26.2.2 第1课时 二次函数y=ax²+k的图象和性质 教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数y=ax²+k的图象和性质，通过复习y=ax²的开口方向、顶点坐标等性质，提出y=ax²+1与y=ax²的异同问题，搭建旧知到新知的学习支架。 此资料亮点在于探究环节引导学生动手列表描点画y=2x²+2和y=2x²-2的图象，观察归纳平移规律，培养几何直观与空间观念，典例精析结合数形结合思想，发展推理意识，帮助学生理解a、k对图象的影响，提升学生数学思维，也为教师提供清晰教学路径。

26.2.2　二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质 教学设计 课题 26.2.2 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质 授课人 教学目标 1.（2022新课标）能画二次函数 y=ax2+k 的图象. 2.（2022新课标）通过图象了解二次函数 y=ax2+k 的性质.理解a，k对二次函数图象的影响，能正确说出两个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 3.知道二次函数 y=ax2 与 y=ax2+k 的联系.了解二次函数y＝ax2的图象上下平移的规律. 4.会用“数形结合”的思想比较二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的解析式、函数对应表和图象关系.会应用二次函数y=ax2+k 的性质解题. 教学重点 画二次函数y＝ax2和y＝ax2＋k的图象，比较它们之间的异同，了解它们的性质. 教学难点 对二次函数y＝ax2＋k的图象与性质的理解，掌握抛物线上下平移的规律. 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 情境导入 （1）二次函数y＝2x2的图象是　抛物线　，它的开口向　上　，顶点坐标是　（0，0）　，对称轴是　y轴　，在对称轴的左侧，y随x的增大而　减小　，在对称轴的右侧，y随x的增大而　增大　，二次函数y＝2x2在x＝　0　时，取得最　小　值，其最小值是　0　. （2）二次函数y＝2x2＋1与二次函数y＝2x2的解析式有什么相同点和不同点？它们图象的开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？ 学生自主解答问题，教师根据学生的回答做好总结，从而引入新课. 通过创设情境，以问题形式引导学生复习二次函数y＝ax2的图象和性质，为后面学习新课做好铺垫 探究新知 二次函数y=ax2+k的图象 1.问题：在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2＋2和y＝2x2－2的图象. 师生活动：先让学生回顾画二次函数图象的步骤：列表、描点、连线，再画出二次函数y＝2x2＋2和y＝2x2－2的图象. （1）列表：教师给出表格，学生填表. x … －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 … y＝2x2＋2 … 6.5 4 2.5 2 2.5 4 6.5 … y＝2x2－2 … 2.5 0 －1.5 －2 －1.5 0 2.5 … （2）描点：用表格中的各组对应值作为点的坐标，进行描点. （3）连线：用平滑的曲线顺次连接各点，得到二次函数y＝2x2＋2和y＝2x2－2的图象. 2.思考：观察二次函数y＝2x2＋2和y＝2x2－2的图象，探究二次函数y＝2x2＋2与y＝2x2－2的图象之间的关系. (1)先让学生观察函数的图象，研究自变量相同的两个二次函数图象上点的位置有何关系. (2)二次函数y＝2x2＋2和y＝2x2－2的图象之间有什么关系？ 学生归纳：二次函数y＝2x2＋2的图象可以看成是将二次函数y＝2x2－2的图象向上平移4个单位长度得到的. 3.思考：(1)抛物线y＝2x2＋2和y＝2x2－2的开口方向、对称轴和顶点坐标各是什么？ (2)抛物线y＝2x2＋2和y＝2x2－2与抛物线y＝2x2有什么关系？ 教师指导学生观察函数图象，学生自主进行回答，达成共识： (1)开口方向都向上，对称轴都是y轴，顶点坐标分别是(0，2)，(0，－2). (2)把抛物线y＝2x2向上平移2个单位长度得到抛物线y＝2x2＋2，向下平移2个单位长度得到抛物线y＝2x2－2. 4.思考：抛物线y＝ax2＋k和y＝ax2有什么关系？ 师生活动：学生分组交流、讨论，做好总结归纳，教师指导各个小组发表见解，最后师生共同总结： (1)开口方向相同，对称轴都是y轴，顶点不同，顶点坐标分别是(0，k)，(0，0). (2)当k>0时，抛物线y＝ax2＋k是由抛物线y＝ax2向上平移k个单位长度得到的；当k<0时，抛物线y＝ax2＋k是由抛物线y＝ax2向下平移|k|个单位长度得到的. 通过具体例子，让学生画函数图象，启发学生观察，思考，归纳出二次函数的图象和性质，让学生在实践中感悟，提高学生利用数形结合思想解决问题的能力。 典例精析 【例1】关于二次函数y＝2x2＋4，下列说法错误的是（　　） A．其图象的开口方向向上 B．当x＝0时，y有最大值4 C．其图象的对称轴是y轴 D．其图象的顶点坐标为(0，4) 答案：B. 【例2】关于抛物线y＝－x2＋1与y＝x2－1，下列说法正确的是（　　） A．开口方向相同 B．顶点相同 C．对称轴相同 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 答案：C. 【方法总结】 由二次函数的解析式推断抛物线性质的方法 (1)a决定抛物线的开口方向，且|a|的大小决定开口的大小.特别地，当两个抛物线形状一样时，两者的|a|是相等的； (2)k确定抛物线与对称轴交点的纵坐标. 【例3】在直角坐标系中，函数y＝3x与y＝－x2＋1的图象大致是（　　） 【解析】∵y＝3x的比例系数k＝3＞0， ∴y随x的增大而增大，即直线从左到右呈上升趋势，故排除A，C． 又二次函数y＝－x2＋1的图象开口向下，∴排除B． 答案：D. 【方法总结】 解决根据解析式判断函数图象问题，关键是把题目中的多个函数逐个单独分析，确定每个函数的核心特征，利用特征进行判断. 师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答． 本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流，注重类比是帮助学生正确理解知识的有效方法。 随堂检测 1．已知抛物线y＝2x2－3． （1）它的开口向____，对称轴为______，顶点坐标为__________； （2）把抛物线y＝2x2______________________可得抛物线y＝2x2－3； （3）若点(－4，y1)，(－1，y2)在抛物线y＝2x2－3上，则y1____y2（填“＞”“＜”或“＝”）． 答案：（1）上 y轴 （0，-3） （2）向下平移3个单位长度 （3）＞ 2．关于二次函数y＝－2x2＋3，下列说法中正确的是（　　） A．它的图象开口方向向上 B．当x＜0时，y随x的增大而增大 C．它的顶点坐标是(3，0) D．当x＝0时，y有最小值是3 答案：B. 3．如果将抛物线y＝x²＋2向下平移3个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是__________． 答案：y＝x2－1 4．二次函数y＝mx2＋m－2的图象的顶点在y轴的负半轴上，且开口向上，则m的取值范围为___________． 答案：0＜m＜2. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况. 课堂小结 【课堂小结】 引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？ 1. 方法层面 学习了二次函数y=ax2+k的图象和性质，延续数形结合的核心思想，通过平移法推导图象，对比y=ax2的图象探究新函数的特征，体会“由简到繁、类比迁移”的函数研究方法，理清参数变化对函数图象的影响，掌握图象平移与解析式的对应关系. 2. 知识内容层面 掌握二次函数y=ax2+k的图象特征、平移规律、核心性质以及参a、k的作用. 3. 概念联系与区别 联系：y=ax2+k是y=ax2的延伸，二者图象形状相同、对称轴相同、增减性一致，都属于顶点在y轴上的二次函数，k=0时即为y=ax2. 区别：y=ax2顶点在原点(0,0)，最值为0；y=ax2+k顶点在(0,k)，图象上下平移，最值变为k，参数k只改变图象位置，不改变形状、开口和增减性. 【知识网络】 教学说明：教师提问并引导学生总结归纳二次函数y=ax2+k的图象和性质． 巩固所学知识，加深对二次函数y=ax2+k的图象和性质 相关概念的理解. 作业布置 板书设计 二次函数y=ax2+k的图象和性质 1.图象 2.性质. 3.与y=ax2 的关系 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $