精品解析：河南信阳市浉河中学2025-2026学年下学期6月阶段检测八年级数学

八年级数学 一、选择题（10小题，共30分） 1. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②分母不含根号；③被开方数不能含有分母，由此即可求解． 【详解】解：选项A：，被开方数含分数，需化简为，不符合条件③，排除； 选项B：，被开方数2为质数，无平方因数，且分母无根号，符合最简二次根式定义； 选项C：，被开方数4是完全平方数，可化简为2，不符合条件①，排除； 选项D：，被开方数12含平方因数4，可化简为，不符合条件①，排除； 故选：B． 2. 正方形具有而菱形不一定有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角相等 D. 邻边相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形和菱形的性质即可解决问题． 【详解】解：正方形具有而菱形不一定有的性质是：对角线相等． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，解决本题的关键是掌握正方形和菱形的性质． 3. 下列关于变量x与y关系的图形中，能够表示“y是x的函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的概念，函数的图象，熟练掌握函数的概念是解题的关键．根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，结合函数图象即可解答． 【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故A不符合题意； B、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故B不符合题意； C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，故C不符合题意； D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故D符合题意； 故选：D． 4. 如图，直线与直线交于点，则关于x，y的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，运用数形结合的思想即可解答． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴方程组的解是：． 5. 如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形，，的面积依次为，，，则正方形的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，根据勾股定理的几何意义得：，解得即可得解． 【详解】解：如图，根据勾股定理的几何意义可得， ，， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，根据图形找到正方形之间的等量关系是解题的关键． 6. 小伟参加如奕围棋学生社团年度校园挑战赛，共进行了场比赛．积分统计小组根据小伟这场比赛的得分作了如图统计图，下列说法正确的是（ ） A. 比赛最高得分是分 B. 比赛得分的中位数是分 C. 比赛得分数据集中在分之间 D. 比赛得分的上四分位数是分 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了箱线图，解决本题的关键是根据箱线图中的各部分表示的意义逐项判断． 【详解】解：A选项：由箱线图可知，比赛的最高得分是分，故A选项错误； B选项：由箱线图可知，比赛得分的中位数是分，故B选项错误； C选项：由箱线图可知，得分的上四分位数是，下四分位数是，比赛得分数据集中在分之间，故C选项正确； D选项：由箱线图可知，比赛得分的下四分位数是，故D选项错误． 故选：C． 7. 如图，在中，对角线，相交于点O，，，，则的长为（ ） A. B. 6 C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质推出，，根据勾股定理求出，根据平行线的性质推出，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：A． 8. 如图，点在的内部，平分，于点，是的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长交于点，根据等腰三角形的判定得到，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：延长交于点， ∵，平分，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即点是的中点，， ∵点是的中点， ∴， ∴的长为． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，等腰三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余．掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 9. 在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据正比例函数图象判断的取值范围，再根据的取值范围判断一次函数图象的走向． 【详解】解：A选项：正比例函数的图象过一、三象限， ， 一次函数的图象是随的增大而减小， 故A选项不符合题意； B选项：正比例函数的图象过二、四象限， ， 一次函数的图象是随的增大而增大， 当时，， 一次函数的图象与轴交点坐标是， 一次函数的图象与轴交点在轴的正半轴， 故B选项不符合题意； C选项：正比例函数的图象过一、三象限， ， 一次函数的图象是随的增大而减小， 故C选项不符合题意； D选项：正比例函数的图象过二、四象限， ， 一次函数的图象是随的增大而增大， 当时，， 一次函数的图象与轴交点坐标是， 一次函数的图象与轴交点在轴的正半轴， 故D选项符合题意． 10. 如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可． 【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 故选：B． 二、填空题（5小题，共15分） 11. 要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数为非负数，列出一元一次不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：根据二次根式在实数范围内有意义的条件，可得被开方数满足：， 移项得， 解得． 12. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像如图所示，且经过点，那么当________时，． 【答案】 【解析】 【分析】利用一次函数的增减性，结合已知点的坐标，直接判断不等式的解集． 【详解】解：根据题图可知，该一次函数的随的增大加而增大，且点的坐标为， 故当时，． 13. 如图，在中，按以下步骤尺规作图：①以点C为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于点G，H；②分别以点G，H为圆心，大于的长为半径作弧，交于点P；③连接并延长交于点E；④过点E作交于点F．，，则四边形的周长为________． 【答案】12 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，，证明得，从而，再证明四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：∵中，，， ∴，，， ∴． 由作图可知，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的周长． 14. 如图，在中，于点于点且点是的中点，的周长是，则_____． 【答案】10 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得BF=CF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=BC，DE=DF=AB，再根据△DEF的周长求出DE，然后求解即可． 【详解】∵AB=AC，AF⊥BC， ∴BF=CF=BC=×6=3，EF=BC=3， ∵BE⊥AC，AF⊥BC，点D是AB的中点， ∴DE=DF=AB， ∵△DEF的周长是13， ∴DE=DF=×(13−3)=5， ∴AB=2DE=2×5=10． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和直角三角形的性质定理，掌握等腰三角形“三线合一”， 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 15. 如图，是等边三角形，点在上，，，是射线上的一个动点，连接．以为边，在的左侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．过点作交于点，分类讨论，逐个分析，即可解答． 【详解】解：①当时，如图，过点作，交于点． 是等边三角形，是等边三角形，， ，， ∴是等边三角形， ， ，即， ， ， 是的中点， ， ； ②当时，由①，得，则，与矛盾， 此种情况不成立； ③当时， 如图，过点作，交于点． 、是等边三角形，， ，， ∴是等边三角形， ， ，即， ， ， ， ， ， ． 综上所述，的长为或． 三、解答题（8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 笔直的河流一侧有一旅游地点G，河边有两个漂流点A、B，且点A到点B的距离等于点A到点G的距离．近阶段由于点G到点A的路线处于维修中，为方便游客决定在河边新建一个漂流点C（点A、B、C在同一条直线上），并新建一条路，测得km，km，km． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求原路线的长． 【答案】（1）是直角三角形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，注意计算的准确性即可． （1）根据题意可得，即可判断； （2）由（1）得：，根据，，即可求解； 【小问1详解】 解：是直角三角形，理由如下： ∵km，km，km， ∴， ∴是直角三角形； 【小问2详解】 解：∵点A到点B的距离等于点A到点G的距离， ∴， ∵ 又由（1）得：， ∴， 即：， 解得：． 18. 如图，直线：与直线：相交于点． （1）求b，m的值； （2）垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，若线段长为2，求a的值． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）由点在直线：上，可得；由点在直线：上，可得，进而可得的值； （2）由题意知，当时，；当时，．由，可得，计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在直线：上， ∴； ∵点在直线：上， ∴，解得， ∴；． 【小问2详解】 解：由题意知，当时，； 当时，． ∵， ∴， 解得：或． ∴a的值为或． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，两直线的交点与二元一次方程组的解，一次函数的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 19. 为了更好的了解孩子们的体育水平，全力备战中考，某校体育组从初三年级体考成绩中随机抽查了20名男生和20名女生的体考成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：，，，），下面给出了部分信息： 20名男生的体考成绩（单位：分）：50，50，50，49，49，49，48，47，47，46，46，46，46，45，44，44，43，42，40，39； 20名女生的体考成绩为等级的数据是：46，46，46，47，47，45，46． 所抽取的学生体考成绩统计表 性别 平均数 中位数 众数 男 46 46 女 48 所抽取的20名女生的体考成绩扇形 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中______，组圆心角度数______． （2）根据以上数据，你认为该校男生的体育成绩好还是女生的体育成绩好？请说明理由（一条即可）； （3）该校初三年级共有1600名学生，参与此次体考测试，其中男女生的比例为，估计初三年级参加测试的学生等级为的共有多少人？ 【答案】（1）， （2）女生，见解析 （3）624人 【解析】 【分析】考查平均数、众数、中位数的意义和求法，扇形统计图的意义和制作方法，掌握各个统计量的意义是解决问题的前提，理清扇形统计图中各个数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法． (1)根据众数的定义计算即可，根据中位数是第10个数据45，第11个数据46 的平均数计算即可；利用圆心角的计算方法解答即可． (2)比较中位数的大小作出结论即可． (3)利用样本估计总体的思想计算即可． 【小问1详解】 男生中数据46出现的次数最多，故众数为46， 故； 根据题意，得人，B类有7人，故中位数是第10个数据47，第11个数据46 的平均数， ∴ ， 故， B组的圆心角为， 故答案为：，． 【小问2详解】 我认为该校女生的体育成绩好， 理由如下：因为男生体育成绩的中位数是46． 小于女生体育成绩的中位数是47． 【小问3详解】 三年级共有1600名学生，参与此次体考测试，其中男女生的比例为， 故男生为人，女生数为640人， 样本中，男生、女生体育成绩等级为的占比分别为：， ∴人， 答：估计初三年级参加测试的学生等级为的共有624人． 20. 如图，在四边形中，对角线与相交于点O，垂直平分． （1）尺规作图：作，交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形为菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作法作图即可； （2）由垂直平分线的性质，证明，进而得出，即可得证． 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 解：证明：垂直平分， ， 在与中， ， ， ， ， ∴四边形为菱形． 21. 学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． （1）列表：与的部分对应值如表：则______，______． … 0 1 2 3 … … 0 1 … （2）描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； （3）结合图象，写出一条函数的性质：______． （4）根据函数图象填空： ①方程有______个解； ②若关于的方程无解，则的取值范围是______． ③若关于的方程有两个不相等的实数解，直接写出实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）函数的图象关于轴对称．（答案不唯一） （4）①2；②；③ 【解析】 【分析】本题考查函数的图象和性质，解决本题的关键是读懂函数图象，掌握一次函数的图象性质． （1）将、代入函数解析式即可求解． （2）根据表格描点连线即可． （3）观察函数图象，从对称性等方面得出性质． （4）①根据图象确定方程解的个数； ②观察图象得出结论； ③根据函数图象分情况作答即可； 【小问1详解】 解：将、代入函数解析式， 当时，； 当时，； 故，． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据表格描点、连线，如图所示： 【小问3详解】 解：观察图象，可知：函数的图象关于轴对称． 故答案为：函数的图象关于轴对称； 【小问4详解】 解：①观察图象可知， 的图象与有两个交点， 故方程有2个解； 故答案为：2； ②观察图象可知，的图象与直线有一个交点， 在的下方无交点， 故要使关于的方程无解， 需． 故答案为：； ③当时，， 即函数必过， 当时，如图，当时，与右半段平行，此时与有1个交点， 即当时，与有2个交点，此时； 当时，同理可得当时，与有2个交点，此时； 当时，，由①可知此时与有2个交点； 综上所述，当时，关于的方程有两个不相等的实数解． 22. 某网店准备购进一批手机快充充电器（简称“快充”）和手机慢充充电器（简称“慢充”）进行销售．已知每个快充的进价比每个慢充的进价多20元，购进10个快充和5个慢充共需花费350元．这两种充电器的进价和售价如下表． 快充 慢充 进价/（元/个） 售价/（元/个） 40 15 （1）求a，b的值． （2）“五一劳动节”前夕，该网店准备购进这两种充电器共100个进行试销，根据市场需求，快充需要购进75个及以上，且快充的数量不超过慢充数量的4倍．请问共有几种进货方案？请通过计算说明理由． （3）“五一劳动节”期间，该网店开展优惠促销活动，决定对每个快充的售价优惠元，慢充的售价不变，在（2）的条件下，请直接写出：要使销售完这100个充电器获得的总利润最大，应如何进货？ 【答案】（1）的值为30，b的值为10 （2）共有6种进货方案，见解析 （3）当时，快充进80个、慢充进20个，售完这100个充电器获得的总利润最大； 当时，（2）中的6种进货方案都可以使售完这100个充电器获得的总利润最大，即最大值为500元； 当时，快充进75个、慢充进25个，售完这100个充电器获得的总利润最大 【解析】 【分析】（1）由表格可知，快充的进价为元，慢充的进价为元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设购进快充个，则购进慢充个，根据题意列出不等式组，求出快充个数的取值范围，结合为正整数即可确定有几种进货方案； （3）设销售完这100个充电器获得的总利润为元，列出总利润与快充数量的关系式， 分情况讨论：当或或时，结合的取值范围及一次函数的增减性求解即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，快充的进价为元，慢充的进价为元， 由题意得：， 解得：， 答：的值为30，b的值为10； 【小问2详解】 解：共有6种进货方案，理由如下： 设购进快充个，则购进慢充个， 由题意得：， 解得：， 由于为整数， 则的取值可以为：75、76、77、78、79、80， 因此，共有6种进货方案； 【小问3详解】 解：设销售完这100个充电器获得的总利润为元， 根据题意得：， 分以下三种情况讨论： 由（2）知，， ①当，即时， 此时随的增大而增大， 则当时，最大，此时； ②当，即时，不随的变化而变化，此时的值为500； ③当，即时，随的增大而减小， 则当时，最大，此时； 综上所述，当时，快充进80个、慢充进20个，售完这100个充电器获得的总利润最大； 当时，（2）中的6种进货方案都可以使售完这100个充电器获得的总利润最大，即最大值为500元； 当时，快充进75个、慢充进25个，售完这100个充电器获得的总利润最大． 【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式组、一次函数的应用，根据已知条件列出方程组和不等式组，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 23. 在现实生活中，我们经常会看到许多长与宽之比是的矩形，例如我们的课本封面、打印纸，我们称这样的矩形为标准矩形． 【操作判断】 如图，已知矩形是一个标准矩形，其中，，分别是，的中点，连接． （1）矩形 标准矩形填“是”或“不是”． 【深入探究】 将矩形绕点顺时针旋转得到矩形， （2）如图，当恰好经过点时，旋转角的度数是 ，线段的长是 ． （3）如图，当矩形在平面内绕点旋转时，连接，，直线与线段交于点，猜想与的数量关系，并证明． 【拓展应用】 （4）在矩形旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）是 （2）， （3），证明见解析 （4）或 【解析】 【分析】（1）先算出矩形的长和宽，再验证长与宽的比； （2）在直角三角形里，用三角函数算出，从而得到旋转角，再用的长度减去的长度，得到； （3）过、向作垂线，先证两个小三角形全等得到垂线段相等，再证包含、的两个三角形全等，从而得出； （4）分在线段上和延长线上两种情况，先证和是等边三角形，再结合勾股定理和（3）的结论，分别算出两种情况下的长度． 【小问1详解】 解：， ， 、分别是，的中点， ， ， ∴矩形是标准矩形． 【小问2详解】 解：当恰好经过点时， 中，，， ， ，， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，， 由旋转的性质，可知，，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，， ， ． 【小问4详解】 解：①如图，当点在线段上时，， ，，， ， ， ， 连接，，则， ， ， 是等边三角形， ， 由（3）可知，， ，， ， ， 是等边三角形， 过点作于， ， ， ，， 在中，， ； ②如图，当点在线段的延长线上时，连接，，过点作于点， 同理可得是等边三角形， ， 综上所述，线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 一、选择题（10小题，共30分） 1. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 正方形具有而菱形不一定有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角相等 D. 邻边相等 3. 下列关于变量x与y关系的图形中，能够表示“y是x的函数”的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线与直线交于点，则关于x，y的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形，，的面积依次为，，，则正方形的面积为（ ）． A. B. C. D. 6. 小伟参加如奕围棋学生社团年度校园挑战赛，共进行了场比赛．积分统计小组根据小伟这场比赛的得分作了如图统计图，下列说法正确的是（ ） A. 比赛最高得分是分 B. 比赛得分的中位数是分 C. 比赛得分数据集中在分之间 D. 比赛得分的上四分位数是分 7. 如图，在中，对角线，相交于点O，，，，则的长为（ ） A. B. 6 C. 7 D. 8. 如图，点在的内部，平分，于点，是的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（5小题，共15分） 11. 要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 12. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像如图所示，且经过点，那么当________时，． 13. 如图，在中，按以下步骤尺规作图：①以点C为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于点G，H；②分别以点G，H为圆心，大于的长为半径作弧，交于点P；③连接并延长交于点E；④过点E作交于点F．，，则四边形的周长为________． 14. 如图，在中，于点于点且点是的中点，的周长是，则_____． 15. 如图，是等边三角形，点在上，，，是射线上的一个动点，连接．以为边，在的左侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，的长为________． 三、解答题（8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 笔直的河流一侧有一旅游地点G，河边有两个漂流点A、B，且点A到点B的距离等于点A到点G的距离．近阶段由于点G到点A的路线处于维修中，为方便游客决定在河边新建一个漂流点C（点A、B、C在同一条直线上），并新建一条路，测得km，km，km． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求原路线的长． 18. 如图，直线：与直线：相交于点． （1）求b，m的值； （2）垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，若线段长为2，求a的值． 19. 为了更好的了解孩子们的体育水平，全力备战中考，某校体育组从初三年级体考成绩中随机抽查了20名男生和20名女生的体考成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：，，，），下面给出了部分信息： 20名男生的体考成绩（单位：分）：50，50，50，49，49，49，48，47，47，46，46，46，46，45，44，44，43，42，40，39； 20名女生的体考成绩为等级的数据是：46，46，46，47，47，45，46． 所抽取的学生体考成绩统计表 性别 平均数 中位数 众数 男 46 46 女 48 所抽取的20名女生的体考成绩扇形 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中______，组圆心角度数______． （2）根据以上数据，你认为该校男生的体育成绩好还是女生的体育成绩好？请说明理由（一条即可）； （3）该校初三年级共有1600名学生，参与此次体考测试，其中男女生的比例为，估计初三年级参加测试的学生等级为的共有多少人？ 20. 如图，在四边形中，对角线与相交于点O，垂直平分． （1）尺规作图：作，交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形为菱形． 21. 学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． （1）列表：与的部分对应值如表：则______，______． … 0 1 2 3 … … 0 1 … （2）描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； （3）结合图象，写出一条函数的性质：______． （4）根据函数图象填空： ①方程有______个解； ②若关于的方程无解，则的取值范围是______． ③若关于的方程有两个不相等的实数解，直接写出实数的取值范围． 22. 某网店准备购进一批手机快充充电器（简称“快充”）和手机慢充充电器（简称“慢充”）进行销售．已知每个快充的进价比每个慢充的进价多20元，购进10个快充和5个慢充共需花费350元．这两种充电器的进价和售价如下表． 快充 慢充 进价/（元/个） 售价/（元/个） 40 15 （1）求a，b的值． （2）“五一劳动节”前夕，该网店准备购进这两种充电器共100个进行试销，根据市场需求，快充需要购进75个及以上，且快充的数量不超过慢充数量的4倍．请问共有几种进货方案？请通过计算说明理由． （3）“五一劳动节”期间，该网店开展优惠促销活动，决定对每个快充的售价优惠元，慢充的售价不变，在（2）的条件下，请直接写出：要使销售完这100个充电器获得的总利润最大，应如何进货？ 23. 在现实生活中，我们经常会看到许多长与宽之比是的矩形，例如我们的课本封面、打印纸，我们称这样的矩形为标准矩形． 【操作判断】 如图，已知矩形是一个标准矩形，其中，，分别是，的中点，连接． （1）矩形 标准矩形填“是”或“不是”． 【深入探究】 将矩形绕点顺时针旋转得到矩形， （2）如图，当恰好经过点时，旋转角的度数是 ，线段的长是 ． （3）如图，当矩形在平面内绕点旋转时，连接，，直线与线段交于点，猜想与的数量关系，并证明． 【拓展应用】 （4）在矩形旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $