26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质（教学设计）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.2　二次函数的图象和性质

26.2.1　二次函数y=ax2的图象和性质

1.通过画图，了解二次函数y=ax2（a≠0）的图象是一条拋物线，理解其顶点为何是原点，对称轴为何是y轴，开口方向为何向上（或向下），掌握其顶点、对称轴、开口方向、最值和增减性与解析式的内在关系，能运用相关性质解决有关问题．

2.通过对函数图象的观察，掌握二次函数解析式y=ax2（a≠0）与函数图象的联系，并运用“数形结合”的方法解决抛物线有关问题．

1.画出二次函数y=x2的图象，根据函数的图象分析其性质．（重点）

2.用描点法准确画出二次函数的图象．（难点）

知识链接：我们知道，正比例函数y=ax（a≠0）的图象是一条直线，试回顾相关知识，并思考：y=ax2的图象和性质是怎样的呢？

　探究点：二次函数y=x2的图象和性质

操作与思考：画出y=x2的图象，并观察图象的特征．

探究1：从函数解析式研究图象和性质．

（1）自变量x的取值范围是什么？全体实数．

（2）函数值y的取值范围是什么？y≥0.

（3）当x取一对相反数时，函数值相等吗？相等．如x=±2时，y=4.

探究2：用“描点法”作图

1.列表：在y=x2中，自变量x可以取任意实数，列表表示几组对应值：

x	…	－3	－2	－1	0	1	2	3	…
y=x2	…	9	4	1	0	1	4	9	…

 

2.描点：根据表中x，y的对应值在平面直角坐标系中描点（x，y）．

3.连线：如图，用平滑的曲线顺次连接各点，就得到y=x2的图象．（能用直线连接吗？）

思考：二次函数y=x2的图象有什么特征？（可以从以下几个方面考虑）

（1）你能描述图象的形状吗？

抛物线．

（2）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？

图象是轴对称图形，这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴．

（3）当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞0时呢？

观察图象发现：当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．

（4）当x取什么值时，y的值最小？最小值是多少？你是如何知道的？

当x=0时，y的值最小，最小值是0.

对称轴与抛物线的交点叫作物线的顶点，它是抛物线的最低点，坐标为（0，0）．

在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x2，y=2x2的图象．

解：列表如下：（表格见教材P34）

描点、连线，如图所示：

思考：（1）函数y=x2，y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？

共同点：开口向上，对称轴是y轴，顶点是坐标原点，也是抛物线的最低点；

不同点：开口大小不同．

（2）当a＞0时，二次函数y=ax2的图象开口大小有什么规律？

当a＞0时，a越大，开口越小．

探究3：类似于对函数y=ax2（a＞0）的研究，可以在同一平面直角坐标系中画出函数y=－x2，y=－x2，y=－2x2的图象（教材P35图26.2－5），观察这些抛物线有什么共同点和不同点．

共同点：开口向下，对称轴是y轴，顶点是坐标原点；不同点：开口大小不同．

思考：当a＜0时，二次函数y=ax2的图象开口大小有什么规律？