25.2.1 配方法第2课时2026-2027学年九年级数学上册人教版

该初中数学课件聚焦“配方法解一元二次方程”，通过“周瑜年龄问题”诗词导入引出方程，结合知识回顾（直接开平方法、完全平方公式）搭建学习支架，系统讲解二次三项式配方及系数为1或不为1的方程求解。 其亮点在于以问题情境激发兴趣，分层次教学（从配方到解方程）培养抽象能力与运算能力，通过变式题、新运算及最值问题渗透模型意识。学生能掌握规范步骤并应用，教师可借助清晰结构提升教学效率。

第二十五章 一元二次方程 25.2.1 配方法 第2课时 配方法 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 二次三项式的配方 7. 课堂小结 8. 当堂小练 CONTENTS 9. 拓展与延伸 3. 新课导入 2. 知识回顾 5. 知识点2 解二次项系数为1的一元二次方程 6. 知识点3 解二次项系数不为1的一元二次方程 1. 掌握将一元二次方程通过配方转化为 ()的形式，实现 “降次” 求解. 2. 能求解二次项系数为 1 或不为 1 的一元二次方程，并判断方程是否有实数根. 学习目标 知识回顾 1. 解下列方程： (1)2x²=8 (2)(x+3)²-25=0 (3)9x²+6x+1=4 直接开平方法 ，. ，. ，. 2. 因式分解的完全平方式，你还记得吗? 完全平方式 ； ； 新课导入 读诗词解题： (通过列方程，算出周瑜去世时的年龄) 大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符． 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？ 解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x−3． 整理，得x2−11x+30=0. 列方程，得x2=10(x−3)+x. 这个方程怎么解呢 新课讲解 知识点1 二次三项式的配方 例 1. 用利用完全平方式的特征配方，并完成填空． (1)x2＋10x＋________＝(x＋_____)2； (2)x2＋(________)x＋ 36＝[x＋(________)]2； (3)x2－4x－5＝(x－________)2－______． 25 5 ±12 ±6 2 9 当二次项系数为 1 时，已知一次项的系数，则常数项为一次项系数一半的平方；已知常数项，则一次项系数为常数项的平方根的两倍．注意有两个． 归纳 新课讲解 练一练 1. 填空： (1) x2＋10x＋____＝(x＋____)2； (2) x2－12x＋____＝(x－____)2； (3) x2＋5x＋____＝(x＋____)2； (4) x2－ x＋____＝(x－____)2. 25 5 36 6 新课讲解 练一练 2. 把多项式 进行配方，结果为 ( ) B A. B. C. D. 解： 新课讲解 知识点2 解二次项系数为1的一元二次方程 x2＋6x＋4＝0 (x＋3)2＝5 这种方程怎样解？ 变形为 的形式．(a为非负常数) 变形为 解：移项，得 x2－6x＝－4 配方，得x2－6x ＋ 32 ＝ 4＋ 32. (x－3)2＝5. 　 　x－3= 解得，. 2. 解方程：x2－6x＋4＝0. 新课讲解 例 常数项移到“＝”右边 两边同时加上二次项系数一半的平方 1. 用配方法解方程： . 解：移项，得 ，两边同时加上_____， 得_____ _____， 即__ ___， 开平方，得_ ____________， 解得_ _____， ______. 新课讲解 练一练 新课讲解 练一练 2. 解方程： (1) ； (2) . 解：(1) 移项，得 ， 配方，得 ， 即 ， 开方，得 ， 解得， . (2) 移项，得 . 配方，得 ， 即 ， ， 方程无实数根. 3. 已知方程 ★，等号右侧数印刷不清楚.若可以将其配方成 的形式，则印刷不清楚的数是 ( ) A. B. C.3 D.2 新课讲解 练一练 D 解：【方法一】（倒推）变形，得 ，由题意，得，解得，，， 印刷不清楚的数是2. 【方法二】（正推） 设印刷不清楚的数是，则 ，移项，得，配方，得，则，解得， 印刷不清楚的数是2. 新课讲解 知识点3 解二次项系数不为1的一元二次方程 3x2＋6x＋4＝0 这种方程怎样解？ 解：移项，得 3x2－6x＝－4 二次项系数化为1，得x2－2x＝ . 配方，得x2－2x ＋ 12 ＝ ＋ 12. (x－1)2＝ . 因为实数的平方不会是负数，所以 x取任 何实数时， (x－1)2 都是非负数， 上式都不成立， 即原方程无实数根．　　　　 例 常数项移到“＝”右边 3. 解方程：3x2－6x＋4＝0. 两边同时除以3 两边同时加上二次项系数一半的平方 新课讲解 配方法解一元二次方程 把一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个常数，进而可用直接开平方法来求解，这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 配方的目的是降次，进而把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解. 一般地，一元二次方程可以通过配方转化为(x+n)2= p的形式. 1.当 p > 0 时，方程有两个不相等的实数根 2.当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根. 3.当 p < 0 时，因为对任意实数 x，都有（x+n）2≥0，所以方程无实数根. 1. 下列用配方法解方程 的四个步骤中，出现错误的是 ( ) 新课讲解 D 练一练 A.① B.② C.③ D.④ 新课讲解 练一练 解：(1)移项，得2x2+x=1. 二次项系数化为1，得x2+x=. 配方，得x2+ x+ ()2=+ ()2， 即(x+ )2=. 开平方，得x+ =± ， 所以x1=，x2=-1. (2)移项、合并同类项，得-3x2+6x=6. 二次项系数化为1，得x2-2x=-2. 配方，得x2-2x+12=-2+12，即(x-1)2=-1. 因为-1<0，所以原方程无实数根. 注意各项系数及常数项要变号 2. 用配方法解一元二次方程： (1) 2x2－x－1=0； (2) -3x2+6x-4=2. 新课讲解 【变式】将一元二次方程 配方后得到，则 ___. 解：【方法一】将整理得 ， 移项，得 配方后是 ，即， ，， ，， . 【方法二】 ， ， ， ， ，，， . 1 新课讲解 用配方法解一元二次方程的一般步骤 一移（移项）：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边； 二化（二次项系数化为 1）：左、右两边同时除以二次项系数； 三配（配方）：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方； 四开（开平方）：利用平方根的意义直接开平方； 五解（解两个一元一次方程）：移项、合并同类项. 归纳 课堂小结 配方法 解一元二次方程 一移（移项）：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边； 二化（二次项系数化为 1）：左、右两边同时除以二次项系数； 三配（配方）：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方； 五解（解两个一元一次方程）：移项、合并同类项. 四开（开平方）：利用平方根的意义直接开平方； 当堂小练 1. 用配方法解下列方程： (1) ； (2) . 解：(1) 配方，得 ， 即 . 由此可得 ， ， . (2) 原方程可化为 . 配方，得 ， 即 . 由此可得 ， ， . 当堂小练 2. 用配方法解下列方程： (1) ； (2) ；； 解：(1) 二次项系数化为1，得 . 移项，得 . 配方，得， 即 . 由此可得 , ， . (2) 原方程可化为 . 二次项系数化为1，得 . 配方，得， 即 . 由此可得或 ， ， . 当堂小练 2. 用配方法解下列方程： (3) . 解：(3) 移项，得 . 二次项系数化为1，得 . 配方，得 , 即 . 由此可得或 ， ， . 3. 老师设计了接力游戏，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程.过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的是 ( ) 当堂小练 C A. 只有甲 B. 甲和乙 C. 甲和丙 D. 丙和丁 解： ， ， 接力中，自己负责的一步出现错误的是甲和丙． 4. 用配方法解一元二次方程得，则 的值为___. 当堂小练 6 解：【方法一】将方程两边平方，得 ， 展开，得，整理得， ， 与原方程比较系数，得 ． 【方法二】 ，移项，得 ， 二次项系数化为1，得， 配方，得 ，即. 用配方法解一元二次方程 得， ， . 当堂小练 5. 若方程能配成的形式，则直线 不经过第____象限. 解： ，， ， ，，，， 直线， 该直线经过第一、第二、第四象限，不经过第三象限. 三 当堂小练 6. 对于实数，定义一种新运算“☆”如下： ☆.例如4☆，则关于的方程1☆ 的解为_________________. ， 解： ☆， ☆可变为 ， 配方，得， 解得， . 当堂小练 7. 若方程的两根为 ，则方程 的两根为_______________________． ， 解：，即 ， ，即 方程的两根为， ，即， ， ， ． 拓展与延伸 1. 阅读下面的材料，并回答问题： #2小明在用配方法解方程 时，发现此题不需要化二次项系数为1，可直接配方，解法如下： 解：原方程可化为 ， 移项，得 ， 配方，得 ， 即 ， 开方，得 ， 解得， . 此题是把 看成一个整体，利用整体思想解题. 解：原方程可化为 ， 移项，得 ， 配方，得， 即 ， 开方，得 ， 解得， . 请仿照上面的解法解下面的方程： .# 【阅读理解】配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题.因为，所以 就有最小值1，即，只有当 时，才能得到这个式子的最小值1.同样，因为，所以 有最大值1，即，只有当 时，才能得到这个式子的最大值1. (1) 当___时，代数式 取得最____（填“大”或“小”）值，为____； (2) 当___时，代数式 取得最____（填“大”或“小”）值，为____； 拓展与延伸 1 小 33 利用配方法求二次三项式的最值 1 大 35 解： ， ，， 当，即 时，代数式 取得最大值，为35. 【阅读理解】配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题.因为，所以 就有最小值1，即，只有当 时，才能得到这个式子的最小值1.同样，因为，所以 有最大值1，即，只有当 时，才能得到这个式子的最大值1. (3) 已知实数，均满足，求代数式 的最小值. 拓展与延伸 利用配方法求二次三项式的最值 解：， ， ， . ， 当时，代数式 取得最小值，为2． $