第一讲 曲线运动 期末复习讲义 -2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

期末复习讲义 2025-2026高一下学期期末复习讲义 第一讲 曲线运动 一、曲线运动 1、曲线运动的速度方向 （1）质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向． （2）速度是矢量，它既有大小，又有方向．由于曲线运动中，速度的方向是变化的，所以曲线运动是变速运动． 2、物体做曲线运动的条件 （1）动力学角度看：当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动． （2）运动学角度看：物体的加速度方向与它的速度方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动． 合力与速率变化的关系 分类 速度与合力 间的夹角θ 运动的性质 力的作用效果 直线 运动 θ＝0° 加速直线运动 只改变速度的大小，不改变速度的方向 θ＝180° 减速直线运动 曲线 运动 0°＜θ＜90° 加速曲线运动 既改变速度的大小，又改变速度的方向 90°<θ<180° 减速曲线运动 θ＝90° 速度大小不变 的曲线运动 只改变速度的方向，不改变速度的大小 2．运动的合成与分解 合运动性质的判断方法 判断两个直线运动的合运动的性质时，应先根据平行四边形定则，求出合运动的合初速度v0和合加速度a，然后进行判断． (1)判断是否做匀变速运动：若a恒定，物体做匀变速运动；若a变化，物体做变加速运动． (2)判断轨迹的曲直：若a方向与v0方向共线，则做直线运动；若a方向与v0方向不共线，则做曲线运动。 3．“关联”速度 1．“关联”速度问题：指物体斜着拉绳(杆)或绳(杆)斜着拉物体时，两端所连接物体的速度关系问题． 2．“关联”速度的分解规律 (1)分解依据 ①物体的实际运动是合运动． ②由于绳(杆)不可伸长，所以绳(杆)两端所连物体的速度沿着绳(杆)方向的分速度大小相同． (2)分解方法：将物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和沿绳(杆)的两个分量． (3)常见的速度分解情形如下： 4.小船渡河 1．小船参与的两个分运动 (1)船对地的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同． (2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行． 2．两类最值问题 (1)渡河时间最短问题 由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度．因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可．由图甲可知，t短＝，此时船渡河的位移x＝，位移方向满足tanθ＝. (2)渡河位移最短问题 情况一：v水＜v船 最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝，船头与上游河岸夹角θ满足v船cosθ＝v水，即cosθ＝，如图乙所示． 情况二：v水＞v船 合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图丙所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短．由图可知sinα＝，最短航程为x＝＝d.此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cosθ′＝. 二、平抛运动 （一）、平抛运动的速度 1．水平方向：vx＝v0． 2．竖直方向：vy＝gt． 3．合速度大小：v＝＝． 4．合速度方向：tan θ＝＝(θ表示合速度与水平方向之间的夹角)． （二）、平抛运动的位移与轨迹 1．水平位移：x＝v0t． 2．竖直位移：y＝gt2． 3．合位移大小：l＝__． 4．合位移方向：tan α＝＝(α表示合位移与水平方向之间的夹角)． 5．平抛运动的轨迹是一条抛物线． 理解： 1．平抛运动的性质：加速度为g的匀变速曲线运动． 2．平抛运动的特点 (1)受力特点：只受重力作用，不受其他力或其他力忽略不计． (2)运动特点 ①加速度：为自由落体加速度g，大小、方向均不变，故平抛运动是匀变速运动． ②速度：大小、方向时刻在变化，平抛运动是变速运动． (3)轨迹特点：运动轨迹是抛物线． (4)速度变化特点：任意两个相等的时间间隔内速度的变化相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示． 3.平抛运动的决定因素 (1)运动时间：由y＝gt2得t＝，可知做平抛运动的物体在空中运动的时间只与下落的高度有关，与初速度的大小无关． (2)水平位移大小：由x＝v0t＝v0知，做平抛运动的物体的水平位移由初速度v0和下落的高度y共同决定． (3)落地时的速度大小：v＝＝，即落地速度由初速度v0和下落的高度y共同决定．　 考点一：对曲线运动的理解 例1.在2026年米兰冬奥会男子1500米速度滑冰项目上，我国选手打破奥运纪录强势夺金。这也是中国男子速滑1500米项目冬奥历史首金。若在比赛中选手加速滑过弯道，则此时他所受合力及速度方向可能正确的是（     ） A． B． C． D． 例2.在校运会羽毛球决赛中，高速摄影相机拍下了某次羽毛球在空中的飞行轨迹，如图所示。图中标注的羽毛球在四个位置时的速度方向可能正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 例3.如图所示为一个做匀变速曲线运动的质点的轨迹示意图，已知质点从A经过B运动到E，在最高点B点时的速度与加速度相互垂直，则下列说法中正确的是（　　） A．从A点到B点，质点做加速运动 B．从C点到D点，质点做减速运动 C．从A点到D点，加速度与速度的夹角一直减小 D．从D点到E点，加速度与速度的夹角一直增大 考点二：运动的合成与分解 例1.某商场设有自动扶梯和步行楼梯，自动扶梯与水平面的夹角为30°，前进的速度为0.75m/s，步行楼梯每级的高度为0.15m。如图所示，有甲、乙两位顾客，分别从自动扶梯和步行楼梯的起点同时上楼，甲在自动扶梯上站立不动，乙在步行楼梯上以每秒上两个台阶的速度匀速上楼。如果该楼层高4.5m，下列说法正确的是（　　） A．甲先到达楼上，用时12s B．甲先到达楼上，用时6s C．乙先到达楼上，用时15s D．乙先到达楼上，用时7.5s 例2.2026年智慧物流园区投入使用，智能无人吊运车广泛应用于货物转运。如图1所示，吊运车可同时实现水平方向平移和竖直方向升降，将货物精准运送至指定位置。时刻，吊运车吊着质量为的货物朝目标位置运动，将货物视为质点，货物的水平分位移随时间变化的图像如图2所示，竖直分速度随时间变化的图像如图3所示（以竖直向上为正方向）。下列说法正确的是（     ） A．这段时间内，货物上升的高度为 B．时货物的速度大小为 C．时货物的加速度大小为 D．时货物所受的合力大小为 例3.如图所示，某空降兵正在执行任务，无风时，他着地速度大小为；假设降落途中遇水平东风，他着地速度大小为。若他在竖直方向上的运动情况与无风时相同，则（     ） A． B． C． D． 考点三：关联速度 例1.随着科学技术的发展，机械臂（工业机器人）已渗透到生产的各个环节。如图所示，机械臂通过跨过两定滑轮的一不可伸长的轻绳提升重物。当机械臂与水平方向夹角α=60°时，机械臂末端到达M点，AM=OM，A、O在同一竖直线上，则到达M点时机械臂末端与重物的速度之比为（　　） A．2:1 B． C．1:2 D． 例2. 机械设计中有许多精妙的设计。如图所示，小球沿着圆轨道做匀速圆周运动，物块穿在水平杆上，水平杆的延长线通过圆心，、通过连杆相连。下列说法正确的是（　　） A．当垂直于时，物块的速度小于小球的速度 B．当垂直于时，物块的速度大于小球的速度 C．、间连杆长度越长，的运动范围越大 D．物块的运动范围与、间连杆的长度无关 考点四：小船渡河问题 例1.如图所示，若小船从A点出发到达河的对岸，河宽，河水流速，小船在静水中的航行速度，当船头与河岸垂直时，下列说法正确的是（　　） A．小船到达A点的正对岸B点 B．小船的渡河时间为20s C．若河水流速增大，小船的渡河时间变长 D．若河水流速增大，小船到达对岸的位置离B点的距离不变 例2.一条小船准备渡过宽为的小河，船头与河岸的夹角为，如图所示，船在静水中的速度，水流速度，下列说法正确的是（     ） A．当满足时，小船垂直河岸渡河 B．调整船头与河岸的夹角，船过河的最小时间为20s C．若，则小船渡河的位移大小为60m D．水流速度变大后，若保持船头与河岸夹角不变，则过河时间变大 例3.2025年8月，受南海热带低压带来的降雨和上游来水影响，郁江南宁城区河段（邕江）出现超设防水位洪水。在某次救援中，战士欲划小船从A处横渡一条宽12 m的小河，A处下游有一障碍区域，A点与障碍区域边缘连线与河岸的最大夹角为，如图所示。已知河中水流速度为，战士划船的速度（即船相对静水的速度）最大可达，小船可视为质点，下列说法正确的是（    ） A．战士渡河的最短时间为 B．战士渡河的最短距离为 C．战士能够安全渡河的最小划船速度为 D．战士以最小安全速度渡河时所需时间为 考点五：对平抛运动的理解 例1.郎平是中国女子排球队的杰出人物，被誉为“铁榔头”。某次比赛中，郎平将排球以初速度水平击出，排球飞行秒后恰好落在对方的边界线上。不计空气阻力，该过程中排球的水平位移大小为（     ） A． B． C． D． 例2.如图所示，x轴在水平地面上，y轴沿竖直方向，图中画出了从y轴上沿x轴正方向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的，不计空气阻力，则（     ） A．a的运动时间比b的长 B．b和c的运动时间相同 C．a的初速度比b的大 D．b的初速度比c的小 例3.广西三月三民俗游园活动火热进行，各类传统趣味游戏轮番开展，其中“套圈圈”游戏深受人们喜爱。如图所示小孩和大人在同一竖直线上不同高度先后水平抛出两个相同的小圆环，要想套中同一个小圆筒。若小圆环的运动视为平抛运动，则（　　） A．小孩抛出的圆环初速度较大 B．小孩抛出的圆环落地速度一定大 C．大人抛出的圆环速度变化率较大 D．大人抛出的圆环落地速度与初速度方向夹角较大 考点六：平抛运动的应用 例1.如图所示，某人在斜面上方P点，先后以、的水平速度抛出A、B两个小石子，A小石子经时间垂直打在斜面上，B小石子经时间落在距P点最近的斜面上，则下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 例2.如图所示，一质量为m的小球放在倾角为的斜面上，斜面足够长。现将小球从斜面一确定位置A以初速度v水平抛出，碰撞点距抛出点的距离为l，落点为C点，不计空气阻力，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（     ） A．小球刚好下落到斜面时，垂直于斜面方向的速度分量大小为 B．小球从被抛出到与斜面碰撞所用的时间为 C．若小球在离斜面最远处沿垂直于斜面方向的投影点为B点，则 D．若将小球速度增加到2v，则碰撞点距抛出点的距离增加至2l 例3.滑板运动深受青少年的喜爱。如图所示，左侧是一个水平平台，在平台右侧有一倾角为的滑道。一可视为质点的滑板运动员从平台边缘点以的速度水平飞出，恰从点沿倾斜滑道方向进入倾斜滑道，经过一段时间到达点。已知、间的距离为，重力加速度取，，，不计空气阻力，不计滑板与倾斜滑道间的摩擦，求： (1)、两点间的竖直距离； (2)滑板运动员到达点时的速度大小。 一、单选题 1．一只船在静水中的速度为3m/s，它要渡过一条宽度为30m的河，河水的流速为4m/s，则下列说法正确的是（     ） A．船能垂直到达对岸 B．船渡河的速度一定为5m/s C．船不能渡过河 D．船渡河的最短时间为10s 2．一艘炮舰沿河由西向东匀速行驶，在炮舰上发射炮弹射击北岸的目标。要击中位于炮舰正北方向的目标，射击方向应该是（     ） A．偏向目标东侧 B．偏向目标西侧 C．对准目标 D．无论哪个方向都无法击中 3．我国跳水队多次在国际跳水赛上摘金夺银，被誉为跳水“梦之队”。图中虚线描述的是一位跳水运动员高台跳水时头部的运动轨迹，最后运动员沿竖直方向以速度v入水。整个运动过程中，在哪个位置头部的速度方向与入水时速度v的方向相同（     ） A．a位置 B．b位置 C．c位置 D．d位置 4．小河宽，水流速度保持不变，一艘小船在静水中的航速，现以船头始终指向对岸正对方向（即船身方向垂直于河岸）过河。则下列说法正确的是（　　） A．小船过河的实际轨迹是一条曲线，过河时间 B．小船过河的实际轨迹是一条直线，过河时间 C．若水流速度增大，小船过河时间变长 D．若水流速度减小，小船过河时间变短 5．如图所示，两平行河岸的间距，一条小船渡河过程中，船头指向上游且与河岸的夹角始终为。已知船在静水中的速度大小，水沿着河岸流动的速度大小，，。下列说法正确的是（     ） A．小船的运动轨迹与河岸的夹角为 B．小船渡河的时间为24s C．小船到达河对岸时的速度大小为4m/s D．起点与终点沿着河岸方向的距离为72m 6．如图所示物体A通过轻质细绳拉光滑水平面上的物体B，  当物体A沿光滑竖直杆以速度大小匀速下滑，某一时刻细绳与竖直杆间的夹角为， B的速度大小为，  则以下说法正确的是（　　） A．此时< B．此时> C．B物体做减速运动 D．B物体也做匀速运动 7．2024年央视春晚舞蹈节目《锦鲤》华丽登场，舞者巧借威亚展现别样东方美，寓意鱼跃龙门好运连连。如图所示，图甲为吊威亚表演者的照片，图乙为其简化示意图，工作人员以速度沿直线水平向左匀速拉轻绳，表演者在空中升起，则在此过程中（　　） A．表演者处于失重状态 B．工作人员受到地面的摩擦力水平向右 C．时，与的速度大小之比为 D．工作人员对地面的压力大小等于其重力大小 8．马刀锯是一种木匠常用的电动工具。其内部安装了特殊的传动装置，简化后如图所示，可以将电动机的转动转化为锯条的往复运动。电动机带动圆盘O转动，圆盘O上的凸起P在转动的过程中带动锯条左右往复运动。已知电动机正在顺时针转动，转速n=2400r/min，OP=2cm。某时刻OP与锯条运动方向的夹角θ=37°，下列说法正确的是（     ） A．此时锯条向右运动 B．此时锯条的速度大小约为5 m/s C．OP从图示位置转过30°的过程中，锯条的速度减小 D．锯条往复运动的周期是40s 9．如图为我国歼击机在大型航展上编队飞行时的情形，若飞机做曲线运动，则（　　） A．飞机的速度一定发生变化 B．飞机受到的合力沿轨迹的切线方向 C．飞机在相同时间内的速度变化量一定相同 D．飞机受到的合力对飞机做的功一定不为零 10．某次无人机表演时，某架无人机竖直向上做匀速直线运动的同时，水平方向上运动的速度—时间（）图像如图所示，水平向右为正方向。以水平向右为轴正方向、竖直向上为轴正方向，无人机的运动轨迹可能正确的是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 11．2022年2月5日，北京冬奥会跳台滑雪项目比赛在位于张家口的国家跳台滑雪中心举行，如图所示，现有甲乙两名运动员（均视为质点）从跳台a处先后沿水平方向向左飞出，其速度大小之比为，不计空气阻力，则甲乙两名运动员从飞出至落到斜坡（可视为斜面）上的过程中，下列说法正确的是（　　） A．他们飞行时间之比为 B．他们飞行的位移之比为 C．他们落到坡面上时速度大小相同 D．他们落到坡面上时速度方向相同 12．甲、乙两位同学进行投篮比赛，由于两同学身高和体能的差异，他们分别站在不同的两处将篮球从A、B两点投出的运动轨迹如图所示，两人同时抛出的篮球都能分别垂直击中竖直篮板的同一点，不计空气阻力，则下列说法中正确的是（　　） A．甲抛出的篮球比乙抛出的篮球先垂直击中篮板 B．甲抛出的篮球初速度比乙抛出篮球的初速度小 C．甲抛出的篮球初速度与水平方向的夹角比乙抛出的篮球初速度与水平方向的夹角小 D．甲抛出的篮球垂直击中篮板时的速度比乙抛出的篮球垂直击中篮板时的速度大 三、解答题 13．如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心、半径的圆形区域，OO'垂直地面，无人机在离地面高度的空中绕O'点、平行地面做半径的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动最大角速度应为。 14．如图所示，某轰炸机正在进行投弹训练，飞机在水平地面上方处以水平速度匀速飞行，目标位于斜坡上距坡底点处，斜坡倾角，到达投弹位置，飞机将炸弹自由释放，后精确命中目标。，，不计空气阻力。求： (1)炸弹离开飞机后在空中飞行的时间； (2)炸弹释放位置到坡底点的水平距离。 15．一种新型智能网球发球机可将网球从发球口沿水平面内任意方向击出，供运动员进行日常训练。如图所示，运动员将发球机置于网球场左侧底线AB的中点G处，发球口在G点正上方高度为的H点。球网两侧球场ABCF与FCDE均为边长的正方形，I为DE中点，球网高度为，网球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度大小为。 (1)若发球机从H点将网球沿平行于轴线GI方向水平击出，要使得网球能直接落到右侧场地内，求网球的初速度大小满足的条件； (2)若发球机发球速度的大小和方向在水平面内可任意调节，求网球直接落在右侧球场中所有可能落点构成图形的面积。 14 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习讲义 2025-2026高一下学期期末复习讲义 第一讲 曲线运动 一、曲线运动 1、曲线运动的速度方向 （1）质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向． （2）速度是矢量，它既有大小，又有方向．由于曲线运动中，速度的方向是变化的，所以曲线运动是变速运动． 2、物体做曲线运动的条件 （1）动力学角度看：当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动． （2）运动学角度看：物体的加速度方向与它的速度方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动． 合力与速率变化的关系 分类 速度与合力 间的夹角θ 运动的性质 力的作用效果 直线 运动 θ＝0° 加速直线运动 只改变速度的大小，不改变速度的方向 θ＝180° 减速直线运动 曲线 运动 0°＜θ＜90° 加速曲线运动 既改变速度的大小，又改变速度的方向 90°<θ<180° 减速曲线运动 θ＝90° 速度大小不变 的曲线运动 只改变速度的方向，不改变速度的大小 2．运动的合成与分解 合运动性质的判断方法 判断两个直线运动的合运动的性质时，应先根据平行四边形定则，求出合运动的合初速度v0和合加速度a，然后进行判断． (1)判断是否做匀变速运动：若a恒定，物体做匀变速运动；若a变化，物体做变加速运动． (2)判断轨迹的曲直：若a方向与v0方向共线，则做直线运动；若a方向与v0方向不共线，则做曲线运动。 3．“关联”速度 1．“关联”速度问题：指物体斜着拉绳(杆)或绳(杆)斜着拉物体时，两端所连接物体的速度关系问题． 2．“关联”速度的分解规律 (1)分解依据 ①物体的实际运动是合运动． ②由于绳(杆)不可伸长，所以绳(杆)两端所连物体的速度沿着绳(杆)方向的分速度大小相同． (2)分解方法：将物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和沿绳(杆)的两个分量． (3)常见的速度分解情形如下： 4.小船渡河 1．小船参与的两个分运动 (1)船对地的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同． (2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行． 2．两类最值问题 (1)渡河时间最短问题 由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度．因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可．由图甲可知，t短＝，此时船渡河的位移x＝，位移方向满足tanθ＝. (2)渡河位移最短问题 情况一：v水＜v船 最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝，船头与上游河岸夹角θ满足v船cosθ＝v水，即cosθ＝，如图乙所示． 情况二：v水＞v船 合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图丙所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短．由图可知sinα＝，最短航程为x＝＝d.此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cosθ′＝. 二、平抛运动 （一）、平抛运动的速度 1．水平方向：vx＝v0． 2．竖直方向：vy＝gt． 3．合速度大小：v＝＝． 4．合速度方向：tan θ＝＝(θ表示合速度与水平方向之间的夹角)． （二）、平抛运动的位移与轨迹 1．水平位移：x＝v0t． 2．竖直位移：y＝gt2． 3．合位移大小：l＝__． 4．合位移方向：tan α＝＝(α表示合位移与水平方向之间的夹角)． 5．平抛运动的轨迹是一条抛物线． 理解： 1．平抛运动的性质：加速度为g的匀变速曲线运动． 2．平抛运动的特点 (1)受力特点：只受重力作用，不受其他力或其他力忽略不计． (2)运动特点 ①加速度：为自由落体加速度g，大小、方向均不变，故平抛运动是匀变速运动． ②速度：大小、方向时刻在变化，平抛运动是变速运动． (3)轨迹特点：运动轨迹是抛物线． (4)速度变化特点：任意两个相等的时间间隔内速度的变化相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示． 3.平抛运动的决定因素 (1)运动时间：由y＝gt2得t＝，可知做平抛运动的物体在空中运动的时间只与下落的高度有关，与初速度的大小无关． (2)水平位移大小：由x＝v0t＝v0知，做平抛运动的物体的水平位移由初速度v0和下落的高度y共同决定． (3)落地时的速度大小：v＝＝，即落地速度由初速度v0和下落的高度y共同决定．　 考点一：对曲线运动的理解 例1.在2026年米兰冬奥会男子1500米速度滑冰项目上，我国选手打破奥运纪录强势夺金。这也是中国男子速滑1500米项目冬奥历史首金。若在比赛中选手加速滑过弯道，则此时他所受合力及速度方向可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】曲线运动中，速度方向一定沿轨迹在该点的切线方向，合力一定指向轨迹的凹侧，当合力方向与速度方向成钝角时，选手做减速运动，当合力方向与速度方向成锐角时，选手做加速运动。由题意知，比赛中选手加速滑过弯道，故合力方向与速度方向成锐角。 故选B。 例2.在校运会羽毛球决赛中，高速摄影相机拍下了某次羽毛球在空中的飞行轨迹，如图所示。图中标注的羽毛球在四个位置时的速度方向可能正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【详解】羽毛球做曲线运动，速度方向沿轨迹的切线方向。 故选D。 例3.如图所示为一个做匀变速曲线运动的质点的轨迹示意图，已知质点从A经过B运动到E，在最高点B点时的速度与加速度相互垂直，则下列说法中正确的是（　　） A．从A点到B点，质点做加速运动 B．从C点到D点，质点做减速运动 C．从A点到D点，加速度与速度的夹角一直减小 D．从D点到E点，加速度与速度的夹角一直增大 【答案】C 【详解】 A．质点做匀变速曲线运动，在最高点点时的速度与加速度相互垂直，可知加速度方向竖直向下。从点到点，速度方向斜向右上方，加速度方向竖直向下，两者夹角大于，合外力做负功，质点做减速运动，故A错误； B．从点到点，速度方向斜向右下方，加速度方向竖直向下，两者夹角小于，合外力做正功，质点做加速运动，故B错误； C．从点到点，速度方向由斜向右上方逐渐变为斜向右下方，加速度方向始终竖直向下，加速度与速度的夹角由钝角变为直角再变为锐角，且锐角逐渐减小，即夹角一直减小，故C正确； D．从点到点，速度方向继续向下偏转，越来越接近竖直方向，加速度与速度的夹角继续减小，故D错误。 故选C。 考点二：运动的合成与分解 例1.某商场设有自动扶梯和步行楼梯，自动扶梯与水平面的夹角为30°，前进的速度为0.75m/s，步行楼梯每级的高度为0.15m。如图所示，有甲、乙两位顾客，分别从自动扶梯和步行楼梯的起点同时上楼，甲在自动扶梯上站立不动，乙在步行楼梯上以每秒上两个台阶的速度匀速上楼。如果该楼层高4.5m，下列说法正确的是（　　） A．甲先到达楼上，用时12s B．甲先到达楼上，用时6s C．乙先到达楼上，用时15s D．乙先到达楼上，用时7.5s 【答案】A 【详解】由题可知，顾客甲上楼梯的竖直向上的速度为 顾客乙上楼梯的竖直向上的速度为 设楼梯的总高度为H，则甲到达楼上所用的时间为 乙到达楼上所用的时间为 故选A。 例2.2026年智慧物流园区投入使用，智能无人吊运车广泛应用于货物转运。如图1所示，吊运车可同时实现水平方向平移和竖直方向升降，将货物精准运送至指定位置。时刻，吊运车吊着质量为的货物朝目标位置运动，将货物视为质点，货物的水平分位移随时间变化的图像如图2所示，竖直分速度随时间变化的图像如图3所示（以竖直向上为正方向）。下列说法正确的是（     ） A．这段时间内，货物上升的高度为 B．时货物的速度大小为 C．时货物的加速度大小为 D．时货物所受的合力大小为 【答案】D 【详解】A．这段时间内，竖直位移，即货物上升的高度为，A错误； B．时货物的水平速度，竖直速度为，可知货物的速度大小为，B错误； C．时货物水平加速度为零，竖直加速度，则货物的加速度大小为，C错误； D．时货物所受的合力大小为，D正确。 故选D。 例3.如图所示，某空降兵正在执行任务，无风时，他着地速度大小为；假设降落途中遇水平东风，他着地速度大小为。若他在竖直方向上的运动情况与无风时相同，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】无风时，空降兵只具有竖直方向的速度，设竖直分速度为，则 遇水平东风时，空降兵同时参与竖直方向的运动和水平方向的运动。根据题意，竖直方向运动情况不变，即竖直分速度仍为，水平方向具有风速，根据运动的合成，此时的合速度大小为 故选A。 考点三：关联速度 例1.随着科学技术的发展，机械臂（工业机器人）已渗透到生产的各个环节。如图所示，机械臂通过跨过两定滑轮的一不可伸长的轻绳提升重物。当机械臂与水平方向夹角α=60°时，机械臂末端到达M点，AM=OM，A、O在同一竖直线上，则到达M点时机械臂末端与重物的速度之比为（　　） A．2:1 B． C．1:2 D． 【答案】B 【详解】当机械臂与水平方向夹角为60°时，机械臂末端到达M点，此时 则机械臂末端M点的线速度与绳的夹角为30°，根据关联速度可得 则 故选B。 例2. 机械设计中有许多精妙的设计。如图所示，小球沿着圆轨道做匀速圆周运动，物块穿在水平杆上，水平杆的延长线通过圆心，、通过连杆相连。下列说法正确的是（　　） A．当垂直于时，物块的速度小于小球的速度 B．当垂直于时，物块的速度大于小球的速度 C．、间连杆长度越长，的运动范围越大 D．物块的运动范围与、间连杆的长度无关 【答案】BD 【详解】AB．当垂直于时，设ab与Ob夹角为θ，可知，即物块的速度大于小球的速度，A错误，B正确； CD．b的运动范围等于圆轨道的直径，与、间连杆长度无关，C错误，D正确。 故选BD。 考点四：小船渡河问题 例1.如图所示，若小船从A点出发到达河的对岸，河宽，河水流速，小船在静水中的航行速度，当船头与河岸垂直时，下列说法正确的是（　　） A．小船到达A点的正对岸B点 B．小船的渡河时间为20s C．若河水流速增大，小船的渡河时间变长 D．若河水流速增大，小船到达对岸的位置离B点的距离不变 【答案】B 【详解】A．当船头与河岸垂直时，小船沿着河岸方向的速度不为零，小船不能到达A点的正对岸B点，到达B点下游，A错误； B．小船的渡河时间为，B正确； CD．小船过河时间与河水流速无关，小船到达对岸的位置离B点的距离可知小船到达对岸的位置离B点的距离随着水流速度的增大离B点越远，CD错误。 故选B。 例2.一条小船准备渡过宽为的小河，船头与河岸的夹角为，如图所示，船在静水中的速度，水流速度，下列说法正确的是（     ） A．当满足时，小船垂直河岸渡河 B．调整船头与河岸的夹角，船过河的最小时间为20s C．若，则小船渡河的位移大小为60m D．水流速度变大后，若保持船头与河岸夹角不变，则过河时间变大 【答案】A 【详解】A．根据题意船速大于水速，当船沿着河岸的分速度等于水流速度时，船可以垂直河岸过河，此时，故A正确； B．当船头始终与河岸垂直时，船过河的时间最短，最短时间，故B错误； C．若，则小船的合速度大小为 则小船渡河的位移大小为，故C错误； D．水流速度变大后，若保持船头与河岸夹角不变，则船在垂直河岸方向上的分速度不变，又河宽不变，则过河时间不变，故D错误； 故选A。 例3.2025年8月，受南海热带低压带来的降雨和上游来水影响，郁江南宁城区河段（邕江）出现超设防水位洪水。在某次救援中，战士欲划小船从A处横渡一条宽12 m的小河，A处下游有一障碍区域，A点与障碍区域边缘连线与河岸的最大夹角为，如图所示。已知河中水流速度为，战士划船的速度（即船相对静水的速度）最大可达，小船可视为质点，下列说法正确的是（    ） A．战士渡河的最短时间为 B．战士渡河的最短距离为 C．战士能够安全渡河的最小划船速度为 D．战士以最小安全速度渡河时所需时间为 【答案】C 【详解】CD．当小船从障碍物边缘经过且船在静水中的速度与船渡河速度垂直时小船的速度最小，如图所示 则战士能够安全渡河的最小划船速度为 战士以最小安全速度渡河的最小位移为 此时渡河的速度即合速度 战士以最小安全速度渡河需要的时间，故C正确，D错误； A．当船头垂直于河岸以最大划船速度渡河时渡河时间最短，则最短渡河时间为，故A错误； B．当船在静水中的速度与渡河速度（合速度）垂直时渡河位移最小，最小位移为，故B错误。 故选C。 考点五：对平抛运动的理解 例1.郎平是中国女子排球队的杰出人物，被誉为“铁榔头”。某次比赛中，郎平将排球以初速度水平击出，排球飞行秒后恰好落在对方的边界线上。不计空气阻力，该过程中排球的水平位移大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】排球被水平击出后，不计空气阻力，做平抛运动。 平抛运动中水平方向排球不受力，速度保持初速度不变，运动总时间为，根据匀速直线运动位移公式，水平位移大小为。 故选A。 例2.如图所示，x轴在水平地面上，y轴沿竖直方向，图中画出了从y轴上沿x轴正方向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的，不计空气阻力，则（     ） A．a的运动时间比b的长 B．b和c的运动时间相同 C．a的初速度比b的大 D．b的初速度比c的小 【答案】BC 【详解】AB．竖直方向都做自由落体运动，根据 解得 a比b的高度低，可知a比b运动的时间短；b、c下降的高度相同，b和c运动的时间相同，故A错误，B正确； C． a比b运动的时间短，a的水平位移大于b，根据可知，a的水平初速度大于b，故C正确； D．b、c的运动时间相等，b的水平位移大于c，根据可知，b的水平初速度大于c，故D错误。 故选BC。 例3.广西三月三民俗游园活动火热进行，各类传统趣味游戏轮番开展，其中“套圈圈”游戏深受人们喜爱。如图所示小孩和大人在同一竖直线上不同高度先后水平抛出两个相同的小圆环，要想套中同一个小圆筒。若小圆环的运动视为平抛运动，则（　　） A．小孩抛出的圆环初速度较大 B．小孩抛出的圆环落地速度一定大 C．大人抛出的圆环速度变化率较大 D．大人抛出的圆环落地速度与初速度方向夹角较大 【答案】AD 【详解】A． 竖直方向由自由落体规律 得运动时间 大人抛出点更高，，因此 水平方向匀速 两人水平位移相同，因此，小孩运动时间更短，故初速度更大，故A正确； B．落地速度是合速度 整理得 落地速度随变化，无法确定小孩的落地速度一定更大，故B错误； C．速度变化率等于加速度，平抛运动的加速度都是重力加速度，因此两人抛出的圆环速度变化率相同，故C错误； D．设落地速度与初速度夹角为，则 化简得 相同，越大越大，夹角越大，大人抛出点更高，因此夹角更大，故D正确。 故选AD。 考点六：平抛运动的应用 例1.如图所示，某人在斜面上方P点，先后以、的水平速度抛出A、B两个小石子，A小石子经时间垂直打在斜面上，B小石子经时间落在距P点最近的斜面上，则下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】 由图可得A小石子经时间垂直打在斜面上，其落点在B小石子落点的上面，竖直方向， 水平方向有， 落在斜面上时，B小石子的竖直位移大于A小石子的竖直位移，可知 又，可得 故选BC。 例2.如图所示，一质量为m的小球放在倾角为的斜面上，斜面足够长。现将小球从斜面一确定位置A以初速度v水平抛出，碰撞点距抛出点的距离为l，落点为C点，不计空气阻力，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（     ） A．小球刚好下落到斜面时，垂直于斜面方向的速度分量大小为 B．小球从被抛出到与斜面碰撞所用的时间为 C．若小球在离斜面最远处沿垂直于斜面方向的投影点为B点，则 D．若将小球速度增加到2v，则碰撞点距抛出点的距离增加至2l 【答案】B 【详解】A．将小球的运动沿斜面和垂直于斜面方向分解，垂直于斜面方向的分运动类比竖直上抛运动，根据速度的分解，可得，故A错误； B．由题分析，可知位移夹角为斜面的倾角，根据平抛运动推论，可得 解得，故B正确； C．将小球的运动沿斜面和垂直于斜面方向分解，根据垂直于斜面方向的分运动类比竖直上抛运动，可知小球A到B的时间等于B到C的时间，而沿斜面方向的初速度为，加速度为，即在沿斜面方向小球做初速度不为0的匀加速直线运动，所以，故C错误； D．根据平抛运动规律，可得 小球初速度增加至2v，碰撞点距抛出点的距离变为4l，故D错误。 故选B。 例3.滑板运动深受青少年的喜爱。如图所示，左侧是一个水平平台，在平台右侧有一倾角为的滑道。一可视为质点的滑板运动员从平台边缘点以的速度水平飞出，恰从点沿倾斜滑道方向进入倾斜滑道，经过一段时间到达点。已知、间的距离为，重力加速度取，，，不计空气阻力，不计滑板与倾斜滑道间的摩擦，求： (1)、两点间的竖直距离； (2)滑板运动员到达点时的速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）滑板运动员从点运动到点做平抛运动，有，     由几何关系得     联立各式得 （2）由几何关系得     滑板运动员在倾斜滑道上运动时的加速度为     由匀变速直线运动规律得     代入数据得 一、单选题 1．一只船在静水中的速度为3m/s，它要渡过一条宽度为30m的河，河水的流速为4m/s，则下列说法正确的是（     ） A．船能垂直到达对岸 B．船渡河的速度一定为5m/s C．船不能渡过河 D．船渡河的最短时间为10s 【答案】D 【详解】将船的运动分解为垂直河岸、沿河岸两个独立的分运动，分运动具有等时性： A．要使船垂直到达对岸，需合速度垂直河岸，即静水速沿河岸向上的分速度大小等于水流速，但船静水速仅，最大沿河岸分速度不足，船无法实现垂直到达对岸，故A错误； B．船静水速的方向可任意调整，合速度为静水速与水流速的矢量和，大小随两者夹角变化，仅当两者垂直时合速度为，并非一定为，故B错误； C．只要船有垂直河岸的分速度即可渡河，水流速仅影响沿河岸的位移，不影响渡河可行性，故C错误； D．当静水速完全垂直河岸时，垂直河岸分速度最大，渡河时间最短，最短时间为，故D正确。 故选D。 2．一艘炮舰沿河由西向东匀速行驶，在炮舰上发射炮弹射击北岸的目标。要击中位于炮舰正北方向的目标，射击方向应该是（     ） A．偏向目标东侧 B．偏向目标西侧 C．对准目标 D．无论哪个方向都无法击中 【答案】B 【详解】炮弹发射前随炮舰一起由西向东匀速运动，因此炮弹出膛时自带与炮舰相同的向东的初速度，炮弹的实际运动是向东的、与射击方向一致的相对炮舰的出膛速度的合运动，要击中正北方向的目标，合速度方向必须指向正北。 A．若偏向目标东侧，存在向东的分量，合速度会向东偏移，无法击中正北目标，故A错误； B．若偏向目标西侧，的向西分量可抵消向东的，剩余向北的分量使炮弹向正北运动，可击中目标，故B正确； C．若对准目标，方向为正北，合速度为向东的和向北的的矢量和，方向为东北，会落在目标东侧，无法击中，故C错误； D．调整射击方向为偏向目标西侧即可击中，故D错误。 故选B。 3．我国跳水队多次在国际跳水赛上摘金夺银，被誉为跳水“梦之队”。图中虚线描述的是一位跳水运动员高台跳水时头部的运动轨迹，最后运动员沿竖直方向以速度v入水。整个运动过程中，在哪个位置头部的速度方向与入水时速度v的方向相同（     ） A．a位置 B．b位置 C．c位置 D．d位置 【答案】C 【详解】由于速度的方向沿运动轨迹的切线方向，通过运动轨迹可知c位置时的速度方向竖直向下，与入水时的速度方向相同。 故选C。 4．小河宽，水流速度保持不变，一艘小船在静水中的航速，现以船头始终指向对岸正对方向（即船身方向垂直于河岸）过河。则下列说法正确的是（　　） A．小船过河的实际轨迹是一条曲线，过河时间 B．小船过河的实际轨迹是一条直线，过河时间 C．若水流速度增大，小船过河时间变长 D．若水流速度减小，小船过河时间变短 【答案】B 【详解】船头始终垂直于河岸指向对岸正对方向，小船过河的实际速度为其静水速度与水流速度的矢量和。过河时间仅取决于垂直于河岸的速度分量，水流速度仅影响平行于河岸的漂移距离，不影响过河时间。轨迹形状由速度分量的恒定性和方向决定。过河时间 垂直于河岸方向与沿河岸方向均做匀速直线运动，则沿合速度方向做匀速直线运动，小船过河的实际轨迹为一条直线。 故选B。 5．如图所示，两平行河岸的间距，一条小船渡河过程中，船头指向上游且与河岸的夹角始终为。已知船在静水中的速度大小，水沿着河岸流动的速度大小，，。下列说法正确的是（     ） A．小船的运动轨迹与河岸的夹角为 B．小船渡河的时间为24s C．小船到达河对岸时的速度大小为4m/s D．起点与终点沿着河岸方向的距离为72m 【答案】C 【详解】ACD．将小船在静水中的速度沿着河岸与垂直河岸方向分解，如图所示 所以沿河岸方向小船的合速度为 小船垂直河岸的速度为 所以小船的运动轨迹为垂直河岸方向运动，速度大小为4m/s，起点与终点沿着河岸方向的距离为0，故AD错误，C正确； B．小船的过河时间为，故B错误。 故选C。 6．如图所示物体A通过轻质细绳拉光滑水平面上的物体B，  当物体A沿光滑竖直杆以速度大小匀速下滑，某一时刻细绳与竖直杆间的夹角为， B的速度大小为，  则以下说法正确的是（　　） A．此时< B．此时> C．B物体做减速运动 D．B物体也做匀速运动 【答案】B 【详解】AB． 将A的合速度（竖直向下的）分解为沿绳方向和垂直绳方向两个分量，沿绳方向的分速度大小等于B的速度 由几何关系得 因此，故A错误，B正确； CD．A匀速下滑时，细绳与竖直杆的夹角逐渐减小，随减小而增大； 大小不变，因此逐渐增大，故B做加速运动，故CD错误。 故选B。 7．2024年央视春晚舞蹈节目《锦鲤》华丽登场，舞者巧借威亚展现别样东方美，寓意鱼跃龙门好运连连。如图所示，图甲为吊威亚表演者的照片，图乙为其简化示意图，工作人员以速度沿直线水平向左匀速拉轻绳，表演者在空中升起，则在此过程中（　　） A．表演者处于失重状态 B．工作人员受到地面的摩擦力水平向右 C．时，与的速度大小之比为 D．工作人员对地面的压力大小等于其重力大小 【答案】C 【详解】A．将的速度沿绳方向和垂直绳方向分解。沿绳方向分速度即为绳子收缩速度，也等于上升的速度 向左运动时，减小，增大，故增大，向上做加速运动，加速度向上，是超重状态，故A错误； B．水平向左匀速，合外力为零。绳子对的拉力方向沿绳斜向右上方，该拉力有水平向右的分力。为保持平衡，地面对的摩擦力必须水平向左，故B错误； C．时，，故，故C正确； D．在竖直方向受重力、支持力、绳子拉力的竖直向上分力。因此支持力，故D错误； 故选C。 8．马刀锯是一种木匠常用的电动工具。其内部安装了特殊的传动装置，简化后如图所示，可以将电动机的转动转化为锯条的往复运动。电动机带动圆盘O转动，圆盘O上的凸起P在转动的过程中带动锯条左右往复运动。已知电动机正在顺时针转动，转速n=2400r/min，OP=2cm。某时刻OP与锯条运动方向的夹角θ=37°，下列说法正确的是（     ） A．此时锯条向右运动 B．此时锯条的速度大小约为5 m/s C．OP从图示位置转过30°的过程中，锯条的速度减小 D．锯条往复运动的周期是40s 【答案】A 【详解】转速 角速度， 点线速度： A．圆盘顺时针转动，点线速度沿圆周切线斜向右上，将沿平行锯条、垂直锯条分解，平行锯条分速度向右，因此锯条向右运动，A正确。 B．如图 锯条速度是沿锯条方向的分速度：，B错误。 C．从图示位置顺时针转过，变大、变大，变大，锯条速度增大，C错误。 D．周期 ，D错误。 故选A。 9．如图为我国歼击机在大型航展上编队飞行时的情形，若飞机做曲线运动，则（　　） A．飞机的速度一定发生变化 B．飞机受到的合力沿轨迹的切线方向 C．飞机在相同时间内的速度变化量一定相同 D．飞机受到的合力对飞机做的功一定不为零 【答案】A 【详解】A．曲线运动中速度方向沿轨迹切线方向，时刻在改变，速度是矢量，方向改变则速度一定发生变化，故A正确； B．物体做曲线运动的条件是合力与速度不在同一条直线上，合力指向轨迹凹侧，若合力沿轨迹切线方向，物体将做直线运动，故B错误； C．速度变化量，只有当加速度恒定时，相同时间内的速度变化量才相同，一般曲线运动加速度不一定恒定，故C错误； D．若飞机做匀速曲线运动，动能不变，根据动能定理，合力做功为零，故D错误； 故选A。 10．某次无人机表演时，某架无人机竖直向上做匀速直线运动的同时，水平方向上运动的速度—时间（）图像如图所示，水平向右为正方向。以水平向右为轴正方向、竖直向上为轴正方向，无人机的运动轨迹可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得无人机的加速度方向水平向右，因为无人机做曲线运动，所以加速度方向指向凹侧，D选项图像满足分析。 故选D。 二、多选题 11．2022年2月5日，北京冬奥会跳台滑雪项目比赛在位于张家口的国家跳台滑雪中心举行，如图所示，现有甲乙两名运动员（均视为质点）从跳台a处先后沿水平方向向左飞出，其速度大小之比为，不计空气阻力，则甲乙两名运动员从飞出至落到斜坡（可视为斜面）上的过程中，下列说法正确的是（　　） A．他们飞行时间之比为 B．他们飞行的位移之比为 C．他们落到坡面上时速度大小相同 D．他们落到坡面上时速度方向相同 【答案】AD 【详解】A．设斜面倾角为，运动员做平抛运动，水平方向 竖直方向 落到斜面上时满足几何关系 解得飞行时间，已知，因此，故A正确； B．抛出点到落点的位移大小 代入得，因此，故B错误； C．落到坡面的速度大小 代入得，初速度不同，因此落到坡面时速度大小不同，故C错误； D．设速度方向与水平方向的夹角为，则，是斜面倾角，为定值，因此为定值，不管初速度多大，落到斜面上的速度方向都相同，故D正确。 故选AD。 12．甲、乙两位同学进行投篮比赛，由于两同学身高和体能的差异，他们分别站在不同的两处将篮球从A、B两点投出的运动轨迹如图所示，两人同时抛出的篮球都能分别垂直击中竖直篮板的同一点，不计空气阻力，则下列说法中正确的是（　　） A．甲抛出的篮球比乙抛出的篮球先垂直击中篮板 B．甲抛出的篮球初速度比乙抛出篮球的初速度小 C．甲抛出的篮球初速度与水平方向的夹角比乙抛出的篮球初速度与水平方向的夹角小 D．甲抛出的篮球垂直击中篮板时的速度比乙抛出的篮球垂直击中篮板时的速度大 【答案】AB 【详解】A．篮球做斜抛运动，可以逆向看作平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，甲抛出的篮球高度小于乙抛出的篮球的高度，甲抛出的篮球用时少，则甲抛出的篮球比乙抛出的篮球先垂直击中篮板，A正确； D．作一条水平直线，分别交两平抛轨迹于C、D两点，如图所示 研究甲抛出的篮球由C运动到撞墙、乙抛出的篮球由D运动到撞墙的运动过程，甲抛出的篮球运动的高度等于乙抛出的篮球运动的高度，则两球的运动时间相同；乙抛出的篮球运动的水平距离大于甲抛出的篮球运动的水平距离；故甲抛出的篮球的水平速度比乙抛出篮球的水平速度小，故，甲抛出的篮球垂直击中篮板时的速度比乙抛出的篮球垂直击中篮板时的速度小，D错误； B．竖直方向上，甲抛出篮球的高度差小于乙抛出篮球的高度差，则甲抛出篮球的竖直速度小于乙抛出篮球的竖直速度，故 根据速度的合成有，故甲抛出的篮球初速度比乙抛出篮球的初速度小，B正确； C．由图可看出，甲抛出篮球的合位移与水平方向的夹角比乙抛出篮球的合位移与水平方向的夹角大，根据平抛速度方向与合位移方向的关系有，其中为速度与水平方向的夹角，为合位移与水平方向的夹角。 所以，甲抛出篮球的初速度与水平方向的夹角比乙抛出篮球的初速度与水平方向的夹角大，故C错误。 故选AB。 三、解答题 13．如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心、半径的圆形区域，OO'垂直地面，无人机在离地面高度的空中绕O'点、平行地面做半径的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动最大角速度应为。 【答案】 【详解】物品离开无人机后做平抛运动，竖直方向为自由落体运动，由 得平抛运动时间 无人机匀速圆周运动的线速度为 物品水平方向匀速运动，沿切线方向的位移为 圆周运动的半径方向与切线方向垂直，因此落点到点的距离满足勾股定理 要保证落点在目标区域内，临界最大距离为，对应最大角速度，代入数据得 14．如图所示，某轰炸机正在进行投弹训练，飞机在水平地面上方处以水平速度匀速飞行，目标位于斜坡上距坡底点处，斜坡倾角，到达投弹位置，飞机将炸弹自由释放，后精确命中目标。，，不计空气阻力。求： (1)炸弹离开飞机后在空中飞行的时间； (2)炸弹释放位置到坡底点的水平距离。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，目标距离水平地面的竖直高度为 因此炸弹竖直方向实际下落位移 竖直方向炸弹做自由落体运动，满足 代入数据，解得飞行时间 （2）水平方向炸弹做匀速直线运动，从释放点到目标的总水平位移 目标距离点的水平分量为 因此释放点到点的水平距离 15．一种新型智能网球发球机可将网球从发球口沿水平面内任意方向击出，供运动员进行日常训练。如图所示，运动员将发球机置于网球场左侧底线AB的中点G处，发球口在G点正上方高度为的H点。球网两侧球场ABCF与FCDE均为边长的正方形，I为DE中点，球网高度为，网球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度大小为。 (1)若发球机从H点将网球沿平行于轴线GI方向水平击出，要使得网球能直接落到右侧场地内，求网球的初速度大小满足的条件； (2)若发球机发球速度的大小和方向在水平面内可任意调节，求网球直接落在右侧球场中所有可能落点构成图形的面积。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设网球初速度为时，经历时间恰能过网，水平方向有 竖直方向有 解得 设网球初速度为时，经历时间恰好不出右侧底线，水平方向有 竖直方向有 解得 综上，要使得网球能落到右侧场地，初速度应满足。 （2）设网球初速度方向与GI方向的夹角为，初速度大小为，恰能过网，如图所示 网球运动轨迹与球网的交点为在地面上的投影为，网球落地点为，设的距离为。从H运动至M的过程中，水平方向有 从H运动至P的过程中，水平方向有 落点P到球网的距离 解得 即所有恰好过网的网球落点位置到球网的距离均相同，与初速度方向无关。故所有可能的落点组成的形状为矩形，面积为 联立解得 14 学科网（北京）股份有限公司 $