点处出发，在一直线上连续匀速左右爬行6趟，若向右爬行记为正，向左爬行记为负．电子蚂蚁爬行情况依次记为（单位：厘米）：，，，，，． (1)电子蚂蚁最后位于起点的右侧还是左侧？距起点多少厘米？ (2)电子蚂蚁离开起点最远是多少厘米？ (3)若电子蚂蚁共用了28秒完成上面的路程，求电子蚂蚁的速度． 【答案】(1)电子蚂蚁最后位于起点的左侧，距起点是4厘米 (2)电子蚂蚁离开起点最远是14厘米 (3)电子蚂蚁的速度为1.5厘米/秒 【分析】本题考查正负数的概念，关键是掌握正负数表示的实际意义． （1）各数据相加来求解； （2）通过计算，即可解决问题； （3）计算出电子蚂蚁爬行的总路程即可求解． 【详解】（1）解：， 所以电子蚂蚁最后位于起点的左侧，距起点是4厘米． （2）解：，，，，， 即电子蚂蚁离开起点最远是14厘米． （3）解：，（厘米/秒）， 即电子蚂蚁的速度为厘米/秒． 【类型一】绝对值的非负性 1．如果，那么的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数和的绝对值是它的相反数，根据绝对值性质确定的取值范围，再结合选项即可得到答案． 【详解】解：∵ ，即为非正数， A、，正数，不符合题意； B、，正数，不符合题意； C、，负数，符合题意； D、，正数，不符合题意． 2．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的非负性，理解“几个非负数的和为，则每个非负数均为”是解题关键． 两个非负数的和为零，则每个非负数都为零，据此算出、，进而求出． 【详解】解：∵且，且， ∴且， ∴且， ∴，， ∴． 故选：． 3．若，则_____ ． 【答案】1 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，根据题意得出、的值是解题关键．根据绝对值和平方的非负性，两者和为零则各自为零，列出方程组求解，再代入计算求值即可． 【详解】解：，且，， ，， ，， ，， ， 故答案为： 【类型二】点在数轴上的平移 1．如图，数轴上的点P向右移动3个单位长度，移动后的点对应的数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】解：∵数轴上的点P表示的数是，将点P向右移动3个单位长度， ∴移动后的点对应的数为． 2．在数轴上，点表示，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度到达点，则点表示的数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的点移动，掌握“右加左减”的规则是解题关键． 根据数轴上点的移动规则，向右移动几个单位长度加几，向左移动几个单位长度减几，逐步计算即可． 【详解】解：∵点表示，向右移动个单位长度， ∴移动后位置为：， ∵再向左移动个单位长度， ∴点表示的数为：． 故选：． 3．已知在数轴l上，一动点Q从原点O出发，沿直线l以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…… 则5秒钟后动点Q点表示的数为__________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴和数字类规律，解题的关键是掌握用数轴表示有理数． 动点Q的移动步骤依次进行，每次移动的长度为n单位，方向为奇数次向右、偶数次向左，每次移动所需时间为秒，计算前4次移动的累计时间恰好为5秒，因此5秒时Q点刚好完成前4次移动，根据移动序列计算最终位置即可． 【详解】解：第1次移动：向右移动1单位，位置变为 ； 第2次移动：向左移动2单位，位置变为 ； 第3次移动：向右移动3单位，位置变为 ； 第4次移动：向左移动4单位，位置变为 。 累计时间：秒，恰好完成4次移动， 故5秒后动点Q表示的数为， 故答案为：． 【类型三】字母在数轴上比较大小 1．如图，数轴上点A，B，C表示的数是分别是，，，下列判断错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由数轴可知： 错误． 2．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．把，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据数轴可得，且 ∴． 3．有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将，，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接___________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．根据数轴的性质可得，，则可得，，由此即可得． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【类型四】数轴上两点之间的距离 1．在数轴上，表示的点到原点的距离为（    ） A． B． C．4 D．-4 【答案】A 【详解】解：∵数轴上，表示数的点到原点的距离等于， ∴表示的点到原点的距离为． 2．在数轴上A、B两点分别表示的数是2和8，在数轴上，点A右侧有另外一点P，且P到A、B的距离和是10，则点P表示的数是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】设点表示的数为，根据在点右侧，分在、之间和在右侧两种情况，利用数轴上两点间距离的性质列方程求解即可. 【详解】解：设点表示的数为， ∵点在点右侧， ∴， ①当点在、之间，即时， 由数轴上点的位置关系可得，，， ∵， ∴该情况不符合题意； ②当点在点右侧，即时， 可得，， ∴， 解得，符合题意； 综上，点表示的数为. 3．点O、A、B、C在数轴的位置如图所示，其中点A，B到原点O的距离相等，点A、C之间的距离为2．若点C表示的数为x，则点B所表示的数为_______________． 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式，数轴上两点距离，数形结合是解题的关键． 根据点表示的数为，点之间的距离为，求得表示的数，根据点到原点的距离相等，即可求得点所表示的数． 【详解】解：∵点表示的数为，点之间的距离为， ∴根据数轴可知：表示的数为， ∵点到原点的距离相等， ∴点所表示的数为， 故答案为：． 【类型五】化简多重符号 1．化简的结果是（     ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相反数的性质即可得出结果． 【详解】解：． 2．下列各对数中互为相反数的有（   ） （1）与        （2）与 （3）与        （4）与 （5）与    （6）与 A．对 B．对 C．对 D．对 【答案】B 【分析】先根据去括号法则化简每组中的两个数，再根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，逐一判断，统计符合条件的对数即可． 【详解】解：（）与只有符号不同，互为相反数； （），与互为相反数，即：与互为相反数； （），，与互为相反数，即：与互为相反数； （），，两数相等，即：与不是互为相反数； （），，与互为相反数，即：与互为相反数； （），，与互为相反数，即：与互为相反数； 综上，共有对互为相反数． 3．化简下列各数： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多重符号的化简，解题的关键是掌握多重符号的化简法则． 根据多重符号化简的法则，化简结果的符号由负号的个数决定：如果负号的个数为偶数，结果为正；如果负号的个数为奇数，结果为负． 【详解】解：（1） =3， 故答案为：3； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为：． 【类型六】数轴与刻度尺结合 1．如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上和分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上对应数轴上的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离． 根据数轴上两点间的距离公式进行计算即可． 【详解】解：刻度尺上和分别对应数轴上的3和0， 即刻度尺和数轴的单位长度相同， ∵刻度尺上对应数轴上的0， ∴刻度尺上对应数轴上的数为． 故选：B． 2．如图，某同学用刻度尺画数轴，数轴的点A，B分别对应刻度尺上色“”和“”．若点A在数轴上表示的数为，刻度尺上的“”对应的数轴上的点表示的数为．则点B在数轴上表示的数为（  ） A．12 B．18 C．14 D．10 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算及数轴，由题意求得数轴的单位长度代表刻度尺上的距离是解题的关键．根据题意先求得数轴的单位长度代表刻度尺上的距离，然后列式计算即可． 【详解】解：由题意可得， 即数轴的单位长度对应刻度尺上的， 则， 则刻度尺上点B对应数轴上的点表示的数是14， 故选：C． 3．如图，小颖借助刻度尺画了一条数轴，原点和单位1分别与刻度尺的9.5和11对齐，则刻度尺上5对应数轴上的点表示的有理数为___________. 【答案】 【分析】本题考查了数轴，由图可得刻度尺上的对应数轴1个单位长度，根据点A在原点O的左侧个单位长度处，即可得点A对应的有理数． 【详解】解：观察数轴图可得，O为原点，原点和单位1距离， 则刻度尺上的对应数轴1个单位长度， ∵点A与点O距离， ∴点A在原点O的左侧个单位长度处， ∴数轴上点A对应的有理数为． 故答案为：． 【类型一】数轴上点的规律 1．正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正六边形在数轴上的翻转规律探究，关键是找出向左翻转顶点的循环规律．首先根据已知条件列举前几次翻转顶点对应的负数，发现每6个为一个循环，循环内顶点依次为、、、、、；再通过计算除以的余数，结合循环规律确定对应的顶点． 【详解】解：根据题意，第1次点对应，第2次点对应，第3次点对应，第4次点对应，第5次点对应，第6次点对应，第7次点对应， 由此可得，每次翻转对应的顶点为一个循环，循环内顶点顺序为、、、、、． 数轴上所对应的顶点是正六边形经过次翻转得到的， 计算， 根据循环规律，余数为时对应的顶点是， 因此数轴上所对应的顶点是． 故选：B． 2．正方形在数轴上的位置如图所示，点A和点D对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数是1；翻转2次后，点C对应的数是3…；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键． 由题意先找出对应点与数的规律，再求出翻转的次数，最后可确定出2027所对应的点． 【详解】解：由题意可知：数轴上的数1，3，5，7，9，11，13，15，， 所对应的点为B，C，D，A，B，C，D，A，， 所以从数1对应的点开始，连续奇数对应的点按B，C，D，A循环， 由得，， 因为余2，所以数轴上数2027所对应的点是点C， 故选：C． 3．如图，数轴上O、A两点的距离为9，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（n≥3，n是整数）处，则经过这样2026次跳动后的点与点O的距离是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离．先根据规律得出各点表示的数，进而求出点2026次跳动的点表示的数，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得， 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， …， 点表示的数为， ∴点表示的数为． ∴点与点O的距离是：． 故答案为：． 【类型二】圆在数轴上滚动问题 1．如图，把周长为4个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，，，，四点将圆四等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，滚动一次则点与数轴上表示2的点重合，滚动第二次点与数轴上表示3的点重合，滚动第3次点与数轴上表示4的点重合，…，在滚动过程中，数轴上的数2027与点（   ）重合． A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的规律问题，根据圆的滚动规律可知4次一个循环，用2027除以4，取余数，进行判断即可． 【详解】解：由题意，圆沿着数轴正方向滚动一圈按D，B，A，C的顺序排列： ， ∴数轴上的数2027与点重合； 故选A． 2．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点到达点的位置，则点表示的数是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离、点所对应的数等知识点，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离是两数之差的绝对值是解题的关键． 根据圆的周长公式得到圆滚动的长度，分两种情况结合数轴上两点间距离即可解答． 【详解】解：由题意可得，点A滚动长度为：， ∴往右滚动1周对应的数为：，往左滚动1周对应的数为：， ∴点表示的数是：或． 故选D． 3．如图所示，半径为单位1的圆从数轴上表示1的点沿着数轴无滑动地逆时针滚动两周到达点，则点表示的数是______． 【答案】 【分析】本题查了数轴上的点表示数，圆的周长. 先求出，即可求出，再根据点A在原点的左侧是负数得出答案． 【详解】∵圆的半径是1，半径为单位1的圆从数轴上表示1的点沿着数轴无滑动地逆时针滚动两周到达点， ∴， ∴． ∵点A在原点的左侧， ∴点A表示的数是． 故答案为：． 【类型三】数轴折叠对称问题 1． 平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化． (1)平移运动 ①如图，把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 ． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2022次时，求落在数轴上的点表示的数． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2022的点与表示______的点重合． ②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示_____，B点表示_____． ③若数轴上折叠重合的两点的数分别为，折叠中间点表示的数为______．（用含有的式子表示） 【答案】(1)①②1011 (2)①②，1012③ 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，数轴，熟练掌握折叠的性质和数轴的特征是解题的关键． （1）①通过向负方向移动为“”，向正方向移动为“”，直接计算即可； ②通过向负方向移动为“”，向正方向移动为“”，直接计算即可； （2）①先通过已知条件得到折叠点，再通过“重合的两点到折叠点的距离相等”可得到答案； ②通过“重合的两点到折叠点的距离相等”，用折叠点坐标减去距离得到左边的点，加上距离得到右边点； ③利用中点坐标公式即可解决问题． 【详解】解：（1）①向负方向移动为“”，向正方向移动为“”， ∴． ②． ∴当它跳2022次时，求落在数轴上的点表示的数为． （2）①∵表示的点与表示3的点重合， ∴折叠中间点表示的数为， ∵， ∴． ∴若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2022的点与表示的点重合． 故答案为：； ②∵数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同）， ∴折叠中间点表示的数为1． ∵A、B两点经折叠后重合， ∴A点表示的数为：，B点表示的数为：． 则A点表示，B点表示1012． 故答案为：，1012； ③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为． 故答案为：． 2．操作与尝试：在纸面上有如图所示的数轴，折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合，    探究与应用：现打开纸面后，再次折叠，使数轴上数表示的点与数0表示的点重合．数轴上、两点折叠后重合，、两点折叠后重合 (1)则数轴上数3表示的点与数______表示的点重合； (2)若点到原点的距离是5个单位长度，求点表示的数； (3)若数轴上、两点之间的距离为2024，如果点表示的数比点表示的数大，求点、点表示的数 【答案】(1) (2)B点表示的数是或1； (3)M点表示的数是，N点表示的数是． 【分析】本题主要考查的是数轴的认识，数轴上两点之间的距离，点的对称性． （1）数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称，，而； （2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或，分两种情况讨论，即可得到B点表示的数； （3）依据M、N两点之间的距离为2024，并且M、N两点经折叠后重合，M点表示的数比N点表示的数大，即可得到M点表示的数． 【详解】（1）解：∵数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称， ，而， ∴数轴上数3表示的点与数表示的点重合． 故答案为：； （2）解：点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或， ∵A、B两点经折叠后重合， ∴当点A表示时，，， 当点A表示5时，，， ∴B点表示的数是或1； （3）解：M、N两点之间的距离为2024，并且M、N两点经折叠后重合， ∴，， 又∵M点表示的数比N点表示的数大， ∴M点表示的数是，N点表示的数是． 3．【阅读】表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）数轴上表示与的两点之间的距离是______． （2）若，则______； 【折叠】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： （3）折叠纸面，若表示的点和表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合． （4）折叠纸面，若表示的点和表示的点重合，则有： ①表示的点和______表示的点重合； ②这时如果，（在的左侧）两点之间的距离为，且，两点经折叠后重合，则点和点表示的数分别是多少？ 【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）①；②点所表示的数为，点所表示的数为 【分析】（1）根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （2）①根据数轴上两点距离的计算方法列方程求解即可；②确定的取值范围后再进行计算即可； （3）求出折合点所表示的数，再根据数轴上两点距离的计算方法列方程求解即可； （4）①求出折合点所表示的数，再根据数轴上两点距离的计算方法列方程求解即可；②求出折合点所表示的数，再根据数轴上两点距离的计算方法列方程组求解即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2），即， 或，解得或， 故答案为：或； （3）由于折叠纸面，若表示的点和表示的点重合，则折合点所表示的数为， 设表示的点与所表示的点重合，则有：，解得， 故答案为：； （4）由于折叠纸面，若表示的点和表示的点重合，则折合点所表示的数为， ①设所表示的点与所表示的点重合，则有：，解得， 故答案为：； ②设点所表示的数为，点所表示的数为，则有： ，，解得，， 即点所表示的数为，点所表示的数为． 【点睛】本题考查数轴表示数，绝对值，理解数轴表示数的方法以及绝对值的定义是正确解答的关键． 【类型四】绝对值的最值问题 1．在学习绝对值后，我们知道绝对值的几何意义，如：表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为． ［尝试运用］ （1）点在数轴上分别表示有理数，那么点到点的距离是______，点A到点的距离是______（直接填最后结果）； （2）点在数轴上分别表示有理数，那么点到点的距离与点到点C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； 【拓展探究】 （3）利用数轴探究： ①满足的的所有值是______； ②设，当时，的值是不变的，而且是的最小值，这个最小值是______；当x的值在______的范围时，的最小值是2，当的值取3时，的最小值是______； （4）试求的最小值． 【答案】（1）4，8 （2） （3）①5或②4，，4 （4） 【分析】本题考查绝对值，数轴，有理数的运算，掌握数轴表示数的方法以及数轴上两点距离的计算方法，理解绝对值的定义是正确解答的关键． （1）根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （2）根据数轴上两点距离的计算方法得到、之间的距离为，、之间的距离为即可； （3）①分，，三种情况进行解答；②根据的不同取值范围得出答案； （4）当时，的值最小，最小值为． 【详解】解：（1）点，，在数轴上分别表示有理数，，3，那么到的距离是，到的距离是， 故答案为：4，8； （2）点，，在数轴上分别表示有理数，，1，那么到的距离与到的距离之和可表示为， 故答案为：； （3）①当时，即，解得， 当时，即，解得， 当时，表示，3在数轴上对应的两点之间的距离为4，不可能为8，则此情况不成立； 故满足的的所有值是5或， 故答案为：5或； ②设，当时，的值不变，且是的最小值，最小值是， 当的值取在的范围时，的最小值是， 当的取值是3时，的最小值是， 故答案为：4，，4； （4）当时，的最小值为． 2．【用数学的眼光观察现实世界】若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，则．即表示5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【用数学的思维思考现实世界】 (1)点A、B表示的数分别为，2，则________，在数轴上可以理解为表示数x的点与表示数________的点的距离． (2)①求的最小值，并写出此时x的值． ②当x满足什么条件时，取得最小值，最小值是多少？ (3)当x取何值时，取得最小值，最小值是多少？ 【答案】(1)， (2)①当时，取得最小值7；②当时，取得最小值9； (3)14 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，化简绝对值，掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离解答即可； （2）根据数轴上两点间的距离解答即可； （3）根据数轴上两点间的距离解答即可． 【详解】（1）解：，在数轴上可以理解为表示数x的点与表示数的点的距离； 故答案为：，； （2）解：①表示到的距离与到2的距离以及到3的距离之和， 所以当时，的值最小为； ②∵表示到的距离与到3的距离之和， ∴当时，的值最小为； （3）解：∵表示到的距离3倍的与到5的距离的2倍之和， ∴x越接近，的值越小， ∴当时，的值最小为． 3．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）【探究问题】 如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x，因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是3． 填空： 若， 则x的值为 ； （2）【解决问题】 ①直接写出式子的最小值为 ； ②若代数式的最小值是2，则a的值为 ； （3）【实际应用】如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【答案】（1）1或3；（2）①6；②或；（3）当M在点F上时，四个点到M的距离之和最小，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握化简绝对值的方法． （1）根据绝对值的几何意义求解即可； （2）①根据当x在4和之间时，有最小值，化简绝对值即可求解； ②根据题意得，即可求解； （3）E、F、G、H分别在数轴上表示，，0，200，设M表示的数为x，距离之和为s，根据题意可知，当M在点F上时，E、F、G、H到M的距离之和最小，则E、F、G、H到M的最小距离之和为：，即可求解． 【详解】解：（1）表示x所对应的点与2所对应的点之间的距离为1， ∴或， 故答案为：1或3； （2）①表示x所对应的点到4和所对应的点的距离之和，当x在4和之间时，有最小值， ∴的最小值为， 故答案为：6； ②表示x所对应的点到和所对应的点的距离之和，当x在和之间时，有最小值，最小值为， ∵代数式的最小值是2， ∴， 解得：或， 故答案为：或； （3）如图所示，设M表示的数为x，距离之和为s， 则所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和为： 表示x所对应的点到、、、、、、七个点的距离之和， ∴奇数个点时取正中间的数时有最小值，即时，， ∴当M在点F上时，四个点到M的距离之和最小，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为． 【类型五】数轴动点求t 1．如图，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为10，15，．若点P从O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1)探究： 的长度为________；的长度为________． (2)应用： ①当时，点P对应的有理数为________，点Q对应的有理数为________ ②当时，点P对应的有理数为________，点Q对应的有理数为________ ③当时，点P对应的有理数为________，点Q对应的有理数为________ ④用含t的式子填空：点P对应的有理数为________，点Q对应的有理数为________ 【答案】(1)5，20 (2)①2，；②5，5；③7，9；④， 【分析】本题主要考查了数轴两点间距离公式、数轴上的动点问题、列代数式等知识点，正确地用代数式表示运动过程中的点所对应的数是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①②③根据题意表示出点P、Q表示的数即可；④根据题意用代数式表示P、Q表示的数即可． 【详解】（1）解：的长度为个单位长度；的长度为个单位长度． 故答案为：5；20． （2）解：①当时，点P对应的有理数为，点Q对应的有理数为． 故答案为：2，． ②当时，点P对应的有理数为，点Q对应的有理数为． 故答案为：5，5． ③当时，点P对应的有理数为，点Q对应的有理数为． 故答案为：7，9． ④点P对应的有理数为t，点Q对应的有理数为． 故答案为：，． 2．【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 如图1，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，则A、B两点间的距离可表示为： ① （即用右边点B表示的数减去左边点A表示的数）； ② （即两点表示的数之差的绝对值）． 【简单应用】 如图1，点A在数轴上所对应的数为，点B表示的数为6，P是数轴上一动点，表示的数为． （1）若A、P两点间的距离，则点P表示的为 ； （2）的最小值为 ； 【拓展运用】 如图2，已知数轴上有A、B两点，表示的数分别为，，点A以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，同时点B以每秒1个单位速度向右匀速运动，设运动时间t秒． （3）用含t的式子填空： 点A运动t秒后所在位置的点表示的数为 ； 点B运动t秒后所在位置的点表示的数为 ； （4）按上述方式运动，当 时，点A和点B到原点的距离相等； （5）按上述方式运动，若点A与点B相距4个单位长度，求t的值． 【答案】（1）；（2）；（3），；（4）或；（5）或 【分析】本题考查了数轴上的距离计算、绝对值的几何意义及动点问题，解题的关键是利用数轴距离公式（绝对值）分析点的位置与运动关系． （1）根据数轴距离公式列绝对值方程，求解点的数； （2）结合绝对值的几何意义，分析点在、之间时距离和最小，计算长度得最小值； （3）根据 “初始数速度时间”，用含的式子表示动点位置； （4）分“原点同侧、异侧”两种情况，列方程求解； （5）分“追上前后”两种情况，根据数轴距离公式列方程求． 【详解】解：（1）点表示的数为，，根据数轴距离公式，即， 解得：或， 即或． 故答案为： （2）表示点到的距离，表示点到的距离． 当点在、之间（包括端点）时，距离和最小， 最小值为的长度：． 故答案为： （3）点初始数为，向右运动速度为3单位/秒，秒后位置：； 点初始数为，向右运动速度为1单位/秒，秒后位置：． 故答案为：， （4）①、在原点同侧： ， 解得（此时、均在原点右侧）； ②、在原点异侧： ， 解得（此时在原点左侧，在原点右侧） 故答案为：或 （5）初始距离为，点速度比快，分两种情况： ①追上前：，解得； ②追上后：，解得． 或． 3．【知识储备】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________； (2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）； (3)通过计算说明，当时，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请确定哪个点是哪两个点的中点，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4，5 (2) (3)当时，不存在一点为另外两点的中点，理由见解析 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系． （1）根据数轴两点间的距离，即可求解； （2）根据题意得：t秒钟过后，点A表示的数为； （3）点B表示的数为，点C表示的数为，分三种情况讨论，结合线段的中点表示的数为，即可求解； 【详解】（1）解：点A表示数，点B表示数1，点表示数9， ∴的距离为； B点与C点的中点D表示的数为； 故答案为：4，5； （2）点以每秒2个单位长度的速度在数轴上同时向左运动， 运动t秒后，点A表示的数为； 故答案为：； （3）解：三点中不存在一点为另外两点的中点， 当时， 点A表示的数为， 点B表示的数为， 点C表示的数为， ∴，，， ∵， ∴三点中不存在一点为另外两点的中点 【类型六】数轴新定义 1．阅读下列材料： 我们给出如下定义：数轴上给定不重合的两点A，以及一条线段，（1）若数轴上存在一点M，使得点到点A的距离等于点到点的距离，则称点为点A与点的“中位点”；（2）若点A与点的“中位点”在线段上（点可以与点或重合），则称点A与点关于线段“中位对称”．如图1，点A表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为，点到点A的距离等于2，点到点的距离也等于2，那么点为点A与点的“中位点”；点表示的数为，点表示的数为2，点A与点的“中位点”在线段上，那么点A与点关于线段“中位对称”． 根据以上定义完成下列问题： 已知：如图2，点为数轴的原点，点A表示的数为，点表示的数为3． (1)①若点表示的数为，点为点A与点的“中位点”，则点表示的数为_________； ②若点A与点的“中位点”表示的数为1，则点表示的数为_________； (2)①点，，分别表示的数为1，，6，在，，三点中，点A与_________关于线段OR“中位对称”； ②点表示的数为，若点A与点关于线段OR“中位对称”，则的取值范围是_________； ③点表示的数为，点表示的数为，若线段上至少存在一点与点A关于线段“中位对称”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)①点C和点D；②；③ 【分析】（1）①根据新定义进行运算求解即可； ②根据新定义进行运算求解即可； （2）①先算出每个点与A的中位点，再逐一判断即可； ②根据新定义先求得点N与A的中位点得代数式，在进行求解即可； ③先进行分类讨论：当点H与E点重合时和当点H与F点重合时，再结合两次求得的取值范围进行求解即可． 【详解】（1）①由题意得，点表示的数为； 故答案为：； ②由题意得点表示的数为； 故答案为：； （2）①∵在，，三点中，点A与这个点关于线段OR“中位对称”， ∴中位点要在线段OR上， ∴点B与A的中位点为， 点C与A的中位点为， 点D与A的中位点为， 其中有C与A的中位点和D与A的中位点在线段OR上， ∴点A与点C和点D关于线段OR“中位对称”； 故答案为：点C和点D； ②由题意得，点N    与A的中位点为， ∵点A与点关于线段OR“中位对称”， 又∵点表示的数为3， ∴要同时大于或等于0和小于或等于3， ∴x的取值范围为； 故答案为：； ③设这点为H，当点H与E点重合时，则此时中位点为， ∵点A与点关于线段“中位对称”， ∴要同时大于或等于m和小于或等于， ∴m的取值范围为， 当点H与F点重合时，则此时中位点为， ∵点A与点关于线段“中位对称”， ∴要同时大于或等于m和小于或等于， ∴m的取值范围为， ∵要使线段上至少存在一点与点A关于线段“中位对称”， ∴m的取值范围为． 【点睛】本题考查了新定义、数轴和列代数式计算，解决本题的关键是读懂题意掌握新定义． 2．对于数轴上的两点P、Q给出如下定义：P、Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为．例如，P、Q两点表示的数如图1所示，则． (1)两点表示的数如图2所示． ①两点绝对距离为______； ②若C为数轴上一点（不与点O重合），且，求点C表示的数； (2)M、N为数轴上的两点（点M在点N左边），且线段，若，求出点M所表示的数． 【答案】(1)①2；②7或 (2)或 【分析】本题主要考查了数轴和绝对值的有关内容，关键在于理解绝对距离的定义． （1）①根据绝对距离的定义，直接计算即可； ②根据题意，可计算出，则点表示的数为7或； （2）设点所表示的数为，则点所表示的数为，；注意，如果、的符号相同，则不符合题意，因此点在点左边，点在点右边，然后计算求解即可． 【详解】（1）解：①、两点绝对距离为； 故答案为：2； ②根据题意得，， 则， 解得或舍去）， 因此，点表示的数为7或； （2）解：设点所表示的数为，则点所表示的数为， ； 根据题意，，，则， 即， 解得或； 因此，点所表示的数为或． 3．定义：已知点，，为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则是的“倍点”，记作：． 应用： 如图有一条数轴，、、为数轴上三点，分别对应，，． (1)①、两点之间的距离是__________； ②求的值； (2)若点在数轴上且，求点表示的数； (3)若点是数轴上一点，且，直接写出点表示的数． 【答案】(1)①8；②4； (2)2 (3)3或11 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，理解题中定义和分类讨论是解答的关键． （1）①根据两点之间的距离即可求解；②根据新定义，求得即可求解； （2）根据新定义得到点C为的中点，进而求解即可； （3）根据新定义分两种情况：点D在线段上和点D在线段的延长线上，分别求解即可． 【详解】（1）解：①∵、、为数轴上三点，分别对应，，． ∴、两点之间的距离是， 故答案为：8； ②由数轴知， ∴，则； （2）解：∵点C在数轴上且， ∴，则点C为的中点， ∴点C表示的数为； （3）解：因为D是数轴上一点，且，所以． 因为点A表示的数为，点B表示的数为5，所以． 当点D在点A，B之间时，点D表示的数为； 当点D在点B的右边时，点D表示的数为． 所以点D表示的数为3或11． 1．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的相反数是． 2．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）《九章算术》在“方程”一章中，首次正式引入了负数的概念．如果将向东走100米记作米，那么米表示（   ） A．向东走300米 B．向西走300米 C．向南走200米 D．向北走300米 【答案】B 【分析】正数和负数可表示一对相反意义的量，已知正数表示向东，则负数表示相反方向． 【详解】解：∵向东走100米记作米， ∴负号表示与向东相反的方向，即向西， ∴米表示向西走300米． 3．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）一袋大米包装上标有：，表示它最轻是（     ）kg． A． B．15 C． D．16 【答案】A 【分析】理解标注的含义，计算最轻质量即可得到答案． 【详解】解：∵的含义是：这袋大米的标准净重为，实际净重允许的范围是上下浮动，即最轻比少， ∴最轻质量为． 4．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的大小比较，方法一结合数轴进行求解，方法二结合已知条件用特殊值法即可快速得出结果． 【详解】方法一：如图所示， ∴ ． 方法二：∵ ，，，，为有理数 ∴ 取满足条件的特殊值 ， 计算得 ，， ∵ ∴ ． 5．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）若，则 ____． 【答案】 【详解】解：， ． 6．（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）在和之间的负整数有______个，绝对值不大于5的整数有______个，绝对值小于5的所有整数的积______． 【答案】 2 11 0 【详解】解：① 和之间的负整数有，，共个， ② 绝对值不大于的整数为，共个， ③ 绝对值小于的整数为， ∴， 故答案为：①，②，③． 7．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；…按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是______． 【答案】D 【分析】本题考查数轴，掌握数轴表示数的方法以及正六边形翻滚时所对应数的变化规律是正确解答的关键．根据翻滚规律以及各个顶点所对应的数即可得出答案． 【详解】解：由题意得，点A，点B，点C，点D，点E，点F所对应的数分别为1，2，3，4，5，6， ∵， ∴数轴上数2026所对应的顶点是点D． 故答案为：D． 8．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）在数轴上表示数，，，及它们的相反数，并用“”号把它们连接起来． 【答案】数轴表示见解析，． 【分析】本题考查了有理数的大小比较，数轴，相反数，利用有理数的大小比较，数轴知识，相反数的定义解答即可，解题的关键是掌握有理数的大小比较，数轴知识，相反数的定义． 【详解】解：，，，的相反数分别是，，，， 数轴上表示如下： ∴． 9．（25-26七年级上·河北张家口·阶段检测）把下列有理数填入相应的集合内： ，，0，，7，，， ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类． 根据正数的定义、分数的定义、整数的定义、负有理数的定义作答即可． 【详解】解：如图： 10．（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）如图，A，B，C为数轴（单位长度为1）上的三点，且满足A点到B点的距离是9，B点到C点的距离是3． (1)若原点落在点B处，则点A表示的数是____，点C表示的数是____． (2)若A，C表示的数互为相反数，则此时点B表示的数是____． (3)用P表示A，B，C三点表示的数之和，若将原点从点B向左移动2个单位，求此时P的值． 【答案】(1)；3 (2)3 (3)0 【分析】本题考查数轴的综合应用，熟练掌握点在数轴上的表示、数轴的意义及三要素、相反数的意义和性质等是解题关键． （1）根据原点位置结合，即可解答； （2）根据各点之间的位置关系、原点位置及相反数的性质解答； （3）先表示出三点表示的数，求和即可. 【详解】（1）解：原点落在点处，， 点表示的数是 点表示的数是 故答案为：； （2）解：， ， 表示的数互为相反数， 点表示的数是,点表示的数是， 此时点表示的数是， 故答案为：； （3）解：将原点从点向左移动2个单位： 点表示的数是2， ， 点表示的数是,点表示的数是 表示三点表示的数之和， ． 1．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上吉祥物“骥骥”盖住的点表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由数轴可知，覆盖的点在到之间，只有选项B的符合． 2．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）祖国大地幅员辽阔，即使同一季节，各地温度差异也很大，下表是2025年我国五个城市冬季平均气温表，其中平均气温为负数的城市有（    ）个． 城市 北京 上海 哈尔滨 广州 长春 冬季平均气温（单位：） 6 15 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据定义找出气温为负数的城市，统计个数即可． 【详解】解：∵，，，，， ∴气温为负数的城市共3个． 3．（25-26九年级下·河南平顶山·期中）检测4个篮球,其中超过标准质量的部分记为正数,不足标准质量的部分记为负数,则下列最接近标准质量的篮球是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为绝对值越小说明与标准质量的偏差越小，所以比较这几个绝对值的大小，绝对值最小的对应的篮球即为所求． 【详解】通过求4个数的绝对值，得,,,． ∵的绝对值最小， ∴B选项中的篮球是最接近标准质量的． 4．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，，，，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在P与之间，若，则原点是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，准确识图，判断出、两个数之间的距离小于3是解题的关键． 根据数轴判断出、两个数之间的距离小于3，然后根据绝对值的性质解答即可． 【详解】解：， 、两个数之间的距离小于3， ， ∴原点不在、两个数之间，(否则)，即原点不在或， ∴原点是或． 故选：A． 5．（25-26七年级上·广东东莞·期中）比较大小：__________． 【答案】 【分析】根据两个负数比较大小的法则，先计算两个数的绝对值，比较绝对值的大小，即可判断原数的大小． 【详解】解：，， ∵， ∴． 6．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知数轴上点表示有理数，点与点的距离为，则点表示的有理数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，设点表示的有理数为，则，解得或，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设点表示的有理数为，则， 解得或， 故答案为：或． 7．（25-26七年级上·广东佛山·期中）操作思考：将刻度尺放在图1的数轴上，如图2所示，，则刻度尺上的长度相当于该数轴上的______个长度单位． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．先计算数轴上，相当于刻度尺上的，即可解答． 【详解】解：，， 则刻度尺上的长度相当于该数轴上的个长度单位． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·海南海口·期中）已知：点A，B，C在数轴上的位置如图所示，请观察数轴并解答下列问题： (1)表示有理数3.5的点是 ，点A表示的有理数是 ； A、C两点之间的距离为 个单位长度； (2)在数轴上用点M，点N分别表示有理数和1，标出点M和点N的位置； (3)将这四个数用“”连接起来． 【答案】(1)B，，5 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，利用数轴比较有理数大小，熟知数轴与有理数的相关知识是解题的关键． （1）根据数轴即可得到点表示的数，再根据数轴上两点之间的距离公式求解； （2）根据数轴的特征即可把和1表示出来； （3）根据数轴上右边的数大于左边的数即可比较大小． 【详解】（1）解：表示有理数3.5的点是B，点A表示的有理数是，A、C两点之间的距离为． 故答案为：B，，5； （2）解：如图所示： （3）解：由数轴可知，． 9．（25-26七年级上·河北沧州·期中）如图，数轴上的点，分别表示有理数，，且，．    (1)求，的值； (2)，两点相距多少个单位长度？ (3)若点在数轴上，且点到点的距离是点到点的距离的，求点表示的数； (4)点从点出发，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，，依次操作次后，求点表示的数． 【答案】(1)，； (2)； (3)或； (4)． 【分析】本题主要考查绝对值和数轴及两点间的距离公式，根据题意分类讨论思想的运用是解题的关键． （）根据绝对值的定义结合由数轴得出的符号即可得； （）根据数轴上两点间的距离公式即可得； （）设点表示的数为，则，，根据题意得，然后求出的值即可； （）根据移动的方向和距离，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，，且由数轴可知，， ∴，； （2）解：， ∴，两点相距个单位长度； （3）解：设点表示的数为， ∴，， ∵点到点的距离是点到点的距离的， ∴， ∴或， 解得：或， ∴点表示的数为或； （4）解： ， 所以操作次后，点表示的数为． 10．（25-26七年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是____________； ②在①的情况下，如果，那么为____________； (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数， 的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子的最小值是____________； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台，一只配件箱应该放在工作____________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是____________米； (3)若在数轴上点A、B表示的数分别是．动点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，设点的运动时间为秒．当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． 【答案】(1)①；②5或； (2)①2；②C，12； (3)1或4.6． 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上两点之间的距离： （1）①根据两点间距离公式可得结论； ②数轴上表示和2的两点间相差3个单位长度，即或，即可求解； （2）①根据两点间的距离公式，仿照材料上的分析即可求得最小值； ②以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，点P表示配件箱的位置，表示数x，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当时，有最小值12； （3）表示出P、Q两点表示的数，根据两点间的距离公式表示，代入计算可得答案． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②由于，则， 即或， 解得：或， 故答案为：5或； （2）解：①如图，设N、M点表示数1、2，点P表示数x，O表示原点， 则， 当点P与点N重合时，，则， 当点P在线段上且不与N重合时，， 则； 当点P在线段上且不与N重合时，， 则； 当点P在点M的右边或在点O的左边时，或， 则， ∴的最小值为2； 故答案为：2； ②如图，以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，点P表示配件箱的位置，表示数x， 根据绝对值的意义，， 根据数轴上点的特点可知当点P与点C重合，即时，，，，此时取得最小值； 当点P在线段上（不与点C重合）时，， 则， 即； 同理，当点P在或（不与点C重合）或上或在点E的右边或在点A的左边时，均有； 综上，当点P与点C重合，即时，有最小值12； 故答案为：C；12； （3）解：由题意知，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴， 即或， 解得：或， 故t的值为1或4.6． 1．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】比较四个足球上方的数的绝对值的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵，，，，， ∴， ∴最接近标准的是选项C足球． 2．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如果a是负数，且，那么数轴上表示数a，的点的位置关系是（   ） A．a在左侧 B．a在右侧 C．a与重合 D．无法确定 【答案】B 【分析】先根据绝对值的性质求出负数a的取值范围，再结合数轴上数的大小与位置的关系，判断a和的位置关系． 【详解】解：∵， 又∵，且a是负数， ∴， ∴表示数a的点在表示的点的右侧，故B正确． 3．（25-26七年级上·福建南平·期末）已知，b，是三个整数，则，，一定（ ） A．都是整数 B．都不是整数 C．至少有一个是整数 D．至多有一个是整数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数分类中整数的奇偶性问题与抽屉原理，分析整数的奇偶性并运用抽屉原理是解题的关键． 通过，b，的奇偶性进行分类讨论：①若，b，全为奇数或全为偶数；②若，b，既有奇数又有偶数，则必有两个数同为奇数或同为偶数；以此证明无论，b，的奇偶如何组合，代数式，，中至少有一个是整数，即可判断． 【详解】解：∵，b，是整数， ∴分两种情况讨论： ①若，b，全为奇数或全为偶数，则，，均为偶数， ∴，，均为整数. ②若，b，既有奇数又有偶数，根据抽屉原理，必有两个数同为奇数或同为偶数， 设这两数为和，则为偶数， ∴为整数，即三个代数式中至少有一个为整数； 综上，，，中至少有一个是整数． 故选：C． 4．（25-26七年级上·湖南·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D表示的数分别为 和，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与数2026对应的是（   ） A．点D B．点C C．点B D．点A 【答案】D 【分析】本题考查了用点来表示数轴上的有理数，规律探究，正确理解正方形转动的规律是解题的关键．利用已知，找到循环规律，然后看对应的数2026的是谁即可． 【详解】解：正方形在数轴上点对应的数分别为， 正方形的边长为1， 转动时点对应的数依次为； 点对应的数依次是 点对应的数依次是 点对应的数依次是 ， 2026对应的是第507次循环后的点． 故选：. 5．（25-26七年级上·福建泉州·期末）比较大小：___________（用“>、<、=”填空） 【答案】 【分析】比较两个负数的大小，先求出两个数的绝对值，比较绝对值的大小，绝对值大的原数反而小． 【详解】解：，， ∵， ∴． 6．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上点的移动规律及绝对值的应用，关键是分奇偶次移动总结点表示的数的通项公式，再结合距离条件求解． 【详解】解：点初始表示的数为2，根据移动规则分析： 第1次点向左移动2个单位长度至点，表示的数是， 第2次从点向右移动4个单位长度至点，表示的数是， 第3次从点向左移动6个单位长度至点，表示的数是， 第4次从点向右移动8个单位长度至点，表示的数是， …… 可以归纳出，当为偶数时，第次移动后，点表示的数为；当为奇数时，第次移动后，点表示的数为． 已知点与原点的距离为，即， ①若为偶数，则，解得(舍去负值)； ②若为奇数，则，即，解得(舍去负值)． 故答案为：或． 7．（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）若与的和为0，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，代数式求值；根据非负数的性质得出值，再利用裂项法计算即可． 【详解】解：由题意得， ∴且， ∴，， ∴ 故答案为：． 8．（25-26七年级上·河南商丘·期末）如图，数轴的单位长度为1，点表示的数是． (1)在数轴上用0标出原点； (2)写出点B表示的数； (3)在数轴上找一点，使它与点的距离为个单位长度，那么点表示什么数？ 【答案】(1)见解析 (2)点表示3 (3)点表示的数为或． 【分析】本题考查了数轴．熟练掌握数轴上的点表示数，是解题的关键． （1）根据点A表示的数为来确定原点； （2）根据点B在原点右侧3个单位长度处回答； （3）分点C在点B左侧和右侧两种情况解答． 【详解】（1）解：如图，∵点A表示的数是， ∴原点在点A右侧4个单位长度处， 用0表示出原点． ； （2）解：∵点B在原点右侧3个单位长度处， ∴点B表示的数为3． （3）解：∵，点B表示的数为3， ∴当点C在点B左侧时，点C表示的数为， 当点C在点B右侧时，点C表示的数为， 故点表示的数为或． 9．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，则A点移动到点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 （1）玩具火车的长为_______________个单位长度； （2）用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【答案】 4 64岁 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用数轴解决实际问题，解决问题的关键是弄清题意，找到题目中的等量关系． （1）根据题意画出图形，由数轴观察得三个火车的长为，则可以求一个火车的长； （2）在求奶奶年龄时，借助数轴，把小如与奶奶的年龄差看作火车，类似奶奶和小如一样大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小如和奶奶一样时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，由此可知奶奶的年龄． 【详解】解：（1）如图1， 可知：三个火车的长为， 则一个火车的长为， 故答案为：4； （2）同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为， 表示的数为，表示的数为116， ，，则52是奶奶和小如的年龄差， ∴， 则奶奶现在的年龄是64岁． 故答案为：64岁． 10．（25-26七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或秒． 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题，解决本题的关键是计算数轴上两点间的距离，进行分类讨论． (1)根据定义求值即可； (2)分线段在线段左侧和右侧两种情况求解； (3)根据点的运动方向和速度分情况讨论． 【详解】（1）解：（点，线段）， （点，线段）， 故答案为：，； （2）解：当线段在线段左侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 当线段在线段右侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 综上所述，或； （3）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：(不符合题意)； 当时，点表示的数是，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时， 则有（线段，线段）； 综上所述，若（线段，线段），则有或或或秒． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 有理数 思维导图 1.1 从自然数到有理数 1.1.1 自然数 自然数是人类最早认识的数，来源于计数和测量，在实际生活中自然数主要有两类应用：一是用来计数，比如统计班级人数、苹果个数；二是用来测量，比如测量课本长度、大楼高度；此外自然数还可以用来排序或者编号，比如排名、门牌号、学号等。 最小的自然数是0，没有最大的自然数，所有自然数都是整数，但整数不只有自然数，还包含负整数。 1.1.2 分数的产生与意义 在实际分配、测量过程中，当结果无法用自然数表示时，就产生了分数。分数可以转化为小数，所有分数都可以写成两个整数相除的形式，因此都可以表示为有限小数或无限循环小数；反过来，有限小数和无限循环小数也都可以转化为分数。 在实际问题中，百分数是分数的一种特殊形式，用来表示一个数是另一个数的百分之几，也叫百分率或百分比，通常不写成分数形式，采用百分号%表示。 1.1.3 正数与负数 为了表示具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量规定为正，用大于0的数表示，叫做正数；把与它意义相反的量规定为负，用在正数前面加上负号“-”的数表示，叫做负数。 需要注意：0既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界点。判断一个数的正负不能只看符号，比如-a不一定是负数，当a本身是负数时，-a就是正数。 常见的相反意义的量：收入与支出、盈利与亏损、上升与下降、向东与向西、增加与减少等。 1.1.4 有理数的分类 有理数可以按照定义和正负性两种方式分类： 分类标准 具体类别 按定义分类 有理数 ─ 整数：正整数、0、负整数 ─ 分数：正分数、负分数 按正负性分类 有理数 ─ 正有理数：正整数、正分数 ─ 0 ─ 负有理数：负整数、负分数 注意：所有有限小数和无限循环小数都属于分数，因此都是有理数；无限不循环小数不能转化为分数，不属于有理数（后续会学习这类无理数）。 常见概念辨析：①非负数：指正数和0；②非正数：指负数和0；③非正整数：指负整数和0；④非负整数：指正整数和0（也就是自然数）。 1.2 数轴 1.2.1 数轴的定义与三要素 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，因此数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 对三要素的说明：①原点：数轴上表示0的点，是数轴的基准点；②正方向：通常规定向右或者向上为正方向，用箭头表示；③单位长度：选取适当的长度作为单位长度，同一数轴上单位长度必须统一，不能出现不同长度代表同一个单位的情况。 1.2.2 数轴与有理数的关系 任意一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。一般来说，当数轴方向朝右时，原点左边的点表示负数，原点右边的点表示正数，原点表示0，也就是所有正数都在原点右侧，所有负数都在原点左侧。 注意：数轴上的点不都表示有理数，比如后面学习的无理数π也可以用数轴上的点表示，因此有理数和数轴上的点不是一一对应的关系。 1.2.3 数轴的应用 · 利用数轴可以比较有理数的大小：数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大； · 利用数轴可以直观表示相反意义的量，帮助理解相反数的概念； · 利用数轴可以解决距离、动点等实际问题，将数和形结合起来，简化思考过程。 1.3 绝对值 1.3.1 相反数 如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数是0。 相反数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数（0除外）的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。 相反数的性质：①若a和b互为相反数，则a + b = 0，反过来也成立，即如果a + b = 0，那么a和b互为相反数；②互为相反数的两个数绝对值相等；③相反数等于本身的数只有0。 多重符号化简：一个数前面的“-”号个数为奇数时，化简结果为负；“-”号个数为偶数时，化简结果为正，也就是“奇负偶正”。例如：-(-(-3))=-3，-(-(+3))=3。 1.3.2 绝对值的定义 一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|，读作“a的绝对值”。 根据绝对值的定义，可以得到绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，写成公式就是： |a| = ｛ a（a>0），0（a=0），-a（a<0）｝ 也可以写成：|a| = ｛ a（a≥0），-a（a<0）｝，两种写法等价。 1.3.3 绝对值的性质 1. 绝对值具有非负性，任意一个数的绝对值都是非负数，也就是|a|≥0，当几个非负数的和为0时，每一个非负数都等于0，例如：若|a| + |b| = 0，则a = 0且b = 0； 2. 绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数，例如：若|x|=3，则x=3或x=-3； 3. 绝对值等于本身的数是正数和0（也就是非负数），绝对值等于它的相反数的数是负数和0（也就是非正数）； 4. 互为相反数的两个数绝对值相等，即|a|=|-a|。 1.4 有理数的大小比较 1.4.1 有理数大小比较的基本法则 1. 利用数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2. 根据正负性比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 3. 两个负数比较大小：绝对值大的反而小。 1.4.2 有理数大小比较的常用方法 · 作差法：对于两个有理数a、b，如果a - b > 0，那么a > b；如果a - b = 0，那么a = b；如果a - b < 0，那么a < b。 · 作商法：对于两个正有理数a、b，如果a/b > 1，那么a > b；如果a/b = 1，那么a = b；如果a/b < 1，那么a < b。 · 倒数法：对于两个同号的有理数，倒数大的数反而小，适合分子相同的分数比较大小。 【类型一】正负数的定义 1．下列各数中，是负数的是（     ） A．3 B．0 C． D．2.5 2．下列说法中正确的是（   ） A．0是正数 B．0是负数 C．0不是自然数 D．0不是正数也不是负数 3．有理数中，正数有_____个． 【类型二】相反意义的量 1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若把气温零上记作，则表示气温为（     ） A．零上 B．零下 C．零上 D．零下 2．某人转动转盘，如果用圈表示沿逆时针方向转了3圈，那么沿顺时针方向转了5圈记作（     ） A．圈 B．圈 C．圈 D．圈 3．为响应“体重管理年”的有关倡议，小秦对自己的体重进行了统计，若体重增加记为，那么体重减少应记为________． 【类型三】有理数的定义 1．下列关于有理数的说法正确的是（   ） A．有理数分为正有理数和负有理数 B．整数分为正整数和负整数 C．有理数是可以写成两个整数之比（比的后项不为0）的数 D．0不是有理数 2．有下列一组数：，，，，0，，2025，则下列说法正确的是（   ） A．有理数有6个 B．是正数，不是分数 C．非正数有3个 D．以上都不对 3．①正有理数包括正整数和正分数；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和0．以上说法中，正确的序号为_________． 【类型四】数轴三要素 1．下列选项中所画的数轴正确的是（     ） A． B． C． D． 2．判断下列图中所画的数轴正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．在直线下面的方框里填整数或小数，上面的方框里填分数． 【类型五】相反数的定义 1．的相反数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上表示的相反数的点是（     ） A． B． C． D． 3．如图，数轴上每格表示1个单位长度．若，两点表示的两个数互为相反数，则点表示的数是___________． 【类型六】绝对值的性质 1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的绝对值是（     ） A．2026 B． C． D． 2．某商品的质量按照“超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数”．下面四个零件中，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 3．如果，则______，如果，则______．化简：______． 【类型七】有理数的大小比较 1．下列四个数中，最小的数是（     ） A． B． C． D．0 2．下面是某日几个城市的最低气温： 沈阳 北京 石家庄 海口 广州 气温最低的城市为（    ） A．北京 B．石家庄 C．沈阳 D．海口 3．比较大小：_____（请用“>”“=”“﹤”填写）． 【类型八】数轴上表示有理数并比较大小 1．在数轴上表示下列各题：并用“＜”号连接．3.5，，0，2，4， 2．画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：并将每个数用“”连接起来： 4，，，，0． 3．已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数且b在数轴上对应的点与原点的距离为3． (1)_____，_____． (2)在数轴上表示下列各数：，，，，，，并用“”把这些数连接起来． 【类型九】有理数分类 1．把下列各数对应的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ 正数集合：{   …}； 分数集合：{   …}； 非负整数集合：{   …}． 2．把下列有理数填在相应的集合内： 正有理数集合： 负有理数集合：． 整数集合：． 3．把下列各有理数填入相应的集合内： ，，0.6，，0，，． 负有理数集合：{                         …}； 整数集合：{                             …}； 负分数集合：{                           …}； 非负有理数集合：{                       …}． 【类型十】正负数的应用 1．外卖小哥小张某天骑电动车在东西走向的路上送外卖，往东行驶的路程记作正数，往西行驶的路程记作负数．全天行程的记录如下（单位：）： ，，，，，，，，，． (1)当小张将最后一个外卖送到目的地时，距出发地的距离为多少千米？ (2)若小张的电动车充满电能行驶，在该电动车一开始充满电而途中不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 2．出租车司机小李新年这天从鼓楼出发，上午营运时是在南北走向的大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午所接的六位乘客的行车里程（单位：）如下： ． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车耗油量为（升/千米），这天上午小李接送乘客，出租车共耗油多少升？ (3)若出租车起步价为元，起步里程为（包括3km），超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 3．在机器人社团活动中，小明通过编程使一只电子蚂蚁从点处出发，在一直线上连续匀速左右爬行6趟，若向右爬行记为正，向左爬行记为负．电子蚂蚁爬行情况依次记为（单位：厘米）：，，，，，． (1)电子蚂蚁最后位于起点的右侧还是左侧？距起点多少厘米？ (2)电子蚂蚁离开起点最远是多少厘米？ (3)若电子蚂蚁共用了28秒完成上面的路程，求电子蚂蚁的速度． 【类型一】绝对值的非负性 1．如果，那么的值可以是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．若，则_____ ． 【类型二】点在数轴上的平移 1．如图，数轴上的点P向右移动3个单位长度，移动后的点对应的数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．在数轴上，点表示，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度到达点，则点表示的数是（    ）． A． B． C． D． 3．已知在数轴l上，一动点Q从原点O出发，沿直线l以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…… 则5秒钟后动点Q点表示的数为__________． 【类型三】字母在数轴上比较大小 1．如图，数轴上点A，B，C表示的数是分别是，，，下列判断错误的是（     ） A． B． C． D． 2．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．把，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（     ） A． B． C． D． 3．有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将，，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接___________． 【类型四】数轴上两点之间的距离 1．在数轴上，表示的点到原点的距离为（    ） A． B． C．4 D．-4 2．在数轴上A、B两点分别表示的数是2和8，在数轴上，点A右侧有另外一点P，且P到A、B的距离和是10，则点P表示的数是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 3．点O、A、B、C在数轴的位置如图所示，其中点A，B到原点O的距离相等，点A、C之间的距离为2．若点C表示的数为x，则点B所表示的数为_______________． 【类型五】化简多重符号 1．化简的结果是（     ） A．2026 B． C． D． 2．下列各对数中互为相反数的有（   ） （1）与        （2）与 （3）与        （4）与 （5）与    （6）与 A．对 B．对 C．对 D．对 3．化简下列各数： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 【类型六】数轴与刻度尺结合 1．如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上和分别对应数轴上的3和0，那么刻度尺上对应数轴上的数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，某同学用刻度尺画数轴，数轴的点A，B分别对应刻度尺上色“”和“”．若点A在数轴上表示的数为，刻度尺上的“”对应的数轴上的点表示的数为．则点B在数轴上表示的数为（  ） A．12 B．18 C．14 D．10 3．如图，小颖借助刻度尺画了一条数轴，原点和单位1分别与刻度尺的9.5和11对齐，则刻度尺上5对应数轴上的点表示的有理数为___________. 【类型一】数轴上点的规律 1．正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 2．正方形在数轴上的位置如图所示，点A和点D对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数是1；翻转2次后，点C对应的数是3…；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 3．如图，数轴上O、A两点的距离为9，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（n≥3，n是整数）处，则经过这样2026次跳动后的点与点O的距离是______． 【类型二】圆在数轴上滚动问题 1．如图，把周长为4个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，，，，四点将圆四等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，滚动一次则点与数轴上表示2的点重合，滚动第二次点与数轴上表示3的点重合，滚动第3次点与数轴上表示4的点重合，…，在滚动过程中，数轴上的数2027与点（   ）重合． A．点 B．点 C．点 D．点 2．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点到达点的位置，则点表示的数是（    ） A． B． C． D．或 3．如图所示，半径为单位1的圆从数轴上表示1的点沿着数轴无滑动地逆时针滚动两周到达点，则点表示的数是______． 【类型三】数轴折叠对称问题 1． 平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化． (1)平移运动 ①如图，把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 ． ②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2022次时，求落在数轴上的点表示的数． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2022的点与表示______的点重合． ②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示_____，B点表示_____． ③若数轴上折叠重合的两点的数分别为，折叠中间点表示的数为______．（用含有的式子表示） 2．操作与尝试：在纸面上有如图所示的数轴，折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合，    探究与应用：现打开纸面后，再次折叠，使数轴上数表示的点与数0表示的点重合．数轴上、两点折叠后重合，、两点折叠后重合 (1)则数轴上数3表示的点与数______表示的点重合； (2)若点到原点的距离是5个单位长度，求点表示的数； (3)若数轴上、两点之间的距离为2024，如果点表示的数比点表示的数大，求点、点表示的数 3．【阅读】表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）数轴上表示与的两点之间的距离是______． （2）若，则______； 【折叠】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： （3）折叠纸面，若表示的点和表示的点重合，则表示的点与______表示的点重合． （4）折叠纸面，若表示的点和表示的点重合，则有： ①表示的点和______表示的点重合； ②这时如果，（在的左侧）两点之间的距离为，且，两点经折叠后重合，则点和点表示的数分别是多少？ 【类型四】绝对值的最值问题 1．在学习绝对值后，我们知道绝对值的几何意义，如：表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为． ［尝试运用］ （1）点在数轴上分别表示有理数，那么点到点的距离是______，点A到点的距离是______（直接填最后结果）； （2）点在数轴上分别表示有理数，那么点到点的距离与点到点C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； 【拓展探究】 （3）利用数轴探究： ①满足的的所有值是______； ②设，当时，的值是不变的，而且是的最小值，这个最小值是______；当x的值在______的范围时，的最小值是2，当的值取3时，的最小值是______； （4）试求的最小值． 2．【用数学的眼光观察现实世界】若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，则．即表示5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【用数学的思维思考现实世界】 (1)点A、B表示的数分别为，2，则________，在数轴上可以理解为表示数x的点与表示数________的点的距离． (2)①求的最小值，并写出此时x的值． ②当x满足什么条件时，取得最小值，最小值是多少？ (3)当x取何值时，取得最小值，最小值是多少？ 3．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）【探究问题】 如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x，因为的几何意义是线段与的长度之和，当点P在线段上时，，而当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以当点P在线段上时，有最小值，最小值是3． 填空： 若， 则x的值为 ； （2）【解决问题】 ①直接写出式子的最小值为 ； ②若代数式的最小值是2，则a的值为 ； （3）【实际应用】如图，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点M设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【类型五】数轴动点求t 1．如图，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为10，15，．若点P从O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，同时点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1)探究： 的长度为________；的长度为________． (2)应用： ①当时，点P对应的有理数为________，点Q对应的有理数为________ ②当时，点P对应的有理数为________，点Q对应的有理数为________ ③当时，点P对应的有理数为________，点Q对应的有理数为________ ④用含t的式子填空：点P对应的有理数为________，点Q对应的有理数为________ 2．【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 如图1，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，则A、B两点间的距离可表示为： ① （即用右边点B表示的数减去左边点A表示的数）； ② （即两点表示的数之差的绝对值）． 【简单应用】 如图1，点A在数轴上所对应的数为，点B表示的数为6，P是数轴上一动点，表示的数为． （1）若A、P两点间的距离，则点P表示的为 ； （2）的最小值为 ； 【拓展运用】 如图2，已知数轴上有A、B两点，表示的数分别为，，点A以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，同时点B以每秒1个单位速度向右匀速运动，设运动时间t秒． （3）用含t的式子填空： 点A运动t秒后所在位置的点表示的数为 ； 点B运动t秒后所在位置的点表示的数为 ； （4）按上述方式运动，当 时，点A和点B到原点的距离相等； （5）按上述方式运动，若点A与点B相距4个单位长度，求t的值． 3．【知识储备】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点，点表示的数分别为，若位置不确定时，则两点之间的距离为：，若点在的右侧，即，则两点之间的距离为：； ②线段的中点表示的数为； ③点向右运动个单位长度（）后，点表示的数为：，点向左运动个单位长度（）后，点表示的数为：． 同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题． 【问题情境】 如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒． 【问题解决】 (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为_________，若点与点的中点为，则点表示的数为_________； (2)运动秒后，点表示的数为_________（用含的式子表示）； (3)通过计算说明，当时，三点中是否存在一点为另外两点的中点，若存在，请确定哪个点是哪两个点的中点，若不存在，请说明理由． 【类型六】数轴新定义 1．阅读下列材料： 我们给出如下定义：数轴上给定不重合的两点A，以及一条线段，（1）若数轴上存在一点M，使得点到点A的距离等于点到点的距离，则称点为点A与点的“中位点”；（2）若点A与点的“中位点”在线段上（点可以与点或重合），则称点A与点关于线段“中位对称”．如图1，点A表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为，点到点A的距离等于2，点到点的距离也等于2，那么点为点A与点的“中位点”；点表示的数为，点表示的数为2，点A与点的“中位点”在线段上，那么点A与点关于线段“中位对称”． 根据以上定义完成下列问题： 已知：如图2，点为数轴的原点，点A表示的数为，点表示的数为3． (1)①若点表示的数为，点为点A与点的“中位点”，则点表示的数为_________； ②若点A与点的“中位点”表示的数为1，则点表示的数为_________； (2)①点，，分别表示的数为1，，6，在，，三点中，点A与_________关于线段OR“中位对称”； ②点表示的数为，若点A与点关于线段OR“中位对称”，则的取值范围是_________； ③点表示的数为，点表示的数为，若线段上至少存在一点与点A关于线段“中位对称”，直接写出的取值范围． 2．对于数轴上的两点P、Q给出如下定义：P、Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为．例如，P、Q两点表示的数如图1所示，则． (1)两点表示的数如图2所示． ①两点绝对距离为______； ②若C为数轴上一点（不与点O重合），且，求点C表示的数； (2)M、N为数轴上的两点（点M在点N左边），且线段，若，求出点M所表示的数． 3．定义：已知点，，为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则是的“倍点”，记作：． 应用： 如图有一条数轴，、、为数轴上三点，分别对应，，． (1)①、两点之间的距离是__________； ②求的值； (2)若点在数轴上且，求点表示的数； (3)若点是数轴上一点，且，直接写出点表示的数． 1．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）的相反数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）《九章算术》在“方程”一章中，首次正式引入了负数的概念．如果将向东走100米记作米，那么米表示（   ） A．向东走300米 B．向西走300米 C．向南走200米 D．向北走300米 3．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）一袋大米包装上标有：，表示它最轻是（     ）kg． A． B．15 C． D．16 4．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）若，则 ____． 6．（24-25七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）在和之间的负整数有______个，绝对值不大于5的整数有______个，绝对值小于5的所有整数的积______． 7．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；…按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是______． 8．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）在数轴上表示数，，，及它们的相反数，并用“”号把它们连接起来． 9．（25-26七年级上·河北张家口·阶段检测）把下列有理数填入相应的集合内： ，，0，，7，，， ． 10．（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）如图，A，B，C为数轴（单位长度为1）上的三点，且满足A点到B点的距离是9，B点到C点的距离是3． (1)若原点落在点B处，则点A表示的数是____，点C表示的数是____． (2)若A，C表示的数互为相反数，则此时点B表示的数是____． (3)用P表示A，B，C三点表示的数之和，若将原点从点B向左移动2个单位，求此时P的值． 1．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上吉祥物“骥骥”盖住的点表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）祖国大地幅员辽阔，即使同一季节，各地温度差异也很大，下表是2025年我国五个城市冬季平均气温表，其中平均气温为负数的城市有（    ）个． 城市 北京 上海 哈尔滨 广州 长春 冬季平均气温（单位：） 6 15 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26九年级下·河南平顶山·期中）检测4个篮球,其中超过标准质量的部分记为正数,不足标准质量的部分记为负数,则下列最接近标准质量的篮球是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，，，，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在P与之间，若，则原点是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．（25-26七年级上·广东东莞·期中）比较大小：__________． 6．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知数轴上点表示有理数，点与点的距离为，则点表示的有理数为______． 7．（25-26七年级上·广东佛山·期中）操作思考：将刻度尺放在图1的数轴上，如图2所示，，则刻度尺上的长度相当于该数轴上的______个长度单位． 8．（25-26七年级上·海南海口·期中）已知：点A，B，C在数轴上的位置如图所示，请观察数轴并解答下列问题： (1)表示有理数3.5的点是 ，点A表示的有理数是 ； A、C两点之间的距离为 个单位长度； (2)在数轴上用点M，点N分别表示有理数和1，标出点M和点N的位置； (3)将这四个数用“”连接起来． 9．（25-26七年级上·河北沧州·期中）如图，数轴上的点，分别表示有理数，，且，．    (1)求，的值； (2)，两点相距多少个单位长度？ (3)若点在数轴上，且点到点的距离是点到点的距离的，求点表示的数； (4)点从点出发，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，，依次操作次后，求点表示的数． 10．（25-26七年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是____________； ②在①的情况下，如果，那么为____________； (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数， 的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子的最小值是____________； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台，一只配件箱应该放在工作____________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是____________米； (3)若在数轴上点A、B表示的数分别是．动点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，设点的运动时间为秒．当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． 1．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如果a是负数，且，那么数轴上表示数a，的点的位置关系是（   ） A．a在左侧 B．a在右侧 C．a与重合 D．无法确定 3．（25-26七年级上·福建南平·期末）已知，b，是三个整数，则，，一定（ ） A．都是整数 B．都不是整数 C．至少有一个是整数 D．至多有一个是整数 4．（25-26七年级上·湖南·期末）正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D表示的数分别为 和，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与数2026对应的是（   ） A．点D B．点C C．点B D．点A 5．（25-26七年级上·福建泉州·期末）比较大小：___________（用“>、<、=”填空） 6．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 7．（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）若与的和为0，则__________． 8．（25-26七年级上·河南商丘·期末）如图，数轴的单位长度为1，点表示的数是． (1)在数轴上用0标出原点； (2)写出点B表示的数； (3)在数轴上找一点，使它与点的距离为个单位长度，那么点表示什么数？ 9．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，则A点移动到点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 （1）玩具火车的长为_______________个单位长度； （2）用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 10．（25-26七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $