精品解析：吉林省长春市长春汽车经济技术开发区第九中学2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试卷

2025—2026学年度第二学期八年级核心素养调研 八年级数学学科试卷 答题时间：120分钟 卷面总分120分 一、单选题：（每题3分，共24分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下表是某饮品店统计了某段时间店内甲、乙、丙、丁四种口味饮品的销售情况． 口味 甲 乙 丙 丁 销售量（杯） 186 479 217 90 根据表中数据，该饮品店决定增加乙种口味饮品食材的购进数量，影响其决策的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 3. 若点在第二象限，且到轴的距离是2，到轴的距离是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①，对角相等 B. ②，有一组邻边相等 C. ③，对角线互相垂直 D. ④，有一个角是直角 5. 已知一次函数，若随的增大而减小，则它的图象经过（　　） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 6. 如图所示，在中，为三角形中位线，过点P作，垂足为Q，将分割后拼接成矩形．若，则矩形的面积是（ ） A. 48 B. 24 C. 72 D. 96 7. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作 ，分别交、于点、，连接、．若图中阴影部分的面积为8，则的值为（　　） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 8. 如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，AB∥x轴，点C在x轴上，△ABC的面积为3，则k的值为（ ） A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣2 二、填空题：（每题3分，共18分） 9. 若有意义，则x的范围______． 10. 如图是某少年足球队全体队员年龄的箱线图（单位：岁），则这组数据的上四分位数是____岁． 11. 如图在中，，是边上的中线，且，则的长为___________． 12. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为点，且平分，则的长为______． 13. 在学习物理《浮力》一章后，小明为测量一长方体铁块所受浮力大小的情况，在一个高的水杯里装一些水，然后将铁块从杯口高度由上而下缓慢浸入水里，在这过程中，弹簧测力计的示数与铁块下降的高度之间的关系如图所示．则当弹簧测力计的示数为时，此时铁块底面距离杯底______． 14. 如图，在正方形纸片中，点P是边上一点，连结，将正方形沿折叠，点B落在点E处，延长交于点Q，连结，．给出以下结论：①≌；②；③与的面积相等；④若，则．上述结论中，正确结论的序号有______． 三、解答题：（共10道题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 为传承云南本土非遗文化，某学校开展“非遗文化进校园”主题活动，计划采购A、B两种非遗文创用品（A为傣族织锦书签，蕴含对称、比例等数学元素；B为永子围棋迷你摆件，承载传统工艺中的数学配比智慧）．经调查，购进A种文创用品的费用y元与购进数量x件之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）现学校准备购进A、B两种非遗文创用品共200件，其中购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍，若B种非遗文创用品每件60元，设购进两种非遗文创用品的总费用为W元，那么应该如何设计购买方案，才能使总费用最少？最少费用是多少元？ 17. 如图，为锐角三角形，平分． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线，分别交，于点E，F，连接、（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．四边形的四个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图，保留作图痕迹． （1）图①中，点E是格点，在线段上作点F，连接，使； （2）图②中，点F是非格点，在线段上作点G，使； （3）图③中，点E是格点，连接，在线段上作点H，连接，使． 19. 在同一路线上，依次有、、三地，甲、乙两人分别从，两地去同一城市，他们离地的路程（千米）随时间（时）变化的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1），两地的路程为__________千米： （2）求乙离地的路程（千米）关于时间（时）的函数解析式；（不必写出自变量的取值范围） （3）求甲、乙两人在途中相遇时距离地多少千米？ （4）直接写出甲出发多长时间在行驶途中与乙相距10千米． 20. 某社区举办“和谐共建”主题演讲比赛，比赛分为初赛和决赛两个阶段． （1）初赛由10名专业评委和50名大众评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．专业评委打分：92，87，93，89，91，92，93，92，99，92． b．大众评委打分的不完整频数分布直方图（如图所示）： 数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组． c．评委打分的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 专业评委 92 92 m 大众评委 91 n 93 根据以上信息，回答下列问题： ①填空：m的值为__________，n的值位于大众评委打分数据分组的第__________组； ②补全频数分布直方图； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 92 95 93 94 91 乙 93 93 92 93 93 丙 94 90 91 95 95 通过计算说明，甲、乙、丙三位选手中排在第一位的是谁． （参考数据：，，） 21. 【问题呈现】小明在数学小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形中，，点M、N分别在边上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点D、N分别作的平行线，并交于点P，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）求证：． （2）的大小为______度，线段长度的最小值为______． 【方法运用】（3）如图③，在菱形中，，，点E、F分别在边上，且，则周长的最小值为______． 22. 某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究．探究过程如下，请补充完整． … 0 1 2 3 4 5 … … 5 4 2 1 0 1 3 … （1）自变量x的取值范围是全体实数，表格是y与x的几组对应值，则______，______； （2）如图，在平面直角坐标系中，描出以表格中各对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； ①观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是______； ②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而______； （3）结合图象回答： ①关于x的方程的解是______； ②关于x的不等式的解集是______． 23. 在平面直角坐标系中，给出如下定义： a．当一个点的横坐标、纵坐标均为整数时，称这个点为整点； b．直线，直线与轴围成的三角形区域（不含边界点）称为域 根据阅读材料，解决下列问题： （1）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，两直线交于点． ①在这个域中有______个整点； ②求域的面积． （2）过（1）中纵坐标最大的整点作直线分别交域两边，于点，，使的面积是域面积的，求直线的表达式； （3）若直线，直线与轴围成的域内恰好有3个整点，请直接写出的取值范围． 24. 如图，在矩形中，，点M为边中点，动点P从点A开始，在折线上以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，连接，以为直角边，在右侧作等腰直角，使，设点P的运动时间为t秒． （1）当点P在边上运动不与点D重合时，则的长度为___________；用含t的代数式表示 （2）当点P在边上运动时，求证：点Q到直线的距离始终不变； （3）当点Q到直线的距离是点Q到直线距离的3倍时，求t的值； （4）连接，当时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期八年级核心素养调研 八年级数学学科试卷 答题时间：120分钟 卷面总分120分 一、单选题：（每题3分，共24分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 【详解】解：A、，与不是同类二次根式； B、，与是同类二次根式； C、，与不是同类二次根式； D、.，与不是同类二次根式； 故选：B. 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键. 2. 下表是某饮品店统计了某段时间店内甲、乙、丙、丁四种口味饮品的销售情况． 口味 甲 乙 丙 丁 销售量（杯） 186 479 217 90 根据表中数据，该饮品店决定增加乙种口味饮品食材的购进数量，影响其决策的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】直接比较四种口味销量：乙（479杯）最高， 选择能代表“销量最高”的统计量（众数），本题考查了统计量-众数​及应用，众数：找“最畅销/最热门”（本题关键）；​平均数：看整体平均水平；中位数​：分析中间位置；方差​ ：衡量数据稳定性．解题关键​是理解商业决策中“增加进货”需锁定“销量最高”（众数）． 【详解】解：众数​：数据中出现次数最多的值，​乙销量479杯，最高​，直接反映最受欢迎口味． 其他统计量： ​平均数​（所有销量总和），无法突出乙的优势； ​中位数​（销量排序后中间值），不能体现乙销量最高； ​方差​（数据波动程度），与畅销度无关； 因此，饮品店基于众数（乙销量最高）做出决策， 故选：． 3. 若点在第二象限，且到轴的距离是2，到轴的距离是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【详解】解：∵点在第二象限，且到轴的距离是2，到轴的距离是， ∴点的横坐标是，纵坐标是， ∴点的坐标为． 故选：D． 4. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（ ） A. ①，对角相等 B. ②，有一组邻边相等 C. ③，对角线互相垂直 D. ④，有一个角是直角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定，解本题的关键在熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理． 根据平行四边形的性质和矩形、菱形、正方形的判定定理，对它们之间转换的条件一一进行分析，即可得出结果． 【详解】解：A、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意； B、②，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意； C、③，对角线互相垂直的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意． 故选：A． 5. 已知一次函数，若随的增大而减小，则它的图象经过（　　） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先根据一次函数中，随的增大而减小判断出的符号，再根据一次函数的性质判断出此函数的图象所经过的象限，进而可得出结论． 【详解】解：∵一次函数中，随的增大而减小， ∴， ∴此函数图象必过二、四象限； ∵， ∴此函数图象与轴相交于负半轴， ∴此函数图象经过二、三、四象限． 故选：C． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 6. 如图所示，在中，为三角形中位线，过点P作，垂足为Q，将分割后拼接成矩形．若，则矩形的面积是（ ） A. 48 B. 24 C. 72 D. 96 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，矩形的面积公式，全等三角形的判定和性质，正确理解题意，根据三角形中位线定理求出是解决问题的关键．利用全等三角形的性质证明，再利用三角形中位线定理求出可得结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， 在△中，为三角形中位线， ，， ， ， ， ， ， 矩形的面积． 故选D． 7. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作 ，分别交、于点、，连接、．若图中阴影部分的面积为8，则的值为（　　） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的性质可证明，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：过点作，交于点，交于点， ∵四边形是矩形，且 ∴四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，，， ∵， ， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴． 8. 如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，AB∥x轴，点C在x轴上，△ABC的面积为3，则k的值为（ ） A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣2 【答案】D 【解析】 【分析】连结OA，OB、如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到+|k|＝3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：连结OA，OB，如图， ∵AB⊥y轴， ∴OC∥AB， ∴S△OAB＝S△ABC＝3， ∴+|k|＝3， ∵k＜0， ∴k＝﹣2． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝ 图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 二、填空题：（每题3分，共18分） 9. 若有意义，则x的范围______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列一元一次不等式求解即可。 【详解】解：要使有意义，则被开方数满足， 移项得：， 不等式两边同时除以负数，不等号方向改变，得． 10. 如图是某少年足球队全体队员年龄的箱线图（单位：岁），则这组数据的上四分位数是____岁． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了箱线图的特点：箱线图中包含了最小值、最大值和四分位数信息，根据箱线图的结构解答即可． 【详解】解：由箱线图可知，15是最大值，14是上四分位数，13是中位数，11是下四分位数，10是最小值． 故答案为：14． 11. 如图在中，，是边上的中线，且，则的长为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握其性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，再根据已知条件即可解答． 【详解】解：在中，，是边上的中线， ． ， ， ， 故答案为：8． 12. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为点，且平分，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，由矩形的性质可得，可证，可得，由勾股定理可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，负值舍去， 故答案为：． 13. 在学习物理《浮力》一章后，小明为测量一长方体铁块所受浮力大小的情况，在一个高的水杯里装一些水，然后将铁块从杯口高度由上而下缓慢浸入水里，在这过程中，弹簧测力计的示数与铁块下降的高度之间的关系如图所示．则当弹簧测力计的示数为时，此时铁块底面距离杯底______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，先利用待定系数法求出的解析式，然后把代入函数解析式，求出此时铁块下降的高度，再求出铁块底面距离杯底的距离即可． 【详解】解：设所在直线的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴所在直线的函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ． 14. 如图，在正方形纸片中，点P是边上一点，连结，将正方形沿折叠，点B落在点E处，延长交于点Q，连结，．给出以下结论：①≌；②；③与的面积相等；④若，则．上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由直角三角形中的其中一直角边和斜边相等可证明≌，由此判断①；由≌这个结论可得，再由三角形翻折可得，由可判断②；假设与的面积相等，则可得，由三角形全等可得结论与已知矛盾可判断③；设出正方形边长为a，与的边长为x，根据为直角三角形，由勾股定理列式可得a与x的关系，由此可判断④． 【详解】解：∵是由翻折得到， ∴，， ∴， 在正方形中，， ∴， 则在和中， 由， 可得≌，故①正确； ∵≌， ∴， 又∵是由翻折得到， ∴， ∴，故②正确； 过点C作交于点F，如图， 则与的高为， 则有，， 假设与的面积相等， 则有， ∵， ∴在和中， 由， 可知≌， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， 由题目已知可得，不是正方形的对角线， ∴与已知矛盾， ∴， ∴与的面积相等，故③错误； 设正方形边长为a，的边长为x， 则有，， ∴，， ∴， ∴， 则在中，， 即， 则有， 解得， ∴， ∵， ∴，故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了图形的翻折，正方形的性质以及三角形全等的判定与性质，需熟练掌握直角三角形证明全等的方法以及边角边的证明方法；由假设推导结论与已知矛盾是解决本题的关键． 三、解答题：（共10道题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】先对分式的分子分母进行因式分解然后约分，再与整数通分合并，最后代入数值计算． 【详解】解：原式 ， 当，，． 16. 为传承云南本土非遗文化，某学校开展“非遗文化进校园”主题活动，计划采购A、B两种非遗文创用品（A为傣族织锦书签，蕴含对称、比例等数学元素；B为永子围棋迷你摆件，承载传统工艺中的数学配比智慧）．经调查，购进A种文创用品的费用y元与购进数量x件之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）现学校准备购进A、B两种非遗文创用品共200件，其中购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍，若B种非遗文创用品每件60元，设购进两种非遗文创用品的总费用为W元，那么应该如何设计购买方案，才能使总费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】（1） （2）购买种非遗文创用品150件，种非遗文创用品50件，费用最少，最少费用为5500元 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像和性质的应用，采用分段讨论的思想是解决本题的关键． （1）根据函数关系图示，分别求y与x之间的函数关系式即可； （2）根据题意求得自变量x的取值范围，，再利用一次函数的增减性求得最少总费用即可． 【小问1详解】 解：当时，设与之间的函数关系式是， 把代入得， ， 解得， 当时，与之间的函数关系式是； 当时，设与之间的函数关系式是， 则， 解得， 当时，与之间的函数关系式是． ； 【小问2详解】 解：购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍， ， 解得， ， ， 随的增大而减小． 当时，W最小，最小值为（元）， 种非遗文创用品：（件）． 答：购买种非遗文创用品150件，种非遗文创用品50件，费用最少，最少费用为5500元 17. 如图，为锐角三角形，平分． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的垂直平分线，分别交，于点E，F，连接、（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图步骤：分别以点A、D为圆心，大于的长度为半径画弧，连接这两个弧的交点所得直线分别交，于点E，F，连接、即可； （2）证明，，得到四边形为平行四边形，根据菱形的判定定理得到结论． 【小问1详解】 解：如图所示即为所求： 【小问2详解】 证明：垂直平分线段， ，， ， 又平分， ， ，， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．四边形的四个顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图，保留作图痕迹． （1）图①中，点E是格点，在线段上作点F，连接，使； （2）图②中，点F是非格点，在线段上作点G，使； （3）图③中，点E是格点，连接，在线段上作点H，连接，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）在上取格点F，使，连接即可； （2）连接、，则、交于点O，连接，并延长，交于点G，则点G即为所求； （3）取格点M，连接交于点H，则即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴； 【小问2详解】 解：如图，点即为所求； ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，即为所求； ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，格点作图，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握格点，平行四边形的判定和性质． 19. 在同一路线上，依次有、、三地，甲、乙两人分别从，两地去同一城市，他们离地的路程（千米）随时间（时）变化的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1），两地的路程为__________千米： （2）求乙离地的路程（千米）关于时间（时）的函数解析式；（不必写出自变量的取值范围） （3）求甲、乙两人在途中相遇时距离地多少千米？ （4）直接写出甲出发多长时间在行驶途中与乙相距10千米． 【答案】（1）30 （2） （3）当甲、乙两人在途中相遇时距离B地的路程为45千米 （4）甲出发1时或2小时，两人相距10千米 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用待定系数法求出一次函数解析式． （1）根据函数图象中的数据可以解答本题； （2）根据图中数据，用待定系数法求出函数解析式即可； （3）先求出甲离地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数表达式，再联立方程组，解方程组即可； （4）依题意，两人相距10千米，进行分类讨论，列出方程计算即可． 【小问1详解】 解：依题意，两地的路程为30千米， 故答案为：30； 【小问2详解】 解：设乙离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数表达式是， 则， 解得， ∴乙离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数表达式是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：设甲离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数表达式是把代入得：， 解得， ∴甲离A地的路程y（千米）关于时间x（时）的函数表达式是， 联立方程组得， 解得， 则当甲、乙两人在途中相遇时离A地的路程为千米， ∴甲、乙两人在途中相遇时离B地的路程为千米； 【小问4详解】 解：根据题意得，两人相距10千米，进行分类讨论， 可列方程为： 或， 解得或； 综上，甲出发1时，2时，在行驶途中与乙相距10千米． 20. 某社区举办“和谐共建”主题演讲比赛，比赛分为初赛和决赛两个阶段． （1）初赛由10名专业评委和50名大众评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．专业评委打分：92，87，93，89，91，92，93，92，99，92． b．大众评委打分的不完整频数分布直方图（如图所示）： 数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组． c．评委打分的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 专业评委 92 92 m 大众评委 91 n 93 根据以上信息，回答下列问题： ①填空：m的值为__________，n的值位于大众评委打分数据分组的第__________组； ②补全频数分布直方图； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 92 95 93 94 91 乙 93 93 92 93 93 丙 94 90 91 95 95 通过计算说明，甲、乙、丙三位选手中排在第一位的是谁． （参考数据：，，） 【答案】（1）①92，；②见解析 （2）甲、乙、丙三位选手中排在第一位的是甲 【解析】 【分析】（1）①根据中位数和众数的定义求解即可；②求出第5组的人数，再补全频数分布直方图即可； （2）先求出甲、乙、丙三个选手得分的平均数，结合方差比较即可得出结果． 【小问1详解】 解：①由题意可得，专业评委打分中92出现的次数最多，故； 名大众评委打分数据的中位数是第个数据和第个数据的平均数，且，， 故n的值位于大众评委打分数据分组的第组； ②第5组的人数为：（人）， 补全频数分布直方图如图所示． 【小问2详解】 解：甲选手得分的平均数为． 乙选手得分的平均数为． 丙选手得分的平均数为． ∵，，， ∴甲、乙、丙三位选手中排在第一位的是甲． 21. 【问题呈现】小明在数学小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在正方形中，，点M、N分别在边上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点D、N分别作的平行线，并交于点P，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）求证：． （2）的大小为______度，线段长度的最小值为______． 【方法运用】（3）如图③，在菱形中，，，点E、F分别在边上，且，则周长的最小值为______． 【答案】（1）证明见解析；（2），；（3）． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，垂线段最短的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点分别作的平行线，并交于点，作射线，利用平行四边形的判定与性质得到，利用等量代换的性质即可得出结论； （2）利用正方形的性质，平行线的性质和等腰直角三角形的性质即可得出结论，再利用垂线段最短的性质和等腰直角三角形的性质解答即可； （3）过点分别作 的平行线，并交于点，作射线，利用平行四边形的判定与性质和等式的性质得到，利用菱形的性质和平行线的性质得到，则为等边三角形，利用垂线段最短的性质和含角的直角三角形的性质解答即可求得EF的最小值，利用三角形的周长的定义和等式的性质得到周长，则结论可求． 【详解】（1）证明：过点分别作的平行线，并交于点，作射线，则四边形为平行四边形，如图： ∴， ∵， ∴． （2）解：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 由题意：点为上一动点， ∴当时，取得最小值， 此时， 根据勾股定理可得：， 解得：， ∵， ∴线段长度的最小值为， 故答案为：，； （3）解：过点分别作 的平行线，并交于点，作射线，则四边形为平行四边形，如图： ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 由题意：点为上一动点， ∴当时，取得最小值， 此时， ∴, 根据勾股定理可得：, ， ∴的最小值为， 周长， 周长的最小值为， 故答案为：． 22. 某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究．探究过程如下，请补充完整． … 0 1 2 3 4 5 … … 5 4 2 1 0 1 3 … （1）自变量x的取值范围是全体实数，表格是y与x的几组对应值，则______，______； （2）如图，在平面直角坐标系中，描出以表格中各对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； ①观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是______； ②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而______； （3）结合图象回答： ①关于x的方程的解是______； ②关于x的不等式的解集是______． 【答案】（1），； （2）见详解；①，②增大； （3）①或；②或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的图像和性质，解决本题的关键是数形结合； （1）把，代入求解即可； （2）根据表格画图即可；①观察函数图象即可得到最低点坐标； ②观察函数图象可知，当时，随的增大而增大； （3）①结合图象，即可求解；②结合图象，即可求解； 【小问1详解】 解：当时，， ， 当时，， ， 故答案为：3，2； 【小问2详解】 解：画出该函数图象的另一部分如图： ①观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是， 故答案为：； ②当时，随的增大而增大， 故答案为：增大； 【小问3详解】 解：①结合图象，关于的方程的解是或， 故答案为：或； ②结合图象，关于的方程的解是或， 故关于x的不等式的解集是或． 故答案为：或． 23. 在平面直角坐标系中，给出如下定义： a．当一个点的横坐标、纵坐标均为整数时，称这个点为整点； b．直线，直线与轴围成的三角形区域（不含边界点）称为域 根据阅读材料，解决下列问题： （1）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，直线与轴交于点，两直线交于点． ①在这个域中有______个整点； ②求域的面积． （2）过（1）中纵坐标最大的整点作直线分别交域两边，于点，，使的面积是域面积的，求直线的表达式； （3）若直线，直线与轴围成的域内恰好有3个整点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）①2；②6 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，两条直线的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）①先求出点A、B、C的坐标，然后根据整点的定义，求出结果即可； ②根据三角形面积公式求出结果即可； （2）设直线l的解析式为：，把代入得：，求出，得出，求出，得出，根据的面积是域面积的，得出，求出k即可； （3）根据直线，直线与轴围成的域内恰好有3个整点，得出整点为：，，或，，，分别求出n的取值范围即可． 【小问1详解】 解：①把代入得：， 把代入得：，把代入得：， 解得：， ∴点A的坐标为，点，点， 联立， 解得：， ∴点C的坐标为， 把代入得：， ∴在这个域中有整点，共2个． ②； 【小问2详解】 解：根据解析（1）可知：纵坐标最大的整点为， 设直线l的解析式为：， ∵直线分别交域两边，于点，，且经过， ∴， 把代入得：， ∴， ∴直线l的解析式为：， 联立， 解得：， 当时，， ∴， ∴， ∵的面积是域面积的， ∴， ∴， 解得：， ∴直线l的解析式为：； 【小问3详解】 解：若直线，直线与轴围成的域内恰好有3个整点，则整点为：，，或，，， 当整点为，，时， 把代入得：， 把代入得：， ∴； 当整点为，，时， 把代入得：， 把代入得：， ∴； 综上分析可知：当或时，域内恰好有3个整点． 24. 如图，在矩形中，，点M为边中点，动点P从点A开始，在折线上以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，连接，以为直角边，在右侧作等腰直角，使，设点P的运动时间为t秒． （1）当点P在边上运动不与点D重合时，则的长度为___________；用含t的代数式表示 （2）当点P在边上运动时，求证：点Q到直线的距离始终不变； （3）当点Q到直线的距离是点Q到直线距离的3倍时，求t的值； （4）连接，当时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2） 解：如图1， 是的中点，， ， 作于E， ， ， 四边形是矩形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； 当点P在边上运动时，点Q到直线的距离为，，始终不变； （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据，点的运动的路程为，求得结果； （2）作于E，可证得≌，从而，从而得出结果； （3）分两种情形讨论，可判断出点P在上，点Q在上方时，作于F，作于E，类比可得≌，从而，从而，进一步得出结果；点Q在下方时，同理求解即可； （4）分两种情形：当点P在AD上时，作，交于F，可求得，从而得出的值，从而得出，从而得出结果；当点P在上，作于W，作于V，作于G，同样方法得出结果． 【小问1详解】 解：，由题意，点的运动的路程为， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图2， 由（2）知，当点P在时，Q到的距离是3，到的距离是1，不符合题意， ∴点P在上，点Q在上方， 作于F，作于E， 点Q到直线的距离是点Q到直线距离的3倍， ， 由（2）知， ， ， ， 点运动的路程是， ； 如图，点Q在下方， 作于G，作于E，交延长线于点， 点Q到直线的距离是点Q到直线距离的3倍， ， 同理， ， ， 点运动的路程是， ； 综上，或； 【小问4详解】 解：如图3， 当点P在上时，作，交于F， 由（2）知，， ， ， ， ， 如图4， 当点P在上，作于W，作于V，作于G， 由（2）知，， ， ， ， ， 点P运动的路程是， ， 综上所述：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $