期末模拟卷（二）-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

**基本信息** 高一下学期数学期末模拟卷，通过立体几何、三角函数等核心知识，结合测量情境与分层问题设计，考查空间观念、运算能力及创新应用，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|旋转体、复数、三角函数图像等|第6题以俯角测量河宽为情境，体现数学眼光观察现实世界| |填空题|3题/15分|扇形面积、四面体体积、向量与不等式|第14题结合向量三等分点与不等式求最值，考查数学思维的推理与运算| |解答题|5题/77分|立体几何证明与体积、解三角形、三角函数零点等|第18题分层设计线面垂直证明、线面角计算及二面角存在性问题，第19题通过图像求解析式及零点范围，体现数学语言表达现实世界|

高一下学期数学期末模拟卷（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．如图所示的几何体是由哪个平面图形旋转得到的．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】图中几何体为组合体，由圆锥和圆台组合而成，故可由直角三角形和直角梯形绕同一个轴旋转而成，故A正确，BD错误， C的图形绕轴旋转后得到的几何体上方为圆锥，下方为圆锥，与题设不合，故C错误. 2．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助同角三角函数基本关系将弦化为切后计算即可得. 【详解】. 3．已知平面向量，满足，，则在上的投影数量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由投影数量的公式结合条件即可求解. 【详解】由题意得在上的投影数量为. 4．下面四个命题中，正确的是（   ） A．锐角一定是第一象限角 B．小于的角一定是锐角 C．第二象限角是钝角 D．第一象限的角一定不是负角 【答案】A 【分析】通过举反例否定B，C，D，证明A． 【详解】对于A，锐角是大于小于的角，是第一象限角，A正确； 对于B，，但不是锐角，B错误； 对于C，是第二象限角，但不是钝角，C错误； 对于D，是第一象限角，可以是负角，D错误． 5．函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性、函数值等进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设， 的定义域关于原点对称， ， 所以是偶函数，图象关于轴对称，所以D选项错误. 当时，，所以BC选项错误. 综上所述，A选项正确. 6．如图，为测量河对岸CD两点间的距离．在楼顶处观察的俯角为，观察点的俯角为，为楼底一点且平面BCD，若楼高，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】平面，平面，平面，，； 由在楼顶处观察的俯角为，观察点的俯角为，得，. ，在中，； 在中，. ， 在中，由余弦定理得； . 7．在正三棱台中，，，则该正三棱台外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求正三棱台上、下底面正三角形的外接圆半径，再求正三棱台的高；设外接球的球心到下底面的距离为，外接球半径为，根据球心到上下底面顶点的距离都等于，列出两个关于和的方程，联立求解；最后根据球的表面积公式取出外接球的表面积. 【详解】设正的中心为，正的中心为，外接球的球心为，半径为， 球心到底面的距离为，过作，垂足为，如图所示； 棱台为正三棱台，，， ，； ，. ，在中，. 在和中， ，解得. ； . 8．将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．若对于任意，总存在唯一的．使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数图象变换得到，对于的任意取值，在上有唯一解，关键是转化得到在上有唯一解，画出图形，由数形结合即可顺利得解． 【详解】由题意得， 当时，有，此时， 令，则， 因为时，所以， 因为对于的任意取值，在上有唯一解， 即在上有唯一解，如图所示： 因为，所以， 由图可知，，所以． 2． 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0 9．已知复数，则下列结论正确的有（    ） A．对应的点在第四象限 B． C．的共轭复数为 D．的虚部为1 【答案】BCD 【分析】利用复数的几何意义即可判断. 【详解】对于A选项，因为， 所以复数 z 对应的点为，在第一象限，故 A 错误； ，故B正确； ，故C正确； ，的虚部为1，故D正确. 10．已知三条边的长度为连续的正整数为正整数)，且最小角的余弦值为，则（ ） A．是锐角三角形 B．的面积为 C．外接圆半径为 D．若是最大角，则 【答案】BD 【分析】根据余弦定理列出方程求出边长，再根据余弦定理以及正弦定理求解即可. 【详解】三边为连续正整数：（），最小角对最小边，记最小角为， 则，由余弦定理， 化简得，解得，因此三边长为2，3，4. 对于选项A，最大角对最大边，记最大角为，由余弦定理，为钝角， 故是钝角三角形，所以A错误； 对于选项B，，则，三角形面积，所以B正确； 对于选项C，由正弦定理，外接圆半径，，则，，，所以C错误； 对于选项D，由二倍角公式，所以D正确． 11．若函数，则（     ） A．的图象关于直线对称 B．的值域为 C． D．在上的解集为 【答案】AC 【分析】利用三角函数和差化积，积化和差公式可得，通过验证判断A，根据正弦函数的有界性判断B，根据，结合三角函数的有界性和单调性即可判断C，不等式，可转化为或且，由此可得结论. 【详解】由积化和差公式， 则， ， 即， 又因为和差化积公式 ， 则，. 若的图象关于直线对称，则， ， 等式成立，因此的图象关于直线对称，A正确； 设，即， 结合可得和互为相反数且绝对值为1， 若，则，则， 若，则，则， 均不满足和互为相反数，即取不到1，B错误； ， ， 则 已知在上单调递增，则， 即，即，C正确； ，即， 在区间上，， 则不等式等价于（当 时），及时的点， 时，，此时，符合， ，的区间是， 即， 故在上解集为，D错误. 第II卷（非选择题） 三．填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知扇形的圆心角为2弧度，扇形的弧长为8，则扇形的面积为__________． 【答案】 16 【详解】扇形的圆心角弧度数，弧长． 根据弧长公式，解得扇形半径． 代入扇形面积公式，可得． 13．如图，一个四面体，棱的长为6，其余的棱长均为，则该四面体的体积为______．    【答案】 【分析】取的中点，连接，通过计算证明平面，从而将作为高，利用锥体体积公式求解. 【详解】取的中点，连接． 因为，所以为等边三角形， 所以，且． 同理，因为，所以为等边三角形， 所以，且． 在中，， 因为， 所以，即． 又因为，，平面， 所以平面，即为四面体的高． 底面的面积． 所以四面体的体积．    14．已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则的最小值是______. 【答案】/ 【分析】根据向量运算法则得，又，，所以，又因为三点共线，所以.所以利用常值代换，结合基本不等式即可求解. 【详解】 由是边上靠近的三等分点，可得，， 又，，所以， 又因为三点共线，所以. 所以. 因为，所以，当且仅当时取等号， 即时取等号， 所以的最小值为. 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．设虚数（a，，i是虚数单位），是实数. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)1(2)0 【详解】（1）由题意可得， 则，即，故. （2）由题可得，再将代入得 ，因为，， 所以，故. 16．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，E为PB的中点，F为AC与BD的交点. (1)证明：平面PCD； (2)求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明：∵ 底面为正方形，对角线与交于点， ∴ 是的中点， 又∵ 为的中点， ∴ 在中，是中位线，可得 ， ∵ 平面，平面， 根据线面平行的判定定理，得 平面. (2) 【分析】（1）利用正方形对角线交点是中点、是中点，得到是的中位线从而推得，再结合线面平行的判定定理证明平面； （2）由平面得是四棱锥的高，先计算底面正方形的面积，再代入四棱锥体积公式计算体积. 【详解】（1）略 （2）由平面，得四棱锥的高； 底面是边长为2的正方形，底面积， 因此体积. 17．在中，角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，进而利用三角恒等变换求得，进而可求； （2）由题意可得为边上的高，由余弦定理可求得，利用面积法可得到. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 则， 又因为，所以，所以， 即，所以． （2）因为，所以点在直线上． 因为，所以，即为边上的高． 由余弦定理可得， 所以． 由面积法可得，即， 解得． 18．如图，在四棱锥中，△为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：取棱的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以， 又，，，平面，所以平面. (2) (3)存在， 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可. （2）连接，结合线面角的定义得到为直线与平面所成的角，在中结合三角函数求解即可. （3）取中点，连接，，结合二面角的定义得到为二面角的平面角，设，在中，结合余弦定理求解即可. 【详解】（1）略 （2）连接， 由（1）中平面，所以为直线与平面所成的角. 因为为等边三角形，，且为的中点，所以， 又，在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）取中点，连接，， 在中，， 因为平面，又平面，所以， 在中，，所以，所以， 又点为中点，所以， 同理， 所以为二面角的平面角， 设， 在中，， 在中，， 在中，，，， 由余弦定理可得，即， 化简得到，解得或（舍去）， 即线段上存在一点，使得二面角平面角的余弦值为，此时． 19．已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)若函数在上恰有7个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）由图中两个关于零点中心对称的点，先确定一个零点，再利用相邻零点间的距离求周期和；结合图象经过的点求与； （2）令，将自变量区间转化为角的区间，再根据余弦函数在相应区间上的单调性求值域．（3）令 ，先统计方程 在给定区间内的零点个数，再研究方程 的两个根分别应落在哪两个区间，最后利用两根之积为1求的范围． 【详解】（1）由图可知，图象经过点 和 ，这两点关于点 中心对称，所以 图中 与 是相邻两个零点，因此从而 在 处，图象由正变负，所以 解得 由 ，得 ． 又因为 ，所以解得 ． 故 （2）令 当时， 将该区间中的角同时加上，不改变余弦值，得到 在上，余弦函数由减小到；在上，余弦函数由增大到． 所以从而 故在上的值域为． （3）令 当时， 在该区间内，函数的图象如下． 将区间依次分成 在这四个区间上，依次单调递减、单调递增、单调递减、单调递增，端点函数值依次为 因此，方程的根数为： 当时，有4个不同的根； 当时，有3个不同的根； 当时，有2个不同的根； 当时，有2个不同的根；当时，有1个根． 函数的零点满足 令，则 满足 要使在给定区间上恰有7个零点，上述方程必须有两个不同的实根，其中一个根对应4个 ，另一个根对应3个 ． 因此，可设其中一个根为 ，且 由两根之积为1，另一个根为． 因为，所以它恰好落在 内，对应3个 ． 反之，任取，两个根与分别对应4个和3个，共得到7个零点． 由两根之和为，得 对勾函数在上单调递增，时，时， 故的取值范围为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期数学期末模拟卷（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．如图所示的几何体是由哪个平面图形旋转得到的．（    ） A． B． C． D． 2．若，则（     ） A． B． C． D． 3．已知平面向量，满足，，则在上的投影数量为（     ） A． B． C． D． 4．下面四个命题中，正确的是（   ） A．锐角一定是第一象限角 B．小于的角一定是锐角 C．第二象限角是钝角 D．第一象限的角一定不是负角 5．函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 6．如图，为测量河对岸CD两点间的距离．在楼顶处观察的俯角为，观察点的俯角为，为楼底一点且平面BCD，若楼高，，则（    ） A． B． C． D． 7．在正三棱台中，，，则该正三棱台外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 8．将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．若对于任意，总存在唯一的．使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2． 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0 9．已知复数，则下列结论正确的有（    ） A．对应的点在第四象限 B． C．的共轭复数为 D．的虚部为1 10．已知三条边的长度为连续的正整数为正整数)，且最小角的余弦值为，则（ ） A．是锐角三角形 B．的面积为 C．外接圆半径为 D．若是最大角，则 11．若函数，则（     ） A．的图象关于直线对称 B．的值域为 C． D．在上的解集为 第II卷（非选择题） 三．填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知扇形的圆心角为2弧度，扇形的弧长为8，则扇形的面积为__________． 13．如图，一个四面体，棱的长为6，其余的棱长均为，则该四面体的体积为______．    14．已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则的最小值是______. 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．设虚数（a，，i是虚数单位），是实数. (1)求的值； (2)若，求的值. 16．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，，E为PB的中点，F为AC与BD的交点. (1)证明：平面PCD； (2)求四棱锥的体积. 17．在中，角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求． 18．如图，在四棱锥中，△为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 19．已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)若函数在上恰有7个零点，求a的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $