精品解析：河南省信阳市浉河中学2024-2025学年八年级下学期4月月考数学试卷

八年级数学 一、选择题 1. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次根式的性质逐一进行计算，即可得到答案． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意，选项错误； B、，原计算正确，符合题意，选项正确； C、，原计算错误，不符合题意，选项错误； D、，原计算错误，不符合题意，选项错误， 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，灵活应用二次根式的性质进行计算是解题关键． 2. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ） A. B. 3、4、5 C. D. 9、12、15 【答案】A 【解析】 【分析】的三边分别为 如果 那么是直角三角形，根据勾股定理的逆定理逐一分析判断即可. 【详解】解： 故A符合题意， 故B不符合题意， 故C不符合题意， 故D不符合题意， 故选A 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，掌握“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解本题的关键. 3. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可； 【详解】解：平行四边形对角相等，故A错误； 一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误； 三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键． 4. 图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意先求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 在中， ． 故选：A． 【点睛】本题意考查勾股定理，熟练运用勾股定理求直角三角形的边长是解题关键． 5. 如图，矩形的对角线相交于点O，，，则矩形对角线的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质，得到为等边三角形，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵矩形的对角线相交于点O， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质．熟练掌握矩形的对角线相等且平分，是解题的关键． 6. 如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的对边相等的性质求得；然后利用三角形中位线定理求得即可解答． 【详解】解：如图，在平行四边形中，． ，分别为的中点， 是的中位线， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理来求有关线段的长度是解答本题的关键． 7. 四边形具有不稳定性，在如图所示平面直角坐标系中，矩形的边固定在轴上，．推动矩形得到平行四边形，点的对应点恰好落在轴上．若，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理，可得，根据平行四边形的性质，可得答案．本题考查了矩形性质、平行四边形的性质，利用平行四边形的性质得出，，是解题关键． 【详解】解：∵， 由勾股定理，得 ， 即． ∵矩形的边在轴上，四边形是平行四边形， ∴，， ∴与的纵坐标相等， 故选：B 8. 如图，在中，，连接，作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，若，则的长是（　　） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质及含度角的直角三角形的性质是解题的关键． 由可得，由平行四边形的性质可得，，，由邻补角互补可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，由可得，再结合，可证得四边形是平行四边形，于是可得，则，由此即可求出的长． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故选：． 9. 如图，中，，，，线段长是5，且两个端点、分别在边，上滑动，点、分别是、的中点，求的最小值（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理，最短距离等知识，连接、,由勾股定理求得,再由直角三角形斜边上的中线性质得出，当在同一直线上时，取最小值，即可得出答案，熟练掌握其性质得出三点在同一直线上时，取最小值是解决此题的关键． 【详解】解：如图，连接, 在中，, 由勾股定理得：, ,点、分别是、的中点， ,, 当在同一直线上时，取最小值， 的最小值为：, 故选：． 10. 如图，在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论：①；②；③；④四边形的面积为正方形面积的；⑤．其中正确的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据正方形的性质得到，，，，利用全等三角形判定推出，可判断①；由全等三角形的性质可得，，可判断②；由和得出，可判断③；由得到，可判断④；利用勾股定理可判断⑤，即可得出结论． 【详解】解：四边形是正方形， ，，，， ， ， ，即， ，故①正确； ， ，， ，即，故②正确； ，， 是等腰直角三角形， ， 若需证，则需证，而题目条件无法证明，故③不正确； ， ， ， 正方形， ， 四边形的面积为正方形面积的，故④正确； ， ，故⑤正确； 综上所述，其中正确的有①②④⑤，正确的个数是4． 故选：C． 二、填空题 11. 要使代数式有意义，则的取值范围是 _____________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了了分式和二次根式有意义的条件，根据分式和二次根式有意义的条件求解即可，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得： ， 解得：且， 故答案为：且． 12. 如图，在中，，，平分交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，等角对等边，由平行四边形的性质得，，进而得，由角平分线的性质得，得到，即得，再根据线段的和差关系即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“优美平行四边形”．如果一个“优美平行四边形”的一组邻边长为和4，那么它的较长的对角线长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、“优美平行四边形”、勾股定理、直角三角形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．由勾股定理求出，再求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】：如图，中，，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴平行四边形的较长的对角线长为， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点，分别是边，上的点，已知点，点，连接，则的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】延长到使，作轴于，由正方形的性质推出，得到，，由，得到，得到，即可证明，得到，即可得到的周长，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：延长到使，作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 周长， 的坐标是， ，， ， 的周长是． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形的性质，关键是通过作辅助线构造全等三角形，证明的周长． 15. 如图，在中，，，点是线段上的动点，连结，．当是以为腰的等腰三角形时，的长为_______． 【答案】5或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形、二次根式的应用，正确分两种情况讨论是解题关键．分两种情况：①当时，②当时，过点作于点，先利用三角形的面积公式可得，再利用勾股定理求出，从而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：①当时，是以为腰的等腰三角形； ②当时，是以为腰的等腰三角形， 如图，过点作于点， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴在中，； 综上，的长为5或， 故答案为：5或． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及二次根式的混合运算，平方根、绝对值、负整数指数幂、零指数幂以及乘法公式等，解题关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）先化简二次根式，绝对值，负整数指数幂，零次幂，再计算加减即可； （2）先根据平方差公式，二次根式的除法计算，再计算减法即可． 【小问1详解】 解：      ； 【小问2详解】 解：        ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可． 【详解】解：原式， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键． 18. 《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问葭长几何．其大意为：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．（1丈尺） 解决下列问题： （1）示意图中，线段的长为______尺，线段的长为______尺； （2）求芦苇的长度． 【答案】（1）， （2）尺 【解析】 【分析】（1）直接利用水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，且边长为尺的正方形，为中点，即可得出答案； （2）根据题意，可知的长为尺，则尺，设芦苇长尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长． 【小问1详解】 由题意可得：尺，尺， 故答案为：，； 【小问2详解】 设芦苇长尺， 则水深尺， 在中， ， 解得：， 则（尺）， 答：芦苇长尺． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解本题的关键是数形结合以及表示出直角三角形的各边长． 19. 如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）． （2）证明（1）中得到的四边形是菱形 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是： （1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）先证明四边形是平行四边形，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出，最后根据菱形的判定即可得证． 【小问1详解】 解：如图， ； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∴平行四边形是菱形． 20. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接． （1）求证：； （2）若点为中点，当______时，四边形是正方形． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定； （1）先证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可； （2）先证明四边形是菱形，进而可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； 【小问2详解】 为中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，为中点， ， 四边形是菱形； 若四边形是正方形，则， 又四边形是菱形， ， ， ∴ 故答案为：． 21. 定义：有一个内角为，且对角线相等的四边形称为准矩形． （1）①如图1，准矩形中，，若，，则_____； ②如图2，直角坐标系中，，，若整点使得四边形是准矩形，则点坐标是_____；（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点） （2）如图3，正方形中，点、分别是边、上的点，且，求证：四边形是准矩形； （3）已知，准矩形中，，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出这个准矩形的面积是_____． 【答案】（1）①；②或； （2）证明见解析； （3）或 【解析】 【分析】（1）①利用准矩形的定义和勾股定理计算； ②根据准矩形的特点和整点的特点求出即可； （2）先利用正方形的性质判断出，即可得到结论； （3）分两种种情况分别计算，用到梯形面积公式，对角线面积公式，对角线互相垂直的四边形的面积计算方法． 【小问1详解】 解：①， ， 故答案为：， ②，， ， 设点，， ， ，都为整数， 点或； 故答案为：或； 【小问2详解】 解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是准矩形； 【小问3详解】 解：，，， ， 准矩形中，， ①当时，如图1，作， ， ， ； ②当时，如图2， 作， ∵， ， ， ； 故答案为:或 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了新定义，勾股定理，梯形面积公式，对角线面积公式，三角形面积公式，全等三角形的判定及性质，分情况计算是解本题的难点． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，且． （1）点的坐标为______； （2）动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动设点运动的时间为秒（），求当为何值时，的面积是平行四边形面积的一半？ （3）当动点运动到中点时，在平面直角坐标系中找到一点，使得以、、、为顶点且以为边的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）当点运动秒时，的面积是平行四边形的一半 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、坐标与图形的性质、三角形的面积、平移的性质等知识． （1）根据平行四边形与直角坐标系中坐标的性质，可直接写出点的坐标； （2），根据三角形的面积公式列出方程，继而求出此时的值即可； （3）求出点坐标，分两种情况：①若为平行四边形，②若为平行四边形，然后根据平行四边形的性质直接写出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形，点的坐标为， ，与平行， 点的坐标为， 点的坐标为 故答案为：； 小问2详解】 解：根据题意得：， 如图，过点作轴于点 ∵． ∴ ∴ ∴，则 ∴ 化简得：， 解得：或（舍去）， 即当点运动秒时，的面积是平行四边形的一半； 【小问3详解】 解：为的中点，， ， 若以、、、为顶点且以为边的四边形是平行四边形，可分两种情况： ①若为平行四边形，则，， ，， 点向右平移个单位、向上平移个单位得到点， 向右平移个单位、向上平移个单位得到点， ； ②若为平行四边形，则，， ，， ； 综上所述，点的坐标为或． 23. 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“正方形折叠”为主题开展数学活动． 【动手实践】 （1）如图（1），已知正方形纸片，数学小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，点B的对应点为点M，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠使与重合，折痕为，易知点E、M、F共线，则 °，三条线段的关系为 ； 拓展应用】 （2）解决下面问题： ①如图（2）作于点N，交于点P，求证：； ②如图（3），数学小组在图（1）基础上进行如下操作：将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点为点N，他们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，若点N恰好落在边上，，请直接写出此时的长度． 【答案】（1），； （2）①见详解；②的长为或． 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可得，由此可得．由可得三点共线．又由可得． （2）①由，可得，于是可得，由“同角的余角相等”可得，最后根据角边角即可证明． ②分两种情况：当点N落在上时，当点N落在上时，分别利用三角函数解直角三角形即可求得的长． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ． 沿折叠后得，沿折叠后得， ， ， ， 即． ， ． 三点共线． ， ， ． 故答案为：，． （2）①∵， ． ， ， ． 中，， ． 中，， ， ． 在和中， ， ． ②如图，当点N落在上时， ∵四边形是正方形， ． 由折叠的性质可得， ， ． ， ∴； 如图，当N落在上时， ∵四边形是正方形， ， 由折叠的性质可得， 又， ， ∴， ， ， ， 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、利用三角函数解直角三角形，综合性强，难度较大．熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 一、选择题 1. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ） A. B. 3、4、5 C. D. 9、12、15 3. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 4. 图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，则的值为（　　） A B. C. D. 5. 如图，矩形的对角线相交于点O，，，则矩形对角线的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 6. 如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 不确定 7. 四边形具有不稳定性，在如图所示平面直角坐标系中，矩形的边固定在轴上，．推动矩形得到平行四边形，点的对应点恰好落在轴上．若，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，连接，作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，若，则的长是（　　） A. 1 B. 2 C. D. 9. 如图，中，，，，线段长是5，且两个端点、分别在边，上滑动，点、分别是、的中点，求的最小值（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 10. 如图，在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论：①；②；③；④四边形的面积为正方形面积的；⑤．其中正确的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题 11. 要使代数式有意义，则的取值范围是 _____________． 12. 如图，在中，，，平分交于点，则______． 13. 我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“优美平行四边形”．如果一个“优美平行四边形”的一组邻边长为和4，那么它的较长的对角线长为___________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点，分别是边，上点，已知点，点，连接，则的周长为___________． 15. 如图，在中，，，点是线段上的动点，连结，．当是以为腰的等腰三角形时，的长为_______． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问葭长几何．其大意为：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．（1丈尺） 解决下列问题： （1）示意图中，线段的长为______尺，线段的长为______尺； （2）求芦苇的长度． 19. 如图，在中，是斜边上中线，交的延长线于点E． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）． （2）证明（1）中得到四边形是菱形 20. 如图，在中，，过点C直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接． （1）求证：； （2）若点为中点，当______时，四边形是正方形． 21. 定义：有一个内角为，且对角线相等的四边形称为准矩形． （1）①如图1，准矩形中，，若，，则_____； ②如图2，直角坐标系中，，，若整点使得四边形是准矩形，则点的坐标是_____；（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点） （2）如图3，正方形中，点、分别是边、上的点，且，求证：四边形是准矩形； （3）已知，准矩形中，，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出这个准矩形的面积是_____． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，且． （1）点的坐标为______； （2）动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动设点运动的时间为秒（），求当为何值时，的面积是平行四边形面积的一半？ （3）当动点运动到中点时，在平面直角坐标系中找到一点，使得以、、、为顶点且以为边的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 23. 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“正方形折叠”为主题开展数学活动． 【动手实践】 （1）如图（1），已知正方形纸片，数学小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，点B的对应点为点M，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠使与重合，折痕为，易知点E、M、F共线，则 °，三条线段的关系为 ； 【拓展应用】 （2）解决下面问题： ①如图（2）作于点N，交于点P，求证：； ②如图（3），数学小组在图（1）的基础上进行如下操作：将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点为点N，他们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，若点N恰好落在边上，，请直接写出此时的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $