精品解析：安徽省宿州市埇桥区教育集团2024-2025学年下学期期中学业质量检测八下数学试卷

埇桥区教育集团2024-2025学年度第二学期期中学业质量检测 八年级数学试题卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 12或15 4. 在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点C顺时针方向旋转得，若，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中， ，，，将沿射线的方向平移个单位后，得到，连接，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 8. 某超市用元购进某种水果千克，运输和销售过程中有的正常损耗，要使销售利润不低于，该水果每千克的售价至少为多少元？设该水果每千克的售价为元，由题意列不等式，得（ ） A. B. C. D. 9. 在中，点A、B、C的坐标分别为和，当的周长最小时，此时的面积的值为（ ） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5 10. 已知：中，，D为边上一点，，，于H，延长线交于E，则的长为（　　） A. B. C. D. 1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若是关于x的一元一次不等式，则k的值为____________． 12. 如图，将“笑脸”图标向右平移3个单位，再向下平移5个单位，则点P的对应点的坐标是 _____． 13. 若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是__． 14. 若m，n为常数，多项式可因式分解为，则的值为_______ 15. 如图，在中， ，的垂直平分线分别交和于点和点，的垂直平分线分别交和于点和点，连接，，则的度数为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点，，，．．．那么点A2026的坐标为____________． 三、解答题（本大题共7小题，共52分．） 17. 解不等式组： ，并把解集数轴上表示出来． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若经过平移后得到，已知点坐标为，画出； （2）画出与关于原点O成中心对称图形的，并写出的坐标． 19. 观察前后两个差为4的整数的平方差： ①；②；③；…… （1）写出第n个等式，并进行证明． （2）问是否可以写成两个差为4的整数的平方差？如果能，请写出这两个整数；如果不能，请说明理由． 20. 如图，在中，是的中点，，，垂足分别是点、，． （1）求证：平分． （2）若的面积为，，求的长． 21. 如图，已知直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，与直线相交于点． （1）求的值与求直线的解析式； （2）根据图像，直接写出关于的不等式的解集； （3）求四边形面积． 22. 为了提高同学们的运算能力，激发学习数学的兴趣，某中学开展了主题为“运算能力争霸赛”的数学活动，并计划购买两种奖品奖励在数学活动中表现突出的学生．已知奖品的单价是10元；奖品的单价是25元．学校计划购买两种奖品共100件，购买费用不超过1385元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的4倍． （1）该学校有几种购买方案？ （2）设购买、两种奖品的总费用为元，请写出（元）与种奖品的数量（件）之间的函数关系，并求出哪一种购买方案可以使得总费用最少，并求出的最小值． 23. 已知是边长为4的等边三角形，点是射线上的动点，将绕点逆时针方向旋转得到，连接． （1）如图1，猜想是什么三角形？__________；（直接写出结果） （2）如图2，点在射线上（点的右边）移动时，和之间有怎样的数量关系，请说明理由． （3）当点在线段上移动时，的周长是否存在最小值？若存在．请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 埇桥区教育集团2024-2025学年度第二学期期中学业质量检测 八年级数学试题卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】A、图形既不是轴对称图形，又不是中心对图形，故不符合题意； B、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、图形既不是轴对称图形，又不是中心对图形，故不符合题意； D、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意． 故选：D． 2. 若，则下列不等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的基本性质（1）对A进行判断；根据不等式的基本性质（2）对B、C进行判断；根据不等式的基本性质（3）对D进行判断． 【详解】解：A．，则成立，所以A选项不符合题意； B．，则，即不成立，所以B选项符合题意； C．，则成立，所以C选项不符合题意； D．，则成立，所以D选项不符合题意． 故选：B． 3. 已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 12或15 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义及构成三角形的条件．分两种情况解答即可求解． 【详解】解：若腰长为6，等腰三角形的三边长为：， ，能构成三角形，此时该等腰三角形的周长是； 若腰长为3，等腰三角形的三边长为：， ，不能构成三角形， 综上所述，该等腰三角形的周长是15． 故选：C． 4. 在平面直角坐标系中，若点在第四象限，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，根据“第四象限”得到关于x的不等式组，即可求解． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， 解得：， ∴x的取值范围在数轴上表示为 ． 故选：A 5. 如图，将绕点C顺时针方向旋转得，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，先利用旋转的性质得到，，则根据，利用互余可计算出，从而得到的度数． 【详解】解：绕点C顺时针方向旋转得， ，， ， ， 故选：C 6. 下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义．因式分解就是把多项式转化成几个整式的积的形式，根据定义即可作出判断． 【详解】解：A、，是整式的乘法运算，不是因式分解，本选项不符合题意； B、，利用平方差公式因式分解，本选项符合题意； C、，结果不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，不是因式分解，本选项不符合题意； D、，不符合因式分解的定义，不是因式分解，本选项不符合题意； 故选：B． 7. 如图，在中， ，，，将沿射线的方向平移个单位后，得到，连接，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，等边三角形的判定与性质，由平移性质可得，，则可得，则可证明是等边三角形，然后由等边三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由平移性质可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：． 8. 某超市用元购进某种水果千克，运输和销售的过程中有的正常损耗，要使销售利润不低于，该水果每千克的售价至少为多少元？设该水果每千克的售价为元，由题意列不等式，得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出不等关系，列出不等式．根据题意可得，这批水果可卖元，根据“这批水果至少获得的利润”即可列出不等式． 【详解】解：设该水果每千克的售价为元， 根据题意所列不等式为， 故选：B． 9. 在中，点A、B、C的坐标分别为和，当的周长最小时，此时的面积的值为（ ） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与轴对称，根据的周长，且的值固定，得到当最小时，的周长最小，作点关于轴的对称点，连接，则与轴的交点即为点，利用分割法求出的面积即可． 【详解】解：∵的周长，点A、B、C的坐标分别为和， ∴点在轴上，的值为定值， ∴当最小时，的周长最小， 作点关于轴的对称点，连接，则与轴的交点即为点，如图， ∴， ∴的面积为：；   故选：C． 10. 已知：中，，D为边上一点，，，于H，延长线交于E，则的长为（　　） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，证明是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，由等腰三角形的性质得出，证出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 又 ∵， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若是关于x的一元一次不等式，则k的值为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的定义，且，分别进行求解即可． 【详解】解：不等式是一元一次不等式， ， 解得：， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0． 12. 如图，将“笑脸”图标向右平移3个单位，再向下平移5个单位，则点P的对应点的坐标是 _____． 【答案】(-2,-1) 【解析】 【分析】根据“左减右加，上加下减”的原则即可求解． 【详解】由图可知，P点坐标为(-5,4)， ∵图标向右平移3个单位，再向下平移5个单位， ∴P点横坐标加3，纵坐标减5， 即-5+3=-2，4-5=-1， 即的坐标为(-2,-1)． 故答案为：(-2,-1)． 【点睛】本题考查了坐标的平移，掌握“左减右加，上加下减”的原则是解答本题的关键． 13. 若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．不等式组中第一个不等式求出解集，根据已知不等式组的解集确定出m的范围即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集是， ∴， 故答案为：． 14. 若m，n为常数，多项式可因式分解为，则的值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，代数式求值，有理数的乘方．熟练掌握多项式乘以多项式，代数式求值，有理数的乘方运算是解题的关键． 由题意知，，则，然后代入求解即可． 【详解】解：由题意知，， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中， ，的垂直平分线分别交和于点和点，的垂直平分线分别交和于点和点，连接，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键． 先由内角和定理可得，然后通过垂直平分线的性质可得，，再由等边对等角得，，最后利用即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点，，，．．．那么点A2026的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形点的坐标规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律． 根据图象可得移动4次图象完成一个循环，且相同两个周期中对应点的横坐标相差2、纵坐标相同，从而可得出点的坐标． 【详解】∵点，，，．．． 观察点的坐标变化规律： 每4次移动为一个循环，一个循环中动点向右移动2个单位长度． 设循环的次数为n，则经过n个循环后，动点向右移动的距离为个单位长度 ． ∵ ， 经过506个循环，动点向右移动的距离为个单位长度． ∵每个循环的前两次移动，第一次向上移动个单位，第二次向右移动个单位 ． ∴点的横坐标为，纵坐标为． ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共52分．） 17. 解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析． 【解析】 【分析】本题考查了求不等式组的解集，并在数轴上表示出不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集，进而在数轴上表示出解集即可，正确的求出每一个不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴原不等式组的解集为， 解集在数轴上表示如下： ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为，画出； （2）画出与关于原点O成中心对称图形的，并写出的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）作图见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查了平移，中心对称作图，解题的关键是作出对应点的位置． （1）根据点的对应点得出向右平移5个单位，向下平移1个单位得到，根据平移的性质，作出点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接即可； （2）作出点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求，． 19. 观察前后两个差为4的整数的平方差： ①；②；③；…… （1）写出第n个等式，并进行证明． （2）问是否可以写成两个差为4的整数的平方差？如果能，请写出这两个整数；如果不能，请说明理由． 【答案】（1），证明见解析 （2）可以，和 【解析】 【分析】本题考查了整式规律探究，平方差公式，一元一次方程的应用．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由，可得；由，可得；由，可得；……可推导一般性规律为：第n个等式是：；根据左边右边证明即可． （2）令，计算求解，然后作答即可． 【小问1详解】 解：由，可得； 由，可得； 由，可得；…… ∴可推导一般性规律为：第n个等式是：； 证明：左边右边． 小问2详解】 解：令， 解得，， ∴． 答：存在整数和，使写成两个差为4的整数的平方差． 20. 如图，在中，是的中点，，，垂足分别是点、，． （1）求证：平分． （2）若的面积为，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形判定与性质、角平分线的判定、等腰三角形的判定，根据面积等式求线段的长度等知识与方法，证明是解题的关键． （1）由是的中点，得，由于点，于点，得，而，即可根据“”证明，得，即可证明平分； （2）由，得，求得的长为． 【小问1详解】 证明：是的中点， ， 于点，于点， ， 在和中， ， ， ， 点在的平分线上， 平分； 【小问2详解】 解：， ， ， ，且， ， 由（1）得， ， 解得， 的长为． 21. 如图，已知直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，与直线相交于点． （1）求的值与求直线的解析式； （2）根据图像，直接写出关于的不等式的解集； （3）求四边形的面积． 【答案】（1）, （2） （3） 【解析】 【分析】（）把点坐标代入中求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式； （）根据函数图象找到当一次函数图象在直线图象上方时，自变量的取值范围即可得到答案； （）得出点的坐标，进而根据四边形的面积解答即可； 本题考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，一次函数与不等式之间的关系，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵直线与直线相交于点, ∴， 解得 ∴， 把点，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：由图象可知，当一次函数图象在直线图象上方时，自变量的取值范围为， ∴不等式的解集是； 【小问3详解】 解：把代入得，， ∴， 把代入得，， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形的面积． 22. 为了提高同学们运算能力，激发学习数学的兴趣，某中学开展了主题为“运算能力争霸赛”的数学活动，并计划购买两种奖品奖励在数学活动中表现突出的学生．已知奖品的单价是10元；奖品的单价是25元．学校计划购买两种奖品共100件，购买费用不超过1385元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的4倍． （1）该学校有几种购买方案？ （2）设购买、两种奖品的总费用为元，请写出（元）与种奖品的数量（件）之间的函数关系，并求出哪一种购买方案可以使得总费用最少，并求出的最小值． 【答案】（1）共有6种购买方案； （2），购买种奖品件，两种奖品件使得总费用最少，的最小值为元． 【解析】 【分析】（）根据题意列出不等式组，求解即可； （）列出函数关系式，再利用一次函数的性质即可求解； 本题考查了一次函数的应用及不等式组的应用，读懂题意，列出不等式组和函数关系式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设种奖品的数量是件，则种奖品的数量是件， ， 解得：， ∵是正整数， ∴种奖品的数量范围且是正整数； ∴共有6种购买方案； 【小问2详解】 解：由题意得， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，最小，为（元）． 即购买种奖品件，两种奖品件使得总费用最少，的最小值为元． 23. 已知是边长为4的等边三角形，点是射线上的动点，将绕点逆时针方向旋转得到，连接． （1）如图1，猜想是什么三角形？__________；（直接写出结果） （2）如图2，点在射线上（点的右边）移动时，和之间有怎样的数量关系，请说明理由． （3）当点在线段上移动时，的周长是否存在最小值？若存在．请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）等边三角形 （2）或，理由见解析 （3）点在运动过程中，存在最小值，最小值为，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，根据等边三角形的判定定理解答即可； （2）证明，根据全等三角形的性质可得结论； （3）根据得到，再根据垂线段最短解答即可． 【小问1详解】 解：由旋转的性质可得：，， 是等边三角形， 故答案为：等边三角形； 【小问2详解】 解：结论：或， 理由： 如图，设交于点， ， 由旋转的性质可得：，， 是等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 或； 【小问3详解】 解：点在运动过程中，存在最小值，最小值为， 理由： 如图， ， ， ， 的周长， 当点在线段上时，的周长， 当点在线段的延长线上时，的周长， 当点在线段上，且最小时，的周长最小， 为等边三角形， ， 当时，的值最小， 是边长为4的等边三角形，， ， ， ， 周长的最小值为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$