专题05 向量的线性运算与数量积（15大题型归纳）（暑假复习讲义）新高二数学沪教版

专题05 向量的线性运算与数量积 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 向量的概念辨析 题型9 向量的数量积计算 题型2 向量的加法运算 题型10 向量数量积的最值 题型3 向量的减法运算 题型11 数量积求夹角 题型4 向量的数乘运算 题型12 数量积求模长 题型5 向量的共线定理 题型13 投影与投影向量 题型6 向量的基本定理与基底 题型14 求数量积的模长与夹角最值 题型7 向量基本定理求参数 题型15 向量数量积的综合应用 题型8 三角形四心的向量表示 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 考点1向量基础概念辨析 以选择填空基础小题为主单独辨析概念正误常设置零向量平行判定单位向量方向陷阱难度偏低属于试卷送分基础题 考点2向量加、减法几何运算（三角形法则、平行四边形法则） 选择填空高频考点依托三角形平行四边形梯形几何图形命题侧重数形结合识图转化也作为解答题第一步化简已知条件难度中等 考点3数乘向量运算与共线向量定理 必考中档考点选择填空常结合参数求值命题解答题用于证明三点共线、直线平行高频陷阱为忽略限制条件区分度中等 考点4平面向量基本定理与基底表示向量 高考高频中档题常搭配三角形等分线段图形出题后续会和数量积综合设问是向量解答大题核心前置解题步骤 考点5向量数量积定义与几何投影 选择填空核心考点已知模长夹角求数量积或已知数量积、模长反求夹角向量投影是近年新增热点题型侧重数形结合分析 考点6向量垂直的充要条件（基底形式） 高频含参题型客观题给出垂直条件求基底参数解答题结合几何图形垂直关系列方程是解题关键等量关系 考点7向量模长转化（模平方化数量积） 填空多选压轴高频拉分题型结合动点、圆形轨迹求解向量模取值范围融合数形结合与函数值域分析区分度较强 考点8向量夹角范围 区分夹角为锐角、直角、钝角对应的数量积约束条件规避包含同向共线包含反向共线的遗漏情况 考点9向量线性运算与数量积综合几何题型 标准解答题型高考常搭配解三角形综合出题融合向量线性运算、基底表示、数量积多重考点完整考查数形结合与代数化简运算能力 考情解码： 1向量基础概念是入门必考内容考题以正误判断为主零向量平行向量单位向量是高频易错点命题常偷换概念混淆平行与共线忽略零向量特殊性整体难度低侧重基础识记与概念辨析 2向量加减数乘的几何运算是本模块主干三角形法则平行四边形法则为核心工具命题常结合三角形平行四边形梯形等平面图形考查向量化简与基底表示此类题型不侧重复杂计算重点考查识图能力与几何转化思维也是后续综合题的必备解题步骤 3共线向量定理考查频率高正向判断向量共线逆向由共线求参数以及证明三点共线是三大考法解题普遍存在忽略的漏洞命题常在此处设置陷阱属于中档区分题型 4平面向量基本定理是几何向量的核心理论考题多结合线段中点三等分点等特殊位置求基底系数该考点极少单独出题基本作为中间环节衔接线性运算与数量积是解答题的关键过渡点 5向量数量积定义投影是热点考点命题形式灵活已知模和夹角求数量积已知数量积反求夹角投影求值轮番考查侧重对公式几何意义的理解不再单纯机械套公式数形结合特征明显 6向量垂直模长问题是拉分重点利用处理垂直关系利用实现模与数量积互化常结合动点几何轨迹命制取值范围最值类问题思维综合性强难度中等偏上 7向量夹角判定为经典易错题考生易简单认为即为锐角即为钝角命题专门设置同向共线反向共线的特殊情形考查思维严谨性是客观题高频失分点 8综合题型融合线性运算基底表示数量积垂直夹角最值等多个考点常与解三角形平面几何结合命题解题流程固定先转化向量再利用数量积公式运算全面考查知识整合与逻辑推理能力为解答题常规考法 9整体命题规律基础题重概念与法则中档题重定理应用与参数求解难题重几何综合与范围最值全章节强调几何直观+公式活用弱化繁杂运算重点检验学生数形结合的核心数学思想 知识点一 向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有_方向_____的量；（或）表示向量（或）的大小，即长度（也称模）． 平面向量是自由向量 零向量 长度为零的向量；其方向是__任意的____ 记作______ 单位向量 长度为单位1的向量 与非零向量共线的单位向量为 向量平行或共线 表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合 与平行或共线，记作 相等向量 长度_相等_____且方向__相同____的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度_相等_____且方向_相反_____的向量 的相反向量为 【易错提醒】 1.混淆向量与有向线段有向线段是向量的直观表示向量只看大小与方向与起点位置无关 2.忽略零向量特殊性零向量方向任意规定零向量与任意向量平行解题易遗漏该前提 3.误将平行向量、共线向量拆分为不同概念平面中二者含义完全相同 4.相等向量要求大小相等且方向相同相反向量要求大小相等且方向相反只比较模长易判断失误 5.单位向量仅限定模长为1方向不唯一同一直线上存在两个方向相反的单位向量 即时即练 1.（25-26高一下·上海浦东新·期中）是或的（　　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．零向量的长度是0 C．长度相等的向量叫相等向量 D．共线向量是长度相等的向量 知识点二 向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算叫做与的和    （1）交换律：________； （2）结合律：________ 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差    数乘 求实数与向量的积的运算 1.________； （2）当时，的方向与的方向__相同______；当时，的方向与的方向__相反______；当时，________ （1）结合律； （2）分配律； 【易错警示】 1.运用加法三角形法则时未保证首尾相接减法三角形法则混淆向量起点与终点 2.平行四边形法则仅适用于同起点的两个向量误用图形导致表达式化简错误 3.数乘向量时只改变模长忽略正负对向量方向的影响 即时即练 1.（25-26高一下·上海徐汇·阶段检测）化简：______． 2.在平行四边形中，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 知识点三 共线向量定理 给定一个___非零____向量，则对于任意向量，的充要条件是存在__唯一______一个实数，使． 【易错警示】 1.应用定理时遗漏限制条件零向量不能作为被表示向量 2.由向量共线反向推导参数时忽略正负与向量方向的对应关系 3.误认为两向量共线就一定存在唯一实数未区分零向量情形 即时即练 1.（25-26高一下·上海·阶段检测）已知、、三点共线（该直线不过原点），且，则的最小值为______. 2.已知向量不共线，且，则实数___________. 知识点四 平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个_不共线_______的向量，那么对该平面内的_任意一个_______向量，___存在唯一_____的一对实数，，使． 【易错警示】 1.选取基底时忽略基底必须不共线的核心要求共线向量不能作为一组基底 2.认为同一向量的基底表示形式不唯一定理明确一组确定基底对应的系数唯一 即时即练 1.（25-26高一下·上海·期中）已知是平面向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为平面向量的一组基的是（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一下·上海·阶段检测）已知 ，在 中，点 是边 上靠近点 的三等分点，若 ，则 的值为 ______. 知识点五 平面向量数量积的有关概念 （1）向量的夹角：已知两个非零向量和，是平面上的任意一点，作，，则叫做向量与的夹角． （2）数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量________叫做向量与的数量积（或内积），记作，即________．规定：零向量与任一向量的数量积为0，即． （3）投影向量 如图，在平面内任取一点，作，，过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量．    设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，则与，，之间的关系为． 4.平面向量数量积的运算律 （1）交换律：_________； （2）数乘结合律：； （3）分配律：_________． 常见结论：极化恒等式 向量通用形式：对任意平面向量，有_ ______________ ①平行四边形模型：向量数量积等于以两向量为邻边的平行四边形“和对角线”与“差对角线”平方差的，即：_________ ②三角形中点模型（高频核心）：在 中， 为 中点，则=___________=. 本质：将数量积转化为“中线长”与“半底长”的平方差，无需夹角直接计算. ③拓展：线段中点通用模型：对任意两点 、，若 为线段 中点，则对平面内任意点 ，有______________. 【易错警示】 1.向量夹角判断错误两向量夹角要求起点重合图中未共起点时需先平移再找夹角 2.记错夹角范围向量夹角易写成 3.混淆数量积正负与角的关系简单认为就是锐角就是钝角忽略向量同向、反向共线的特殊情况 4.向量投影概念理解偏差混淆一个向量在另一向量上投影的正负与长度区别 即时即练 1.（25-26高一下·上海·期中）已知向量，夹角为，求： (1)； (2)； (3). 2.（25-26高一下·上海·期中）已知向量与的夹角，且 (1)求； (2)求在方向上的数量投影； (3)求在方向上的投影向量. 题型1 向量的概念辨析 例1．（25-26高一下·上海浦东新·阶段检测）下列命题中，正确的命题个数是（      ） ①若，则或      ②若，则； ③， ，则；        ④， ，则； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．给出下列命题： ①若，则或； ②向量的模一定是正数； ③起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是___________． 【技巧总结】 1.区分向量有向线段向量只看大小和方向与起点位置无关 2.牢记零向量特殊规定零向量方向任意零向量与任意向量平行 3.平行向量与共线向量为同一概念相等向量需大小相等且方向相同 4.单位向量仅模长为1同一直线上有两个反向单位向量方向不唯一 【变式训练1-1】（24-25高一下·上海长宁·期中）下列关于平面向量的说法正确的是（   ） A．若，是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则，不是共线向量 D．若，，则 题型2 向量的加法运算 例1．（25-26高一下·上海·期中）在中，，则是（   ）三角形. A．等腰 B．等腰直角 C．等腰或直角 D．等边 例2．（25-26高一下·上海·期中）在矩形中，，，则_____________. 【技巧总结】 1.首尾相接型选用三角形法则首尾相连首尾为结果向量 2.同起点型选用平行四边形法则以两向量为邻边对角线为和向量 3.熟练运用加法交换律结合律对多个向量连续化简 4.平面图形中优先梳理向量路径按首尾顺序分步合并 【变式训练2-1】若、、、是共面的四点，则__________. 【变式训练2-2】正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的盘，图2中的正八边形窗花.在图3的正八边形中，，则（　　） A． B．2 C． D． 题型3 向量的减法运算 例1．（25-26高一下·上海·期中）已知正方形的边长为1，那么____________． 例2．（25-26高一下·上海·期中）如图，在正方形中，为的中点，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【技巧总结】 1.向量减法统一转化为加上相反向量再使用加法法则运算 2.减法三角形法则两向量共起点差向量指向被减向量终点 3.化简表达式时注意向量符号变化避免正负出错 4.图形中找向量差先确定公共起点再判断终点位置 【变式训练3-1】在中，为锐角，，且对于，的最小值为，则______ 【变式训练3-2】（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)， (2)， (3)． 题型4 向量的数乘运算 例1．（25-26高一下·上海·期中）已知中，，若，，则用、表示_______. 例2．（25-26高三上·上海·阶段检测）设M是所在平面上的一点，且，D是的中点，则______． 【技巧总结】 1.数乘结果仍是向量分清模长变化规律 2.数乘后向量与原向量同向向量反向结果为零向量 【变式训练4-1】（24-25高一下·上海浦东新·阶段检测）设点在的内部，且，则 _____. 【变式训练4-2】平行四边形中，点是的中点，点是的一个三等分点 （靠近），则 （    ） A． B． C． D． 题型5 向量的共线定理 例1．设，是平面内两个不共线的非零向量，已知，，，若，，三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 例2．设，是两个不共线的向量，已知，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)若，且，求实数的值. 【技巧总结】 1.定理核心若则与共线存在唯一实数使 2.判定向量共线直接寻找满足关系的实数必须标注 3.证明三点共线先证两向量共线再补充两向量有公共点 【变式训练5-1】设，是两个不共线的向量．若向量与的方向相反，则__________． 【变式训练5-2】中，为边的中点，为中线上的一点且，则的最小值为__________. 题型6 向量的基本定理与基底 例1．（25-26高一下·上海·期中）已知向量，. (1)求向量，用向量，表示； (2)求向量，，用向量，表示. 例2．在中，已知是边上一点，且，设，则用表示___________． 【技巧总结】 1.平面向量基本定理前提选取两个不共线向量作为一组基底 2.平面内任意向量都可由一组基底唯一线性表示 3.图形中分解向量结合三角形、四边形结构拆分为基底向量组合 4.中线、等分点问题利用数乘与加减运算完成基底转化 【变式训练6-1】在中，设，若点满足，点为中点，则=（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】（24-25高一下·上海·期中）如图，在中，D是AB的中点，E是BC延长线上一点，且． (1)用向量、表示； (2)用向量、表示． 题型7 向量基本定理求参数 例1．（25-26高一下·上海·期中）如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点若，则=__________ 例2．（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图1所示，在中，点在线段上，满足，点在线段上，满足，线段与线段交于点. (1)用和表示； (2)若，求实数； (3)如图2所示，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，求的最大值； 【技巧总结】 1.将目标向量统一写成同一组基底的线性形式 2.根据基底表示唯一性对应系数相等列出方程组 3.解方程组求出参数值多参数逐一对应求解 【变式训练7-1】（24-25高一下·上海·期中）在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点， ，则 _____. 【变式训练7-2】（2026·上海·三模）如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则的值为____________． 题型8 三角形四心的向量表示 例1．（25-26高一下·上海·期中）在中，为内的一点．若为的重心，且，则__________． 例2．（25-26高三·全国·一轮复习）设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 【技巧总结】 1.重心（三条中线交点） ，中线结论（为中点） 2.垂心（三条高线交点） ，垂直关系 3.外心（三边中垂线交点） 4.内心（三条角平分线交点） （为三边对应边长） 【变式训练8-1】已知，角的对边分别为，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式训练8-2】已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 题型9 向量的数量积计算 例1．（25-26高一下·上海·期中）在中，， 是上一点，，则________ 例2．（25-26高一下·上海闵行·期中）在中，，则__________. 【技巧总结】 1.套用定义公式明确模长与夹角 2.图形中求数量积先平移向量使起点重合找准夹角 【变式训练9-1】（2026·上海金山·二模）已知在中，．若点为外接圆的圆心，则__________． 【变式训练9-2】（25-26高三上·江苏南通·期中）在边长为的等边三角形中，，则________. 题型10 向量数量积的最值 例1．已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是___________． 例2．如图，在中，，，为上的动点，且，则的取值范围为______．    【技巧总结】 1.把目标式展开转化为含模长、夹角的表达式 2.结合定值利用求范围 3.动态向量问题结合几何轨迹分析夹角变化规律 4.多向量组合式优先利用转化分析 【变式训练10-1】如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是______． 【变式训练10-2】（24-25高二下·上海浦东新·期末）在中，，D在线段上（包括端点），则的取值范围是________． 题型11 数量积求夹角 例1．（25-26高一下·上海·期中）已知向量与的夹角为，求： (1)； (2)与的夹角的余弦值． 例2．（25-26高一下·上海·期中）已知向量满足，则与的夹角为________. 【技巧总结】 1.变形公式代入已知条件计算余弦值 2.向量夹角范围根据余弦值确定角度 3.图形类问题务必将两向量移至共起点再确定真实夹角 4.判定锐角、钝角算出余弦后额外排除共线同向、反向情况 【变式训练11-1】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知不共线的向量，，其中，，若，则与的夹角为______. 【变式训练11-2】（2026·上海松江·模拟预测）若都是单位向量，，则向量与的夹角大小为__________. 题型12 数量积求模长 例1．已知，，与的夹角为. (1)求； (2)若向量与相互垂直，求实数的值. 例2．（25-26高一下·上海·期中）已知，，且与的夹角， (1)求 (2)若与垂直，求的值. 【技巧总结】 1.核心技巧模长平方转化为数量积 2.遇到先平方展开再代入数量积、模长计算 【变式训练12-1】（25-26高一上·上海·期中）已知平面向量满足，，且. (1)求 (2)求实数的取值范围，使得为锐角. 【变式训练12-2】（25-26高一下·上海·期中）已知，则等于____ 题型13 投影与投影向量 例1．（25-26高一下·上海浦东新·期末）已知中，，，，则在方向上的数量投影为____________． 例2．（2026·上海徐汇·二模）已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则__________. 【技巧总结】 1.一个向量在另一向量上的投影公式结果为实数 2.区分投影（数量）与投影向量（向量）二者概念不同 3.根据夹角判断投影正负为锐角投影为正为钝角投影为负投影为0 【变式训练13-1】（25-26高三上·上海松江·期中）已知平面向量，，，向量在向量上的投影向量为，则______． 【变式训练13-2】（25-26高二上·上海·期中）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则在方向上的数量投影的取值范围_____. 题型14 求数量积的模长与夹角最值 例1．（2026·上海·三模）已知平面向量，，满足，且对任意实数，有，则与夹角为，则的最小值为__________． 例2．两个非零向量，，满足，则向量与向量夹角的余弦值的最小值为________． 【技巧总结】 1.先将目标表达式平方或展开转化为含的函数形式 2.利用结合函数单调性求取最值 3.利用基本不等式求最值 【变式训练14-1】（2023·上海崇明·二模）已知平面向量，满足：，，，，则的取值范围是_______. 【变式训练14-2】（25-26高一上·上海·期中）已知，，若存在满足且，则的最小值是__________. 题型15 向量数量积的综合应用 例1．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知在中，，是边的中点， (1)若，，，求； (2)若，的面积为，求的最小值； (3)若，，为线段上两点，且，，求的最大值． 例2．（25-26高一下·上海·期末）如图所示，设是平面内相交成 角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 ， 则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为. (1)若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由； (2)设，若对恒成立，求的最大值. 【技巧总结】 1.解题流程向量线性化简基底表示数量积运算 2.综合证明垂直直接证明两向量数量积为0 3.综合求范围、最值统一转化为三角函数或代数式求范围 4.结合三角形、平面几何先梳理几何关系再翻译为向量语言 【变式训练15-1】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知正 边形 内接于单位圆 ，且满足 的顶点 恰有 个.若等腰直角 （为直角顶点） 的顶点 在圆 上，并考虑所有满足要求的正 边形与等腰直角 ，则 的最大值为 ______. 【变式训练15-2】（25-26高一下·上海·期中）在中，，，，则（ ） A． B．的面积为12 C． D． 一、单选题 1．（25-26高一下·上海·期中）设都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立的有（    ）个 ①②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25高一下·上海·期中）已知为单位向量，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知均为非零向量，且向量在同一起点上．则它们的终点（    ） A．在同一条直线上 B．构成一个三角形 C．有两个向量的终点重合 D．不确定 4．（25-26高一下·上海·期中）O是在所在平面上一点，存在实数x、y、z满足，，，则点O是的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 5．（25-26高一下·上海·期中）已知不共线的向量、，则“为锐角”是“”的（      ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 二、填空题 6．（25-26高一下·上海·期中）若，，则_________. 7．（25-26高一下·上海·期中）若，则_____(用表示)； 8．（25-26高一下·上海·阶段检测）若向量满足，且与的夹角为，则 ________. 9．（25-26高一下·上海·期中）如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过的直线与边分别交于点，设，则的最小值为___________． 10．（25-26高一下·上海黄浦·期中）已知、是两个不平行的向量，，且、、三点共线，则_________． 11．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知在中，是线段上一点满足，连接，在线段上，若，则________． 12．（25-26高一下·上海徐汇·阶段检测）已知向量满足，在上的数量投影为，则的最小值为________． 13．（2026·上海黄浦·三模）在中，，，则在上的数量投影的取值范围为________． 14．（25-26高一下·上海·期中）已知，，，则在方向上的投影向量为_________. 15．（25-26高一下·上海·期中）已知中，，，，，为外心，则_________. 16．（24-25高三下·上海·阶段检测）在中，在边上（与不重合），延长到，使得，若（为常数），则的长度是________． 17．（25-26高一下·上海·阶段检测）在中，点在线段上，且，则的最小值为__________. 18．（25-26高一下·上海·期中）已知四边形中，，点在四边形的四条边上运动，则的最小值是________ 19．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知在中， ，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值为__________． 20．（24-25高一下·上海宝山·阶段检测）中，，当时，的最小值为，则______. 三、解答题 21．（25-26高一下·上海·期中）如图，在梯形中，，且，设，． (1)若点满足，且三点共线，求实数的值． (2)若，，，且点是线段上的动点，求的最小值． 22．（25-26高一下·上海奉贤·期中）如图所示，在中，在线段上，满足，是线段的中点，过点的直线与线段，分别交于点，，设，． (1)当时，请用与表示； (2)求证：为定值； (3)设的面积为，的面积为，求的最小值． 23．（25-26高一下·上海黄浦·期中）已知． (1)求与的夹角大小； (2)求在方向上的投影与数量投影． 24．（25-26高一下·上海青浦·期中）如图，在中，，，，且，. (1)若，求的值： (2)若向量与向量平行，求的值； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 向量的线性运算与数量积 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 向量的概念辨析 题型9 向量的数量积计算 题型2 向量的加法运算 题型10 向量数量积的最值 题型3 向量的减法运算 题型11 数量积求夹角 题型4 向量的数乘运算 题型12 数量积求模长 题型5 向量的共线定理 题型13 投影与投影向量 题型6 向量的基本定理与基底 题型14 求数量积的模长与夹角最值 题型7 向量基本定理求参数 题型15 向量数量积的综合应用 题型8 三角形四心的向量表示 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 考点1向量基础概念辨析 以选择填空基础小题为主单独辨析概念正误常设置零向量平行判定单位向量方向陷阱难度偏低属于试卷送分基础题 考点2向量加、减法几何运算（三角形法则、平行四边形法则） 选择填空高频考点依托三角形平行四边形梯形几何图形命题侧重数形结合识图转化也作为解答题第一步化简已知条件难度中等 考点3数乘向量运算与共线向量定理 必考中档考点选择填空常结合参数求值命题解答题用于证明三点共线、直线平行高频陷阱为忽略限制条件区分度中等 考点4平面向量基本定理与基底表示向量 高考高频中档题常搭配三角形等分线段图形出题后续会和数量积综合设问是向量解答大题核心前置解题步骤 考点5向量数量积定义与几何投影 选择填空核心考点已知模长夹角求数量积或已知数量积、模长反求夹角向量投影是近年新增热点题型侧重数形结合分析 考点6向量垂直的充要条件（基底形式） 高频含参题型客观题给出垂直条件求基底参数解答题结合几何图形垂直关系列方程是解题关键等量关系 考点7向量模长转化（模平方化数量积） 填空多选压轴高频拉分题型结合动点、圆形轨迹求解向量模取值范围融合数形结合与函数值域分析区分度较强 考点8向量夹角范围 区分夹角为锐角、直角、钝角对应的数量积约束条件规避包含同向共线包含反向共线的遗漏情况 考点9向量线性运算与数量积综合几何题型 标准解答题型高考常搭配解三角形综合出题融合向量线性运算、基底表示、数量积多重考点完整考查数形结合与代数化简运算能力 考情解码： 1向量基础概念是入门必考内容考题以正误判断为主零向量平行向量单位向量是高频易错点命题常偷换概念混淆平行与共线忽略零向量特殊性整体难度低侧重基础识记与概念辨析 2向量加减数乘的几何运算是本模块主干三角形法则平行四边形法则为核心工具命题常结合三角形平行四边形梯形等平面图形考查向量化简与基底表示此类题型不侧重复杂计算重点考查识图能力与几何转化思维也是后续综合题的必备解题步骤 3共线向量定理考查频率高正向判断向量共线逆向由共线求参数以及证明三点共线是三大考法解题普遍存在忽略的漏洞命题常在此处设置陷阱属于中档区分题型 4平面向量基本定理是几何向量的核心理论考题多结合线段中点三等分点等特殊位置求基底系数该考点极少单独出题基本作为中间环节衔接线性运算与数量积是解答题的关键过渡点 5向量数量积定义投影是热点考点命题形式灵活已知模和夹角求数量积已知数量积反求夹角投影求值轮番考查侧重对公式几何意义的理解不再单纯机械套公式数形结合特征明显 6向量垂直模长问题是拉分重点利用处理垂直关系利用实现模与数量积互化常结合动点几何轨迹命制取值范围最值类问题思维综合性强难度中等偏上 7向量夹角判定为经典易错题考生易简单认为即为锐角即为钝角命题专门设置同向共线反向共线的特殊情形考查思维严谨性是客观题高频失分点 8综合题型融合线性运算基底表示数量积垂直夹角最值等多个考点常与解三角形平面几何结合命题解题流程固定先转化向量再利用数量积公式运算全面考查知识整合与逻辑推理能力为解答题常规考法 9整体命题规律基础题重概念与法则中档题重定理应用与参数求解难题重几何综合与范围最值全章节强调几何直观+公式活用弱化繁杂运算重点检验学生数形结合的核心数学思想 知识点一 向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有_方向_____的量；（或）表示向量（或）的大小，即长度（也称模）． 平面向量是自由向量 零向量 长度为零的向量；其方向是__任意的____ 记作______ 单位向量 长度为单位1的向量 与非零向量共线的单位向量为 向量平行或共线 表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合 与平行或共线，记作 相等向量 长度_相等_____且方向__相同____的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度_相等_____且方向_相反_____的向量 的相反向量为 【易错提醒】 1.混淆向量与有向线段有向线段是向量的直观表示向量只看大小与方向与起点位置无关 2.忽略零向量特殊性零向量方向任意规定零向量与任意向量平行解题易遗漏该前提 3.误将平行向量、共线向量拆分为不同概念平面中二者含义完全相同 4.相等向量要求大小相等且方向相同相反向量要求大小相等且方向相反只比较模长易判断失误 5.单位向量仅限定模长为1方向不唯一同一直线上存在两个方向相反的单位向量 即时即练 1.（25-26高一下·上海浦东新·期中）是或的（　　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若或，则必有，故必要性成立； 若，不一定有或，例如方向不同但模相等的向量，故充分性不成立； 因此是或的必要非充分条件． 2.下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．零向量的长度是0 C．长度相等的向量叫相等向量 D．共线向量是长度相等的向量 【答案】B 【详解】对于A，若，则与的模相等，但方向无法确定，故A错误； 对于B，零向量的长度是0，故B正确； 对于C，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，故C错误； 对于D，方向相同或相反的向量称为共线向量，规定零向量与任意向量共线，故D错误. 知识点二 向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算叫做与的和    （1）交换律：________； （2）结合律：________ 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差    数乘 求实数与向量的积的运算 1.________； （2）当时，的方向与的方向__相同______；当时，的方向与的方向__相反______；当时，________ （1）结合律； （2）分配律； 【易错警示】 1.运用加法三角形法则时未保证首尾相接减法三角形法则混淆向量起点与终点 2.平行四边形法则仅适用于同起点的两个向量误用图形导致表达式化简错误 3.数乘向量时只改变模长忽略正负对向量方向的影响 即时即练 1.（25-26高一下·上海徐汇·阶段检测）化简：______． 【答案】 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，即可求解. 【详解】根据向量的运算法则，可得. 2.在平行四边形中，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出图像，根据向量加法运算，对选项逐一分析判断，由此得出正确选项. 【详解】画出图像如下图所示. 对于A选项，大小相等方向相反，，结论正确. 对于B选项，根据向量加法的平行四边形法则可知，，结论正确. 对于C选项，由于，故结论错误. 对于D选项，，大小相等方向相反，，结论正确. 故选：C. 知识点三 共线向量定理 给定一个___非零____向量，则对于任意向量，的充要条件是存在__唯一______一个实数，使． 【易错警示】 1.应用定理时遗漏限制条件零向量不能作为被表示向量 2.由向量共线反向推导参数时忽略正负与向量方向的对应关系 3.误认为两向量共线就一定存在唯一实数未区分零向量情形 即时即练 1.（25-26高一下·上海·阶段检测）已知、、三点共线（该直线不过原点），且，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据共线定理的推论得，然后利用常数代换法可得. 【详解】因为、、三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 2.已知向量不共线，且，则实数___________. 【答案】/ 【分析】由向量共线的充要条件，结合平面向量基本定理，列出等式求解即可. 【详解】因为， 则存在实数，使得： 整理得： 因为不共线，根据平面向量基本定理， 得方程组： ， 解得，代入得. 知识点四 平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个_不共线_______的向量，那么对该平面内的_任意一个_______向量，___存在唯一_____的一对实数，，使． 【易错警示】 1.选取基底时忽略基底必须不共线的核心要求共线向量不能作为一组基底 2.认为同一向量的基底表示形式不唯一定理明确一组确定基底对应的系数唯一 即时即练 1.（25-26高一下·上海·期中）已知是平面向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为平面向量的一组基的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量基底的定义及共线的充要条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】A选项，是平面向量的一组基底，故为不共线的非零向量， 设，故，无解，故为不共线的非零向量， 故可以作为一组基底，A错误； B选项，设，解得，无解，故为不共线的非零向量，B错误； C选项，设，故，无解，故为不共线的非零向 量，C错误； D选项，，故共线，故不能作为基底，D正确. 2.（25-26高一下·上海·阶段检测）已知 ，在 中，点 是边 上靠近点 的三等分点，若 ，则 的值为 ______. 【答案】 【分析】利用平面向量的线性运算将转化为和的线性组合，对比系数即可求得的值. 【详解】 因为点是边上靠近点的三等分点，所以. 所以 ， 又，且与不共线， 由平面向量基本定理可知，. 知识点五 平面向量数量积的有关概念 （1）向量的夹角：已知两个非零向量和，是平面上的任意一点，作，，则叫做向量与的夹角． （2）数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量________叫做向量与的数量积（或内积），记作，即________．规定：零向量与任一向量的数量积为0，即． （3）投影向量 如图，在平面内任取一点，作，，过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量．    设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，则与，，之间的关系为． 4.平面向量数量积的运算律 （1）交换律：_________； （2）数乘结合律：； （3）分配律：_________． 常见结论：极化恒等式 向量通用形式：对任意平面向量，有_ ______________ ①平行四边形模型：向量数量积等于以两向量为邻边的平行四边形“和对角线”与“差对角线”平方差的，即：_________ ②三角形中点模型（高频核心）：在 中， 为 中点，则=___________=. 本质：将数量积转化为“中线长”与“半底长”的平方差，无需夹角直接计算. ③拓展：线段中点通用模型：对任意两点 、，若 为线段 中点，则对平面内任意点 ，有______________. 【易错警示】 1.向量夹角判断错误两向量夹角要求起点重合图中未共起点时需先平移再找夹角 2.记错夹角范围向量夹角易写成 3.混淆数量积正负与角的关系简单认为就是锐角就是钝角忽略向量同向、反向共线的特殊情况 4.向量投影概念理解偏差混淆一个向量在另一向量上投影的正负与长度区别 即时即练 1.（25-26高一下·上海·期中）已知向量，夹角为，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)10 (2)17 (3) 【分析】（1）利用平面向量数量积的定义计算．（2）利用数量积的分配律展开，再代入、及的值．（3）先求，再根据向量的模为非负数求出． 【详解】（1）由平面向量数量积的定义，得. 所以. （2）由数量积的分配律及，得. 因此. 代入已知条件，得. （3）因为 所以. 所以. 因为向量的模为非负数，所以 2.（25-26高一下·上海·期中）已知向量与的夹角，且 (1)求； (2)求在方向上的数量投影； (3)求在方向上的投影向量. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）∵ 向量与的夹角，且，， ∴ . ， 代入数值可得. （2）根据向量数量投影的定义： 在方向上的数量投影为， 由（1）知. 先计算， 又∵ ， ∴ 所求数量投影为. （3）由（1）知. 根据投影向量的定义： 在方向上的投影向量为， 代入数值可得所求投影向量为. 题型1 向量的概念辨析 例1．（25-26高一下·上海浦东新·阶段检测）下列命题中，正确的命题个数是（      ） ①若，则或      ②若，则； ③， ，则；        ④， ，则； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】对于①，当非零向量的模长相等且不共线时，、均不成立，故A错误； 对于②，即共线，但它们的模长不一定相等，故B错误； 对于③，根据等量的传递性可得，故C成立 对于④，如果为零向量，为不共线向量，则、均成立， 但不成立， 故正确的命题个数为. 例2．给出下列命题： ①若，则或； ②向量的模一定是正数； ③起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是___________． 【答案】③ 【分析】根据向量、相等向量、共线向量的定义逐一判断. 【详解】①错误．由仅说明与模相等，但不能说明它们方向的关系． ②错误．的模为零． ③正确．对于一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的． ④错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反即可，并不要求两个向量，必须在同一直线上． 故答案为：③ 【技巧总结】 1.区分向量有向线段向量只看大小和方向与起点位置无关 2.牢记零向量特殊规定零向量方向任意零向量与任意向量平行 3.平行向量与共线向量为同一概念相等向量需大小相等且方向相同 4.单位向量仅模长为1同一直线上有两个反向单位向量方向不唯一 【变式训练1-1】（24-25高一下·上海长宁·期中）下列关于平面向量的说法正确的是（   ） A．若，是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则，不是共线向量 D．若，，则 【答案】B 【分析】对于A，由题意或，对于B，由相等向量的定义即可得解；对于CD，举反例即可判断. 【详解】对于A，若，是共线的单位向量，则或，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，满足，但此时，是共线向量，故C错误； 对于D，设是两个不共线的非零向量，，满足，，但此时不成立，故D错误. 故选：B. 题型2 向量的加法运算 例1．（25-26高一下·上海·期中）在中，，则是（   ）三角形. A．等腰 B．等腰直角 C．等腰或直角 D．等边 【答案】D 【详解】因为， 所以该三角形是等边三角形. 例2．（25-26高一下·上海·期中）在矩形中，，，则_____________. 【答案】 【详解】因为四边形为矩形，所以. 【技巧总结】 1.首尾相接型选用三角形法则首尾相连首尾为结果向量 2.同起点型选用平行四边形法则以两向量为邻边对角线为和向量 3.熟练运用加法交换律结合律对多个向量连续化简 4.平面图形中优先梳理向量路径按首尾顺序分步合并 【变式训练2-1】若、、、是共面的四点，则__________. 【答案】 【分析】利用向量的加法运算的交换律，和加法运算的几何意义可以得到答案. 【详解】 , 故答案为： 【变式训练2-2】正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的盘，图2中的正八边形窗花.在图3的正八边形中，，则（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】在上取一点，使得，根据C点的位置，从而求得，找到与的关系即可求得参数. 【详解】连接，，且， 在上取一点，使得， 则四边形为平行四边形，. 设，则， 由图可知， 故. 故选：D. 【点睛】方法点睛：利用向量相等及平行四边形法则，将向量的和转化为三角形中的长度关系，从而求得参数值. 题型3 向量的减法运算 例1．（25-26高一下·上海·期中）已知正方形的边长为1，那么____________． 【答案】 【分析】根据向量的运算法则及向量的模计算即可. 【详解】根据向量运算法则可得， 又因为正方形边长为，因此，且， 又因为，根据模长公式可得， 因此. 例2．（25-26高一下·上海·期中）如图，在正方形中，为的中点，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中和中，根据向量三角形加法法则建立等量关系即可表示出. 【详解】解：由向量三角形加法法则可知，在中，， 在中，，又为的中点，为的中点， 所以，，因此， 又因为，所以. 【技巧总结】 1.向量减法统一转化为加上相反向量再使用加法法则运算 2.减法三角形法则两向量共起点差向量指向被减向量终点 3.化简表达式时注意向量符号变化避免正负出错 4.图形中找向量差先确定公共起点再判断终点位置 【变式训练3-1】在中，为锐角，，且对于，的最小值为，则______ 【答案】 【分析】在三角形中过作于，求出，再利用余弦定理解出，进而可求解. 【详解】 如图，过作于，的最小值为， ，得到， 又为锐角，， ，不妨设， 则， ，. 故答案为：. 【变式训练3-2】（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)， (2)， (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由向量的线性运算可得结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 题型4 向量的数乘运算 例1．（25-26高一下·上海·期中）已知中，，若，，则用、表示_______. 【答案】 【分析】根据向量的加法、减法及数乘运算求解即可. 【详解】由，得. 所以. 例2．（25-26高三上·上海·阶段检测）设M是所在平面上的一点，且，D是的中点，则______． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算及向量共线定理即可求解. 【详解】因为是中点， 所以， 所以． 故答案为：. 【技巧总结】 1.数乘结果仍是向量分清模长变化规律 2.数乘后向量与原向量同向向量反向结果为零向量 【变式训练4-1】（24-25高一下·上海浦东新·阶段检测）设点在的内部，且，则 _____. 【答案】/ 【分析】作，，，可知为的重心，推导出，再结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】作，，，如下图所示： 由可得，则为的重心， 延长交线段于点，则为的中点，则， 因为为的重心，所以，故， 同理可得，故，设， ，故， 同理可得，， 所以， 因此，. 故答案为：. 【变式训练4-2】平行四边形中，点是的中点，点是的一个三等分点 （靠近），则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用向量的加法和数乘法则运算. 【详解】 由题意：是的中点，点是的一个三等分点， ∴. 故选：D. 题型5 向量的共线定理 例1．设，是平面内两个不共线的非零向量，已知，，，若，，三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量共线定理列方程，解方程即可. 【详解】由已知，， 则， 又，，三点共线， 则与共线，， 即，解得， 故选：D. 例2．设，是两个不共线的向量，已知，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)若，且，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)9. 【分析】（1）由平面向量的线性表示与共线定理，证明、共线，得出A，B，D三点共线； （2）由平面向量的共线定理列方程求出的值. 【详解】（1）由，，， 所以， 所以， 所以、共线，且有公共点B， 所以A，B，D三点共线. （2）由，且， 所以， 即， 所以，所以， 所以实数的值为9. 【技巧总结】 1.定理核心若则与共线存在唯一实数使 2.判定向量共线直接寻找满足关系的实数必须标注 3.证明三点共线先证两向量共线再补充两向量有公共点 【变式训练5-1】设，是两个不共线的向量．若向量与的方向相反，则__________． 【答案】 【分析】由共线得到，比较系数即可求解； 【详解】解：因为向量与的方向相反， 所以，其中， 所以：， 联立可得：， 解得： 故答案为： 【变式训练5-2】中，为边的中点，为中线上的一点且，则的最小值为__________. 【答案】9 【分析】根据题意可知，然后根据三点共线得出，再通过基本不等式求解即可. 【详解】如下图所示： 因为，为边的中点，所以； 又三点共线，所以； 则， 当且仅当，即时，等号成立； 因此的最小值为9. 故答案为：9 题型6 向量的基本定理与基底 例1．（25-26高一下·上海·期中）已知向量，. (1)求向量，用向量，表示； (2)求向量，，用向量，表示. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先对进行去括号化简，再把，代入即可. （2）先设，再将，代入，根据向量相等列出方程组，求解出即可. 【详解】（1） . （2）设. . ，解得，. . ，解得， 例2．在中，已知是边上一点，且，设，则用表示___________． 【答案】 【详解】由题意得. 【技巧总结】 1.平面向量基本定理前提选取两个不共线向量作为一组基底 2.平面内任意向量都可由一组基底唯一线性表示 3.图形中分解向量结合三角形、四边形结构拆分为基底向量组合 4.中线、等分点问题利用数乘与加减运算完成基底转化 【变式训练6-1】在中，设，若点满足，点为中点，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，结合平面向量的线性运算求解. 【详解】根据题意， .    故选：B 【变式训练6-2】（24-25高一下·上海·期中）如图，在中，D是AB的中点，E是BC延长线上一点，且． (1)用向量、表示； (2)用向量、表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）根据平面向量线性运算法则计算可得； 【详解】（1）因为，所以为的中点，又是的中点， 所以。 （2）因为，所以为的中点，又是的中点， 所以 . 题型7 向量基本定理求参数 例1．（25-26高一下·上海·期中）如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点若，则=__________ 【答案】 【详解】在平行四边形中，，对角线交点是中点， 因此， 因为是的中点，所以， ， ，得，，因此. 例2．（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图1所示，在中，点在线段上，满足，点在线段上，满足，线段与线段交于点. (1)用和表示； (2)若，求实数； (3)如图2所示，过点的直线与边，分别交于点，，设，，，求的最大值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形中平行线的等比关系计算； （2）由（1）得，，列出方程组求解即可； （3）由题意可得，，列出方程组，从而可得，利用基本不等式求解即可； 【详解】（1）因为，则，由，得 ， 故. （2）由（1）得，因为三点共线，所以存在实数使得，所以，所以， 由，得 ， 又因为，所以，解得，， 综上所述，. （3）根据题意． 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 因为三点共线， 所以存在实数，使得， 所以， 所以，，化简得， 所以， 当且仅当且， 即，，时等号成立． 故的最大值为. 【技巧总结】 1.将目标向量统一写成同一组基底的线性形式 2.根据基底表示唯一性对应系数相等列出方程组 3.解方程组求出参数值多参数逐一对应求解 【变式训练7-1】（24-25高一下·上海·期中）在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点， ，则 _____. 【答案】 【分析】根据平面向量共线定理及加法的三角形法则得到向量的表达式，再由平面向量基本定理得到的值，即可求出的值. 【详解】 如图，在平行四边形中， 因为为边上靠近点的三等分点， 所以， 所以， 所以，即. 故答案为： 【变式训练7-2】（2026·上海·三模）如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则的值为____________． 【答案】 【详解】由共线，存在使 ， 由共线，存在使， 联立系数相等： ，解得：，， ， 由于，且在上，故设， 则， 结合得，解得． 题型8 三角形四心的向量表示 例1．（25-26高一下·上海·期中）在中，为内的一点．若为的重心，且，则__________． 【答案】1 【详解】设为边的中点，因为是三角形的重心，所以， ， ， ． 例2．（25-26高三·全国·一轮复习）设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 【答案】C 【详解】由题可得， 由于是的外心，设为线段的中点， 故且，即， 所以，同理，，故是的垂心． 故选：C. 【技巧总结】 1.重心（三条中线交点） ，中线结论（为中点） 2.垂心（三条高线交点） ，垂直关系 3.外心（三边中垂线交点） 4.内心（三条角平分线交点） （为三边对应边长） 【变式训练8-1】已知，角的对边分别为，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】由题可得 ，可得点在的角平分线上，同理点在的角平分线上，可得为的内心. 【详解】因为， ， ， 所以点在的角平分线上. 同理可得：点在的角平分线上. 所以点为的内心. 故选：B 【变式训练8-2】已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【答案】C 【分析】取中点为，根据向量的线性运算，以及共线定理，即可判断. 【详解】先设的中点为，则，      又因为， 而， 由三点共线的充要条件知三点共线， 则点的轨迹一定经过的重心. 故选：C． 题型9 向量的数量积计算 例1．（25-26高一下·上海·期中）在中，， 是上一点，，则________ 【答案】 【分析】先将，用表示出来，再利用向量运算法则及向量数量积的运算求解. 【详解】 ， ， . 例2．（25-26高一下·上海闵行·期中）在中，，则__________. 【答案】36 【分析】根据平面向量数量积的定义即可求解． 【详解】在中,， 所以． 【技巧总结】 1.套用定义公式明确模长与夹角 2.图形中求数量积先平移向量使起点重合找准夹角 【变式训练9-1】（2026·上海金山·二模）已知在中，．若点为外接圆的圆心，则__________． 【答案】 【分析】利用余弦定理求出，取的中点，连接，由点为外接圆的圆心，得到，利用向量的数量积的定义，结合在直角三角形中的余弦公式求出的值. 【详解】，， ， 取的中点，连接， 点为外接圆的圆心， ， . 【变式训练9-2】（25-26高三上·江苏南通·期中）在边长为的等边三角形中，，则________. 【答案】 【分析】先将用与表示出来，再根据向量数量积的运算律计算. 【详解】已知，因此， 又因为在三角形中，，所以： ， 等边三角形的边长为，因此，且与的夹角为， 则， ， 所以， 因此，. 故答案为：. 题型10 向量数量积的最值 例1．已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】首先根据向量的运算将转化为，然后观察几何图形求得的最大值与最小值，进而求解的取值范围. 【详解】如图，在等边中，为的中点，连接，取的中点并连接. ， 由于，，得：，， 因此可得：， 如图易知：由于为三角形内一点（包括边界）， 因此当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 当点与点或点重合时，取得最大值，最大值为， 综上可得：，即. 故答案为： 例2．如图，在中，，，为上的动点，且，则的取值范围为______．    【答案】 【分析】根据题意分别取的中点，由极化恒等式可得，分别讨论的最值情况，从而可求解. 【详解】如图，分别取的中点，则．    当点运动到点时取到最大值，此时， 由余弦定理解得， 此时， 当点都运动到的中点，即点与点重合时取到最小值，， 此时，所以． 故的取值范围为. 故答案为： 【技巧总结】 1.把目标式展开转化为含模长、夹角的表达式 2.结合定值利用求范围 3.动态向量问题结合几何轨迹分析夹角变化规律 4.多向量组合式优先利用转化分析 【变式训练10-1】如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据数量积的运算律及向量数量积定义计算求解. 【详解】如图，取的中点，， 而，所以． 故答案为： 【变式训练10-2】（24-25高二下·上海浦东新·期末）在中，，D在线段上（包括端点），则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据平面向量数量积运算律结合模长化简，结合二次函数值域计算求解. 【详解】设，其中， 因为，所以， 则 故答案为：. 题型11 数量积求夹角 例1．（25-26高一下·上海·期中）已知向量与的夹角为，求： (1)； (2)与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量数量积的运算律可求解； （2）由向量夹角公式可求解. 【详解】（1）由向量与的夹角为， 则； 由； （2）由， 则， . 例2．（25-26高一下·上海·期中）已知向量满足，则与的夹角为________. 【答案】 【分析】根据题意结合数量积的运算律可得，利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】因为， 所以，则， 因为，所以，即与的夹角为. 【技巧总结】 1.变形公式代入已知条件计算余弦值 2.向量夹角范围根据余弦值确定角度 3.图形类问题务必将两向量移至共起点再确定真实夹角 4.判定锐角、钝角算出余弦后额外排除共线同向、反向情况 【变式训练11-1】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知不共线的向量，，其中，，若，则与的夹角为______. 【答案】/ 【详解】因为，则，又，所以， 又，则，又，所以. 【变式训练11-2】（2026·上海松江·模拟预测）若都是单位向量，，则向量与的夹角大小为__________. 【答案】 【详解】都是单位向量，故，且， 设夹角为，， ， ， ， 又，故. 题型12 数量积求模长 例1．已知，，与的夹角为. (1)求； (2)若向量与相互垂直，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数量积的定义可得，再根据模长的平方关系结合数量积的运算律求解即可； （2）根据向量垂直可得，结合数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）因为，，， 则，所以. （2）若向量与相互垂直， 则，即，解得. 例2．（25-26高一下·上海·期中）已知，，且与的夹角， (1)求 (2)若与垂直，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量模长公式求解；（2）由已知得到，计算求解. 【详解】（1）由已知条件得， 则， 所以. （2）若与垂直，则， 即，即， 所以. 【技巧总结】 1.核心技巧模长平方转化为数量积 2.遇到先平方展开再代入数量积、模长计算 【变式训练12-1】（25-26高一上·上海·期中）已知平面向量满足，，且. (1)求 (2)求实数的取值范围，使得为锐角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数量积的运算律运算求解即可； （2）利用向量夹角为锐角时，数量积为正求解，注意检验向量共线情况即可. 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）当为锐角时， 则， 解得， 若共线时，则存在实数，使得， 即 ，由不共线可知，，解得， 即时，不满足为锐角， 所以实数的取值范围为. 【变式训练12-2】（25-26高一下·上海·期中）已知，则等于____ 【答案】 【详解】由，则， 因为，所以，解得， 于是，故. 题型13 投影与投影向量 例1．（25-26高一下·上海浦东新·期末）已知中，，，，则在方向上的数量投影为____________． 【答案】 【详解】在方向上的数量投影为. 例2．（2026·上海徐汇·二模）已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则__________. 【答案】 【详解】因为在方向上的投影向量是，且，所以 【技巧总结】 1.一个向量在另一向量上的投影公式结果为实数 2.区分投影（数量）与投影向量（向量）二者概念不同 3.根据夹角判断投影正负为锐角投影为正为钝角投影为负投影为0 【变式训练13-1】（25-26高三上·上海松江·期中）已知平面向量，，，向量在向量上的投影向量为，则______． 【答案】 【分析】根据投影向量的公式求出结果即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以. 所以. 故答案为：. 【变式训练13-2】（25-26高二上·上海·期中）在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则在方向上的数量投影的取值范围_____. 【答案】 【分析】设，，，由题意点A,B分别在两个圆上运动，作，由数量投影的定义，分为锐角、钝角时讨论，先固定点，移动点A，再固定点，移动点，由图可得取最值时的情况，由几何关系求解即可. 【详解】由题可设，，， 则可得在以为圆心，3为半径的圆上， B在以为圆心，1为半径的圆上， 如图所示，作，垂足为，当为锐角时，在方向上的数量投影为， 先固定点，移动点A，当变小时，变大，变大， 则当直线与圆相切时，最大； 再固定点，移动点，则当与圆N相切时最大； 此时，，，则， 作，垂足为，连接， 则， 故在方向上的数量投影最大为；    当为钝角时，在方向上的数量投影为， 则越大，数量投影越小， 先固定点，移动点A，当变大时，变小，数量投影变小， 则当直线与圆相切时，数量投影最小； 再固定点，移动点，当与圆N相切时最大，数量投影最小； 此时，，， 则， 作，垂足为， 则， 则在方向上的数量投影最小为. 故答案为：. 题型14 求数量积的模长与夹角最值 例1．（2026·上海·三模）已知平面向量，，满足，且对任意实数，有，则与夹角为，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】设，，将向量问题转化为坐标与二次函数恒成立问题，得到的约束条件，利用外角、内角的关系结合两角差的正切可求的最小值. 【详解】由题可设，，则， 对任意实数，有，故恒成立， 即对任意实数恒成立， 故，即，即或. 故在直线的上方（含边界）或在直线的下方， 由对称性不妨设在直线的上方（含边界），如图， 设与直线的交点为，因， 故与夹角即为的夹角，即， 而，当且仅当重合时等号成立，故， 设，当且，则， 当或时，，也符号上式， 故且， 故，所以，当且仅当时取最小值. 所以的最小值为. 例2．两个非零向量，，满足，则向量与向量夹角的余弦值的最小值为________． 【答案】/ 【分析】将两边同时平方得到，再利用向量夹角的余弦值公式，结合基本不等式即可求出最小值. 【详解】因为，两边平方得：， 即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以向量与向量夹角的余弦值的最小值为． 故答案为：. 【技巧总结】 1.先将目标表达式平方或展开转化为含的函数形式 2.利用结合函数单调性求取最值 3.利用基本不等式求最值 【变式训练14-1】（2023·上海崇明·二模）已知平面向量，满足：，，，，则的取值范围是_______. 【答案】 【分析】由及向量模长公式表示出，由数量积性质得到的范围，再根据向量模长公式及数量积性质求的取值范围. 【详解】由得，， 又，则， 因为，则， 即，解得， ，因为， 又，， 所以， 因为，所以. 【变式训练14-2】（25-26高一上·上海·期中）已知，，若存在满足且，则的最小值是__________. 【答案】 【分析】利用向量数量积的运算律计算可得，根据向量数量积的定义可得，不等式两边取平方计算得的范围，利用向量的模长公式结合数量积的运算律计算得，利用换元法计算可得其最小值. 【详解】由题意，， ， 设向量与向量的夹角为，则， ，， 则，即，，解得， ， 令，则， 设， 则， ， 所以当时， 的最小值为，即的最小值是. 题型15 向量数量积的综合应用 例1．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知在中，，是边的中点， (1)若，，，求； (2)若，的面积为，求的最小值； (3)若，，为线段上两点，且，，求的最大值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）根据向量的加法、减法运算表示出，再根据向量数量积求解即可. （2）根据三角形面积公式以及基本不等式求解即可. （3）根据向量的加法、减法运算表示出，再结合正弦、余弦定理以及向量数量积化简得到，再结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】（1）   ，. 因此. （2）设，则， 由面积. 因为，所以. 由基本不等式，当且仅当，故，即. （3）   ，，设， 由余弦定理得. 化简得， 由正弦定理得，， ，最大值为， 代入得最大值. 例2．（25-26高一下·上海·期末）如图所示，设是平面内相交成 角的两条数轴，分别是与轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 ， 则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为. (1)若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由； (2)设，若对恒成立，求的最大值. 【答案】(1)不正确，理由如下，因为，则， 又， 则， 若，则，则， 所以“”的充要条件是“”， 故“”的充要条件是“”是不正确的 (2). 【分析】(1)根据条件，利用向量数量积的运算得到，再利用，即可求解； (2)由，转化为对恒成立，求得，再由向量的夹角公式，得到，进而求得其最值，得到答案. 【详解】（1）略 （2）因为，则， ，，， 由，得，所以， 即对恒成立，又因为， 所以，解得， 因为，所以满足题意， 所以 ， 又因为，所以，所以的最大值为． 【技巧总结】 1.解题流程向量线性化简基底表示数量积运算 2.综合证明垂直直接证明两向量数量积为0 3.综合求范围、最值统一转化为三角函数或代数式求范围 4.结合三角形、平面几何先梳理几何关系再翻译为向量语言 【变式训练15-1】（25-26高一下·上海·阶段检测）已知正 边形 内接于单位圆 ，且满足 的顶点 恰有 个.若等腰直角 （为直角顶点） 的顶点 在圆 上，并考虑所有满足要求的正 边形与等腰直角 ，则 的最大值为 ______. 【答案】 【分析】题意条件可转化为的顶点的个数仅3个，可先根据向量模长公式得出向量夹角的范围，利用正n边形的性质可得，即，再利用向量加法将转化为，进而利用等腰直角三角形与圆的性质，结合三角函数辅助角公式求最值即可. 【详解】由题知正n边形顶点为，设和夹角为， 由题意可得，满足的顶点仅3个， 不等式两边平方可得， 因为正n边形内接于单位圆O， 所以，且， 所以，则，故， 故满足条件的顶点只能为这三个， 所以有，解得，故； 所以. 下面求的最大值. 如图，由等腰直角三角形中，取中点，连接， 则，，故三点共线，设， 则，， 所以，当时，等号成立， 故， 且当时，取到最大值. 【变式训练15-2】（25-26高一下·上海·期中）在中，，，，则（ ） A． B．的面积为12 C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理解出的长，确定为直角三角形，结合向量的模长及数量积运算公式即可求解. 【详解】由余弦定理得， 解得，因为，所以为直角三角形，， 对于A，可得，故A错误； 对于B，可得，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D， ，故D错误. 一、单选题 1．（25-26高一下·上海·期中）设都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立的有（    ）个 ①②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】由都是非零向量，，得， 而，因此向量共线，且方向相反， 对于①，由，得向量共线，且方向相同，故①不能使其成立； 对于②，由，得向量共线，方向可以相同或相反，故②不一定能使其成立； 对于③，由，得向量共线，且方向相反，故③一定能使其成立； 对于④，由，得向量的夹角为，两向量不共线，故④不能使其成立， 所以一定能使成立的只有③. 2．（24-25高一下·上海·期中）已知为单位向量，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量模的定义即可判断A；根据零向量的概念即可判断B；根据平面向量的加减法运算即可判断CD． 【详解】对于A，由平面向量模的定义知，故A错误； 对于B，根据零向量和任一向量平行，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误； 故选：B． 3．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知均为非零向量，且向量在同一起点上．则它们的终点（    ） A．在同一条直线上 B．构成一个三角形 C．有两个向量的终点重合 D．不确定 【答案】A 【分析】，则由共线向量定理可得三点共线即可. 【详解】设的起点为，， 所以， 所以， 所以三点共线， 即向量在同一起点上，则它们的终点在同一条直线上. 故选：A. 4．（25-26高一下·上海·期中）O是在所在平面上一点，存在实数x、y、z满足，，，则点O是的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【详解】因为分别表示与同方向的单位向量，如图，不妨分别记为， 故以为两邻边的平行四边形为菱形，则平分， 因，可知O点落在的平分线上； 同理由，可知O点也落在的平分线上， 故点O是三条角平分线的交点，即三角形的内心. 5．（25-26高一下·上海·期中）已知不共线的向量、，则“为锐角”是“”的（      ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为不共线的向量、，且， 即在、不共线时，为锐角， 故为锐角的充要条件. 二、填空题 6．（25-26高一下·上海·期中）若，，则_________. 【答案】 【详解】因为，，所以. 7．（25-26高一下·上海·期中）若，则_____(用表示)； 【答案】 【详解】. 8．（25-26高一下·上海·阶段检测）若向量满足，且与的夹角为，则 ________. 【答案】 【分析】先利用向量数量积定义求出，再展开向量点积表达式，代入已知模长与数量积的值计算结果. 【详解】由向量数量积定义，得. . 9．（25-26高一下·上海·期中）如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过的直线与边分别交于点，设，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】首先利用向量的线性运算把用表示，然后利用三点共线得到的关系，最后利用基本不等式中“1”的代换即可求解. 【详解】由，得，因此： ， 因为是中点，所以： ， 已知，，代入得： ， 因为三点共线，根据向量共线性质，系数和为， 即 ， ， 当且仅当结合，即，时取等号. 所以的最小值为. 10．（25-26高一下·上海黄浦·期中）已知、是两个不平行的向量，，且、、三点共线，则_________． 【答案】8 【分析】利用共线定理和平面向量基本定理即可求解. 【详解】因为，所以， 又、、三点共线，所以存在，使得，即， 因为、是两个不平行的向量，所以，解得. 11．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知在中，是线段上一点满足，连接，在线段上，若，则________． 【答案】 【详解】    由题意得，故，又三点共线， 所以. 12．（25-26高一下·上海徐汇·阶段检测）已知向量满足，在上的数量投影为，则的最小值为________． 【答案】 【分析】利用向量投影的定义求出，再通过模长平方将问题转化为关于的函数，结合投影的取值范围确定的最小值，进而求得的最小值. 【详解】设向量与的夹角为，由在上的数量投影为，得. 已知，则. ， 由，得. 因，故，当且仅当（即与反向）时，取得最小值. 将代入：， 故，即的最小值为. 13．（2026·上海黄浦·三模）在中，，，则在上的数量投影的取值范围为________． 【答案】 【分析】确定点的位置，建立平面直角坐标系，根据正弦定理及投影的定义计算求解. 【详解】由正弦定理可得（为外接圆半径） 所以的外接圆半径， 所以点在为弦，圆周角为的两段圆弧上运动，如图所示， 以点为坐标原点，为轴，过点垂直的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则外接圆的圆心在直线上，因为半径， 所以圆心坐标为， 根据对称性，只讨论圆心为这种情况即可， 由向量投影的定义可知 ，当点为直线与外接圆的交点时，投影取得最值， 即或， 结合图形可知，当时，在上的数量投影有最小值，最小值为， 当时，在上的数量投影有最大值，最大值为， 所以在上的数量投影的取值范围为. 14．（25-26高一下·上海·期中）已知，，，则在方向上的投影向量为_________. 【答案】 和 【详解】因为，因此. 向量夹角，由得， 在方向上的投影为. 方向单位向量为，因此投影向量为和. 15．（25-26高一下·上海·期中）已知中，，，，，为外心，则_________. 【答案】 【详解】取中点，因为是外心，故，对分解得， 因此 ， 由得，又， 故， 同理可得， 所以. 16．（24-25高三下·上海·阶段检测）在中，在边上（与不重合），延长到，使得，若（为常数），则的长度是________． 【答案】1或3； 【分析】设 ，结合和共线定理的推论求出参数即可求出的长度，再由结合余弦定理即可求解. 【详解】设 ，则由题， 因为三点共线，所以， 所以，则由得， 因为，所以， 设，则，    因为，所以， 所以，所以， 化简得或，即或3. 故答案为：1或3. 17．（25-26高一下·上海·阶段检测）在中，点在线段上，且，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】由题意可得，，， 则, 等号成立时，即， 故的最小值为. 18．（25-26高一下·上海·期中）已知四边形中，，点在四边形的四条边上运动，则的最小值是________ 【答案】 【分析】由题意分析可知四边形关于直线对称，且，只需考虑点在边、上运动情况即可，然后分类讨论求出的最小值. 【详解】如图所示，因为，且，可知垂直且平分， 则为等腰三角形，又，所以为等边三角形. 则四边形关于直线对称，故点在四边形的四条边上运动时，只需考虑点在边上的运动情况即可， 因为，易知，即，则， ①当点在边上运动时，设， 则， 所以，当时，的最小值为； ②当点在边上运动时，设， 则， 所以，当时，的最小值为； 综上，的最小值为， 19．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知在中， ，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】利用向量的平方求模，借助二次函数求最小值，然后可求得角，再由余弦定理求边，由正弦定理求角，再进行向量的数量积运算可求得最小值. 【详解】设，对平方得： ， 由于, ，所以当时，取到最小值， 即， 因为，所以， 由余弦定理可得：， 取中点为，则， 因为为边上任意一点，则的最小值为点到的距离， 再由正弦定理可得：， 所以，即的最小值为. 20．（24-25高一下·上海宝山·阶段检测）中，，当时，的最小值为，则______. 【答案】 【分析】若，，且与关于对称，即，将条件化为最小值为，应用余弦定理、二倍角余弦公式求得，即可求边长. 【详解】若，，则， 所以 ， 若与关于对称，即，则， 当共线时，最小为， 如上图，由，，，则 ， 由，且为锐角，故， 所以. 故答案为： 三、解答题 21．（25-26高一下·上海·期中）如图，在梯形中，，且，设，． (1)若点满足，且三点共线，求实数的值． (2)若，，，且点是线段上的动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量的线性运算，结合平面向量基本定理求解即可； （2）利用线性运算表示出目标式，结合数量积求解可得. 【详解】（1）因为，，三点共线，所以， 因为，，所以， 又 ， 所以， 所以，解得． （2）因为点E是线段AC上的动点，设， 因为， 所以， 所以，， 所以 ， 故当时，取到最小值． 22．（25-26高一下·上海奉贤·期中）如图所示，在中，在线段上，满足，是线段的中点，过点的直线与线段，分别交于点，，设，． (1)当时，请用与表示； (2)求证：为定值； (3)设的面积为，的面积为，求的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】小问（1）将用与表示，再找到与，与的关系即可；小问（2）将用与表示，用共线的性质求证；小问（3）求出两个三角形的面积，运用小问（2）的定值求出的最小值. 【详解】（1）由可知为的三等分点， ． ， ， ，即，． ． 为中点，且E，O，F共线， ，则, ，解得． ． （2），． ，， 是的中点， ． ． ，，三点共线， ． 整理得，即． 为定值3． （3）． 由（2）知， ． 令，则， ，，． ． ， 当时，分母取最大值． 的最小值为． 23．（25-26高一下·上海黄浦·期中）已知． (1)求与的夹角大小； (2)求在方向上的投影与数量投影． 【答案】(1)； (2)投影为，数量投影为. 【分析】（1）根据数量积的运算律求得，然后根据夹角公式计算即可； （2）根据投影和数量投影的概念计算即可. 【详解】（1）由题可知， 所以， 则，， 又，所以夹角为. （2）在上的投影为. 在上的数量投影为. 24．（25-26高一下·上海青浦·期中）如图，在中，，，，且，. (1)若，求的值： (2)若向量与向量平行，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理，求得,得到，再由，结合向量数量积的运算律，即可求解； （2）根据题意，求得，结合向量与向量平行，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：在中，，， 由余弦定理得, 可得， 当时，可得，所以， 则， 所以. （2）解：因为，且，， 可得，所以， 又因为向量与向量平行， 所以，可得，即. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $