广东深圳市南山区2025-2026学年下学期八年级数学 期末自编模拟

**基本信息** 深圳市南山区八年级下数学期末模拟卷，以不等式、几何变换、平行四边形等核心知识为载体，融入三星堆文物、哪吒电影等时代情境，通过基础辨析、动态探究（如平行四边形存在性）和跨情境应用（如促销方案比较），考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|不等式性质、平移、因式分解|三星堆平移题结合文化传承，考查几何直观| |填空题|5/15|等腰三角形底角、平行四边形内角、动态存在性|第13题动态探究，培养空间观念与创新意识| |解答题|7/61|不等式组解法、几何证明、经济应用题|20题分层探究（从证明到旋转拓展）发展推理能力；18题哪吒娃娃模型应用，体现数据意识|

深圳市南山区2025-2026学年第二学期八年级下数学 期末模拟 一．选择题（每小题3分，共8小题，合计24分） 1．下列变形错误的是（　　） A．由a+5＞b+5，得a＞b B．由a＜b，得a﹣2＜b﹣2 C．由﹣3x＞3，得x＞﹣1 D．由2x＞﹣4，得x＞﹣2 2．三星堆出土文物中的“青铜持鸟立人”为研究古蜀文明提供了丰富的实物资料．下列“青铜持鸟立人”的图形中，可以由图片只经过平移得到的是（　　） A． B． C． D． 3．下面各式因式分解正确的是（　　） A．x2y﹣xy2+xy＝xy（x﹣y） B．x2+y2＝（x+y）（x﹣y） C．4x2﹣4xy+y2＝（2x﹣y）2 D．x2+x﹣12＝（x+3）（x﹣4） 4．若关于x的一元一次不等式（a﹣3）x＜（a﹣3）的解集为x＞1，则a的值可以是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．下列说法错误的是（　　） A．图形的平移后，每组对应点之间的距离相等 B．图形的旋转后，对应点到旋转中心的距离相等 C．两个图形如果关于一条直线成轴对称，那么由这两个图形所组成的图形是轴对称图形 D．两个图形关于一条直线成轴对称，连接对称点的线段和对称轴互相垂直平分 6．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，FD⊥AB交CB的延长线于点F．若AF＝3，CF＝7，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 7．已知：如图，在△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P．则下列结论一定成立的有（　　）个． ①PA＝PB＝PC．②点P在AC的垂直平分线上．③∠APB＝2∠ACB ④∠BPC＝90°∠BAC；⑤∠BAP＝∠CAP． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．AC为平行四边形ABCD的对角线，∠CAE＝45°，AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，AE，CF交于点H，连接BH和DH，射线CF交线段DA的延长线于点G．①∠ABE＝∠CHE；②CH＝CD；③；④BH2+AC2＝DH2．上述结论正确的有（　　） A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③④ 二．填空题（每小题3分，共5小题，合计15分） 9．等腰三角形的一个角是130°，则它的底角为　 　 °． 10．在▱ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠B的度数为　 　 ° 11．如图，某市地铁站入口的闸机双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝52cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，那么两机箱之间的距离CD为　 　 cm． 12．已知关于x的不等式组无解，则m的取值范围是　 　 ． 13．如图，在等边三角形ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发，沿射线AG以2cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以4cm/s的速度运动．设它们运动的时间为ts，则当t＝ 　 　 时，以点A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 三．解答题（共7小题，合计61分） 14．（9分）下面是小明解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：不等式①，去分母，得1﹣2x+3≥0．（第一步） 移项，合并同类项，得﹣2x≥﹣4．（第二步） 系数化为1，得x≥2．（第三步） 解不等式②，得（第四步） 所以原不等式组无解．（第五步） 根据以上材料，解答下列问题： （1）第一步去分母的依据是 　 　 ． （2）在解答过程中，从第 　 　 步开始出错，错误原因是 　 　 ． （3）解不等式组：． 15．（6分）先化简，再求值：，从﹣1，0，1，2中选择一个适当的数作为x的值代入求值． 16．（7分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线AP交BC于点G． （1）∠B＝70°，求∠AGB的度数； （2）若AB＝6，BC＝10，求CG的长． 17．（8分）如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE并延长到点F，使EF＝DE，连接FC． （1）求证：四边形BCFD是平行四边形； （2）若AD＝5，DE＝4，∠B＝30°，求四边形BCFD的面积． 18．（10分）根据以下素材，完成任务． 背景 我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了100亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃． 素材1 某商店在无促销活动时，若买5个A种娃娃、4个B种娃娃，共需250元；若买3个A种娃娃、3个B种娃娃，共需165元． 素材2 该商店线下促销活动：用50元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）； 该商店线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 问题解决 任务1 该商店在无促销活动时，求A种娃娃和B种娃娃的销售单价各是多少元？ 任务2 小明计划在促销期间购买A、B两种娃娃共18个，其中A款盲盒m个（0＜m＜18），若在线下凭会员卡购买，共需要　 　 元；若在线上淘宝店购买，共需要　 　 元．（均用含m的代数式表示） 任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买A种娃娃的数量在什么范围内时，线下凭会员卡购买方式更合算？ 19．（9分）定义：若一个不等式组A有解且解集为a＜x＜b（a＜b），则称为A的解集中点值；若A的解集中点值是不等式（组）B的解，即中点值满足不等式（组），则称不等式（组）B包含不等式组A的解集中点值． （1）已知关于x的不等式组以及不等式组B：2≤x＜5，证明不等式组B包含不等式组A的解集中点值； （2）已知关于x的不等式组以及不等式组，若不等式组D包含不等式组C的解集中点值，求m的取值范围； （3）已知关于x的不等式组和不等式组，若不等式组F包含不等式组E的解集中点值，且所有符合要求的整数m之和为9，求n的取值范围． 20．（12分）【问题初探】 △ABC和△DBE是两个都含有45°角的大小不同的直角三角板． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B，C在同一直线上，连接AD、CE，请证明：AD＝CE． 【类比探究】 （2）当三角板ABC保持不动时，将三角板DBE绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断AD与CE的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 如图（3），在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，BCCD，连接AC，BD，∠ACD＝45°，A到直线CD的距离为7，请求出△BCD的面积．816414 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市南山区2025-2026学年第二学期八年级下数学 期末模拟 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．下列变形错误的是（　　） A．由a+5＞b+5，得a＞b B．由a＜b，得a﹣2＜b﹣2 C．由﹣3x＞3，得x＞﹣1 D．由2x＞﹣4，得x＞﹣2 【分析】根据不等式两边加或减同一个数，不等号方向不改变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号方向不改变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变进行判断即可． 【解答】解：根据不等式两边加或减同一个数，不等号方向不改变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号方向不改变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变可得： A、∵a+5＞b+5，不等式两边同时减5，不等号方向不变，∴a＞b，变形正确，不符合题意； B、∵a＜b，不等式两边同时减2，不等号方向不变，∴a﹣2＜b﹣2，变形正确，不符合题意； C、∵﹣3x＞3，不等式两边同时除以﹣3，不等号方向需改变，得x＜﹣1，原变形错误，符合题意； D、∵2x＞﹣4，不等式两边同时除以2，不等号方向不变，∴x＞﹣2，变形正确，不符合题意． 故选：C． 2．三星堆出土文物中的“青铜持鸟立人”为研究古蜀文明提供了丰富的实物资料．下列“青铜持鸟立人”的图形中，可以由图片只经过平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，进行逐项分析，即可作答． 【解答】解：根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，进行逐项分析可得： 只有D选项的图形可以由所给图形平移得到． 故选：D． 3．下面各式因式分解正确的是（　　） A．x2y﹣xy2+xy＝xy（x﹣y） B．x2+y2＝（x+y）（x﹣y） C．4x2﹣4xy+y2＝（2x﹣y）2 D．x2+x﹣12＝（x+3）（x﹣4） 【分析】根据因式分解的方法逐项判断即可． 【解答】解：A、x2y﹣xy2+xy＝xy（x﹣y+1），选项因式分解错误，不符合题意； B、x2+y2不能因式分解，选项因式分解错误，不符合题意； C、4x2﹣4xy+y2＝（2x﹣y）2，选项因式分解正确，符合题意； D、x2+x﹣12＝（x﹣3）（x+4），选项因式分解错误，不符合题意． 故选：C． 4．若关于x的一元一次不等式（a﹣3）x＜（a﹣3）的解集为x＞1，则a的值可以是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据不等式的性质，可知a﹣3＜0，然后求解即可． 【解答】解：∵（a﹣3）x＜（a﹣3）的解集为x＞1， ∴a﹣3＜0， 解得a＜3， ∴a的值可以为2， 故选：A． 5．下列说法错误的是（　　） A．图形的平移后，每组对应点之间的距离相等 B．图形的旋转后，对应点到旋转中心的距离相等 C．两个图形如果关于一条直线成轴对称，那么由这两个图形所组成的图形是轴对称图形 D．两个图形关于一条直线成轴对称，连接对称点的线段和对称轴互相垂直平分 【分析】由平移的性质、旋转的性质、轴对称的性质依次判断可求解． 【解答】解：A、图形的平移后，每组对应点之间的距离相等，故选项A不符合题意； B、图形的旋转后，对应点到旋转中心的距离相等，故选项B不符合题意； C、两个图形如果关于一条直线成轴对称，那么由这两个图形所组成的图形是轴对称图形，故选项C不符合题意； D、两个图形关于一条直线成轴对称，连接对称点的线段被对称轴垂直平分，故选项D符合题意； 故选：D． 6．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，FD⊥AB交CB的延长线于点F．若AF＝3，CF＝7，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到BF＝AF＝3，进而求出BC，再根据三角形中位线定理解答即可． 【解答】解：∵D是AB的中点，FD⊥AB， ∴DF是线段AB的垂直平分线， ∴BF＝AF＝3， ∵CF＝7， ∴BC＝CF﹣BF＝7﹣3＝4， ∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEBC＝2， 故选：A． 7．已知：如图，在△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P．则下列结论一定成立的有（　　）个． ①PA＝PB＝PC． ②点P在AC的垂直平分线上． ③∠APB＝2∠ACB ④∠BPC＝90°∠BAC ⑤∠BAP＝∠CAP． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到PA＝PB＝PC，根据线段垂直平分线的判定定理、外心的概念判断即可． 【解答】解：∵边AB、BC的垂直平分线交于点P， ∴PA＝PB＝PC，①成立； ∵PA＝PC， ∴点P在AC的垂直平分线上，②正确； ∵边AB、BC的垂直平分线交于点P， ∴点P是△ABC的外心， ∴∠BPC＝2∠BAC，③正确； ∠BPC不一定等于90°+∠BAC，④错误； AP不一定是∠BAC的平分线， ∴∠BAP不一定等于∠CAP，⑤错误； 故选：B． 8．AC为平行四边形ABCD的对角线，∠CAE＝45°，AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，AE，CF交于点H，连接BH和DH，射线CF交线段DA的延长线于点G．①∠ABE＝∠CHE；②CH＝CD；③；④BH2+AC2＝DH2．上述结论正确的有（　　） A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③④ 【分析】证明△AEB≌△CEH，可得①②正确，用反证法判断③错误，证明∠HCD＝90°，推出DH2＝2CH2，再证明BH2+AC2＝2CH2，可得④正确． 【解答】解：∵AE⊥BC，∠CAE＝45°， ∴∠AEC＝90°，∠CAE＝∠ACE＝45°， ∴EA＝EC， ∵CF⊥AB， ∴∠AFH＝∠CEH＝90°， ∵∠AHF＝∠CHE， ∴∠BAE＝∠ECH， ∵∠AEB＝∠CEH＝90°， ∴△AEB≌△CEH（ASA）， ∴AB＝CH，∠ABE＝∠CHE，故①正确， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∴CD＝CH，故②正确， 假设BEEC， ∵△AEB≌△CEH， ∴BE＝EH， ∴EHECAE， ∴点H是AE的中点，显然与题意矛盾，故③错误， ∵AB∥CD，CF⊥AB， ∴CF⊥AC， ∴∠HCD＝90°， ∴DH2＝CH2+CD2＝2CH2， ∵BH2+AC2＝2EH2+2EC2＝2（EH2+EC2）＝2CH2， ∴BH2+AC2＝DH2，故④正确． 故选：C． 二．填空题（共5小题） 9．等腰三角形的一个角是130°，则它的底角为　25　 °． 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出答案． 【解答】解：∵等腰三角形的一个角为130°，且130°＞90°， ∴130°角为顶角， 设底角为x， ∴130°+x+x＝180°（三角形内角和定理）， 解得x＝25°， 所以等腰三角形的底角为25°． 故答案为：25． 10．在▱ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠B的度数为　130　 ° 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A＝∠C，又由∠A+∠C＝100°，即可求得∠A的度数，继而求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C， ∵∠A+∠C＝100°， ∴∠A＝∠C＝50°， ∴∠B＝180°﹣∠A＝130°． 故答案为130． 11．如图，某市地铁站入口的闸机双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝52cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，那么两机箱之间的距离CD为　62　 cm． 【分析】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出BF与AE的长度，然后求出EF的长度即可得出答案． 【解答】解：过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F， ∵AC＝BD＝52cm，∠PCA＝∠BDQ＝30°， ∴AEAC26（cm），BFBD26（cm）， ∴两机箱之间的最大宽度为 AE+AB+BF＝26+10+26＝62（cm）． 故答案为：62． 12．已知关于x的不等式组无解，则m的取值范围是m≤3　 ． 【分析】先按照一般步骤进行求解，因为大大小小无解，那么根据所解出的x的解集，将得到一个新的关于m不等式，解答即可． 【解答】解：由不等式组可得，因为不等式组无解，根据大大小小找不到的原则可知m≤3． 故答案为m≤3． 13．如图，在等边三角形ABC中，BC＝8cm，射线AG∥BC，点E从点A出发，沿射线AG以2cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以4cm/s的速度运动．设它们运动的时间为ts，则当t＝ 　或4　 时，以点A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】分两种情况，①当点F在C的左侧时，②当点F在C的右侧时，分别由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：根据题意得：AE＝2tcm，BF＝2tcm， 分两种情况： ①当点F在C的左侧时，CF＝BC﹣BF＝8﹣4t（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形， 即2t＝8﹣4t， 解得：t； ②当点F在C的右侧时，CF＝BF﹣BC＝4t﹣8（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即2t＝4t﹣8， 解得：t＝4； 综上所述，当t或4时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 故答案为：或4． 三．解答题（共7小题） 14．下面是小明解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：不等式①，去分母，得1﹣2x+3≥0．（第一步） 移项，合并同类项，得﹣2x≥﹣4．（第二步） 系数化为1，得x≥2．（第三步） 解不等式②，得（第四步） 所以原不等式组无解．（第五步） 根据以上材料，解答下列问题： （1）第一步去分母的依据是 　不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变　 ． （2）在解答过程中，从第 　三　 步开始出错，错误原因是 　不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向未改变　 ． （3）解不等式组：． 【分析】（1）根据不等式的基本性质2求解即可； （2）根据不等式的基本性质求解即可； （3）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：（1）第一步去分母的依据是：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变． 故答案为：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变； （2）在解答过程中，从第三步开始出错，错误原因是：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向未改变； 故答案为：三，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向未改变； （3）由得：x≤2， 由3（1﹣x）＞2x﹣4得：x， 则不等式组的解集为x． 15．先化简，再求值：，从﹣1，0，1，2中选择一个适当的数作为x的值代入求值． 【分析】先对原式括号内的式子进行通分计算，再将除法转化为乘法进行约分化简，最后根据分式分母不为零的条件选取合适的值代入求值． 【解答】解： ， ∵在化简过程中出现在分母中的因式， 有x+1、x、x﹣1， ∴x+1≠0，x≠0，x﹣1≠0， ∴x≠﹣1，x≠0，x≠1， ∴当x＝2时，原式． 16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线AP交BC于点G． （1）∠B＝70°，求∠AGB的度数； （2）若AB＝6，BC＝10，求CG的长． 【分析】（1）先利用平行线同旁内角互补求出∠BAD的度数，再根据角平分线定义得到∠DAG的度数，最后利用平行线内错角相等计算角度． （2）通过平行线性质和角平分线定义证明△ABG为等腰三角形，得到BG＝AB，再用BC减去BG的长度得到CG的长． 【解答】解：（1）∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠B＝180°， ∵∠B＝70°， ∴∠BAD＝180°﹣70°＝110°， 由尺规作图可知，AG平分∠BAD， ∴， ∴∠AGB＝∠DAG＝55°； （2）∵AD∥BC， ∴∠AGB＝∠DAG， ∵AG平分∠BAD，AB＝6， ∴∠BAG＝∠DAG， ∴∠BAG＝∠AGB， ∴BG＝AB，BG＝6， ∵BC＝10， ∴CG＝BC﹣BG＝4． 17．如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE并延长到点F，使EF＝DE，连接FC． （1）求证：四边形BCFD是平行四边形； （2）若AD＝5，DE＝4，∠B＝30°，求四边形BCFD的面积． 【分析】（1）证明DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，DEBC，再证明DF＝BC，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）过点D作DG⊥BC于点G，则∠DGB＝90°，由含30°角的直角三角形的性质得DGBD，再由平行四边形的性质得BC＝DF＝8，然后由平行四边形面积公式列式计算即可． 【解答】（1）证明：∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DEBC， ∵EF＝DE， ∴DF＝2DE＝BC，DF∥BC， ∴四边形BCFD是平行四边形； （2）解：如图，过点D作DG⊥BC于点G， 则∠DGB＝90°， ∵点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，DE＝4， ∴BD＝AD＝5，DF＝2DE＝8， ∵∠B＝30°， ∴DGBD， 由（1）可知，四边形BCFD是平行四边形， ∴BC＝DF＝8， ∴S平行四边形BCFD＝BC•DG＝820． 18．根据以下素材，完成任务． 背景 我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了100亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃． 素材1 某商店在无促销活动时，若买5个A种娃娃、4个B种娃娃，共需250元；若买3个A种娃娃、3个B种娃娃，共需165元． 素材2 该商店线下促销活动：用50元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）； 该商店线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 问题解决 任务1 该商店在无促销活动时，求A种娃娃和B种娃娃的销售单价各是多少元？ 任务2 小明计划在促销期间购买A、B两种娃娃共18个，其中A款盲盒m个（0＜m＜18），若在线下凭会员卡购买，共需要　（4m+410）　 元；若在线上淘宝店购买，共需要　（4.5m+405）　 元．（均用含m的代数式表示） 任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买A种娃娃的数量在什么范围内时，线下凭会员卡购买方式更合算？ 【分析】任务1：设A种娃娃销售单价为x元，B种娃娃销售单价为y元，根据买5个A种娃娃、4个B种娃娃，共需250元；买3个A种娃娃、3个B种娃娃，共需165元建立方程组求解即可； 任务2：根据所给折扣标准列式求解即可； 任务3：根据（2）所求令线下凭会员卡购买的费用小于在线购买的费用，据此建立不等式求解即可． 【解答】解：任务1：设A种娃娃销售单价为x元，B种娃娃销售单价为y元， 根据题意列方程组得， 解得， 即A种娃娃销售单价为30元，B种娃娃销售单价为25元， 答：该商店在无促销活动时，A种娃娃销售单价为30元，B种娃娃销售单价为25元； 任务2：由题意得，若在线下凭会员卡购买，共需要30×0.8m+25×0.8（18﹣m）+50＝（4m+410）元， 若在线上淘宝店购买，共需要30×0.9m+25×0.9（18﹣m）＝（4.5m+405）元， 故答案为：（4m+410）；（4.5m+405）； 任务3：由题意得，4m+410＜4.5m+405， ∴m＞10， ∴当10＜m＜18，即购买A种娃娃数量大于10个且小于18个时，线下凭会员卡购买方式更合算． 19．定义：若一个不等式组A有解且解集为a＜x＜b（a＜b），则称为A的解集中点值；若A的解集中点值是不等式（组）B的解，即中点值满足不等式（组），则称不等式（组）B包含不等式组A的解集中点值． （1）已知关于x的不等式组以及不等式组B：2≤x＜5，证明不等式组B包含不等式组A的解集中点值； （2）已知关于x的不等式组以及不等式组，若不等式组D包含不等式组C的解集中点值，求m的取值范围； （3）已知关于x的不等式组和不等式组，若不等式组F包含不等式组E的解集中点值，且所有符合要求的整数m之和为9，求n的取值范围． 【分析】（1）依据题意，解不等式组A：由5﹣x＞0，得x＜5；由3x﹣7＞2，得x＞3，则不等式组A的解集为：3＜x＜5，从而a＝3，b＝5，中点值为，结合不等式组B的解集为2≤x＜5，进而可以判断得解； （2）依据题意，解不等式组C：由x+3＞m得x＞m﹣3；由3x＜9m+15得x＜3m+5，故不等式组C的解集为m﹣3＜x＜3m+5，由m﹣3＜3m+5，可得m＞﹣4，又中点值为，结合不等式组D的解集为，则，可得﹣5≤m＜10，又m＞﹣4，进而可以判断得解； （3）依据题意，解不等式组E：∵x＜2m和x＞2n（n＜m），则2n＜x＜2m，中点值为，又解不等式组F：由x﹣n＜5得x＜n+5；由2x﹣m＞3n，可得，则不等式组F的解集为x＜n+5，又不等式组F对于不等式组E中点包含，可得n+m＜n+5，故符合条件的整数m需满足n＜m＜5，结合且其和为9，则可能的整数m为2，3，4，和为2+3+4＝9或m＝﹣1，0，1，2，3，4，和为﹣1+0+1+2+3+4＝9，进而可以判断得解． 【解答】（1）证明：由题意，解不等式组A：由5﹣x＞0，得x＜5；由3x﹣7＞2，得x＞3， ∴不等式组A的解集为：3＜x＜5， ∴a＝3，b＝5，中点值为． 又∵不等式组B的解集为2≤x＜5， ∴显然4满足2≤4＜5，故B包含A的解集中点值． （2）解：由题意，解不等式组C：由x+3＞m得x＞m﹣3；由3x＜9m+15得x＜3m+5， ∴不等式组C的解集为m﹣3＜x＜3m+5． ∵m﹣3＜3m+5， ∴m＞﹣4． 由题意可得，中点值为． 又∵不等式组D的解集为， ∴． ∴﹣5≤m＜10． 又∵m＞﹣4， ∴﹣4＜m＜10． （3）解：由题意，解不等式组E：∵x＜2m和x＞2n（n＜m）， ∴2n＜x＜2m，中点值为． 又∵解不等式组F：由x﹣n＜5得x＜n+5；由2x﹣m＞3n，可得， ∴不等式组F的解集为x＜n+5． ∵不等式组F对于不等式组E中点包含， ∴n+m＜n+5． ∴符合条件的整数m需满足n＜m＜5． 又∵且其和为9， ∴可能的整数m为2，3，4，和为2+3+4＝9或m＝﹣1，0，1，2，3，4，和为﹣1+0+1+2+3+4＝9． ∴n的取值范围1≤n＜2或﹣2≤n＜﹣1． 20．【问题初探】 △ABC和△DBE是两个都含有45°角的大小不同的直角三角板． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B，C在同一直线上，连接AD、CE，请证明：AD＝CE． 【类比探究】 （2）当三角板ABC保持不动时，将三角板DBE绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断AD与CE的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 如图（3），在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，BCCD，连接AC，BD，∠ACD＝45°，A到直线CD的距离为7，请求出△BCD的面积． 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质判断出△DBA≌△EBC即可得出结论； （2）先证明△DBA≌△EBC得到AD＝CE，∠ADB＝∠CEB，再延长AD与CE交于点O，证明∠ODE+∠OED＝90°即可得到AD⊥CE； 【拓展延伸】 过A作AC⊥AM交CD延长线于M，可证得△ABC≌△ADM，可得BC＝DM，再由CM＝14求出BC和CD的长即可． 【解答】解：（1）∵△ABC和△DBE是两个都含有45°角的大小不同的直角三角板，如图1， ∴∠DBE＝∠ABC＝90°，AB＝BC，BD＝BE， ∴△DBA≌△EBC（SAS）， ∴AD＝CE； （2）AD＝CE，AD⊥CE，理由如下： ∵∠DBE＝∠ABC＝90°， ∴∠DBA＝∠BCE＝90°﹣∠DBC， ∵AB＝BC，BD＝BE， ∴△DBA≌△EBC（SAS）， ∴AD＝CE，∠ADB＝∠CEB， 延长AD与CE交于点O，如图2， ∵∠BDE+∠BED＝90°， ∴∠BDE+∠BEC+∠CED＝90°， ∴∠BDE+∠ADB+∠CED＝90°， ∴∠ODE+∠OED＝90°， ∴∠O＝90°， ∴AD⊥CE； 【拓展延伸】 过A作AC⊥AM交CD延长线于M，过A作AN⊥CD交CD于N，如图3， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACD＝∠M＝45°， ∴AC＝AM， ∵∠BAD＝90°，AB＝AD， ∴∠BAC＝∠DAM＝90°﹣∠DAC， ∴△ABC≌△ADM（SAS）， ∴BC＝DM，∠ACB＝∠M＝45°， ∴∠ACD＝∠ACB+∠ACD＝90°， ∵A到直线CD的距离为7， ∴AN＝7， ∵AC＝AM， ∴CM＝2AN＝14， ∵，CM＝BC+DM＝BC+CD， ∴BC＝6，CD＝8， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $