专题06 二次函数一元二次方程（暑假自学讲义） 2026--2027学年沪教版九年级数学上册

沪教版 九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题06 二次函数与一元二次方程 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 求抛物线与坐标轴的交点坐标 题型2 根据交点情况求参数 题型3 列交点式求解析式 题型4 图象法求解一元二次不等式 题型5 动点问题 · 理解二次函数y=ax²+bx+c、一元二次方程之间的内在联系。 · 掌握抛物线与 x 轴交点个数和一元二次方程根的判别式的对应关系： · 会利用二次函数图像估算一元二次方程近似根。 · 已知抛物线与坐标轴交点，会求函数解析式、参数取值。 知识点讲解 1. 抛物线与坐标轴的交点坐标 （1）抛物线与y轴交点——（0，c） （2）抛物线与x轴交点 2. 抛物线与x轴的交点坐标个数 △>0：抛物线与 x 轴有两个不同交点:（）、（0） △=0：抛物线与 x 轴有一个交点（顶点在 x 轴）：（） △<0：抛物线与 x 轴无交点。 3. 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系 判别式 △= △>0 △=0 △<0 二次函数 (a>0) 一元二次方程 =0 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 一元二次不等式 >0 图像在x轴上方的部分 x< 图像在x轴上方的部分 x 图像在x轴上方的部分 x为任意数 一元二次不等式 <0 图像在x轴下方的部分 空集 空集 4. 二次函数的交点式—— 题型归纳 题型1 抛物线与坐标轴的交点坐标 【例1】已知二次函数． (1)该函数与x轴的交点坐标 ； (2)在坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象； x … 0 1 2 3 4 … y … … (3)根据图象写出该二次函数的两条性质． 【详解】（1）解：令， 解得或， ∴该函数与x轴的交点坐标为，； （2）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 填表如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 作图如下： （3）解：由图可知，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大．（答案不唯一） 【例2】求二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标． 【详解】解：联立方程组， 解得， ∴二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标为． 【例3】已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则△ABC的面积为（    ） A．3 B．2 C．4 D．6 【详解】解：当时，，解得，， ∴点，． 当时，， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 【方法归纳】 △>0⇒抛物线与 x 轴有两个不同交点:A（）、B（0） AB 对称轴方程为 【变式练习】 1．在平面直角坐标系中，已知抛物线，求该抛物线与x轴的交点坐标． 【详解】解：当抛物线与x轴相交时，， ∴，即， ∴， 解得，， ∴该抛物线与x轴的交点坐标为，． 2．抛物线与轴的交点为（     ） A． B． C． D． 【详解】解：∵y轴上所有点的横坐标都为0， ∴令，代入抛物线解析式， 得， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 3．若抛物线与轴的交点坐标为，则代数式的值为（     ） A．118 B．119 C．120 D．121 【详解】解：∵点是抛物线与轴的交点， ∴将代入，可得， ∴整理得， 将代入得原式． 4．函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【详解】当函数图象与x轴相交时，，可得一元二次方程， ，，， ， 任意实数的平方都大于等于0， ， 当时，，方程有1个相等的实数根，图象与x轴有1个公共点； 当时，，方程有2个不相等的实数根，图象与x轴有2个公共点； 因此函数图象与x轴公共点的个数是1或2， 故选：D． 5．已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数图像与x轴有2个交点 D．当时，y随x的增大而减小 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故A、B选项说法正确，不符合题意； 令，则， 解得， ∴函数图像与x轴只有1个交点，故C选项说法错误，符合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故D选项说法正确，不符合题意． 6．二次函数的图像上有两点和，则的值等于（     ） A． B．1 C．2 D．4 【详解】解：∵点和在二次函数的图像上， ∴，是方程的两个根， ∴．（根与系数的关系） 题型2 根据交点情况求参数（范围） 【例1】已知二次函数： (1)求证：该二次函数的图象与轴总有两个不同的交点； (2)若该二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且的面积为，求的值． 【详解】（1）证明：一元二次方程中，，， ， 该二次函数图象与轴总有两个不同交点； （2）解：令，解方程， ， 解得，， ， 令，得与轴交点的纵坐标为， 即高为， 三角形面积， ①时，； ②时，（无实数解）． 故． 【变式练习】 1．已知二次函数(是常数)，求证：无论为何值，该二次函数的图象与轴总有两个交点． 【详解】解：对于二次函数，对应的一元二次方程为． ∵此方程中，，， ∴判别式， 即恒成立． ∴无论为何值，一元二次方程总有两个不相等的实数根， ∴该二次函数的图象与轴总有两个交点． 2．已知二次函数（k为常数）． (1)求证：无论k取何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； (2)若该函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为，求出k的值及另一个交点的坐标． 【详解】（1）证明：令，则， ， ∵， ∴， 即， ∴无论k取何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）解：代入得，， 解得， 当时，， 令，则， 解得，， ∴另一个交点的坐标为． 3．已知抛物线与轴有交点，求取值范围． 【详解】解：∵，，， 又∵抛物线与轴有交点， ∴， 即， 解得：， 即的取值范围为． 4．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、 (1)求抛物线的表达式； (2)若将该抛物线向上平移个单位长度，使得平移后的抛物线与轴只有一个公共点，求的值． 【详解】（1）解：将点、代入， 得解得 抛物线的表达式． （2）解：， 该抛物线的顶点为． 要使抛物线与x轴只有一个公共点，即要求顶点在x轴上， 顶点纵坐标应为0． 将该抛物线向上平移5个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点． 的值是5． 5．已知抛物线． (1)若点在此抛物线上，对称轴在轴的左侧，求此抛物线的解析式： (2)若此抛物线与轴有两个不同的交点，求的取值范围． 【详解】（1）解：将点代入，得 ， 解得：或， ∵对称轴为，在y轴左侧时，即， ∴ ， 抛物线的解析式为； （2）Δ= ∵抛物线与x轴有两个不同的交点，则判别式， ∴ ， ∴． 6．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若抛物线与轴交于点，，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，二次函数与一元二次方程的关系，完全平方公式及配方法，熟练掌握这些性质和方法是解题的关键． （1）直接利用一元二次方程的根的判别式，结合配方法进行判别即可； （2）令，得：，利用根的判别式，结合完全平方公式及配方法得出关于的式子，再利用二次函数与一元二次方程的关系，得出，即可得出关于的等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， 该方程总有两个实数根； （2）解：令，得：， ∴，， ∴， ∵抛物线与轴交于点，，且， ∴， ∴， 化简为：， 解得：或． 题型3 根据交点式求表达式 【例1】已知二次函数图象经过点和三点，求二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握求解的方法是解题的关键； 设出交点式，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵二次函数图象经过点和， ∴设二次函数的解析式为， 把代入得， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 【例2】二次函数（为常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： … … … … 该二次函数解析式为_______． 【详解】解：由表可知，当和时，， ∴二次函数的图象与轴交于点和， 设二次函数解析式为，把点代入，得， 解得， ，即， 故答案为：． 【变式练习】 1， 若抛物线经过点、、， 则______________ 【详解】解：设二次函数解析式为，把点代入，得， 解得， 故答案为：1． 2．抛物线与轴交于，两点，抛物线的解析式为________． 【答案】 【详解】解：有题意得二次函数解析式为， ∴， 故答案为：． 3. 如图，已知二次函数的图象与轴的交点为，，其顶点在函数的图象上． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象水平向右平移3个单位，所得到的抛物线交轴于，两点（点在点的左边），顶点为，求四边形的面积． 【详解】（1）解：∵顶点在函数的图象上， ∴可设点M的坐标为， ∴可设二次函数的表达式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）解：由（1）得：点M到x轴的距离为2， 由平移的性质得：， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形的面积为． 【方法归纳】 在已知与x轴交点的情况下，一般式、交点式、顶点式都可以用来求函数表达式，具体题目要灵活选用。 题型4 图像法求解一元二次不等式的解集 【例1】已知二次函数． (1)求该函数图象的对称轴、顶点坐标以及图象与轴的交点坐标； (2)完成表格，再在给定的平面直角坐标系中描点画出这个函数的图象； 0 1 2 3 4 (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 令，则， 解得， ∴与轴的交点坐标为或； （2）解：列出表格如下 0 1 2 3 4 3 0 0 3 画出函数图象如下： （3）解：观察图象得：时的取值范围为． 【例2】抛物线 如图所示，回答下列问题 (1)方程的解是___________； (2)关于的不等式的解集是___________； (3)当时，y的取值范围是___________； (4)若关于的方程的两个实数根异号，则t的取值范围是___________． 【分析】考查抛物线的对称性、二次方程的解与抛物线交点的关系、二次不等式的解集、二次函数的取值范围、根的符号与系数的关系．抓住抛物线的对称轴、顶点、特殊点（如）的特征是关键．易忽略抛物线的对称性；误判不等式的解集方向；计算端点y值时出错． （1）根据抛物线过及对称轴，找对称点得解； （2）由开口方向和交点，确定对应的x区间； （3）结合顶点（最小值）和时的y值（最大值）确定范围； （4）利用根异号时常数项小于0，结合抛物线最小值确定t的范围． 【详解】（1）解：抛物线过点，且对称轴为，由对称性知另一交点为，故解为，． 故答案为：，． （2）解：抛物线开口向上，对应两点与之间的区域，故解集为． 故答案为：． （3）解：抛物线顶点为； 由对称性得，与对称，y值大于，∴当时，， ∵结合开口向上，时，由时得，顶点，，解得，故时．故取值范围为． 故答案为：． （4）解：方程即，根异号则常数项，且抛物线顶点，故，结合有实根需，最终范围为． 故答案为：． 【例3】如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点、点和点，一次函数的图象与抛物线交于B、C两点． (1)求一次函数与二次函数的解析式． 根据图象直接回答下列问题： (2)当自变量 时，两函数的函数值都随增大而增大． (3)当自变量 时，一次函数值大于二次函数值． 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）根据两函数图象即可得出结论； （3）根据图象可知当时，一次函数的图象在二次函数图象的上方即可得出结论． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为，代入、， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 设二次函数的解析式为，代入、、， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由函数图象可知，时，两函数的函数值都随x增大而增大， 故答案为：； （3）解：由函数图象可知，当时，一次函数的图象在二次函数图象的上方， ∴当时，一次函数值大于二次函数值， 故答案为：． 【变式练习】 1. 二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【详解】观察图象知，当函数值时，图像为在x轴上方的部分。自变量x的取值范围是或， 故选：D． 2. 如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【详解】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 3. 如图，抛物线与轴交于和两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)过点的直线与抛物线在第一象限交于点，若点的横坐标为4，请直接写出当时，的取值范围是_______． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：观察图象可知当或时，当， 故答案为：或． 题型5 综合提高题型——动点问题 【例1】如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)若是直线上方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段的最大值． 【详解】（1）对于抛物线， 令，则 点， 令，则，解得，点， 设直线的函数解析式为， 将点代入，得，解得， 直线的函数解析式为； （2）设点的坐标为， 点的坐标为，， 当时，有最大值，的最大值为1． 【变式练习】 1．已知：如图，抛物线与轴交于点，． (1)试确定该抛物线的函数表达式； (2)已知点是该抛物线的顶点，若点是线段上的一动点，求的最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：当是边上的高时，的值最小， ∵点是得顶点， ∴，即， ∵，， ∴，，点到轴的距离为2， ∴， ∴， ∴的最小值是． 2．如图，抛物线交轴于，两点在左边，交轴于点，点是第二象限内抛物线上任意一点，其横坐标为． (1)直接写出点，，的坐标； (2)如图1，连接，过点作直线轴，交于点D．当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)如图，连接，，过点作直线，交轴于点．若平分线段，求直线的解析式． 【详解】（1）解：在中，令得， 令得， 解得或， ； （2）解：设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 点在第二象限的抛物线上，点在直线上， ，，， ， 当时，最大， 此时点的坐标为； （3）解：设直线的解析式为，将代入得， 解得， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为，将代入得， ， ， 直线的解析式为， ， 线段的中点坐标为， 平分线段， 线段的中点在直线上， 将代入得， 解得：，，（舍去） 直线的解析式为； 3．如图，已知抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，设点在抛物线上． (1)求已知抛物线的解析式； (2)如图，当点位于第四象限时，若面积的最大，求点坐标； 【详解】（1）解：抛物线与轴交于、两点， ， 解得， 抛物线的解析式； （2）解：令，则， ， 设直线的函数表达式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为， 过点P作y轴的平行线交于H， 设点P的坐标为，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为，此时， ∴面积的最大时，点坐标为； 过关练习 一、单选题 1．抛物线的图象与坐标轴的交点的个数是（   ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数与坐标轴的交点，熟练二次函数与轴和轴的交点的求法以及仔细审题是解决本题的关键．已知二次函数的解析式，分别令，，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴令，则，故与轴有一个交点， 令，则， ， ∴与轴有两个交点， 即：图象与坐标轴的交点有3个， 故选：D． 2．抛物线与x轴的一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，与x轴的交点坐标中，即，解方程求出x即可． 【详解】解：抛物线与x轴相交，则， 解得：或， 抛物线与x轴的交点坐标有：，， 故选：B． 3．已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数与轴的交点问题，先得出，再结合二次函数的图象与轴有交点，得出，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴，， 解得且， 故选：D． 4．抛物线与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，求抛物线与x轴的交点只需令解方程即可． 将点A的坐标为代入得：，然后代入解析式，求出时x的值即可得． 【详解】解：将点A的坐标为代入得： ∴， 令，则有：，即 解得，，， ∴点B的坐标是， 故选：D． 5．关于的二次函数（其中）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数法图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与系数的关系．根据开口方向，对称轴，与x轴交点逐项判断即可． 【详解】解：在中： ∵， ∴函数图象开口向下． ∵对称轴为， ∴函数对称轴在y轴右侧，C选项不正确， 令代入二次函数得， 则． ∵， ∴， ∴方程有两个不同实数根，即二次函数的图象与轴有两个不同交点， 设二次函数的图象与轴有两个不同交点的横坐标分别为， 又∵，则， ∴ ∴二次函数的图象与轴的两个交点在轴的右侧， ∴只有D选项符合题意， 故选：D． 6．二次函数的部分图象如图所示，函数值y大于3的自变量x的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质．利用抛物线的对称性确定的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为， ∴点关于直线的对称点为， 当时，， ∴函数值y大于3的自变量x的取值可以是，不能是、0、2． 故选：B． 7．已知二次函数（a为常数，且），下列结论中正确的是（    ） A．对称轴在轴左侧 B．当时，随的增大而增大 C．图象一定不经过第三象限 D．图象与轴一定有两个交点 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质，确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点位置是解题的关键． 由a的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：二次函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴，即对称轴在轴右侧，故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴抛物线开口向上， ∴在对称轴的右侧时，随的增大而增大；在对称轴的左侧时，随的增大而减小， 即当时，随的增大而增大，故B选项错误，不符合题意； 当时，， ∴抛物线与y轴交于点，位于y轴正半轴， ∴图象一定不经过第三象限，故C选项正确，符合题意； ∵， ∵， ∴无法确定的正负， 即无法确定图象与轴的交点的个数，故D选项错误，不符合题意； 故选：C 8．如图，抛物线经过第一、二、四象限，那么下列不等式中，不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查抛物线的图像与性质，根据图像确定的符号即可． 【详解】由图可知，抛物线开口向上，，故A正确，不符合题意； 对称轴为，则，故B不正确，符合题意； 与轴交于正半轴，则，故C正确，不符合题意； 与轴交于不同的两点，则，故D正确，不符合题意． 故选：B． 二、填空题 9．设抛物线的顶点为A，与x轴分别交于B、C两点，如果是直角三角形，那么k的值为________． 【答案】 【分析】根据抛物线的解析式，它的开口向上，由于与x轴分别交于B、C两点，得，是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的纵坐标的绝对值与点横坐标的绝对值相等，以此作为等量关系来列方程解出的值． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴该抛物线的顶点，对称轴为轴， ∴， ∵是直角三角形， ∴是直角顶点为的等腰直角三角形， ∵抛物线和轴有两个交点， ∴， ∴， 令，得， 又∵抛物线与轴的两个交点以及顶点围成的是直角三角形， ∴． 解得或（不合题意，舍去）， 即k的值为． 10．已知二次函数的图象与轴有且只有一个交点，则___ 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与坐标轴的交点问题，二次函数图象与轴有且只有一个交点时，判别式为零，由此建立方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有且只有一个交点， 故， 即， 解得：． 故答案为：． 11．已知二次函数图象的顶点在x轴上，则m的值为______． 【答案】3 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确二次函数图象顶点在x轴上时，其对应的一元二次方程有两个相等的实数根．据此进行解答即可． 【详解】解：二次函数图象的顶点在x轴上， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， ∴且， 即且 解得： 故答案为：3． 12．抛物线与坐标轴的交点个数为_______个． 【答案】3/三 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题，求抛物线与坐标轴的交点个数，分别计算抛物线与y轴和x轴的交点个数即可得出答案． 【详解】解：当时，，故与y轴交于点， 当时，解方程， 判别式， 方程有两个不相等的实数根， 故与x轴有两个交点， 因此，抛物线与坐标轴共有3个交点． 故答案为：3． 13．二次函数的图象与x轴交于点A，B，，则常数m的值为______． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，求二次函数是常数，与x轴的交点坐标，令，即，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． 首先根据抛物线与x轴有两个交点求的根的判别式的符号．设，，由根与系数的关系得到，，然后由列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：二次函数的图象与x轴交于点A，B， 令，即， ∴ 设，， ，， ， ， 解得，． 综上所述，m的值为4或． 故答案为：4或 14．二次函数的图像与x轴的交点坐标是______． 【答案】和 【分析】此题考查了抛物线与轴的交点，要求二次函数与轴的交点，即要，得到关于的方程来求解． 令二次函数解析式中，得到关于的一元二次方程，求出方程的解可得出二次函数与轴的交点坐标． 【详解】令代入，得方程， 因式分解得：， 或， 二次函数的图像与轴的交点坐标是和． 故答案是：和． 15．若二次函数的图像与y轴的交点坐标为，则该函数图像与x轴的交点坐标为______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图像与坐标轴的交点问题，解题的关键是求出函数解析式． 先根据抛物线与y轴的交点坐标求出，得到函数解析式，再令，求出函数图像与x轴的交点坐标． 【详解】解：∵二次函数的图像与y轴的交点坐标为， ∴， ∴解析式为， 当时，， 解得或， ∴该函数图像与x轴的交点坐标为或， 故答案为：或． 16．若二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，则的面积是________． 【答案】3 【分析】此题主要考查抛物线与坐标轴的交点求法．令求抛物线与x轴的两个交点从而求出的底边长，令求抛物线与y轴的交点坐标从而求出的高，从而求出的面积． 【详解】解：对于， 当时，， 解得，， 所以； 当时，，所以， 所以， 故答案为：3． 17．已知顶点坐标为的抛物线，过点，当时，的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题查了利用顶点式求抛物线解析式以及抛物线与x轴的交点，正确画出函数图象是解题关键．先利用顶点式求出二次函数解析式，然后求出图象与x轴交点，再利用抛物线图象得出当函数值时，自变量x的取值范围即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 令，解得，， ∴抛物线与x轴交于，， ∵， ∴抛物线开口向下， 如图， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 18．抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，则抛物线与轴的另一个交点坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，解题关键是明确二次函数的对称性，根据关于对称轴对称点的坐标特征解答．根据对称性可直接求出坐标． 【详解】解：设抛物线与x轴交点横坐标分别为、，且， 根据两个交点关于对称轴直线对称可知：， ∵抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 故答案是：． 三、解答题 19．已知二次函数． (1)求抛物线与坐标轴的交点坐标； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与坐标轴的交点问题，求得交点坐标是解题的关键． （1）令，求出y的值，即可得到与y轴的交点坐标，令，求出x的值，即可得到与x轴的交点坐标； （2）求得抛物线的对称轴，进而求得和时的函数值，即可求得结果． 【详解】（1）抛物线与坐标轴的相交 有以下情况 ①与轴相交，解得：． 此时交点为：， ②与轴相交，此时交点为： 抛物线与坐标轴的交点坐标：，，． （2）∵的对称轴为 当时，y有最大值， 当时， ， 当时， ∴当时，的取值范围为： 20．已知抛物线的解析式为（为常数） (1)当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； (2)求证：抛物线与轴必有两个交点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）当时，令，得，解方程即可得出抛物线与轴的两个交点和的横坐标，即可求解； （2）令，得，利用根的判别式判断一元二次方程根的情况即可得出抛物线与轴交点的情况． 【详解】（1）解：∵， ∴， 令， 得：， 解得：，， ∴； （2）证明：令， 则：， ∵，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴抛物线与轴必有两个交点． 21．已知：二次函数． (1)通过配方，将其写成的形式； (2)求出图象与轴的交点、的坐标； (3)为何值时，； (4)当________时，随的增大而减少． 【答案】(1) (2)点坐标为，点坐标为 (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数顶点解析式等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质和解析式之间的转化． （1）利用配方法即可将函数解析式的一般式转化成顶点式； （2）利用二次函数和一元二次方程的关系，当为0时，求出的值，即可求出交点坐标； （3）根据二次函数图象的性质即可判定的取值范围； （4）利用函数图象的性质，开口方向，顶点坐标，即可得出答案． 【详解】（1）解： （2）解： ∴点坐标为，点坐标为． （3）解：根据二次函数的解析式可知， ，抛物线开口向下， 由（2）得抛物线与轴的交点分别为， 根据图象的性质可得， 当或时，． （4）解：由可知，抛物线的顶点坐标为， ，抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而减少． 22．已知二次函数（为常数，）． (1)求二次函数的对称轴． (2)若点在二次函数的图象上，二次函数是否存在最大值或最小值？若存在，请求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由． (3)若二次函数的图象与x轴有交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，①当时，二次函数有最小值；②当时，二次函数有最大值 (3) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握对称轴，最值的计算，与坐标轴交点的计算是关键． （1）根据对称轴直线的计算公式代入计算即可； （2）把点代入二次函数得到二次函数的表达式为：，根据二次函数图象的性质求解即可； （3）二次函数的图象与轴有交点，可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：二次函数（为常数，）， ∴， ∴二次函数的对称轴是． （2）解：把点代入二次函数， 得：， 解得， ∴二次函数的表达式为：， ①当时，二次函数有最小值； ②当时，二次函数有最大值． （3）解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴， 化简得：， ∴． 23．抛物线与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点，过，两点的直线． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________． (2)抛物线顶点坐标为___________． (3)当时，自变量x的取值范围是___________． (4)当时，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程、不等式（组）的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）令，求解出的的值即点和点的横坐标； （2）化为顶点式即可求解； （3）先求出点的坐标，利用当时，即二次函数的图象在一次函数的图象的上方，结合图象即可求解； （4）求出函数的最小值，及和时，的值，再结合函数图象的增减性求解． 【详解】（1）解：令， 化简得：， 解得：，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：由题意，得， 所以抛物线的顶点坐标为， 故答案为：； （3）解：令中， 得， ∴， ∵当时，即二次函数的图象在一次函数的图象的上方， ∴根据图象可得或， 故答案为：或； （4）解：∵，， ∴当时，取最小值， 又∵当时，，当时，， ∴结合图象可得当时，的取值范围为， ∴的取值范围为． 24．已知关于的方程（为实数） (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)若是方程的一个根，求其另一个根； (3)在（2）的条件下，抛物线与轴交于、两点． ①结合图形，写出时自变量的取值范围； ②若抛物线顶点为，求的面积． 【答案】(1)且 (2)另一个根是 (3)①或；②的面积为． 【分析】本题考查了二次函数综合应用，涉及二次函数与一元二次方程的关系，三角形面积，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系； （1）由方程有两个实数根，可得不等式，然后求解即可； （2）由是方程的一个根，知，解得，解方程，可得另一个根； （3）①画出函数大致图象，通过观察时，自变量的取值范围是或； ②求出，，再根据三角形面积公式可得答案． 【详解】（1）解：方程有两个实数根， 且，即， 解得且； （2）解：是方程的一个根， ， 解得， 关于的方程为， 解得：或， 另一个根是； （3）解：①由（2）知抛物线解析式为，其图象经过，，，图象如下： 由图象可知，时自变量的取值范围是：或； ②，， ， ， ， ， 的面积为． 25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点 (1)求二次函数的表达式； (2)如图，过点作轴的平行线交抛物线于点，点为抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标； 【详解】（1）解：把点和点代入中得 ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：在中，令得， ∴． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵过点作轴的平行线交抛物线于点， ∴与关于直线对称， ∴． 设， ∵， ∴． ， ，， ， ∴， 解得或， ∴的坐标为或； 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $沪教版 九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题06 二次函数与一元二次方程 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 求抛物线与坐标轴的交点坐标 题型2 根据交点情况求参数 题型3 列交点式求解析式 题型4 图象法求解一元二次不等式 题型5 动点问题 · 理解二次函数y=ax²+bx+c、一元二次方程之间的内在联系。 · 掌握抛物线与 x 轴交点个数和一元二次方程根的判别式的对应关系： · 会利用二次函数图像估算一元二次方程近似根。 · 已知抛物线与坐标轴交点，会求函数解析式、参数取值。 知识点讲解 1. 抛物线与坐标轴的交点坐标 （1）抛物线与y轴交点——（0，c） （2）抛物线与x轴交点 2. 抛物线与x轴的交点坐标个数 △>0：抛物线与 x 轴有两个不同交点:（）、（0） △=0：抛物线与 x 轴有一个交点（顶点在 x 轴）：（） △<0：抛物线与 x 轴无交点。 3. 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系 判别式 △= △>0 △=0 △<0 二次函数 (a>0) 一元二次方程 =0 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 一元二次不等式 >0 图像在x轴上方的部分 x< 图像在x轴上方的部分 x 图像在x轴上方的部分 x为任意数 一元二次不等式 <0 图像在x轴下方的部分 空集 空集 4. 二次函数的交点式—— 题型归纳 题型1 抛物线与坐标轴的交点坐标 【例1】已知二次函数． (1)该函数与x轴的交点坐标 ； (2)在坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象； x … 0 1 2 3 4 … y … … (3)根据图象写出该二次函数的两条性质． 【例2】求二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标． 【例3】已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则△ABC的面积为（    ） A．3 B．2 C．4 D．6 【方法归纳】 △>0⇒抛物线与 x 轴有两个不同交点:A（）、B（0） AB 对称轴方程为 【变式练习】 1．在平面直角坐标系中，已知抛物线，求该抛物线与x轴的交点坐标． 2．抛物线与轴的交点为（     ） A． B． C． D． 3．若抛物线与轴的交点坐标为，则代数式的值为（     ） A．118 B．119 C．120 D．121 4．函数（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 5．已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数图像与x轴有2个交点 D．当时，y随x的增大而减小 6．二次函数的图像上有两点和，则的值等于（     ） A． B．1 C．2 D．4 题型2 根据交点情况求参数（范围） 【例1】已知二次函数： (1)求证：该二次函数的图象与轴总有两个不同的交点； (2)若该二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且的面积为，求的值． 【变式练习】 1．已知二次函数(是常数)，求证：无论为何值，该二次函数的图象与轴总有两个交点． 2．已知二次函数（k为常数）． (1)求证：无论k取何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； (2)若该函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为，求出k的值及另一个交点的坐标． 3．已知抛物线与轴有交点，求取值范围． 4．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、 (1)求抛物线的表达式； (2)若将该抛物线向上平移个单位长度，使得平移后的抛物线与轴只有一个公共点，求的值． 5．已知抛物线． (1)若点在此抛物线上，对称轴在轴的左侧，求此抛物线的解析式： (2)若此抛物线与轴有两个不同的交点，求的取值范围． 6．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若抛物线与轴交于点，，且，求的值． 题型3 根据交点式求表达式 【例1】已知二次函数图象经过点和三点，求二次函数的表达式． 【例2】二次函数（为常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： … … … … 该二次函数解析式为_______． 【变式练习】 1， 若抛物线经过点、、， 则______________ 2．抛物线与轴交于，两点，抛物线的解析式为________． 3. 如图，已知二次函数的图象与轴的交点为，，其顶点在函数的图象上． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象水平向右平移3个单位，所得到的抛物线交轴于，两点（点在点的左边），顶点为，求四边形的面积． 【方法归纳】 在已知与x轴交点的情况下，一般式、交点式、顶点式都可以用来求函数表达式，具体题目要灵活选用。 题型4 图像法求解一元二次不等式的解集 【例1】已知二次函数． (1)求该函数图象的对称轴、顶点坐标以及图象与轴的交点坐标； (2)完成表格，再在给定的平面直角坐标系中描点画出这个函数的图象； 0 1 2 3 4 (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围． 【例2】抛物线 如图所示，回答下列问题 (1)方程的解是___________； (2)关于的不等式的解集是___________； (3)当时，y的取值范围是___________； (4)若关于的方程的两个实数根异号，则t的取值范围是___________． 【例3】如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点、点和点，一次函数的图象与抛物线交于B、C两点． (1)求一次函数与二次函数的解析式． 根据图象直接回答下列问题： (2)当自变量 时，两函数的函数值都随增大而增大． (3)当自变量 时，一次函数值大于二次函数值． 【变式练习】 1. 二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 2. 如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 3. 如图，抛物线与轴交于和两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)过点的直线与抛物线在第一象限交于点，若点的横坐标为4，请直接写出当时，的取值范围是_______． 题型5 综合提高题型——动点问题 【例1】如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)若是直线上方的抛物线上一动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段的最大值． 【变式练习】 1．已知：如图，抛物线与轴交于点，． (1)试确定该抛物线的函数表达式； (2)已知点是该抛物线的顶点，若点是线段上的一动点，求的最小值． 2．如图，抛物线交轴于，两点在左边，交轴于点，点是第二象限内抛物线上任意一点，其横坐标为． (1)直接写出点，，的坐标； (2)如图1，连接，过点作直线轴，交于点D．当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)如图，连接，，过点作直线，交轴于点．若平分线段，求直线的解析式． 3．如图，已知抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，设点在抛物线上． (1)求已知抛物线的解析式； (2)如图，当点位于第四象限时，若面积的最大，求点坐标； 过关练习 一、单选题 1．抛物线的图象与坐标轴的交点的个数是（   ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 2．抛物线与x轴的一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 4．抛物线与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．关于的二次函数（其中）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．二次函数的部分图象如图所示，函数值y大于3的自变量x的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 7．已知二次函数（a为常数，且），下列结论中正确的是（    ） A．对称轴在轴左侧 B．当时，随的增大而增大 C．图象一定不经过第三象限 D．图象与轴一定有两个交点 8．如图，抛物线经过第一、二、四象限，那么下列不等式中，不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．设抛物线的顶点为A，与x轴分别交于B、C两点，如果是直角三角形，那么k的值为________． 10．已知二次函数的图象与轴有且只有一个交点，则___ 11．已知二次函数图象的顶点在x轴上，则m的值为______． 12．抛物线与坐标轴的交点个数为_______个． 13．二次函数的图象与x轴交于点A，B，，则常数m的值为______． 14．二次函数的图像与x轴的交点坐标是______． 15．若二次函数的图像与y轴的交点坐标为，则该函数图像与x轴的交点坐标为______． 16．若二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，则的面积是________． 17．已知顶点坐标为的抛物线，过点，当时，的取值范围是______． 18．抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，则抛物线与轴的另一个交点坐标为__________． 三、解答题 19．已知二次函数． (1)求抛物线与坐标轴的交点坐标； (2)当时，求的取值范围． 20．已知抛物线的解析式为（为常数） (1)当时，求抛物线与轴的两个交点分别为和之间的距离； (2)求证：抛物线与轴必有两个交点． 21．已知：二次函数． (1)通过配方，将其写成的形式； (2)求出图象与轴的交点、的坐标； (3)为何值时，； (4)当________时，随的增大而减少． 22．已知二次函数（为常数，）． (1)求二次函数的对称轴． (2)若点在二次函数的图象上，二次函数是否存在最大值或最小值？若存在，请求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由． (3)若二次函数的图象与x轴有交点，求的取值范围． 23．抛物线与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点，过，两点的直线． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________． (2)抛物线顶点坐标为___________． (3)当时，自变量x的取值范围是___________． (4)当时，求的取值范围． 24．已知关于的方程（为实数） (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)若是方程的一个根，求其另一个根； (3)在（2）的条件下，抛物线与轴交于、两点． ①结合图形，写出时自变量的取值范围； ②若抛物线顶点为，求的面积． 25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点 (1)求二次函数的表达式； (2)如图，过点作轴的平行线交抛物线于点，点为抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标； 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $