26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数y=ax²的图象和性质，通过篮球运动路线情境导入，复习二次函数概念，搭建从生活现象到数学知识的学习支架，为探究图象画法和性质奠定基础。 以“做数学”为主线，引导学生用描点法画y=x²图象，对比y=2x²、y=-x²等探究a值影响，培养几何直观与推理能力，体现数学思维。情境导入与随堂检测强化数学眼光和应用意识，助学生掌握数形结合，提升教师教学效率，落实新课标核心素养。

26.2 二次函数的图象和性质 26.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质 教学设计 课题 26.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质 授课人 教学目标 1.知道二次函数的图象是一条抛物线. 2.（2022新课标）能画二次函数 y=ax2 的图象.通过画图，了解二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条拋物线，理解其顶点为何是原点，对称轴为何是y轴，开口方向为何向上(或向下)，掌握其顶点、对称轴、开口方向、最值和增减性与解析式的内在关系，能运用相关性质解决有关问题. 3.（2022新课标）通过图象了解二次函数 y=ax2 的性质. 4.通过对函数图象的观察，掌握二次函数解析式y＝ax2(a≠0)与函数图象的联系，并运用“数形结合”的方法解决抛物线有关问题. 教学重点 画出二次函数y＝x2的图象，根据函数的图象分析其性质. 教学难点 用描点法准确画出二次函数的图象. 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 情境导入 如图，你知道打篮球投篮时篮球运动的路线是什么吗？你知道姚明投篮为什么那么准吗？用篮球投篮，观察篮球的运动路线，思考分析投篮时篮球的运动路线有何规律，怎样用数学规律来描述？ 通过创设情境，引导学生列出二次函数的解析式，复习二次函数概念，为后面学习新课做好铺垫 探究新知 二次函数y=ax2的图象 问题：如何画出二次函数y＝x2的图象呢？ 师生活动：师生共同讨论，得到画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线． ①列表： 问题：自变量该如何取值呢？ 学生交流、讨论，得到结论． 二次函数y＝x2中自变量的取值范围是全体实数，而且当自变量互为相反数时，对应的函数值相等，因此，以原点为中心在原点的左右两侧均匀地选取便于计算的x值即可． x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … ②描点：请同学们把表格中的点在坐标纸上描出来. ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，在连线过程中，观察图象的形状. 师生活动：学生在坐标纸上画出图象，教师巡视，及时发现问题，并予以纠正、指导. 二次函数y＝x2的图象总结：二次函数y＝x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮或掷铅球时球在空中所经过的路线，这条曲线叫做抛物线．抛物线开口方向向上或向下，是轴对称图形，它与对称轴的交点叫做抛物线的顶点. 思考：在同一个平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2和y＝2x2的图象，并观察图象有哪些特征. 师生活动：请同学们在同一平面直角坐标系中画出两个二次函数的图象，完成后观察并分组讨论图象之间的异同点，总结出当a>0时，二次函数y＝ax2的图象特征. 探究二次函数y＝－x2，y＝－x2和y＝－2x2的图象，并思考这些抛物线有什么共同点和不同点. 列表： x … －4 -3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y＝-x2 … … x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y=－x2 … … x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y＝－2x2 … … 归纳：抛物线y＝－x2，y＝－x2， y＝－2x2的二次项系数a＜0，顶点都是原点，对称轴是_y轴_，顶点是抛物线的最高点（填“高”或“低”） ． 师生活动：教师进行画图演示，学生观察三个函数图象，并比较异同，独自总结规律．教师进行个别提问，学生独立作答，师生共同确定规律. 3.总结归纳，形成规律 总结二次函数y＝ax2(a≠0)的图象的特征. 学生独立归纳二次函数y＝ax2的图象特征，并填表： 二次函数 y＝ax2 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 a>0 向上 y轴 （0,0） y轴右边减，左边增 最小值 a<0 向下 y轴 （0,0） y轴右边增，左边减 最大值 归纳：一般地，抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，顶点是原点．当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大. 从二次函数的图象可以看出：如果当a>0时，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；如果a＜0，当x当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小. 通过具体事例，让学生画出图象，启发学生观察，思考，归纳出二次函数y＝x2的图象和性质，让学生在实践中感悟，提高学生解决问题的能力。 此环节让学生在实际问题出发的基础上理解二次函数的图象和性质，达到真正理解并掌握的目的. 典例精析 例1（教材p34例1）在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2，y＝x2，y＝2x2的图象． 【解】列表： x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y＝x2 … … x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y＝x2 … … x … －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y＝2x2 … … 描点、连线 【归纳】抛物线y＝x2，y＝x2，y＝2x2的二次项系数a__＞_____0；顶点都是原点； 对称轴是y轴；顶点是抛物线的最_低点（填“高”或“低”）． 师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答． 本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流，注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法。 随堂检测 1．关于x的二次函数y＝－3x2，下列结论： ①图象的开口向下；②顶点是(0，0)；③图象有最低点；④当x＜0时，y随x的增大而增大． 其中正确的结论的个数为（　　） A．1个　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个 答案：C. 2．抛物线y＝0.5x2，y＝－3x2，y＝x2的开口最大的是（　　） A．y＝0.5x2　　　　　　　B．y＝－3x2 C．y＝x2　　　　　　　　 D．无法确定 答案：A. 3.若抛物线y＝ax2(a ≠ 0)，过点(－1，2). (1)则a的值是 . (2)对称轴是 ，开口向上.　　　 (3)顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最小值．抛物线在x轴的 方(除顶点外). (4)若A(x1，y1)，B(x2，y2)在这条抛物线上，且x1<x2<0， 则y1 y2. 答案：（1）2；（2）y轴；（3）（0,0） 上 （4）＞ 4．已知y＝(m+1)是二次函数，其图象开口向上，求m的值和函数解析式． 解：依题意，得 解②，得m1＝−2，m2＝1． 由①，得m＞−1． 所以m＝1． 此时，二次函数的解析式为y＝2x2． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况. 课堂小结 【课堂小结】 引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？ 1. 方法层面 学习了二次函数y=ax2的图象和性质，体会数形结合的核心数学思想，通过描点法绘制函数图象，再结合图象直观分析函数的开口、顶点、增减性等性质，实现从解析式到图象、再从图象归纳性质的转化，感受由具体到一般、由形到数的研究方法. 2. 知识内容层面 掌握二次函数y=ax2的图象特征、核心性质以及参数a 的作用. 3. 概念联系与区别 联系：y=ax2是二次函数的特殊形式，是最简单的二次函数，是研究复杂二次函数图象性质的基础，二者均遵循抛物线的基本特征； 区别：y=ax2的顶点固定在原点，对称轴固定为y 轴；一般二次函数的顶点和对称轴可随参数b 、c变化，图象可上下、左右平移. 核心易错点：混淆开口方向与a的正负关系；记错对称轴和顶点坐标；搞反不同开口方向下的函数增减性；忽略|a|决定开口大小这一要点. 【知识网络】 教学说明：教师提问并引导学生总结归纳二次函数y=ax2的图象和性质． 巩固所学知识，加深对二次函数图象和性质的理解. 作业布置 板书设计 二次函数y=ax2的图象和性质 1.画法 2.图象 3.性质. 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $