第06讲 概率统计的综合（培优讲义）新高二数学人教A版

第06讲 概率统计的综合（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 分层随机抽样相关计算 2 知识点02 频率分布直方图的应用 3 知识点03 平均数、方差与标准差的性质 4 知识点04 百分位数 5 知识点05 互斥事件、对立事件与相互独立事件辨析 6 知识点06 相互独立事件的概率计算 6 剖题型·讲技巧 7 题型1 分层抽样 7 题型2 平均数、中位数、众数、方差在具体数据中的应用 8 题型3 百分位数在具体数据中的应用 11 题型4 频率分布直方图的相关计算 12 题型5 用样本平均数和样本方差估算总体 16 题型6 事件关系的判断 18 题型7 互斥与对立 20 题型8 事件独立性的判断 22 题型9 独立事件概率的计算 23 题型10 概率统计的综合 27 知高考·真题探源 31 练好题·提分培优 37 课标要点 1．掌握分层随机抽样的计算规则，能利用样本数据绘制频率分布直方图，并结合图表求解频率、频数，估算众数、中位数、平均数等数字特征。 2．理解平均数、方差、标准差的运算性质，学会计算分层抽样下的总体方差，掌握百分位数的两种计算方法，提升数据分析能力。 3．能区分互斥、对立、相互独立事件，理解事件间的逻辑关系，熟练运用对应概率公式进行计算。 4．学会用统计与概率知识分析实际问题，培养数据处理、逻辑推理和数学应用的核心素养。 知识点01 分层随机抽样相关计算 分层随机抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况，抽样时按照统一比例从各层抽取个体。 抽样比的计算公式：抽样比=样本容量÷总体容量。在分层抽样中，总体中任意两层的个体数之比，与样本中这两层抽取的个体数之比相等，做题时可利用该比例关系列式求解未知量。 练习1．从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如表所示，则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多__________人． 生活能否自理 男 女 能 178 278 不能 23 21 【答案】 60 【详解】由抽样统计表格可知，抽取的500位老人中，生活不能自理的男性有23人，女性有21人， 因此样本中生活不能自理的男性比女性多人. 本次抽样的总体容量为15000，样本容量为500，因此抽样比为， 则该地区生活不能自理的老人中男性比女性多的人数约为人. 知识点02 频率分布直方图的应用 频率分布直方图的纵轴代表频率/组距，所有小长方形的面积之和等于1，遇到纵轴含参数的题目，可根据这一规律建立方程求解。 某一区间内数据的频率，等于该区间内所有分组频率之和；频数需要用频率乘样本容量计算。如果所求区间包含分组端点，可使用比例法辅助计算。 利用频率分布直方图估计总体数字特征：众数取最高小长方形底边中点的横坐标；中位数是平分直方图总面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；平均数为每一个小长方形的面积，乘对应底边中点横坐标后再求和。 练习2．某环保小组对某市连续40天的PM2.5日均浓度（单位：）数据进行统计分析，将数据分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)求该市这40天中PM2.5日均浓度低于的天数； (3)估计该市PM2.5日均浓度的平均数（各组数据以该组中间值作代表）． 【答案】(1) (2)天 (3) 【分析】 【详解】（1）由可得：， 故； （2）低于的组为，，， 对应的频率和为：， 天数为：（天）； （3）各组中间值分别为：25，35，45，55，65， ． 知识点03 平均数、方差与标准差的性质 一组数据经过线性变换后，平均数、方差会发生规律性变化。设原始数据的平均数为，方差为，将数据统一变为，新数据平均数为，方差为，标准差为。 分层方差计算总体方差： 若一个总体划分为两层,通过按样本量比例分配分层随机抽样,各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为记总的样本平均数为样本方差为,则 练习3．已知一组样本数据，，…，的方差为2，令，，2，…，n，则样本数据，，…，的方差为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】由题可知，， 所以，， . 知识点04 百分位数 1、离散数据的百分位数计算 第一步，将所有数据按照从小到大的顺序排列； 第二步，计算对应百分率×数据总个数； 第三步，判断取值：若不是整数，向上取整得到整数，取第个数据；若是整数，则取第个数据和第个数据的平均值。 2、频率分布直方图的百分位数计算 先结合各组频率，判断百分位数所在的分组区间；再运用方程思想和比例法，设出百分位数，根据频率比例列出方程求解。 练习4．根据某小区居民的月均用电量数据（单位：度），得到如图所示的频率分布直方图，则月均用电量数据的75%分位数为（   ） A．53度 B．54度 C．55度 D．56度 【答案】C 【详解】由频率分布直方图可知，组距为10， 第一组[20，30）的频率为0.00510=0.05； 第二组[30，40）的频率为0.01010=0.10； 第三组[40，50）的频率为0.05010=0.50； 第四组[50，60）的频率为0.02010=0.20； 因为前三组的频率之和为0.05+0.10+0.50=0.65<0.75，前四组频率之和为0.65+0.20=0.85>0.75， 所以75%分位数位于第四组[50，60）内. 设75%分位数为，则， 即，解得. 知识点05 互斥事件、对立事件与相互独立事件辨析 从集合角度理解三类事件：若两个事件互斥，那么两个事件对应的集合没有交集；若两个事件对立，不仅对应集合无交集，且并集为全集。 补充关系：对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。 判断事件是否相互独立，有两种方法：一是利用概率定义验证公式；二是根据实际情境，直接判断两个事件的发生是否互不产生影响。 练习5．投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 【答案】C 【详解】和有公共事件：点数为3，所以不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 事件表示点数为4或6，，，，所以，所以与是独立事件，故C正确； 事件表示点数为2，则，，，所以，所以与不是独立事件，故D错误 故选：C 知识点06 相互独立事件的概率计算 如果，则称事件与事件相互独立。 若、相互独立，那么与、与、与也都相互独立。 与相互独立事件有关的概率的计算公式如下表: 前提：事件相互独立 概率计算公式 同时发生 同时不发生 至少有一个不发生 至少有一个发生 恰有一个发生 练习6．甲、乙两名选手进行围棋比赛，已知每局比赛结果只有胜负两种，且甲每局获胜的概率为若比赛采用局胜制先胜局者赢得比赛，则甲赢得比赛的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，甲最终获胜的情况：胜胜，胜负胜，负胜胜， 故甲获胜的概率为：. 题型1 分层抽样 1．某校有高中生2000人，其中高一年级600人，高二年级700人，高三年级700人．为了解学生的视力情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，则应抽取高一年级的人数为（     ） A．20 B．30 C．35 D．40 【答案】B 【详解】由分层抽样的等比例性质，应抽取高一年级的人数为人. 2．（多选）某高中学校高一年级、高二年级、高三年级的学生分别有400、500、300人．现用比例分配的分层随机抽样的方法，按年级从这些学生中抽取n人开展“教师作业批改情况”问卷调查，若高二年级抽到学生15人，则下列说法正确的是（   ） A．从高二年级学生500人中抽取15人可采用简单随机抽样的方法 B．高一年级抽到学生12人 C．样本容量 D．三个年级中高三年级每个学生被抽取到的概率最小 【答案】AB 【详解】对于，从高二年级学生500人中抽取15人，由于总体数量比较少，可采用简单随机抽样方法，故正确； 对于，根据题意知抽样比为，所以高一年级应抽取人，高三年级应抽取人，故样本容量，故正确，错误； 对于，在分层随机抽样中，每个个体被抽到的概率是相等的，故错误. 故选：AB. 3．某校组织高三年级所有学生参加“一带一路”知识测试，据统计学生的及格率为，高三年级中学生的男女比例为，男生的及格率为，则女生的及格率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因男生，女生比例为. 设男生人数为，女生人数为，因全体学生的及格率为， 则及格学生人数为，又男生及格率为，则男生及格人数为， 女生及格人数为：，则女生及格率为. 4．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本．已知从女生中抽取80人，则等于（    ） A．80 B．100 C．192 D．200 【答案】C 【详解】因为，所以，所以． 题型2 平均数、中位数、众数、方差在具体数据中的应用 5．如图是2024年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m、n均为数字中的一个），在去掉一个最高分和一个最低分后，下列说法正确的是（    ） A．甲选手得分的方差与n的值无关 B．甲选手得分的中位数一定不大于乙选手得分的中位数 C．甲选手得分的众数与m的值无关 D．甲选手得分的平均数一定小于乙选手得分的平均数 【答案】A 【详解】对于A，甲选手去掉一个最高分和一个最低分后，只有， 所以甲选手得分的方差与n的值无关，故A正确； 对于B，甲选手去掉一个最高分和一个最低分， 乙选手去掉一个最高分和一个最低分后，甲选手得分的中位数是， 乙选手得分的中位数是，故B错误； 对于C，甲选手去掉一个最高分和一个最低分后， 当，甲选手得分的众数是，当，甲选手得分的众数是和，故C错误； 对于D，甲选手去掉一个最高分和一个最低分后，甲选手得分的平均数是 ，乙选手去掉一个最高分和一个最低分后， 乙选手得分的平均数是，因为其中m为数字中的一个， 所以，故D错误. 故选：A. 6．（多选）是指线上引流、线下消费的商业模式，近年来随着技术的渗透，特别是智能配送使得配送时效显著提升，为消费者提供了“沉浸式购物”新体验.已知2020年到2024年我国到家市场规模（单位：千亿元）依次为，则这个数据的（    ） A．极差是 B．中位数是 C．60%分位数是 D．平均数是 【答案】ABD 【详解】极差为，故A正确； 中位数是，故B正确； ，所以分位数是与的平均数，故C错误； ，故D正确. 7．（多选）一组样本数据的平均数为，方差为．现将每个数据都变为，所得新样本数据的平均数为，方差为．则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．若原样本中位数为，则新样本中位数为 【答案】ACD 【详解】由，可知平均数满足，故A正确． 方差在平移时不变，在乘以2时变为原来的倍，所以，故B错误，C正确． 因为变换是严格递增的一次函数，所以中位数也对应变为，故D正确． 8．（多选）在一次歌唱比赛中，位评委给某位选手打分分值从小到大排列依次为，，这组分值的中位数和平均数均为，方差为．现从中去掉一个最低分，再去掉一个最高分后，将剩下的个分值从小到大排列为，方差为．下列说法中一定正确的是（    ） A． B．的中位数为 C．的平均数为 D． 【答案】BD 【详解】A选项：由原数据中位数平均数，当所有评委打分相同时， ，乘积等于，不等式不成立，A错误； B选项：原数据，共11个，中位数是第个数， 去掉最低分和最高分后，剩下原第至第个数据，共个， 重排后，其中， 新中位数是第5个数，恰好等于原来的，所以中位数恒为，B正确； C选项：原数据平均数为，即总和，去掉和后， 新总和为，平均数变为， 要使它等于，需，即最低和最高分关于对称，而题中无此条件，C错误 ； D选项：设原数据平均数为，新数据平均数为， 根据方差的性质，总平方和之间存在关系： ， ， 又是这9个数的平均值，所以， 于是， 即， 又为最低分，为最高分， 由基本不等式可得：， 由方差的性质可得：，即， 代入得：， 即，D正确. 题型3 百分位数在具体数据中的应用 9．某校高二年级个班参加朗诵比赛的得分如下： 则这组数据的下四分位数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】比赛的得分升序排列为：， 由，可知下四分位数为第4项和第5项的平均数，即． 10．在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分依次为：82，84，80，93，85，87，89，88，91，88，这组数据的第80百分位数为（   ） A．88 B．89 C．90 D．91 【答案】C 【详解】将数据按照从小到大的顺序排列为80，82，84，85，87，88，88，89，91，93， 因为，则第80百分位数是第8个数字和第9个数字的平均数， 所以这组数据的第80百分位数为. 11．下表为“2016-2025年某地区数字经济总体规模”相关数据（其中市场规模是逐年递增的）. 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 市场规模/万亿元 22.6 27.2 31.3 35.8 39.2 45.5 50.2 63.2 70.8 由于不小心，2023年的市场规模数据被污染了，但知道表中数据的第40百分位数与上四分位数之和为93.6，则2023年的市场规模数据为（   ） A．54.5 B．56.1 C．57.9 D．60.8 【答案】B 【详解】 设2023年的市场规模数据为， 因市场规模是逐年递增，由可知第40百分位数为， 由可知上四分位数为， ，解得． 12．某次数学考试后，随机选取16位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个位数部分作为"叶"，百位数和十位数作为"茎"，若该组数据的第25百分位为87，则______． 【答案】 【详解】，则该组数据的第25百分位为从小到大第位的平均数， 即，解得． 题型4 频率分布直方图的相关计算 13．某校举行劳动技能大赛，统计了学生的比赛成绩，得到如图所示的频率分布直方图，若要的学生成绩不高于m，根据直方图估计，下列最接近m的是（    ） A．83.3 B．85 C．86.7 D．88 【答案】C 【详解】由频率分布直方图，得，解得， 比赛成绩在的频率为， 比赛成绩在的频率为， 因此比赛成绩的第85百分位数，， 解得，所以最接近m的是86.7. 故选：C 14．（多选）某学校为调查学生每周体育锻炼时长，随机抽取100名学生进行问卷调查，将所得数据整理得到频率分布直方图（每组数据包含左端点，不包含右端点），则下列说法正确的有（    ） A．直方图中的值为0.15 B．估计该校学生每周体育锻炼时长的中位数为4.3小时 C．估计该校学生每周体育锻炼时长的平均数为5.3小时 D．估计有80%的学生每周体育锻炼时长不低于6小时 【答案】AC 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，前两组，的频率和为，前三组频率和为， 则中位数，，得，B错误； 对于C，平均数为小时，C正确； 对于D，锻炼时长不低于6小时的频率为，则约40%的学生每周体育锻炼时长不低于6小时，D错误. 15．治理沙漠离不开优质的树苗，现从苗圃中随机地抽测了200株树苗的高度（单位：cm），得到以下频率分布直方图． (1)求直方图中a的值和中位数． (2)若树高185 cm及以上是可以移栽的合格树苗．从样本中按分层随机抽样的方法抽取40株树苗做进一步研究，则不合格树苗、合格树苗分别应抽取多少株？ 【答案】(1)； (2)14株和26株 【分析】 【详解】（1）解：因为， 可得， 设中位数为， 因为， ，所以， 所以 解得，即数据的中位数为. （2）解：由题意得，不合格的抽取（株），合格的抽取（株）， 故不合格树苗、合格树苗分别应抽取14株和26株 16．某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图： 已知乙样本中数据在的有10个. (1)求和乙样本直方图中的值； (2)试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）； (3)若本校历史方向的学生约为300人，估计其中数学成绩在85分以上的人数. 【答案】(1)，； (2)平均值81.5，中位数82； (3)114人. 【分析】 【详解】（1）由直方图可知，乙样本中数据在的频率为， 则，解得； 由乙样本数据直方图可知，， 解得. （2）甲样本数据的平均值估计值为 ； 乙样本数据直方图中前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为，所以乙样本数据的中位数在第4组. 设中位数为，，解得，所以乙样本数据的中位数为82. （3）乙样本中数学成绩在85分以上的学生频率为， 由样本估计总体得（人）， 故历史方向的学生数学成绩在85分以上的有114人. 题型5 用样本平均数和样本方差估算总体 17．某机构为调查居民对“生成式人工智能工具使用满意度”，采用分层抽样的方法，按职业类型分别从科技创新从业者和传统行业从业者中各抽取了50人，满意度采用百分制进行打分，统计数据如下表所示： 总人数（单位：万） 样本平均分 样本方差 科技创新从业者 10 90 36 传统行业从业者 10 70 64 根据分层抽样，估计这两类职业的满意度的总体方差为（    ） A．148 B．150 C．152 D．154 【答案】B 【详解】由于两类从业者总人数均为10万，权重均为，分别为两组的样本平均， 两类职业满意度的总体均值的估计值， 又为两组的样本方差，代入数值计算：， 因此总体方差的估计值. 18．在层数为两层的分层抽样中，第1层、第2层的样本容量之比为，且第1层平均数、方差分别为5、3，第2层的平均数、方差分别为10、8，则总的样本方差为_____． 【答案】12 【详解】由题，设第1层样本量为，第2层样本量为，则， 分层抽样方差 19．某高校欲了解在校学生用于课外进修（如各种考证辅导班、外语辅导班等）的开支，在全校8000名学生中用分层随机抽样抽出了一个200人的样本，根据学生科的统计，本科生人数为全校学生的70%，调查最近一个学期课外进修支出（元）的结果如下： 层 样本量 样本均值 样本方差 本科生 140 253.4 231 研究生 60 329.4 367 试估计全校学生用于课外进修的平均开支和开支的方差． 【答案】平均开支为276.2元，开支的方差为1484.76 【详解】把本科生样本记为，其平均数记为，方差记为； 把研究生记为，其平均数为，方差记为； 把总体数据的平均数记为，方差记为． 则，；，． 所以，． 总样本平均数为（元）， 总样本方差为 ． 由于分层随机抽样是按比例分配的， 所以可以估计全校学生用于课外进修的平均开支为276.2元，开支的方差为1484.76． 20．近日，省足球青训中心建成投用，某校为了解学生对足球的热爱程度，随机抽取100名学生对足球的“喜爱度”进行评分，将样本的成绩分成，，，，这五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计样本成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)求样本成绩的中位数（结果保留两位小数）； (3)已知落在内的平均成绩是80分，方差是4，落在内的平均成绩是88分，方差是6，求两组成绩合并后的平均数和方差． 【答案】(1)100 (2)分 (3)， 【分析】 【详解】（1）由频率分布直方图得，样本成绩的平均数为． （2）设中位数为． 由， 所以， 所以，解得， 所以样本成绩的中位数为分． （3）第一组的样本容量， 第二组的样本容量， 所以合并后的平均数， 合并后的方差． 题型6 事件关系的判断 21．掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则（    ） A． B．表示向上的点数是1或3或5 C．表示向上的点数是1或3 D．表示向上的点数是1或5 【答案】B 【详解】由题可知，“向上的点数是1或3”为事件，“向上的点数是1或5”为事件， 所以事件不等于事件，故A错误； 事件表示“向上的点数是1或3或5”，故B正确，C错误； 事件表示“向上的点数是1”，故D错误； 故选：B. 22．（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件为“两次都击中飞机”，事件为“两次都没击中飞机”，事件为“恰有一次击中飞机”，事件为“至少有一次击中飞机”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为样本空间两次都没击中飞机，第一次击中、第二次没中，第一次没中、第二次击中，两次都击中飞机； “恰有一次击中飞机”指第一次击中、第二次没中或第一次没中、第二次击中； “至少有一次击中飞机”包含三种情况：第一次击中、第二次没中，第一次没中、第二次击中，两次都击中飞机. 所以，，， 所以，，故选项A，B，C正确，D不正确． 故选：ABC. 23．（多选）某同学参加3次不同测试，用事件表示随机事件“第次测试成绩及格”，则下列说法正确的是（   ） A．表示前两次测试成绩中有且仅有一次及格 B．表示后两次测试成绩均不及格 C．表示三次测试成绩均及格 D．表示三次测试成绩均不及格 【答案】BCD 【详解】因为表示前两次测试成绩中至少有一次及格，故A错误； 因为表示第二次和第三次测试成绩中至少有一次及格，所以表示后两次测试成绩均不及格，故B正确； 表示同时发生，即表示三次测试成绩均及格，故C正确； 表示测试成绩均不及格，所以表示三次测试成绩均不及格，故D正确； 故选：BCD. 24．盒子里有大小和质地均相同的个红球和个白球，现从中任取个球，设事件{3个球中有1个红球2个白球}，事件{3个球中有2个红球1个白球}，事件{3个球中至少有1个红球}，事件{3个球中既有红球又有白球}. (1)事件D与A，B是什么运算关系？ (2)事件C与A的交事件是什么事件？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）事件{3个球中既有红球又有白球}， 包括3个球中有1个红球、2个白球，3个球中有2个红球、1个白球， 所以. （2）事件{3个球中至少有1个红球}，包括3个球中有1个红球、2个红球，3个红球， 所以. 题型7 互斥与对立 25．学校举办运动会，小明仅参加了两场比赛，下列事件中与事件“小明至少一场比赛获奖”互为对立的是（     ） A．小明只有一场比赛获奖 B．小明两场比赛均获奖 C．小明至多一场比赛获奖 D．小明两场比赛均未获奖 【答案】D 【详解】小明仅参加了两场比赛，情况如下： ①两次都获奖；②只有一次获奖；③两次均未获奖， 所以与事件“小明至少一场比赛获奖”互为对立的事件是“小明两场比赛均未获奖”. 26．已知两个随机事件A、B，则“A与B互斥”是“A与B对立”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【详解】根据互斥事件和对立事件的概念可知，互斥不一定对立，对立一定互斥，所以“ ､为互斥事件”是“ ､为对立事件”的必要非充分条件. 27．（多选）一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球.从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为互斥且不对立事件的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ABC 【详解】从球的颜色来看，两次摸球可能结果有两次都为红球，两次都为白球，两次中一次红球一次白球这三类， 对于A：事件“两次都摸到红球”与事件“两次都摸到白球”互斥但不对立，故A正确； 对于B：事件“两次都摸到红球”与事件“两次摸到的小球颜色不同”互斥但不对立，故B正确； 对于C：事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”互斥但不对立，故C正确； 对于D：事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”为对立事件，故D错误. 故选：ABC 28．（多选）如图，一个电路中有四个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．记“电路是通路”，“电路是断路”，“至少三个元件正常”，“恰有三个元件正常”，则（    ） A．与互斥，但不对立 B．与互斥，但不对立 C． D． 【答案】BC 【详解】选项A：电路不可能同时通路和断路，故，互斥成立； 全集是所有元件状态组合，覆盖了通路和断路所有情况，故是对立事件，故A错误； 选项B：表示至多两个元件正常，表示恰有三个元件正常， ，互斥成立，仅覆盖正常数，未包含 “四个元件都正常”，故不对立，故B正确； 选项C：恰有三个元件正常时，必有一个元件失效，由电路图可知： 任意三个元件正常时，电路均保持通路，即必然发生， ，故C正确； 选项D：“电路是断路”， 表示至多两个元件正常， 若正常，失效，此时正常元件数为2，但电路为通路， 故发生时不一定发生，故D错误． 故选：BC． 题型8 事件独立性的判断 29．“事件相互独立”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】由，结合公式，可得，即事件互斥。 事件相互独立的定义为. 充分性：若相互独立，无法推出，即无法推出. 必要性：若，即互斥，无法推出相互独立. 综上，“事件相互独立”是“”的既不充分也不必要条件. 30．掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则（    ） A．B包含A B．A与B对立 C．A与B互斥 D．A与B相互独立 【答案】D 【详解】对于A，因为，，因此不包含，故A错误； 对于BC，因为，， 因此与不是对立事件，也不是互斥事件，故BC错误； 对于D，由于，，而， 故，所以， 所以A与B相互独立，故D正确． 31．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件“第1次正面朝上”，事件“第2次正面朝上”，事件“两次硬币朝上的面相同”，则下列结论正确的是（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件互为对立 C．事件与事件相互独立 D． 【答案】C 【详解】事件正,正正,反，事件正,正反,正， 事件正,正反,反，事件正,正， ， ， 事件与事件相互独立． 故选：C． 32．投掷一枚均匀的骰子，若事件表示“掷出的倍数”，事件表示“掷出偶数”，事件表示“掷出合数”，则与事件独立的事件是（    ）. A．是和 B．只有 C．只有 D．不存在 【答案】B 【详解】由题意可得，，，，， 由古典概型的概率公式可得，，， 所以，， 故事件与相互独立，事件与不独立. 故选：B. 题型9 独立事件概率的计算 33．在信道内传输，信号，信号的传输相互独立．发送时，收到的概率为，收到的概率为；发送时，收到的概率为，收到的概率为．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到，，，则译码为)．采用三次传输方案，若发送，则依次收到，，的概率为(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】发送1时，单次收到1的概率为，单次收到0的概率为， 三次信号传输彼此独立，依次收到的概率为. 34．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设，为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. （2）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. 35．小王，小李参加闯关游戏比赛，该闯关游戏一共两关，且第一关闯关成功与否均参与第二关．若小王，小李第一关闯关成功的概率分别为，，第二关闯关成功的概率分别为，，且两人在闯关过程中互不影响，两关之间互不影响． (1)若小李第二关闯关成功的概率，求小李恰好有一关闯关成功的概率； (2)若小王，小李各有一关闯关成功的概率为，小王，小李两关都闯关成功的概率为，求小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设事件小李第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件， 由已知相互独立，且， ， 则，， 设事件小李恰好有一关闯关成功为，则， 所以， 所以， 所以当时，， 所以小李恰好有一关闯关成功的概率为． （2）设事件小王第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件， 则结合（1）知事件相互独立，且，，，，， 因为小王，小李两关都闯关成功的概率为，即，得①， 设事件小王恰好有一关闯关成功为，则， 所以， 由（1）有， 因为小王，小李各有一关闯关成功的概率为，即，得②， 联立①，②得，解得或， 又，所以，， 所以小王两关都闯关成功的概率为， 小李两关都闯关成功的概率为， 所以小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率为. 36．甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为，每道岗位实践题的难度系数均为，考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；已知甲笔试得满分的概率为，笔试各题是否答对相互独立. (1)当时，求； (2)求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值. 【答案】(1) (2)； 【详解】（1）由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立， 所以甲笔试满分的概率为，则， 又，所以. （2）由题意，甲至少答对3道题才能够进入面试， 所以甲能够进入面试的概率， 因为，则， 则， 整理得， 因为， ， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以甲能够进入面试的概率的最小值为，相应的值为. 题型10 概率统计的综合 37．学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： (2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数： (3)若学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 【答案】(1)2 (2)71， (3) 【分析】 【详解】（1）由，得， 则成绩不高于60分的人数为：， 成绩不高于50分的人数为：， 则从不高于60分的人中抽5人，其中不高于50分人数为：； （2）平均数. 因为在内共有80人，则中位数位于内，设中位数为， ，解得； （3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件，甲复赛获优秀等级为事件B，乙复赛获优秀等级为事件C，则 方法1，，则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为. 法二：.则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为. 38．某校从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）分成六段，，…，后得到频率分布直方图（如下图所示）. (1)求分数在内的频率； (2)求直方图意义下的中位数； (3)用分层抽样的方法在80分以上(含80分)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）分数在内的频率为： . （2） 设中位数为， 则， ，即直方图意义下的中位数为； （3）由题意，分数段的人数为：（人）； 分数段的人数为：（人）； 因为用分层抽样的方法在80分以上（含80分）的学生中抽取一个容量为6的样本，所以分数段抽取5人，分别记为A，B，C，D，E； 分数段抽取1人，记为M.   因为从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分， 则另一人的分数一定是在分数段，所以只需在分数段抽取的5人中确定1人. 设“从样本中任取2人，其中恰有1人的分数不低于90分为”事件， 则基本事件空间包含的基本事件有： ， 共15种. 事件包含的基本事件有5种 ， 所以恰有1人的分数不低于90分的概率为. 39．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中的值； (2)估计该地区月均用水量的60%分位数； (3)现在该地区居民中任选2位居民，将月均用水量落入各组的频率视为概率，不同居民的月均用水量相互独立，求恰有1位居民月均用水量大于60%分位数的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）根据题意，可得， 解得. （2）数据落在区间的频率为， 数据落在区间的频率和为，则用水量的分位数， ，解得， 所以估计该地区月均用水量的分位数为. （3）设事件表示第位居民月均用水量大于分位数，， 事件表示恰有1位居民月均用水量大于分位数，， 所以. 所以恰有1位居民月均用水量大于60%分位数的概率为. 40．象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛.比赛分为初赛和决赛、初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学生参加，从中随机抽取了50名学生，记录他们的分数，将数据分成5组：，，，，，并整理得到如图频率分布直方图： (1)根据直方图，求a的值： (2)估计这次知识能力竞赛的平均数和中位数； (3)决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为，且各轮比赛结果相互独立.求甲最终获胜的概率. 【答案】(1) (2)平均数78分，中位数80分 (3) 【分析】 【详解】（1）由频率分布直方图，的频率为的频率为的频率为0.42，的频率为0.08， 所以的频率为， 所以； （2）根据平均数的计算公式，估计这次知识能力测评的平均数： 分， 因为前三组，，的频率之和为， 所以估计这次知识能力测评的中位数为80分； （3）因为甲最终获胜，比分可能是，， 设甲获胜为事件A，获胜为事件， 若甲获胜，则概率为， 若甲获胜，则概率为， 又A，B两个事件互斥，则甲最终获胜的概率为. 1．（2026·全国一卷·高考真题）样本数据的中位数为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【详解】将已知数据从小到大排序为，则中位数为. 2．（2025·全国二卷·高考真题）样本数据2，8，14，16，20的平均数为（   ） A．8 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【详解】样本数据的平均数为. 故选：C. 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 【答案】C 【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, , 所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误； 对于B，亩产量不低于的频数为， 所以低于的稻田占比为，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误. 故选；C. 4．（2022·全国甲卷·高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】[方法一]：【最优解】无序 从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为. [方法二]：有序 从6张卡片中无放回抽取2张，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况， 其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为. 故选：C. 【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解； 方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出； 5．（2022·全国乙卷·高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（    ） A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 【答案】D 【详解】解法一：要求连胜两局，故只能第一局和第二局连胜，或第二局和第三局连胜，则第二局和谁比赛很重要，第二局的对手实力越强，连胜两局的概率越小，第二局的对手实力越弱，连胜两局的概率越大，所以根据条件估算得到丙实力最弱，所以D选项正确. 解法二：该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘， 记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为， 则此时连胜两盘的概率为 则 ； 记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为， 则 记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为 则 则 即，， 则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误； 与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误. 故选：D 6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 【答案】BD 【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小， 例如：，可得； 例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：举反例说明，例如：，则平均数， 标准差， ，则平均数， 标准差，显然，即， 所以的标准差不小于的标准差，这一论断不成立，故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD. 7．（2023·上海·高考真题）国内生产总值（GDP）是衡量地区经济状况的最佳指标，根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳步增长，第一季度和第四季度的GDP分别为231和242，且四个季度GDP的中位数与平均数相等，则2020年GDP总额为______； 【答案】946 【详解】GDP稳步增长说明四个季度已经从小到大排列，设第二季度、第三季度分别为，所以中位数即为. 因为中位数与平均数相等，所以, 所以2020年GDP总额：. 故答案为：946. 8．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为_________；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为_________． 【答案】 / 【分析】 【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为， 所以甲盒中黑球个数为，白球个数为； 乙盒中黑球个数为，白球个数为； 丙盒中黑球个数为，白球个数为； 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以， ； 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件， 黑球总共有个，白球共有个， 所以，． 故答案为：；． 56．（2023·全国乙卷·高考真题）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，．试验结果如下： 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记，记的样本平均数为，样本方差为． (1)求，； (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高） 【答案】(1)，； (2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 【分析】 【详解】（1）， ， ， 的值分别为: ， 故 （2）由（1）知:，，故有, 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 1．以连续抛掷两次正方体骰子分别得到的点数作为点的坐标，，则点落在直线和两坐标轴所围成的三角形区域（包括边界）的概率是（    ） A． B． C． D．. 【答案】D 【详解】由题意可得点共有个， 而满足条件的点有： ，，，，，共6个点， 故所求概率为. 2．已知一组样本数据有两层，第一层有N个数据，平均数为，第二层有M个数据，平均数为，两层数据合到一起计算出的平均数为，后来第一层又增加了n个数据，这n个数据的平均数为，则新的样本数据的平均数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】所有数据和为， 新的样本数据的平均数为. 3．田忌赛马的故事一直为人所津津乐道，共体现了博弈的魅力.已知甲有三匹马，乙有三匹马，这些马之间比赛获胜的概率如下表所示.甲和乙进行三轮赛马游戏，每轮比赛甲和乙各选择一匹马比拼胜负，且每匹马至多进行两轮比赛，最终胜的轮数多的人获胜.在比赛之前，甲和乙先根据下表采用最优的选马策略选出所有参赛的马，并确定它们的参赛顺序，有下列两个命题： ①若，甲最优的选马策略为让马出战一次，马出战两次； ②若，，三轮游戏结束后，甲赢的概率为. 马与马对弈时，马获胜的概率 则下列说法正确的是（   ） A．命题①正确，命题②正确 B．命题①正确，命题②错误 C．命题①错误，命题②正确 D．命题①错误，命题②错误 【答案】B 【详解】对于命题①，若，赢的概率高于和， 所以甲优先选择对阵所有对手胜率更高的马匹参赛， 尽可能多出战，但最多出战两次，所以让出战两次， 又因为赢的概率高于，所以马出战一次，故①正确； 对于命题②，若，， 胜率表为： 甲方较优的参赛马应为一次、两次；乙方为了降低甲胜率，应取两次、一次. 这时不管怎么排顺序，甲三轮单场胜率只会出现两类情况： 一种是.则甲至少赢两轮的概率为 另一种是. 则甲至少赢两轮的概率为 这两个值都不是，如果把双方的出战顺序也按随机来计算，概率会是，也不是. 故命题②错误. 4（多选）口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（    ） A． B．B与C互斥 C．A与B相互独立 D．A与D互为对立 【答案】ACD 【详解】设2个白球为，，2个黑球为， 则样本空间为： ，共12个基本事件. 事件，共4个基本事件； 事件，共6个基本事件； 事件，共6个基本事件； 事件，共8个基本事件， 对于A，由，故A正确； 对于B，因为， 所以事件B与C不互斥，故B错误； 对于C，因为，，， 则， 故事件A与B相互独立，故C正确； 对于D，因为，， 所以事件A与D互为对立，故D正确. 5．米兰冬季奥运会于2026年2月7日至2月23日举行，奖牌榜前10名金牌数如下：18，12，10，10，8，8，8，6，5，5，则这组数据的第80百分位数为__________． 【答案】11 【详解】由题意得：，所以这组数据的第80百分位数为. 6．某社区开展青少年实践活动，现有人在线报名，在线平台根据报名先后顺序将这人分为两组，两组成员的年龄（单位：岁）如下： 甲组：12、10、17、16、16、13、15、11； 乙组：13、15、11、10、11、16、14． 社区计划将甲组的人调到乙组，使得甲、乙两组人员的平均年龄都变大，则应该将甲组年龄为_________岁的成员换到乙组． 【答案】 13 【详解】由题可得：甲组年龄平均数为：，乙组年龄平均数为：， 要想使甲组的1人调到乙组后甲、乙两组人员的平均年龄都变大，只需保证甲里面调出的1人年龄小于，大于即可， 所以调出的人年龄为13岁. 7．已知随机事件满足，则下列结论 ：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【详解】对于①，， ， 又，所以， 故，①正确； 对于②③④，，结合， 可得，而， 所以，②正确，③错误，④正确． 8．已知集合，任取，则函数的图像过点的概率为____________. 【答案】 【详解】验证当取不同值时函数是否满足， 当时，，满足条件； 当时，，不满足； 当时，的定义域为，不在定义域内，不满足； 当时，，满足条件； 当时，，不满足。 计算概率：符合条件的共2个，由古典概型公式得所求概率. 9．为了调查假期期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中的值； (2)估计本次数学测试成绩的平均分和中位数．（每一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】(1) (2)平均分约为分，中位数约为分 【详解】（1）由频率分布直方图可知每组频率依次为：，，，，，， 则，解得. （2）由（1）可知每组频率依次为：，，，，，， 估计本次数学测试成绩的平均分为（分）； 因为，所以估计本次数学测试成绩的中位数为分. 10．学校对高一学生期中考试的数学成绩进行调查，现抽取100人进行数据统计，绘制频率分布直方图如下， (1)求的值和该组数据的中位数： (2)若这100人中有女生40人，且男生平均分106，方差为16；女生平均分101，方差为36，求这100人的数学平均分和方差． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）， ，， 所以中位数在区间内，故． （2），． 所以这100人的数学平均分为，方差为. 11（2025·26高二下·上海杨浦·期末）为了解学生使用图书馆情况，某高中按年级进行分层抽样抽取100名学生，以他们一周使用图书馆的时间（单位：小时）作为样本，调查发现样本中的数据均小于5，这100个数据在各区间内的频数记录如下表（、、、、均为自然数）： 使用时间 高一 5 12 3 2 高二 6 16 5 3 4 高三 4 (1)已知该高中三个年级一共有500名学生，其中高一年级有150名学生，求的值； (2)用区间的中点值给区间内每个数据赋值，估计高二年级学生一周使用图书馆的平均时间； (3)现从样本中任意抽取1个数据，记事件为“抽到的数据是高二学生的”，记事件为“抽到的数据在”，判断事件和事件是否独立，并说明理由． 【答案】(1) (2)小时 (3)事件与事件不独立，理由如下： 由题意，，且， 因，则， 所以事件与事件不独立. 【详解】（1）由题意，所抽取的100名学生中高一学生人数为人， 所以，可得； （2）由题意，高二年级学生一周使用图书馆的平均时间为小时； （3）略 12．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，，， 则，，， 应聘者用方案一考试通过的概率： ； （2）应聘者用方案二选择任意两科的概率为， 考试通过的概率： . 13．市有关部门为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，这五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表) (2)某工作人员使用简单随机抽样从中抽取部分再研究，其中成绩的答卷有2份，成绩的答卷有3份，再从这5份中随机抽取2份进行详细分析，求从这5份答卷中取2份时，既有的答卷也有的答卷的概率． 【答案】(1)平均数为100，方差为104 (2) 【分析】 【详解】（1）由频率分布直方图得， 平均数， 方差 . （2）记这组三份答卷的编号为这组两份答卷的编号为， 故从5份答卷中随机抽取2份，共10种情况，为： 设事件“既有的答卷也有的答卷” 则，共6种情况． 故, 14．为了解高二学生阅读时间的分配情况，随机抽取了500名高二学生进行在线调查，得到了日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)为进一步了解这500名学生的时间分配情况，从三组的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人．现从这10人中随机抽取3人，求在内的学生人数恰有2人的概率； (3)从这500名学生中随机抽取1人，记所抽取学生的日平均阅读时间在内为事件，所抽取学生的日平均阅读时间在内为事件，判断事件和是否互相独立，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)与互相独立 【详解】（1）频率分布直方图中，每个小矩形的面积=组距×频率密度=该组的频率， 所有小矩形面积之和等于1. 各组组距均为2，则：， 化简得：，解得：. （2）由题可知，样本总数为500人，组距为2， 则可计算得组频率为，人数为； 组频率为，人数为； 组频率为，人数为. 三组总人数为， 从中抽取10人，所以抽样比例为. 计算可得组抽人； 组抽人；组抽人. 从这10人中随机抽取3人，总基本事件数为：， 组有4人，从中选2人：， 其余1人从另外两组共人中选：. 则从10人中随机抽取3人，其中内的学生人数恰有2人的概率为： . （3）已知频率密度，计算可得出各组频率为： 组频率为，组频率为， 组频率为，组频率为， 组频率为，组频率为， 组频率为，组频率为， 组频率为. 事件：阅读时间在内，包括和两组，. 事件：阅读时间在内，包括、、、四组， . 事件：阅读时间同时满足和，即区间，. 若与独立，则. 计算可得， 因为，所以， 因此与互相独立. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 概率统计的综合（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 分层随机抽样相关计算 2 知识点02 频率分布直方图的应用 2 知识点03 平均数、方差与标准差的性质 3 知识点04 百分位数 4 知识点05 互斥事件、对立事件与相互独立事件辨析 4 知识点06 相互独立事件的概率计算 5 剖题型·讲技巧 5 题型1 分层抽样 5 题型2 平均数、中位数、众数、方差在具体数据中的应用 6 题型3 百分位数在具体数据中的应用 7 题型4 频率分布直方图的相关计算 8 题型5 用样本平均数和样本方差估算总体 10 题型6 事件关系的判断 11 题型7 互斥与对立 12 题型8 事件独立性的判断 13 题型9 独立事件概率的计算 13 题型10 概率统计的综合 15 知高考·真题探源 17 练好题·提分培优 19 课标要点 1．掌握分层随机抽样的计算规则，能利用样本数据绘制频率分布直方图，并结合图表求解频率、频数，估算众数、中位数、平均数等数字特征。 2．理解平均数、方差、标准差的运算性质，学会计算分层抽样下的总体方差，掌握百分位数的两种计算方法，提升数据分析能力。 3．能区分互斥、对立、相互独立事件，理解事件间的逻辑关系，熟练运用对应概率公式进行计算。 4．学会用统计与概率知识分析实际问题，培养数据处理、逻辑推理和数学应用的核心素养。 知识点01 分层随机抽样相关计算 分层随机抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况，抽样时按照统一比例从各层抽取个体。 抽样比的计算公式：抽样比=样本容量÷总体容量。在分层抽样中，总体中任意两层的个体数之比，与样本中这两层抽取的个体数之比相等，做题时可利用该比例关系列式求解未知量。 练习1．从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如表所示，则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多__________人． 生活能否自理 男 女 能 178 278 不能 23 21 知识点02 频率分布直方图的应用 频率分布直方图的纵轴代表频率/组距，所有小长方形的面积之和等于1，遇到纵轴含参数的题目，可根据这一规律建立方程求解。 某一区间内数据的频率，等于该区间内所有分组频率之和；频数需要用频率乘样本容量计算。如果所求区间包含分组端点，可使用比例法辅助计算。 利用频率分布直方图估计总体数字特征：众数取最高小长方形底边中点的横坐标；中位数是平分直方图总面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；平均数为每一个小长方形的面积，乘对应底边中点横坐标后再求和。 练习2．某环保小组对某市连续40天的PM2.5日均浓度（单位：）数据进行统计分析，将数据分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)求该市这40天中PM2.5日均浓度低于的天数； (3)估计该市PM2.5日均浓度的平均数（各组数据以该组中间值作代表）． 知识点03 平均数、方差与标准差的性质 一组数据经过线性变换后，平均数、方差会发生规律性变化。设原始数据的平均数为，方差为，将数据统一变为，新数据平均数为，方差为，标准差为。 分层方差计算总体方差： 若一个总体划分为两层,通过按样本量比例分配分层随机抽样,各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为记总的样本平均数为样本方差为,则 练习3．已知一组样本数据，，…，的方差为2，令，，2，…，n，则样本数据，，…，的方差为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 知识点04 百分位数 1、离散数据的百分位数计算 第一步，将所有数据按照从小到大的顺序排列； 第二步，计算对应百分率×数据总个数； 第三步，判断取值：若不是整数，向上取整得到整数，取第个数据；若是整数，则取第个数据和第个数据的平均值。 2、频率分布直方图的百分位数计算 先结合各组频率，判断百分位数所在的分组区间；再运用方程思想和比例法，设出百分位数，根据频率比例列出方程求解。 练习4．根据某小区居民的月均用电量数据（单位：度），得到如图所示的频率分布直方图，则月均用电量数据的75%分位数为（   ） A．53度 B．54度 C．55度 D．56度 知识点05 互斥事件、对立事件与相互独立事件辨析 从集合角度理解三类事件：若两个事件互斥，那么两个事件对应的集合没有交集；若两个事件对立，不仅对应集合无交集，且并集为全集。 补充关系：对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。 判断事件是否相互独立，有两种方法：一是利用概率定义验证公式；二是根据实际情境，直接判断两个事件的发生是否互不产生影响。 练习5．投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 知识点06 相互独立事件的概率计算 如果，则称事件与事件相互独立。 若、相互独立，那么与、与、与也都相互独立。 与相互独立事件有关的概率的计算公式如下表: 前提：事件相互独立 概率计算公式 同时发生 同时不发生 至少有一个不发生 至少有一个发生 恰有一个发生 练习6．甲、乙两名选手进行围棋比赛，已知每局比赛结果只有胜负两种，且甲每局获胜的概率为若比赛采用局胜制先胜局者赢得比赛，则甲赢得比赛的概率为（    ） A． B． C． D． 题型1 分层抽样 1．某校有高中生2000人，其中高一年级600人，高二年级700人，高三年级700人．为了解学生的视力情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，则应抽取高一年级的人数为（     ） A．20 B．30 C．35 D．40 2．（多选）某高中学校高一年级、高二年级、高三年级的学生分别有400、500、300人．现用比例分配的分层随机抽样的方法，按年级从这些学生中抽取n人开展“教师作业批改情况”问卷调查，若高二年级抽到学生15人，则下列说法正确的是（   ） A．从高二年级学生500人中抽取15人可采用简单随机抽样的方法 B．高一年级抽到学生12人 C．样本容量 D．三个年级中高三年级每个学生被抽取到的概率最小 3．某校组织高三年级所有学生参加“一带一路”知识测试，据统计学生的及格率为，高三年级中学生的男女比例为，男生的及格率为，则女生的及格率为（    ） A． B． C． D． 4．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本．已知从女生中抽取80人，则等于（    ） A．80 B．100 C．192 D．200 题型2 平均数、中位数、众数、方差在具体数据中的应用 5．如图是2024年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m、n均为数字中的一个），在去掉一个最高分和一个最低分后，下列说法正确的是（    ） A．甲选手得分的方差与n的值无关 B．甲选手得分的中位数一定不大于乙选手得分的中位数 C．甲选手得分的众数与m的值无关 D．甲选手得分的平均数一定小于乙选手得分的平均数 6．（多选）是指线上引流、线下消费的商业模式，近年来随着技术的渗透，特别是智能配送使得配送时效显著提升，为消费者提供了“沉浸式购物”新体验.已知2020年到2024年我国到家市场规模（单位：千亿元）依次为，则这个数据的（    ） A．极差是 B．中位数是 C．60%分位数是 D．平均数是 7．（多选）一组样本数据的平均数为，方差为．现将每个数据都变为，所得新样本数据的平均数为，方差为．则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．若原样本中位数为，则新样本中位数为 8．（多选）在一次歌唱比赛中，位评委给某位选手打分分值从小到大排列依次为，，这组分值的中位数和平均数均为，方差为．现从中去掉一个最低分，再去掉一个最高分后，将剩下的个分值从小到大排列为，方差为．下列说法中一定正确的是（    ） A． B．的中位数为 C．的平均数为 D． 题型3 百分位数在具体数据中的应用 9．某校高二年级个班参加朗诵比赛的得分如下： 则这组数据的下四分位数为（   ） A． B． C． D． 10．在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分依次为：82，84，80，93，85，87，89，88，91，88，这组数据的第80百分位数为（   ） A．88 B．89 C．90 D．91 11．下表为“2016-2025年某地区数字经济总体规模”相关数据（其中市场规模是逐年递增的）. 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 2025 市场规模/万亿元 22.6 27.2 31.3 35.8 39.2 45.5 50.2 63.2 70.8 由于不小心，2023年的市场规模数据被污染了，但知道表中数据的第40百分位数与上四分位数之和为93.6，则2023年的市场规模数据为（   ） A．54.5 B．56.1 C．57.9 D．60.8 12．某次数学考试后，随机选取16位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个位数部分作为"叶"，百位数和十位数作为"茎"，若该组数据的第25百分位为87，则______． 题型4 频率分布直方图的相关计算 13．某校举行劳动技能大赛，统计了学生的比赛成绩，得到如图所示的频率分布直方图，若要的学生成绩不高于m，根据直方图估计，下列最接近m的是（    ） A．83.3 B．85 C．86.7 D．88 14．（多选）某学校为调查学生每周体育锻炼时长，随机抽取100名学生进行问卷调查，将所得数据整理得到频率分布直方图（每组数据包含左端点，不包含右端点），则下列说法正确的有（    ） A．直方图中的值为0.15 B．估计该校学生每周体育锻炼时长的中位数为4.3小时 C．估计该校学生每周体育锻炼时长的平均数为5.3小时 D．估计有80%的学生每周体育锻炼时长不低于6小时 15．治理沙漠离不开优质的树苗，现从苗圃中随机地抽测了200株树苗的高度（单位：cm），得到以下频率分布直方图． (1)求直方图中a的值和中位数． (2)若树高185 cm及以上是可以移栽的合格树苗．从样本中按分层随机抽样的方法抽取40株树苗做进一步研究，则不合格树苗、合格树苗分别应抽取多少株？ 16．某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图： 已知乙样本中数据在的有10个. (1)求和乙样本直方图中的值； (2)试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）； (3)若本校历史方向的学生约为300人，估计其中数学成绩在85分以上的人数. 题型5 用样本平均数和样本方差估算总体 17．某机构为调查居民对“生成式人工智能工具使用满意度”，采用分层抽样的方法，按职业类型分别从科技创新从业者和传统行业从业者中各抽取了50人，满意度采用百分制进行打分，统计数据如下表所示： 总人数（单位：万） 样本平均分 样本方差 科技创新从业者 10 90 36 传统行业从业者 10 70 64 根据分层抽样，估计这两类职业的满意度的总体方差为（    ） A．148 B．150 C．152 D．154 18．在层数为两层的分层抽样中，第1层、第2层的样本容量之比为，且第1层平均数、方差分别为5、3，第2层的平均数、方差分别为10、8，则总的样本方差为_____． 19．某高校欲了解在校学生用于课外进修（如各种考证辅导班、外语辅导班等）的开支，在全校8000名学生中用分层随机抽样抽出了一个200人的样本，根据学生科的统计，本科生人数为全校学生的70%，调查最近一个学期课外进修支出（元）的结果如下： 层 样本量 样本均值 样本方差 本科生 140 253.4 231 研究生 60 329.4 367 试估计全校学生用于课外进修的平均开支和开支的方差． 20．近日，省足球青训中心建成投用，某校为了解学生对足球的热爱程度，随机抽取100名学生对足球的“喜爱度”进行评分，将样本的成绩分成，，，，这五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计样本成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)求样本成绩的中位数（结果保留两位小数）； (3)已知落在内的平均成绩是80分，方差是4，落在内的平均成绩是88分，方差是6，求两组成绩合并后的平均数和方差． 题型6 事件关系的判断 21．掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则（    ） A． B．表示向上的点数是1或3或5 C．表示向上的点数是1或3 D．表示向上的点数是1或5 22．（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件为“两次都击中飞机”，事件为“两次都没击中飞机”，事件为“恰有一次击中飞机”，事件为“至少有一次击中飞机”，则（    ） A． B． C． D． 23．（多选）某同学参加3次不同测试，用事件表示随机事件“第次测试成绩及格”，则下列说法正确的是（   ） A．表示前两次测试成绩中有且仅有一次及格 B．表示后两次测试成绩均不及格 C．表示三次测试成绩均及格 D．表示三次测试成绩均不及格 24．盒子里有大小和质地均相同的个红球和个白球，现从中任取个球，设事件{3个球中有1个红球2个白球}，事件{3个球中有2个红球1个白球}，事件{3个球中至少有1个红球}，事件{3个球中既有红球又有白球}. (1)事件D与A，B是什么运算关系？ (2)事件C与A的交事件是什么事件？ 题型7 互斥与对立 25．学校举办运动会，小明仅参加了两场比赛，下列事件中与事件“小明至少一场比赛获奖”互为对立的是（     ） A．小明只有一场比赛获奖 B．小明两场比赛均获奖 C．小明至多一场比赛获奖 D．小明两场比赛均未获奖 26．已知两个随机事件A、B，则“A与B互斥”是“A与B对立”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 27．（多选）一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球.从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为互斥且不对立事件的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 28．（多选）如图，一个电路中有四个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．记“电路是通路”，“电路是断路”，“至少三个元件正常”，“恰有三个元件正常”，则（    ） A．与互斥，但不对立 B．与互斥，但不对立 C． D． 题型8 事件独立性的判断 29．“事件相互独立”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 30．掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则（    ） A．B包含A B．A与B对立 C．A与B互斥 D．A与B相互独立 31．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件“第1次正面朝上”，事件“第2次正面朝上”，事件“两次硬币朝上的面相同”，则下列结论正确的是（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件互为对立 C．事件与事件相互独立 D． 32．投掷一枚均匀的骰子，若事件表示“掷出的倍数”，事件表示“掷出偶数”，事件表示“掷出合数”，则与事件独立的事件是（    ）. A．是和 B．只有 C．只有 D．不存在 题型9 独立事件概率的计算 33．在信道内传输，信号，信号的传输相互独立．发送时，收到的概率为，收到的概率为；发送时，收到的概率为，收到的概率为．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到，，，则译码为)．采用三次传输方案，若发送，则依次收到，，的概率为(     ) A． B． C． D． 34．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设，为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 35．小王，小李参加闯关游戏比赛，该闯关游戏一共两关，且第一关闯关成功与否均参与第二关．若小王，小李第一关闯关成功的概率分别为，，第二关闯关成功的概率分别为，，且两人在闯关过程中互不影响，两关之间互不影响． (1)若小李第二关闯关成功的概率，求小李恰好有一关闯关成功的概率； (2)若小王，小李各有一关闯关成功的概率为，小王，小李两关都闯关成功的概率为，求小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率． 36．甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试共有2道专业理论题与2道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数（考生能够正确作答的概率）均为，每道岗位实践题的难度系数均为，考生至少答对3道题才能进入面试，否则被淘汰出局；已知甲笔试得满分的概率为，笔试各题是否答对相互独立. (1)当时，求； (2)求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值. 题型10 概率统计的综合 37．学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： (2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数： (3)若学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 38．某校从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）分成六段，，…，后得到频率分布直方图（如下图所示）. (1)求分数在内的频率； (2)求直方图意义下的中位数； (3)用分层抽样的方法在80分以上(含80分)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2人，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率. 39．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中的值； (2)估计该地区月均用水量的60%分位数； (3)现在该地区居民中任选2位居民，将月均用水量落入各组的频率视为概率，不同居民的月均用水量相互独立，求恰有1位居民月均用水量大于60%分位数的概率. 40．象棋是中华民族优秀的传统文化遗产，为弘扬棋类运动精神，传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，培养学生良好的心态和认真谨慎的生活观，某学校高一年级举办象棋比赛.比赛分为初赛和决赛、初赛采用线上知识能力竞赛，共有500名学生参加，从中随机抽取了50名学生，记录他们的分数，将数据分成5组：，，，，，并整理得到如图频率分布直方图： (1)根据直方图，求a的值： (2)估计这次知识能力竞赛的平均数和中位数； (3)决赛环节学校决定从知识能力竞赛中抽出成绩最好的两个同学甲和乙进行现场棋艺比拼，比赛采取三局两胜制.若甲每局比赛获胜的概率均为，且各轮比赛结果相互独立.求甲最终获胜的概率. 1．（2026·全国一卷·高考真题）样本数据的中位数为（     ） A．5 B．6 C．8 D．9 2．（2025·全国二卷·高考真题）样本数据2，8，14，16，20的平均数为（   ） A．8 B．9 C．12 D．18 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 4．（2022·全国甲卷·高考真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·全国乙卷·高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（    ） A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 7．（2023·上海·高考真题）国内生产总值（GDP）是衡量地区经济状况的最佳指标，根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP稳步增长，第一季度和第四季度的GDP分别为231和242，且四个季度GDP的中位数与平均数相等，则2020年GDP总额为______； 8．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为_________；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为_________． 56．（2023·全国乙卷·高考真题）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，．试验结果如下： 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记，记的样本平均数为，样本方差为． (1)求，； (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高） 1．以连续抛掷两次正方体骰子分别得到的点数作为点的坐标，，则点落在直线和两坐标轴所围成的三角形区域（包括边界）的概率是（    ） A． B． C． D．. 2．已知一组样本数据有两层，第一层有N个数据，平均数为，第二层有M个数据，平均数为，两层数据合到一起计算出的平均数为，后来第一层又增加了n个数据，这n个数据的平均数为，则新的样本数据的平均数为（ ） A． B． C． D． 3．田忌赛马的故事一直为人所津津乐道，共体现了博弈的魅力.已知甲有三匹马，乙有三匹马，这些马之间比赛获胜的概率如下表所示.甲和乙进行三轮赛马游戏，每轮比赛甲和乙各选择一匹马比拼胜负，且每匹马至多进行两轮比赛，最终胜的轮数多的人获胜.在比赛之前，甲和乙先根据下表采用最优的选马策略选出所有参赛的马，并确定它们的参赛顺序，有下列两个命题： ①若，甲最优的选马策略为让马出战一次，马出战两次； ②若，，三轮游戏结束后，甲赢的概率为. 马与马对弈时，马获胜的概率 则下列说法正确的是（   ） A．命题①正确，命题②正确 B．命题①正确，命题②错误 C．命题①错误，命题②正确 D．命题①错误，命题②错误 4（多选）口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则（    ） A． B．B与C互斥 C．A与B相互独立 D．A与D互为对立 5．米兰冬季奥运会于2026年2月7日至2月23日举行，奖牌榜前10名金牌数如下：18，12，10，10，8，8，8，6，5，5，则这组数据的第80百分位数为__________． 6．某社区开展青少年实践活动，现有人在线报名，在线平台根据报名先后顺序将这人分为两组，两组成员的年龄（单位：岁）如下： 甲组：12、10、17、16、16、13、15、11； 乙组：13、15、11、10、11、16、14． 社区计划将甲组的人调到乙组，使得甲、乙两组人员的平均年龄都变大，则应该将甲组年龄为_________岁的成员换到乙组． 7．已知随机事件满足，则下列结论 ：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是______． 8．已知集合，任取，则函数的图像过点的概率为____________. 9．为了调查假期期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中的值； (2)估计本次数学测试成绩的平均分和中位数．（每一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 10．学校对高一学生期中考试的数学成绩进行调查，现抽取100人进行数据统计，绘制频率分布直方图如下， (1)求的值和该组数据的中位数： (2)若这100人中有女生40人，且男生平均分106，方差为16；女生平均分101，方差为36，求这100人的数学平均分和方差． 11．为了解学生使用图书馆情况，某高中按年级进行分层抽样抽取100名学生，以他们一周使用图书馆的时间（单位：小时）作为样本，调查发现样本中的数据均小于5，这100个数据在各区间内的频数记录如下表（、、、、均为自然数）： 使用时间 高一 5 12 3 2 高二 6 16 5 3 4 高三 4 (1)已知该高中三个年级一共有500名学生，其中高一年级有150名学生，求的值； (2)用区间的中点值给区间内每个数据赋值，估计高二年级学生一周使用图书馆的平均时间； (3)现从样本中任意抽取1个数据，记事件为“抽到的数据是高二学生的”，记事件为“抽到的数据在”，判断事件和事件是否独立，并说明理由． 12．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 13．市有关部门为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，这五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表) (2)某工作人员使用简单随机抽样从中抽取部分再研究，其中成绩的答卷有2份，成绩的答卷有3份，再从这5份中随机抽取2份进行详细分析，求从这5份答卷中取2份时，既有的答卷也有的答卷的概率． 14．为了解高二学生阅读时间的分配情况，随机抽取了500名高二学生进行在线调查，得到了日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)为进一步了解这500名学生的时间分配情况，从三组的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人．现从这10人中随机抽取3人，求在内的学生人数恰有2人的概率； (3)从这500名学生中随机抽取1人，记所抽取学生的日平均阅读时间在内为事件，所抽取学生的日平均阅读时间在内为事件，判断事件和是否互相独立，并说明理由． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $