精品解析：河南周口市项城市鑫校2025-2026学年下学期九年级数学期中考试试卷

2026年春九年级数学期中考试试卷 时间：110分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用实数比较大小的基本性质即可直接得出结果． 【详解】解：∵是负数， ， ，都是非负数， ∴ ， ∴最小的数是． 2. 下图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 正方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 三棱柱 【答案】D 【解析】 【详解】解：由于主视图和左视图为矩形，可得为柱体，俯视图为三角形可得为三棱柱． 3. 我国古代《九章算术》是东方数学瑰宝，书中记载“方田术”计算田地面积，下列中式窗棂图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等腰窗花 B. 十字回纹窗 C. 单扇如意窗 D. 扇形花窗 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转 后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，原计算错误； B、不能合并，原计算错误； C、，正确； D、不能合并，原计算错误. 5. 一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有两个相等实数根 C. 有两个不相等实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式 与0的大小关系判断根的情况，规则为时方程有两个不相等的实数根，时方程有两个相等的实数根，时方程无实数根． 【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数 ，一次项系数，常数项 ， ， 方程有两个不相等的实数根． 6. 某便民超市推出桶装食用油优惠活动，购买不超过5桶按原价销售，超过5桶，超出部分打折优惠．设购买油量x桶，付款金额y元，y与x的函数图象大致为（ ） A. 先缓后陡折线 B. 先陡后缓折线 C. 直线递增 D. 反比例曲线 【答案】B 【解析】 【分析】根据优惠规则分两段讨论付款金额 和购买桶数 的关系，通过比较两段一次函数的倾斜程度即可得出结论． 【详解】解：设食用油原价为每桶 元，优惠后超出部分单价为每桶元， ∵打折优惠， ∴， 当时，，y随x变化的倾斜程度由 决定； 当时， ，y随x变化的倾斜程度由决定； ∵， ∴第二段的倾斜程度比第一段平缓，因此函数图象是先陡后缓的折线． 7. 不等式组的解集表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集，即可选出正确选项． 【详解】解：解不等式组 解第一个不等式 ， 得 解第二个不等式 ． 得 原不等式组的解集为 ． 8. 现有4张完全相同的卡片，分别标有数字2、3、5、7，随机抽取两张，数字之和为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意，列出表格如下： 2 3 5 7 2 5 7 9 3 5 8 10 5 7 8 12 7 9 10 12 所以共有12种等可能结果，其中取出的两张卡片上的数字之和为偶数的有6种结果， 所以取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率为． 9. 如图，在矩形 中，按作图步骤作 的垂直平分线，交 于点F，交 于点E，若， ， 则 的长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图过程可得 是 的垂直平分线，可得，再根据矩形性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：在矩形 中，， 根据作图过程可知： 是 的垂直平分线， ∴， ∴ ， 在 中，根据勾股定理，得， ∴， 解得． 10. 二次函数 的部分对应值如表：下列说法错误的是（ ） x 0 1 y 5 1 A. 抛物线开口向上 B. 对称轴为直线 C. 当时，y随x增大而增大 D. 最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】先代入表格中的已知点求出函数解析式，再结合二次函数的性质判断各选项即可． 【详解】解：将， ，代入 ， 得， 解得， ∴抛物线解析式为． ∵ ， ∴抛物线开口向上，A正确； 抛物线对称轴为直线，故B正确； 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时， 随 增大而增大，C正确； 抛物线顶点坐标为，函数的最小值为，不是，D错误． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 物理中压强公式 （F为压力，S为受力面积），若压力F恒定，则压强p与受力面积S成________比例关系． 【答案】反 【解析】 【分析】根据正反比例的定义，对给定公式变形，结合 恒定的条件，即可判断 与的比例关系． 【详解】解：由压强公式，变形可得 ， 根据正反比例的定义，若两个变量的乘积为定值，则两个变量成反比例关系， 已知压力 恒定，即 与的乘积为定值，因此压强 与受力面积成反比例关系． 12. 化简： ________． 【答案】## 【解析】 【分析】先将原式中的二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解： ． 13. 定义新运算：，例如： ☆，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 14. 按规律排列的一组数：，按此规律第n个数为________． 【答案】 【解析】 【分析】将数列各数的分子，分母分开，根据已知项找出分子分母与对应序号 的变化规律，归纳得到第 个数的表达式． 【详解】解：观察已知排列的数： 第个数：； 第 个数：； 第 个数：； 第 个数：； ； 按此规律，可得第 个数的分子为，分母为． ∴第 个数为． 15. 在菱形 中， ， ，点P是菱形边上一动点，连接 ， ，当 为直角三角形时， 的长为________． 【答案】 或 【解析】 【分析】根据菱形的性质，按直角顶点的不同分情况讨论，排除不符合条件的情况，即可得到 的长． 【详解】解：∵四边形 是菱形， ， ， ∴，， ①当 时，如图， ∴， ∴； ②当时，如图， ∴，， ∴，， ∴； 综上所述， 的长为 或． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 先化简，再求值：其中 ． 【答案】， 【解析】 【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分子分母因式分解法后约分，然后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 把 代入得：原式． 17. 某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题： （1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是 ； （2）请补全条形统计图； （3）若该校九年级共有学生1200人，则估计该校“良好”的人数是 ； （4）已知“不合格”的3名学生中有2名男生、1名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率多少？ 【答案】（1） ；（2）补全条形统计图见详解；（3）510；（4） 【解析】 【分析】（1）由乘以“优秀”的人数所占的比例即可； （2）求出这次调查的人数为：(人)，得出及格的人数，补全条形统计图即可； （3）由该校总人数乘以“良好”的人数所占的比例即可； （4）画树状图，共有6种等可能的结果，抽到两名男生的结果有2种，则由概率公式计算即可． 【详解】解：（1）在这次调查中，“优秀” 所在扇形的圆心角的度数是：， 故答案为： ； （2）这次调查的人数为：(人)， 则及格的人数为：(人)， 补全条形统计图如下： ； （3）估计该校“良好”的人数为： (人)， 故答案为：510人； （4）画树状图如图： ， 共有6种等可能的结果， 抽到两名都是男生的结果有2种， ∴抽到两名都是男生的概率为． 【点睛】本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适用于两步完成是事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．解题是注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图． 18. 如图，是 的直径，点C在 上， 与 相切于点A，与 的延长线交于点D，连接 ，过点C作于点E． （1）求证： ． （2）若， ，求 的长． 【答案】（1）证明： 与 相切于点A， ， 即． ． 是 的直径， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）由切线的性质得，由直径所对的圆周角为直角得 ，即可得证； （2）由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由正弦函数得 ， ，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由 （1） 得． ， ， ， ，， ∴由勾股定理，得 ， ， ， ， ， ， ∵在 中， ， ∴在 中， ， ． 19. 科技改变生活， 时代将对我们的生活产生意想不到的改变．某数学兴趣小组要测量如图2所示的 信号塔的高度．该小组在点D处测得信号塔顶端A的仰角为 ，在同一平面内沿水平地面向前走到达点C处（点B，C，D在同一直线上），此时测得顶端A的仰角为，求信号塔的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】根据题意可得，然后利用三角形的外角求出 ，从而可得，最后在 中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ， ， 在 中，， 答：信号塔高米． 20. 某文具店购进A、B两种纪念册，已知每本A种进价高于B种 元，且用 元购进A种的数量与用元购进B种的数量相同． （1）求A、B两种纪念册每本进价； （2）若计划购进两种纪念册共 本，且总成本不超过元，求最多购进A种纪念册多少本． 【答案】（1）A种纪念册每本的进价为 元，B种纪念册每本的进价为元 （2）最多购进A种纪念册本 【解析】 【分析】（1）设B种纪念册每本的进价为 元，则A种纪念册每本的进价为元，根据题意列出方程，求解并检验即可； （2）设购进A种纪念册 本，则购进B种纪念册本，根据题意列出不等式并求解即可． 【小问1详解】 解：设B种纪念册每本的进价为 元，则A种纪念册每本的进价为元， 根据题意，可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元）． 答：A种纪念册每本的进价为 元，B种纪念册每本的进价为元． 【小问2详解】 解：设购进A种纪念册 本，则购进B种纪念册本， 根据题意，可列不等式： ， 解得， ∴ 的最大值为． 答：最多购进A种纪念册本． 21. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据反比例函数与一次函数的图象，请直接写出关于 的不等式的解集； （3）求 的面积． 【答案】（1）， （2） 或 （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题及待定系数法求反比例函数与一次函数解析式，也考查了观察图象的能力． （1）把点代入反比例函数求出 ，即可求出反比例函数解析式，再求出点坐标，由待定系数法求出一次函数解析式； （2）由题意得出一次函数的图象总在反比例函数图象上方，即可得出结果； （3） 的面积，即可得出结果． 【小问1详解】 解：将 点的坐标代入中， 得，， 所以，反比例函数的表达式为， 将点的坐标代入中， 得，， 所以，点的坐标为， 将 点的坐标和点的坐标为分别代入 中， 得， 解得， 所以，一次函数的表达式为； 【小问2详解】 由图象可知，不等式的解集是一次函数图象总在反比例函数图象的上方对应的自变量的取值范围，即： 或； 【小问3详解】 如图，一次函数的图象与 轴交于点， 点的坐标为， ， ，， ， 的面积为． 22. 综合与探究 问题情境已知在 中， ．如图1， 是线段上一点，将线段 绕点逆时针旋转到 ，连接． （1）若，求 的长度． 猜想证明 （2）如图2，连接 ，取 的中点为 ，连接，试判断 与 之间的数量关系，写出结论并证明． 深入探究 （3）当点 在直线上运动时，在上述变换情况不变的条件下，若，请直接写出 的面积． 【答案】（1）；（2）．证明见解析；（3）或 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识． （1）证明，则，得到则，即可得到； （2）延长 到点 ，使交于点 ．证明，则．证明，则．又由即可得到结论； （3）分点 在的延长线上和点 在的延长线上两种情况，分别画出图形，进行解答即可． 【详解】（1）， 是等腰直角三角形， ． ， 是等腰直角三角形， ． 在 和 中， ， ， ． ， ， ． （2）． 证明：如图1，延长 到点 ，使交于点 ． ， ． ， ， ． 为 的中点， ， 点 在的垂直平分线上． ， 点在的垂直平分线上， 垂直平分， ． 在和中， ， ． ， ． 在和 中， ， ． ， ． （3）或． ①如图2，当点 在的延长线上时， ， ． ， ． ②如图3，当点 在的延长线上时， ， ． ， ． 综上所述，或． 23. 如图，抛物线 与x轴交于，B两点，与y轴交于点，D是其对称轴与x轴的交点． （1）求抛物线的表达式． （2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得 的值最小，求点M的坐标． （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 是等腰三角形？如果存在，请直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，P点坐标为 或 或 或 【解析】 【分析】（1）把 两点的坐标代入 ，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）由抛物线的对称性可知点与点 关于对称轴对称，所以 与抛物线对称轴的交点为 ，此时 最小，即 最小值等于线段 长，求出直线 与抛物线对称轴交点 坐标即可； （3）分两种情况讨论：i）当 是以 为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论：① ，②，设出点 P 的坐标，利用两点间的距离公式列出方程求解即可；ii）当 是以 为底的等腰三角形时，点 P 在 的垂直平分线上，，利用两点间的距离公式列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：把 代入 ， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为： ； 【小问2详解】 解：由抛物线的对称性可知点与点 关于抛物线的对称轴对称， 设 与抛物线对称轴的交点为 ，连接 ，此时 最小，即 最小值 ，如图， ， ∴抛物线的对称轴为直线 ， ∵ ，点与点 关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线 解析式为 ， 则，解得， ∴直线 解析式为 ， 当 时， ， ． 【小问3详解】 解：∵ ， ∴对称轴为直线 ， ， 设点的坐标为 ， ， ， 分两种情况讨论：i）当 是以 为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论： ①若 ，则 ，解得（舍弃）或 6 ， 所以点的坐标为 ； ②若，则 ，解得， 所以点 P 的坐标为 或 ； ii）当 是以 为底的等腰三角形时，， 则，解得：， 所以点的坐标为； 综上所述，点的坐标，分别是 或 或 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春九年级数学期中考试试卷 时间：110分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 5 D. 2. 下图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 正方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 三棱柱 3. 我国古代《九章算术》是东方数学瑰宝，书中记载“方田术”计算田地面积，下列中式窗棂图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等腰窗花 B. 十字回纹窗 C. 单扇如意窗 D. 扇形花窗 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有两个相等实数根 C. 有两个不相等实数根 D. 无法判断 6. 某便民超市推出桶装食用油优惠活动，购买不超过5桶按原价销售，超过5桶，超出部分打折优惠．设购买油量x桶，付款金额y元，y与x的函数图象大致为（ ） A. 先缓后陡折线 B. 先陡后缓折线 C. 直线递增 D. 反比例曲线 7. 不等式组的解集表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 现有4张完全相同的卡片，分别标有数字2、3、5、7，随机抽取两张，数字之和为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形 中，按作图步骤作 的垂直平分线，交 于点F，交 于点E，若， ， 则 的长为（ ） A. B. C. 3 D. 10. 二次函数 的部分对应值如表：下列说法错误的是（ ） x 0 1 y 5 1 A. 抛物线开口向上 B. 对称轴为直线 C. 当时，y随x增大而增大 D. 最小值为 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 物理中压强公式 （F为压力，S为受力面积），若压力F恒定，则压强p与受力面积S成________比例关系． 12. 化简： ________． 13. 定义新运算：，例如： ☆，则_____． 14. 按规律排列的一组数：，按此规律第n个数为________． 15. 在菱形中， ， ，点P是菱形边上一动点，连接 ， ，当 为直角三角形时， 的长为________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 先化简，再求值：其中 ． 17. 某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题： （1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是 ； （2）请补全条形统计图； （3）若该校九年级共有学生1200人，则估计该校“良好”的人数是 ； （4）已知“不合格”的3名学生中有2名男生、1名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率多少？ 18. 如图，是 的直径，点C在 上，与 相切于点A，与的延长线交于点D，连接，过点C作于点E． （1）求证： ． （2）若， ，求 的长． 19. 科技改变生活， 时代将对我们的生活产生意想不到的改变．某数学兴趣小组要测量如图2所示的 信号塔的高度．该小组在点D处测得信号塔顶端A的仰角为 ，在同一平面内沿水平地面向前走到达点C处（点B，C，D在同一直线上），此时测得顶端A的仰角为，求信号塔的高度． 20. 某文具店购进A、B两种纪念册，已知每本A种进价高于B种 元，且用 元购进A种的数量与用元购进B种的数量相同． （1）求A、B两种纪念册每本进价； （2）若计划购进两种纪念册共 本，且总成本不超过元，求最多购进A种纪念册多少本． 21. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据反比例函数与一次函数的图象，请直接写出关于的不等式的解集； （3）求 的面积． 22. 综合与探究 问题情境已知在中， ．如图1，是线段上一点，将线段绕点逆时针旋转到，连接． （1）若，求的长度． 猜想证明 （2）如图2，连接，取的中点为 ，连接，试判断 与之间的数量关系，写出结论并证明． 深入探究 （3）当点在直线上运动时，在上述变换情况不变的条件下，若，请直接写出 的面积． 23. 如图，抛物线 与x轴交于，B两点，与y轴交于点，D是其对称轴与x轴的交点． （1）求抛物线的表达式． （2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得 的值最小，求点M的坐标． （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 是等腰三角形？如果存在，请直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $