精品解析：吉林省长春市长春汽车经济技术开发区第九中学2024—2025学年下学期八年级数学期中考试卷

2024～2025学年度第二学期八年级核心素养调研 八年级数学试卷 答题时间：120分钟 卷面总分：120分 一、选择题（每小3分，共24分） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：的相反数为． 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数，熟记相关定义是解答本题的关键． 2. 共享单车为人们带来了极大便利，有效缓解了出行“最后一公里”问题，而且经济环保．2019年全国共享单车投放数量达23 000 000辆．将23 000 000用科学记数法表示为(　　　) A. 23×106 B. 2.3×107 C. 2.3×106 D. 0.23×108 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：23 000 000=2.3×107． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（ ） A. 一、二、三 B. 二、三、四 C. 一、二、四 D. 一、三、四 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数与系数的关系进行判断． 【详解】解：∵k=-5＜0， ∴一次函数经过第二、四象限， ∵b=3＞0， ∴一次函数与y轴交于正半轴， ∴一次函数y=-5x+3的图象经过第一、二、四象限． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与系数的关系：y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限． 4. 如图中几何体的正视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可． 【详解】解：从正面看去从左往右3列正方形的个数依次为3，2，1． 故选A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 5. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【详解】∵a=1，b=−3，c=-2， ∴△=b2−4ac=9+8=17>0， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选D. 6. 如图，在中，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到，的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】点P到点、的距离相等知点P在的角平分线上，据此可得答案． 【详解】解：∵点P到点、的距离相等， ∴点P在的角平分线上， 故选：B． 【点睛】本题主要考查尺规作图—作角平分线及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质与尺规作图． 7. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数和相交于点，则关于、的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：一次函数和相交于点， 的解是， 故选：D． 8. 如图，一块含有的直角三角板的直角顶点和坐标原点重合，角的顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 8 C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】过作于点，过作于点，即可得证，再根据相似三角形的性质和特殊角的正切值得出，然后设点的坐标为，继而根据反比例函数图像上点的特征得到，再次利用反比例函数图像上点的特征即可求得答案． 【详解】解：过作于点，过作于点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴设点的坐标为 ∴， ∴ ∵在反比例函数的图象上 ∴ ∵点在反比例函数的图象上 ∴． 故答案是： 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、相似三角形的判定和性质、特殊的锐角三角函数值，能够求得是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【详解】原式= 10. 若分式有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键． 11. 若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的基本性质，将拆分为，再结合已知条件求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 12. 将直线向上平移4单位，得到直线__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象变换的法则“左加右减，上加下减”是解答此题的关键． 根据“上加下减”的原则求解即可． 【详解】解：将直线向上平移4单位，得到直线为：， 故答案为： ． 13. 如图，菱形周长为，对角线，则菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，利用菱形的面积和勾股定理求出，再求出对角线的长，进而根据菱形的面积等于对角线积的一半解答即可求解，掌握菱形的面积是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，周长为， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，已知点的坐标为，若点恰好落在内部，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由点的坐标为可知P点的横坐标始终为1，要使P点恰好在内部，只要令P的纵坐标满足，求解不等式组即可． 【详解】点的坐标为，点恰好落在内部 点P始终在直线上运动 点P的纵坐标满足： 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合问题，关键是根据动点的坐标得出规律，然后根据条件得出相应的关系式求解即可． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（）利用二次根式的性质化简再计算即可； （）利用公式法解答即可； 本题考查了二次根式的化简，解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：，，， ∵， ∴， ∴，． 16. 在一个不透明的袋子中，装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同．如果第一次随机摸出一个小球（不放回），充分搅匀后，第二次再从剩余的两球中随机摸出一个小球，求两次都摸到红球的概率．（用树状图或列表法求解） 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图如下： ∵共有6种等可能的结果，两次都摸到红球的有2种情况， ∴两次都摸到红球的概率为． 【点睛】本题主要考查了用树状图或列表法求概率，根据题意准确画出树状图或列出表格是解题的关键． 17. 在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？ 【答案】2万斤 【解析】 【分析】由题意设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，根据单价=总价÷数量结合今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设该村企去年黑木耳的年销量为万斤 依题意得 解得： 经检验是原方程的根，且符合题意． 答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤． 【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 18. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，分别按下列要求画三角形． （1）在图①中，画一个等腰直角三角形ABC，使线段AB为直角边． （2）在图②中，画一个等腰直角三角形ABD，使△ABD的面积为． （3）在图③中，画一个直角三角形ABE，使tan∠ABE＝． 【答案】（1）作图见详解；（2）作图见详解；（3）作图见详解． 【解析】 【分析】（1）由图可得，，使是以AB为直角边的等腰直角三角形，据此作图，利用勾股定理及勾股定理逆定理求出各边长验证直角三角形即可； （2）由图可得，，使是以AB为斜边的等腰直角三角形，利用勾股定理及勾股定理逆定理求出各边长验证直角三角形及计算面积验证即可； （3）由图可得，，使是以AB为斜边的直角三角形，利用勾股定理及勾股定理逆定理求出各边长且验证直角三角形及三角函数值即可． 【详解】解：（1）如图所示： ， ， ， ∴， ∴为等腰直角三角形； （2）如图所示： ， ， ∴， ∴为等腰直角三角形， ，符合题意； （3）如图所示： ， ， ， ∴， ∴为直角三角形且，且，符合题意． 【点睛】题目主要考查利用勾股定理及锐角三角函数解直角三角形，理解题意，作出相应直角三角形是解题关键． 19. 如图，在中，，为的中点，过点作，且，连结 （1）求证：四边形是矩形； （2）连结交于点，若，，则的长为______. 【答案】（1）证明：∵为的中点，且， ∴ ∵ 四边形是平行四边形， ，是的中点， ， ， 平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得四边形是平行四边形，根据三线合一得出，可得，即可得证； （2）求出，根据得出，则，在中，根据勾股定理得出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， ∴ 在中，，， ∴， 解得 ∵四边形是矩形； ∴， ∴， 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，三线合一，已知正确求边长，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 20. 如图，为了测量旗杆的高度BC，在距旗杆底部B点10米的A处，用高1.5米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角∠CDE为52°，求旗杆BC的高度．（结果精确到0.1米）【参考数据sin52°＝0.79，cos52°＝0.62，tan52°＝1.28】 【答案】14.3米 【解析】 【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形△ADE，解其可得DE的长，进而借助BC＝EC+EB可解即可求出答案． 【详解】过点D作DE⊥BC交BC于E， 在△CDE中，有CE＝tan52°×DE＝1.28×10≈12.8， 故BC＝BE+CE＝1.5+12.8≈14.3， 答：旗杆的高度为14.3米． 【点睛】此题考查的知识点是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 21. 小明从家出发，外出散步，到一个公共健身区活动了一会后，继续散步了一段时间到达了超市，然后回家，下图是小明在散步过程中离家的路程（米）与离开家的时间（分）之间的函数图象，根据图象信息解答下列问题． （1）小明散步的速度为______米/分； （2）求小明回家过程中与之间的函数关系式； （3）在小明出发2分钟时，小亮从小明家出发，沿小明散步的路线以48米/分的速度去超市，直接写出小亮去超市途中与小明相遇的时间． 【答案】（1）80；（2）y＝-80x+1200；（3）7或或． 【解析】 【分析】（1）根据路程÷时间即可求出结论； （2）运用待定系数法求出小明回家过程中与之间的函数关系式即可； （3）求出小亮的行程表示的直线解析式，联立方程组，求出x的值即可． 【详解】解：（1）240÷3=80（米/分）， 故答案为：80． （2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b． 由题意，得． 解得． ∴y与x之间的函数关系式为y＝-80x+1200． （3）如图， ①当时，240÷48+2=7（分） ②当时，小亮的行程表示的直线经过（7，240）和（2，0） 设该直线解析式为 ∴， 解得， ∴此直线解析式为： 设小明从公共健身区到达超市表示的直线解析式为 将（8，240），（10，400）代入得， 解得， ∴ 联立 解得， 所以，相遇的时间为分； ③当时，联立， 解得 所以，经过分后相遇， 综上，小亮去超市途中与小明相遇的时间分别为7分或分或分． 【点睛】本题考查的是一次函数图象的综合应用，利用已知信息和图象所给的数据分析题意，依次解答． 22. 【教材呈现】 如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．请根据教材提示，结合图形，写出完整的证明过程．（教材引用不需证明） 猜想：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，根据画出的图形，可以猜想：，且DEBC．对此，我们可以用演绎推理给出证明． 【结论应用】 如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是BO、CO的中点，连结DE、EF、FG、GD． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）若△ADE的面积为12，则四边形DEFG的面积为_______． 【答案】教材呈现：见解析；结论应用：（1）见解析；（2）16 【解析】 【分析】教材呈现：先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质、平行线的判定即可得； 结论应用：（1）先根据教材呈现的结论可得，，，从而可得，再根据平行四边形的判定即可得证； （2）先根据三角形中线的性质可得的面积为12，再根据平行四边形的性质可得，从而可得，然后根据即可得． 【详解】教材呈现：分别是与的中点， ， 又， ， ， 且； 结论应用：（1）是的中线， 分别是与的中点， ，， 同理可得：， ， 四边形是平行四边形； （2）是的中点，的面积为12， 的面积为12， 是的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 23. 如图，平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与x轴、y轴分别交于点B、C． （1）求点B、点C的坐标； （2）求直线的解析式； （3）点M在射线上，是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在，求出点M的坐标． 【答案】（1），； （2） （3）存在，点M的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，一次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，一次函数的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）分别将和代入直线，即可求出点B、点C的坐标； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先求出，再设点的坐标为，进而表示出，再根据的面积是的面积的，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：直线与x轴、y轴分别交于点B、C， 令，则，解得：， 令，则， ，； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 即直线的解析式为； 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ，， ， 点M在射线上， 设点的坐标为， ， 的面积是的面积的， ， 解得：， 当时，， 当时，， 点M的坐标为或． 24. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点分别作轴于点，轴于点，一次函数的图象经过点． （1）用含的代数式表示． （2）当时，直线被矩形截得线段的长度为 ． （3）当时，函数值满足，求的取值范围． （4）当直线将矩形分成的两部分面积比为时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）， （4）或． 【解析】 【分析】（1）把点代入，移项整理即可得到答案； （2）先求出一次函数的解析式，然后求出直线与矩形的边的交点坐标，利用勾股定理即可求出答案； （3）由题意，可分为两种情况进行讨论：当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小；分别求出k的取值范围即可； （4）分直线经过点和不经过点，两种情况，进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入，得 ， ∴． 【小问2详解】 根据题意，∵， ∴， ∴一次函数的解析式为：， 设直线与矩形的边分别交于点D、E，如图： 令，则， ∴点D为； 令，则， ∴点E为； ∴． 故答案为：． 【小问3详解】 根据题意， 当时，y随x增大而增大， 当时，． 当时，． 由已知，得，解得，． ∴． 当时，y随x增大而减小， 当时，． 当时，． 由已知，得，解得，． ∴． ∴综上，k的取值范围为：，． 【小问4详解】 ①当直线不经过点时，如图： ∵， ∴， 令，则， ∴点D为； 令，则， ∴点E为； ∴； ； ∵直线将矩形分成的两部分面积比为， 当时，有， 解得：； 经检验：符合题意 当时，有 ， 解得：，此时点不在线段上，不符合题意，舍去； ②当直线，过点时，则：，解得：， ∴， 当时，， ∴直线交于点， 此时，， ∵， ∴， ∴，满足题意， 综合上述，或． 【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，矩形的性质，坐标与图形，解一元一次方程，解一元一次不等式组等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的理解题意，运用分类讨论的思想进行解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第二学期八年级核心素养调研 八年级数学试卷 答题时间：120分钟 卷面总分：120分 一、选择题（每小3分，共24分） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. 3 D. -3 2. 共享单车为人们带来了极大便利，有效缓解了出行“最后一公里”问题，而且经济环保．2019年全国共享单车投放数量达23 000 000辆．将23 000 000用科学记数法表示为(　　　) A. 23×106 B. 2.3×107 C. 2.3×106 D. 0.23×108 3. 一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（ ） A. 一、二、三 B. 二、三、四 C. 一、二、四 D. 一、三、四 4. 如图中几何体的正视图是（　　） A. B. C. D. 5. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 只有一个实数根 C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根 6. 如图，在中，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到，的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数和相交于点，则关于、的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一块含有的直角三角板的直角顶点和坐标原点重合，角的顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 8 C. D. 12 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 因式分解：_____． 10. 若分式有意义，则x的取值范围是_________． 11. 若，则的值为___________． 12. 将直线向上平移4单位，得到直线__________． 13. 如图，菱形周长为，对角线，则菱形的面积为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，已知点的坐标为，若点恰好落在内部，则的取值范围为_________． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 在一个不透明的袋子中，装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同．如果第一次随机摸出一个小球（不放回），充分搅匀后，第二次再从剩余的两球中随机摸出一个小球，求两次都摸到红球的概率．（用树状图或列表法求解） 17. 在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？ 18. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，分别按下列要求画三角形． （1）在图①中，画一个等腰直角三角形ABC，使线段AB为直角边． （2）在图②中，画一个等腰直角三角形ABD，使△ABD的面积为． （3）在图③中，画一个直角三角形ABE，使tan∠ABE＝． 19. 如图，在中，，为的中点，过点作，且，连结 （1）求证：四边形是矩形； （2）连结交于点，若，，则的长为______. 20. 如图，为了测量旗杆的高度BC，在距旗杆底部B点10米的A处，用高1.5米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角∠CDE为52°，求旗杆BC的高度．（结果精确到0.1米）【参考数据sin52°＝0.79，cos52°＝0.62，tan52°＝1.28】 21. 小明从家出发，外出散步，到一个公共健身区活动了一会后，继续散步了一段时间到达了超市，然后回家，下图是小明在散步过程中离家的路程（米）与离开家的时间（分）之间的函数图象，根据图象信息解答下列问题． （1）小明散步的速度为______米/分； （2）求小明回家过程中与之间的函数关系式； （3）在小明出发2分钟时，小亮从小明家出发，沿小明散步的路线以48米/分的速度去超市，直接写出小亮去超市途中与小明相遇的时间． 22. 【教材呈现】 如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．请根据教材提示，结合图形，写出完整的证明过程．（教材引用不需证明） 猜想：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，根据画出的图形，可以猜想：，且DEBC．对此，我们可以用演绎推理给出证明． 【结论应用】 如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是BO、CO的中点，连结DE、EF、FG、GD． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）若△ADE的面积为12，则四边形DEFG的面积为_______． 23. 如图，平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与x轴、y轴分别交于点B、C． （1）求点B、点C的坐标； （2）求直线的解析式； （3）点M在射线上，是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在，求出点M的坐标． 24. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点分别作轴于点，轴于点，一次函数的图象经过点． （1）用含的代数式表示． （2）当时，直线被矩形截得线段的长度为 ． （3）当时，函数值满足，求的取值范围． （4）当直线将矩形分成的两部分面积比为时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $