精品解析：山西定襄县定襄中学校2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

2025-2026学年第二学期高一年级期中考试试题 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：必修一占40%；必修二到直线与平面垂直；占60%. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数的运算求得，再得到虚部即可. 【详解】由题意，可得， 故的虚部为. 故选：C. 2. 函数的单调递减区间（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将绝对值函数转为分段函数形式，结合对数函数的单调性即可判断在和上的单调性. 【详解】解：由题意可得， 因为当，则对数函数在上单调递减， 所以当时，单调性与对数函数的一致，则单调递减区间为； 当时，的单调性与对数函数相反，即在上单调递增， 综上，函数的单调递减区间为. 3. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则；②若，，，则； ③若，，则；④若，，则. 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面垂直的定义和线面平行的性质判断命题①；利用面面平行的传递性和线面垂直的性质判断命题②；平行于同一平面的两条直线，位置关系不唯一，可举反例判断命题③；利用线面垂直的性质定理判断命题④. 【详解】命题①，若，则垂直于内任意一条直线，又，可知在内存在直线与平行，所以，又，所以，①正确； 命题②，若，，则，又，所以，②正确； 命题③，若，，则与可能相交、异面或，③错误； 命题④，若，，利用线面所成角的性质可得，④正确. 4. 如图，在平行四边形ABCD中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的运算法则计算得到答案. 【详解】， 故选：B 5. 已知幂函数在上单调递减，则（ ） A. 2 B. 16 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出方程组，求得m的值，即得函数解析式，代入求值可得答案. 【详解】由题意得，解得， 所以，故, 故选：D 6. 已知三棱锥且平面，其外接球体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由,平面,可将三棱锥还原成长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而求解. 【详解】由题,因为,所以, 设,则由,可得,解得, 可将三棱锥还原成如图所示的长方体, 则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为,则,所以, 所以外接球的体积. 故选:A 【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力. 7. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．若D是BC边的中点，且，则面积的最大值为（ ） A. 16 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意利用余弦定理得到，根据是边BC的中点得到，从而得到，再利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，由正弦定理得， 所以，， 因为，所以. 因为是边BC的中点，所以，. 因为，所以， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以，即面积最大为． 故选：B 8. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，，三棱柱外接球的球心为O，点E是侧棱上的一个动点．下列判断不正确的是（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 一定不垂直于 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的最小值为 【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线的判定判断A；根据线面垂直的性质定理可判断B；确定外接球球心位置，利用三棱锥的体积公式可判断C；将矩形和矩形展开到一个平面内，计算即的长即可判断D. 【详解】对于A，因为点平面，平面，点， 平面，所以直线与直线是异面直线，故A正确； 对于B，因为侧棱底面， ，故底面, 底面，故；而，则， 即，平面, 故平面,平面，故， 故当时，平面， 则直线平面，平面， 所以，故B错误； 对于C，由题意结合以上分析可将三棱柱补成如图所示长方体， 则面为该长方体的体对角面， 三棱锥的外接球球心O是直线，的交点，底面面积不变， 平面，平面， 故直线平面，所以点E到底面距离不变， 则三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于D，将矩形和矩形展开到一个平面内， 当点E为与的交点时，取得最小值．D正确． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有两项或者三项是符合题目要求的. 9. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 已知方程的解在内，则 B. 函数的零点是 C. 函数的图象关于对称 D. 用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，则方程的根落在区间上 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数，利用零点存在性定理判断A；利用零点的定义判断B；利用指数对数函数图象关系判断C；利用二分法求出近似解的方法判断D. 【详解】对于A，令，函数在R上递增，， 因此函数的零点，即方程的解在内，A正确； 对于B，函数的零点是，B错误； 对于C，函数互为反函数，它们的图象关于对称，C正确； 对于D，函数在R上递增，由， 得函数的零点在区间上，D正确. 故选：ACD 10. 下列关于平面向量的说法正确的是（ ） A. 已知向量，，若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 B. 已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C. 若且，则 D. 若点为的重心，则 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，由题意可得在上的投影向量为， 所以向量与的夹角的余弦为，所以夹角为，故A正确； 对于B，，因为与的夹角为锐角， 则，解得， 当与共线时，，解得， 所以实数的取值范围是，故B不正确； 对于C，当，且时也满足，故C错误； 对于D，由题意可得， 同理可得， 所以，故D正确. 11. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列结论正确的为（ ） A. 函数为偶函数 B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 是函数的一个单调递减区间 D. 将的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象 【答案】BD 【解析】 【分析】根据余弦型函数的图象变换性质，结合余弦型函数的奇偶性、对称性、单调性逐一判断即可. 【详解】因为函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象， 所以. A：， 因为，所以函数为奇函数，本选项说法不正确； B：，所以当时，函数有最小值，所以直线是函数图象的一条对称轴，因此本选项说法正确； C：当时，， 因为函数在上单调递增，所以在上也单调递增， 所以是函数的一个单调递增区间，因此本选项说法不正确； D：的图象向右平移个单位长度可以得到函数，因此本选项说法正确， 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答卷纸的相应位置上. 12. 已知，且，函数的图象恒过点，若在幂函数图像上，则＝__________． 【答案】 【解析】 【分析】由，知，即时，，由此能求出点的坐标．用待定系数法设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，即可求得答案. 【详解】， ， 即时， ∴点的坐标是 由题意令， 图象过点 得解得： 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了求幂函数值，解题关键是掌握判断对数函数恒过定点的方法和幂函数的基础知识，考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 13. 如图，小李开车在一条水平的公路上向正西方向前进，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶1200m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为45°，则此山的高度为______m 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】由题，作出空间图形如下， 则有, 因为到达B处仰角为45°，所以， 在中，， 由正弦定理可得解得m， 所以m， 故答案为: . 14. 如图，在三棱锥中，、、两两垂直，且，，．设是底面内一点，定义，其中、、分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积．若，且恒成立，则正实数的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三棱锥的特点求出其体积，然后利用基本不等式求出的最小值，建立关于的不等式，解不等式即可. 【详解】因为、、两两垂直，且，，，所以，即，则， 根据已知条件恒成立，则有，解得 所以正实数的最小值为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上. 15. 已知向量，，． （1）求 （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量坐标的线性运算，即可求解； （2）根据向量垂直的坐标表示，即可求解. 【小问1详解】 因为，，, 所以 【小问2详解】 ，， 因为， 所以， 解得. 16. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． （1）求角B的大小； （2）若．且，求△ABC的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和两角差的余弦公式，化简已知等式，求得，可求角B的大小； （2）由已知条件利用余弦定理求得，根据三角形面积公式求△ABC的面积. 【小问1详解】 在中，由正弦定理 ，可得， 又由 ，得 即 ， 由，有 可得 又因为，所以 . 【小问2详解】 ．且，， 由余弦定理：， 有，解得， ∴. 17. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间； （3）若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）最小正周期 （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式、两角差的正弦公式化简函数式，然后结合正弦函数周期可得； （2）利用正弦函数的增区间求解； （3）求出的解后可得的范围． 【小问1详解】 ， 最小正周期为； 【小问2详解】 ，， 所以增区间是； 【小问3详解】 ，，，， 因为函数在区间上有且只有一个零点， 所以， 所以实数的取值范围为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点. （1）求证：平面 （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，由线面平行的判定定理证明可得； （2）先由线面垂直证明，再由线面垂直的判定定理证明可得； （3）取中点为，连接，利用等体积法可得. 【小问1详解】 证明：连接交于，连接， 是三角形中边上的中位线，， 又平面，平面，平面. 【小问2详解】 证明平面，平面，， 又四边形是矩形，，，，平面， 平面，平面，， 又是的中点，，， ，，平面，平面. 【小问3详解】 如图，取中点为，连接， 在中，，分别为线段，的中点， 故，，平面，平面， ， 由（2）得平面，平面，， ，，，又，， ， 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 则，解得，故， 直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知函数为定义在上的奇函数. （1）求的值； （2）根据单调性的定义证明函数在上单调递增； （3）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）由是定义在上的奇函数，利用，求得； （2）利用作差法证明即可； （3）由（2）知，函数为上单调递增的奇函数，故等价于对任意实数恒成立，分类讨论和两种情况，从而求出的取值范围. 【小问1详解】 解：因为函数为定义在上的奇函数， 所以，得， 经检验符合题意， 所以； 【小问2详解】 证明：根据（1）知， ，且， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以函数在上单调递增； 【小问3详解】 解：由（2）知，函数为上单调递增的奇函数， ，即， 即， 则， 所以对任意实数恒成立， 当时，，显然成立； 当时，，解得， 综上可知，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高一年级期中考试试题 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：必修一占40%；必修二到直线与平面垂直；占60%. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的单调递减区间（ ） A. B. C. D. 3. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则；②若，，，则； ③若，，则；④若，，则. 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图，在平行四边形ABCD中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知幂函数在上单调递减，则（ ） A. 2 B. 16 C. D. 6. 已知三棱锥且平面，其外接球体积为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．若D是BC边的中点，且，则面积的最大值为（ ） A. 16 B. C. D. 8. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，，三棱柱外接球的球心为O，点E是侧棱上的一个动点．下列判断不正确的是（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 一定不垂直于 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的最小值为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有两项或者三项是符合题目要求的. 9. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 已知方程的解在内，则 B. 函数的零点是 C. 函数的图象关于对称 D. 用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，则方程的根落在区间上 10. 下列关于平面向量的说法正确的是（ ） A. 已知向量，，若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 B. 已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C. 若且，则 D. 若点为的重心，则 11. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列结论正确的为（ ） A. 函数为偶函数 B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 是函数的一个单调递减区间 D. 将的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答卷纸的相应位置上. 12. 已知，且，函数的图象恒过点，若在幂函数图像上，则＝__________． 13. 如图，小李开车在一条水平的公路上向正西方向前进，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶1200m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为45°，则此山的高度为______m 14. 如图，在三棱锥中，、、两两垂直，且，，．设是底面内一点，定义，其中、、分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积．若，且恒成立，则正实数的最小值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上. 15. 已知向量，，． （1）求 （2）若，求实数的值． 16. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若． （1）求角B的大小； （2）若．且，求△ABC的面积． 17. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的单调递增区间； （3）若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点. （1）求证：平面 （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知函数为定义在上的奇函数. （1）求的值； （2）根据单调性的定义证明函数在上单调递增； （3）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $