精品解析：广东潮阳市关埠镇上仓学校2025-2026学年度第二学期八年级数学素养训练（三）测试卷

2025-2026学年度第二学期 八年级数学素养训练（三）测试卷 （本试卷共4页，满分：120分，时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知△ABC的三边分别为a，b，c，下列条件无法判定△ABC是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个边形的内角和与外角和相等，则等于 （ ） A. B. C. D. 4. 若中对角线、相交于点O，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，为菱形 B. 当时，为正方形 C. 当时，为矩形 D. 当时，为矩形 5. 如图，某加油站加油机的数据显示牌，金额随油量的变化而变化，则下列说法正确的是（ ） A. 金额是因变量 B. 单价是自变量 C. 油量是常量 D. 油量是单价的函数 6. 正比例函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 关于一次函数下列说法正确的是（ ） A. 图象经过第一、三、四象限 B. 图象与y轴交于点 C. y随x的增大而减小 D. 当时， 8. 如图，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售业绩时的收入（最低工资）是（ ） A. 3100元 B. 3000元 C. 2900元 D. 2800元 9. 如图四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8，BD＝6，DH⊥AB于点H，则DH的长度是（　　） A. B. C. D. 10. 为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了测浮力的实验．如图1，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数（单位：N）与铁块下降的高度x（单位：cm）之间的关系如图2所示．下列说法不正确的是（ ） A. 铁块的高度为 B. 铁块入水之前，烧杯内水的高度为 C. 当铁块下降的高度为时，该铁块所受到的浮力为N D. 当弹簧测力计的示数为3N时，此时铁块距离烧杯底 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 12. 请写出一个y的值随着x值的增大而增大的函数表达式：______． 13. 一次函数y＝﹣2x＋b向上平移3个单位后经过（2，0），则b＝___． 14. 如图，两个全等的矩形叠放在一起，已知，点G为与的交点，三角形的面积等于1，则矩形面积等于_______． 15. 在矩形中，，，E在上，，将沿直线折叠，得到，P为线段上一动点，则的最小值为______． 三、解答题（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 先化简，再求值：[(x+3y)(x-3y)-(x-3y)2]÷6y，其中x＝，y=． 17. 如图，在平面直角坐标系内，一次函数的图象与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． （1）求点的坐标； （2）求这个一次函数的表达式． 18. 如图，四边形中，，，于点D． （1）尺规作图：在上求作一点E（不写作法，保留作图痕迹），连接，使四边形为菱形，并说明理由； （2）在（1）的条件下，连接交于点O，连接，若，求长． 四、解答题（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，直线AB的函数解析式为y=-2x+8，与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求A、B两点的坐标； （2）若点P（m,n）为线段AB上的一个动点（与A、B不重合），作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，连接E，若△PAO的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围． 20. 随着新能源技术的日益发展与提升，新能源汽车深受广大民众的喜爱．新能源汽车A充电量与充电时间之间近似满足一次函数关系，小杰观察并记录数据如下表： 【观察记录】 充电时间 ．．． 10 20 30 40 50 60 ．．．． 充电量 ．．．． 30 40 50 60 70 80 ．．．． 【建立模型】 （1）建立如图所示的平面直角坐标系，根据以上数据描点、连线，画出函数的图象； （2）求充电量W与时间t的函数关系式； 【结论应用】 （3）新能源汽车A的最大充电量为，当电量剩余时，对汽车开始充电，求充满电量需要多少时间． 21. 在一次数学活动中，小辉将一块矩形纸片对折，使与重合，得到折痕（即为的垂直平分线），把纸片展开，再将沿折叠，得到（即）． （1）如图1，若点N刚好落在折痕上时，且过N作，求证：四边形是矩形； （2）如图2，当点N刚好落在折痕上时，求的度数； （3）如图3，连接，当M为射线上的一个动点时，已知，当是直角三角形时，请求出的长． 五、解答题（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 问题探究 （1）如图1，在平面直角坐标系中，点，，在上，连接．若，则点的坐标为___________． （2）如图2，在中，垂直平分，交于点，交于点．求的长． 问题解决 （3）图3是某重型卡车，图4是一个长方体木箱从该重型卡车上卸下时某时刻的平面示意图．已知该重型卡车车身的高度为，卸货时会利用到辅助挡板，此时弯折落在处（即），为水平线，，经过测量，得．当木箱底部顶点与点重合时，求图中木箱上点到直线的距离． 23. 【模型建立】 （1）如图1，等腰中,，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【模型应用】 （2）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合,和所在直线分别为x轴、y轴，若，请解答下列问题：点C的坐标是______，点A的坐标是______； （3）如图3，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点，且点D的坐标为． ①求四边形的面积； ②在第一象限内找一点P，使得以点，D为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P的坐标是_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期 八年级数学素养训练（三）测试卷 （本试卷共4页，满分：120分，时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则和整式乘法公式，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：选项A：∵与不是同类二次根式，无法直接合并相加，∴，A错误． 选项B：∵根据二次根式乘法法则，，∴，B正确． 选项C：∵根据完全平方公式，，∴，C错误． 选项D：∵，，，∴，D错误． 2. 已知△ABC的三边分别为a，b，c，下列条件无法判定△ABC是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理判定选项A和选项B即可；根据三角形的内角和定理求出∠A的度数，即可判断选项C；根据三角形内角和定理求出∠C的度数，即可判断选项D． 【详解】解：设△ABC中，∠A的对边是a，∠B的对边是b，∠C的对边是c， A．∵a2+b2=c2， ∴∠C=90°， ∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵a：b：c=2：2：3， ∴a2+b2≠c2， ∴最大角∠C≠90°， ∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意； C．∵∠A：∠B：∠C=5：2：3，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A=×180°=90°， ∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵∠A=∠C-∠B， ∴∠A+∠B=∠C， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴2∠C=180°， ∴∠C=90°， ∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形，三角形的内角和等于180°． 3. 一个边形的内角和与外角和相等，则等于 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出方程即可求解． 【详解】根据题意得：， 解得：， 故选：． 【点睛】此题考查了三角形的内角和与外角和，解题的关键熟记三角形的内角和定理与外角和为． 4. 若中对角线、相交于点O，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，为菱形 B. 当时，为正方形 C. 当时，为矩形 D. 当时，为矩形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定，据此逐项分析即可作答，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法． 【详解】解：A、当时，则，那么是矩形，不一定是菱形，故该选项不符合题意； B、当时，是菱形，不一定为正方形，故选项B不符合题意； C、当时，为矩形，故选项C符合题意； D、当时，为是菱形，故选项D不符合题意； 故选：C． 5. 如图，某加油站加油机的数据显示牌，金额随油量的变化而变化，则下列说法正确的是（ ） A. 金额是因变量 B. 单价是自变量 C. 油量是常量 D. 油量是单价的函数 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了函数的定义，在一个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，此时y是x的函数，x是自变量．根据函数的定义依次判断． 【详解】解：油量是自变量，金额是因变量，单价是常量，金额是油量的函数， 观察四个选项，只有A正确． 6. 正比例函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正比例函数的性质： K>0时，直线经过第一、三象限；K<0时，直线经过第二、四象限.分析得出即可． 【详解】解：正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当时，这条直线经过第一、三象限．故选B． 【点睛】此题主要考查了正比例函数的性质，正确记忆图象分布与系数关系是解题关键． 7. 关于一次函数下列说法正确的是（ ） A. 图象经过第一、三、四象限 B. 图象与y轴交于点 C. y随x的增大而减小 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质应用．根据一次函数，得到图象分布在第一、二、三象限，与y轴交于点，与x轴交点坐标为，y随x的增大而增大，当时，，判断即可． 【详解】解：∵一次函数， ∴图象分布在第一、二、三象限，与y轴交于点，与x轴交点坐标为，一次函数y随x的增大而增大，且当时，， 故A，C，D都错误，B正确． 故选：B． 8. 如图，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售业绩时的收入（最低工资）是（ ） A. 3100元 B. 3000元 C. 2900元 D. 2800元 【答案】B 【解析】 【分析】利用待定系数法求出收入y（元）与销售量x（万件）之间的函数关系式，再求出时y的值即可得到答案． 【详解】解：设收入y（元）与销售量x（万件）之间的函数关系式为， 把代入得， 解得， ∴， 在中，当时，， ∴营销人员没有销售业绩时的收入（最低工资）是3000元． 9. 如图四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8，BD＝6，DH⊥AB于点H，则DH的长度是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6， ∴AC⊥BD，OA=OC=4，OB=OD=3， ∴AB=5cm， ∴S菱形ABCD=AC·BD=AB·DH， ∴DH=． 故选C． 10. 为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了测浮力的实验．如图1，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数（单位：N）与铁块下降的高度x（单位：cm）之间的关系如图2所示．下列说法不正确的是（ ） A. 铁块的高度为 B. 铁块入水之前，烧杯内水的高度为 C. 当铁块下降的高度为时，该铁块所受到的浮力为N D. 当弹簧测力计的示数为3N时，此时铁块距离烧杯底 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从函数的图象获取信息，旨在考查学生的信息提取与整合能力，根据图象所给数据，逐一判断即可. 【详解】解：由图2可知，铁块在下降到时刚开始浸入水中，继续下降到时恰好整个铁块全部没入水中，因此铁块的高度为，故 A 正确； 铁块未入水前（即刚接触水时）下降了，图 1 中标出了从烧杯底到铁块顶端为可见水面到烧杯底的高度为，故 B 正确； 当铁块下降到 时，此时已经浸入水中，即铁块浸入了自身高度的一半，浮力也应为最大浮力 N 的一半，即 N，故 C 正确； 若弹簧测力计示数为 3 N，则铁块所受浮力为，占最大浮力 N 的，即铁块浸入高度为；即此时铁块顶端距烧杯底 ，故 D 错误； 故选：D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 请写出一个y的值随着x值的增大而增大的函数表达式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：根据一次函数的性质，当一次函数中时，的值随着值的增大而增大． ∴取，，可得符合条件的函数表达式为（答案不唯一）． 13. 一次函数y＝﹣2x＋b向上平移3个单位后经过（2，0），则b＝___． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一次函数平移的规律得到平移后的函数解析式为y＝﹣2x＋b+3，将点（2，0）代入计算即可． 【详解】解：平移后的函数解析式为y＝﹣2x＋b+3，将点（2，0）代入，得b-1=0， 得b=1， 故答案为：1． 【点睛】此题考查一次函数平移的规律：左右平移时x值左加右减，上下平移时b值左减右加，熟记平移的规律是解题的关键． 14. 如图，两个全等的矩形叠放在一起，已知，点G为与的交点，三角形的面积等于1，则矩形面积等于_______． 【答案】12 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，再证明，，证明，可得，从而可得答案． 【详解】解：两个全等的矩形，叠放在一起，点为与的交点， ，，， 为等边三角形， ，， ， ， ， 设， ，， ， ， 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，三角形的面积，掌握“矩形的性质”是解本题的关键． 15. 在矩形中，，，E在上，，将沿直线折叠，得到，P为线段上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出，取中点，连接，易证是等边三角形，得到，进而求出，过点P作，得出，当F、、M三点共线时，且时，取得最小值，过点E作，然后利用折叠的性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 取中点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 过点P作，如图所示： ∴， ∴， 如图，当F、、M三点共线时，且时，取得最小值， 过点E作， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 先化简，再求值：[(x+3y)(x-3y)-(x-3y)2]÷6y，其中x＝，y=． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再进行多项式除以单项式，最后代入字母的值进行求值运算 【详解】解：原式 当x＝，y=时， 原式 【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，分母有理化，掌握整式的运算以及分母有理化是解题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系内，一次函数的图象与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． （1）求点的坐标； （2）求这个一次函数的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数解析式，熟练掌握利用待定系数法求解析式是解题的关键． （1）将点代入，进行求解即可； （2）将点和代入进行求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入得： 解得， 则点的坐标为； 【小问2详解】 解；将点和代入得： 解得 则这个一次函数的表达式为． 18. 如图，四边形中，，，于点D． （1）尺规作图：在上求作一点E（不写作法，保留作图痕迹），连接，使四边形为菱形，并说明理由； （2）在（1）的条件下，连接交于点O，连接，若，求长． 【答案】（1）作图见解析，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作的平分线，交于点E，则点E为所求．根据角平分线和平行线的性质得到，得到，从而得到，即可证明四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得到，，，从而根据勾股定理求出，进而得到的长，最后根据直角三角形斜边上中线的性质即可求解． 【小问1详解】 解：如图，点E为所求． 理由如下：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． 【小问2详解】 解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 四、解答题（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，直线AB的函数解析式为y=-2x+8，与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求A、B两点的坐标； （2）若点P（m,n）为线段AB上的一个动点（与A、B不重合），作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，连接E，若△PAO的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围． 【答案】（1）A(4,0)，B(0,8)；（2）S△PAO=−4m+16(0<m<4)； 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）连接OP，根据三角形的面积公式S△PAO=×OA×PE计算即可； 【详解】(1)令x=0，则y=8， ∴B(0,8)， 令y=0,则−2x+8=0, ∴x=4， ∴A(4,0)， (2)连接OP. ∵点P(m,n)为线段AB上的一个动点， ∴−2m+8=n,∵A(4,0)， ∴OA=4， ∴0<m<4 ∴S△PAO=×OA×PE=×4×n=2(−2m+8)=−4m+16(0<m<4)； 【点睛】此题考查一次函数综合题，解题关键在于利用待定系数法求解. 20. 随着新能源技术的日益发展与提升，新能源汽车深受广大民众的喜爱．新能源汽车A充电量与充电时间之间近似满足一次函数关系，小杰观察并记录数据如下表： 【观察记录】 充电时间 ．．． 10 20 30 40 50 60 ．．．． 充电量 ．．．． 30 40 50 60 70 80 ．．．． 【建立模型】 （1）建立如图所示的平面直角坐标系，根据以上数据描点、连线，画出函数的图象； （2）求充电量W与时间t的函数关系式； 【结论应用】 （3）新能源汽车A的最大充电量为，当电量剩余时，对汽车开始充电，求充满电量需要多少时间． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，画函数图象，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． （1）根据数据，先描点，然后再联系即可； （2）用待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据题意列式计算即可． 【详解】解：（1）如图： （2）设充电量W与时间t的函数关系式为，把，代入得： ， 解得：， ∴充电量W与时间t的函数关系式为； （3）根据题意可得：每分钟充电量为： ， 充满电量需要的时间为： ． 21. 在一次数学活动中，小辉将一块矩形纸片对折，使与重合，得到折痕（即为的垂直平分线），把纸片展开，再将沿折叠，得到（即）． （1）如图1，若点N刚好落在折痕上时，且过N作，求证：四边形是矩形； （2）如图2，当点N刚好落在折痕上时，求的度数； （3）如图3，连接，当M为射线上的一个动点时，已知，当是直角三角形时，请求出的长． 【答案】（1）见解析 （2）30° （3）当AM=1或9时△NBC是直角三角形 【解析】 【分析】（1）根据四边形ABCD为矩形结合折叠的性质得到△ABM≌△GBN，且EF⊥AB，从而得到四边形NGBE为矩形 （2）连接AN，首先由折叠易知△ABM≌△GBN，且EF⊥AB，E为AB中点，从而证得△BAN为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠NBG=30°即可； （3）根据四边形ABCD为矩形得到∠A=∠MNB=90°，然后分当∠NBC=90°、当∠BNC=90° N在矩形ABCD内部、当∠BNC=90° N在矩形ABCD外部时三种情况利用勾股定理求得结论即可． 【小问1详解】 ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABC=90°， ∵NG⊥BC， ∴∠NGB=90°， 由折叠易知△ABM≌△GBN，且EF⊥AB，E为AB中点， ∴∠FEB=90°， ∴四边形NGBE为矩形， 【小问2详解】 连接AN， ∵由折叠易知，且EF⊥AB，E为AB中点， ∴AB=BN，NA=BN， ∴△BAN为等边三角形， ∴∠ABN=60°， ∵∠ABC=90°， ∴∠NBC=30°； 【小问3详解】 ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A=∠MNB=90°， ①当∠NBC=90°，∠NCB=90°都不符合题意，舍去， ②当∠BNC=90°，N在矩形ABCD内部， ∵∠BNC=∠MNB=90°， ∴M、N、C三点共线， ∵AB=BN=3，BC=5，∠BNC=90°， ∴NC=4， 设AM=MN=x， ∵MD=5-x，MC=4+x， ∴在Rt△MDC中CD2+MD2=MC2， 32+（5-x）2=（4+x）2， 解得x=1； ③当∠BNC=90° N在矩形ABCD外部时， ∵∠BNC=∠MNB=90°， ∴M、C、N三点共线， ∵AB=BN=3，BC=5，∠BNC=90°， ∴NC=4， 设AM=MN=y， ∵MD=y-5，MC=y-4， ∴在Rt△MDC中 CD2+MD2=MC2 32+（y-5）2=（y-4）2， 解得y=9， 综上所述：当AM=1或9时△NBC是直角三角形． 【点睛】本题考查了四边形的综合知识，解答过程中应用了全等三角形的性质、勾股定理等知识，综合性强，特别是在解答第三问时应用到了分类讨论的数学思想，难度较大，是一道好题． 五、解答题（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 问题探究 （1）如图1，在平面直角坐标系中，点，，在上，连接．若，则点的坐标为___________． （2）如图2，在中，垂直平分，交于点，交于点．求的长． 问题解决 （3）图3是某重型卡车，图4是一个长方体木箱从该重型卡车上卸下时某时刻的平面示意图．已知该重型卡车车身的高度为，卸货时会利用到辅助挡板，此时弯折落在处（即），为水平线，，经过测量，得．当木箱底部顶点与点重合时，求图中木箱上点到直线的距离． 【答案】（1）；（2）4；（3）图中木箱上点到直线的距离为 【解析】 【分析】（1）设点的坐标为，根据，建立方程解答即可． （2）设，则，利用勾股定理解答即可． （3）设，则，根据勾股定理，证明点B为的中点，作，连接，利用三角形中位线定理，解答即可． 本题考查了勾股定理，三角形中位线，平行线的性质，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设点的坐标为，根据，点，， 得， 解得， 故， 故答案为：． （2）解：设，则， 根据勾股定理，得， 故， 故， 解得， 故的长为4． （3）解： 设，则， 根据勾股定理，得， 故， 解得， 故，． 故， 故点B为的中点， 作，连接， 故为的中位线， 故，， 又， 故， 故图中木箱上点到直线的距离为． 23. 【模型建立】 （1）如图1，等腰中,，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 【模型应用】 （2）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合,和所在直线分别为x轴、y轴，若，请解答下列问题：点C的坐标是______，点A的坐标是______； （3）如图3，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点，且点D的坐标为． ①求四边形的面积； ②在第一象限内找一点P，使得以点，D为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P的坐标是_______． 【答案】（1）见详解；（2），；（3）①；②或 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及一次函数与几何的综合，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及一次函数与几何的综合是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后根据“”可证三角形全等； （2）由题意易得，然后问题可求解； （3）①由题意易得，则有，然后可得，进而根据割补法可进行求解； ②由题意可分当时，当时，当时，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴， ∴， ∴点； 故答案为，； （3）解：①令时，则有，令时，则有， ∴， 把点、代入一次函数得： ，解得：， ∴， 令时，则有，解得：， ∴， ∴， ∴； ②设点，且，由①可知：，， 由以点，D为顶点的三角形是等腰直角三角形，则可分： 当时，如图， 过点D作x轴的平行线，分别过点C、P作，，垂足分别为点G、F， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， 过点C作轴，分别过P、D作，，垂足分别为点M、N， ∴， ∵， ∴，（不符合题意，舍去）； 当时，如图所示： 过点P作于点H，过点D作于点Q， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 解得：， ∴； 综上所述：以点，D为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P的坐标为或； 故答案为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $