专题04 函数y=Asin(wx+φ)的图像与正切函数图像和性质（14大题型归纳）（暑假复习讲义）新高二数学沪教版

专题04 函数y=Asin(wx+φ)的图像与正切函数图像和性质 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 描述正（余）弦函数图像的变换过程 题型8 求正切型函数的定义域与值域 题型2 函数y=Asin(wx+φ)的物理意义 题型9 求正切型函数的单调性 题型3 由正（余）弦函数的图像求解析式 题型10 求正切型函数的奇偶性 题型4 结合三角函数的图像变换求三角函数的性质 题型11 求正切型函数的对称性 题型5 正（余）弦型三角函数图像的综合性质 题型12 由正切型函数的性质求参数 题型6 函数y=Asin(wx+φ)的图像的实际应用 题型13 求正切型函数的最值 题型7 正切函数图像及其应用 题型14 正切型函数的综合应用 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 考点1函数中参数的几何意义 常以选择填空形式单独考查参数与图像特征的对应关系或在综合题中作为基础分析步骤考查参数对周期最值相位的影响 考点2函数的图像平移与伸缩变换 高频易错题型常以多步复合变换命题设置顺序陷阱考查对变换本质的理解客观题为主难度中等 考点3由函数的图像求解析式 高考核心高频考点选择填空解答题均有考查融合图像特征与代数运算区分度较强 考点4用五点法作函数的图像 基础考查题型常作为解答题第一步出现或在客观题中考查关键点坐标识别难度偏低 考点5函数的对称性与周期性 常与参数求解结合命题通过对称条件反推的值客观题为主考查数形结合思想 考点6正切函数的图像特征识别 基础识图题型常与正弦余弦函数图像对比考查以选择填空形式为主难度偏低 考点7正切函数的定义域与值域 高频基础考点常直接考查定义域求解或在单调区间参数题中隐含定义域限制易设置陷阱 考点8正切函数的周期性 常与正弦余弦型函数周期对比考查客观题为主或结合周期反求参数难度中等 考点9正切函数的奇偶性与对称性 常与单调性参数求解结合命题客观题为主考查利用对称性质分析函数特征 考点10正切函数的单调性 核心易错考点常考查单调区间求解利用单调性比较正切值大小或由单调区间求参数客观题解答题均有涉及难度中等偏上 考点11正切型函数的综合应用 高考中档题型常结合参数设置综合问题考查定义域限制单调性分析与数形结合思想区分度较强 考情解码： 1参数几何意义与图像变换是高频易错点命题常设置先平移后伸缩先伸缩后平移的辨析陷阱多数学生易混淆平移单位复习需吃透变换本质不机械记口诀结合坐标变化理解规则 2五点作图与由图像求解析式属于核心必考内容五点法多作为解答题作图步骤或客观题识图考点难度偏低由图像求参数是高频拉分题型解题需遵循最值定周期定关键点/对称特征定的固定流程注意的范围取舍 3正余弦型函数的周期对称性质常结合参数综合命题单独考查基础结论题目较少多将对称周期作为条件反求参数解题需熟练掌握对称轴对称中心对应的等式关系规范书写 4正切函数是本模块重难点定义域限制是贯穿所有题型的隐含陷阱求解单调区间分析函数性质求参数时必须优先考虑定义域考生易忽略导致解题失误 5正切函数单调性考查形式灵活仅存在递增区间无递减区间不能将多个单调区间合并书写考题常结合比较函数值大小区间范围含参问题综合设问难度中等偏上 6周期性考查会将正余弦型函数与正切型函数对比命题三类函数周期公式不同需区分与的适用场景计算周期务必保留绝对值 7奇偶性对称性多为组合型考点极少单独出题常与单调性周期性联立考查正切函数对称中心结论易记混需结合图像强化记忆 8综合题型以数形结合为核心思想先由图像推导函数解析式再逐层分析各类性质前后设问关联 知识点一 函数的图像变换 函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤 两种变换的差异 先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的． 【解题方法点拨】 1．一个技巧 列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标． 2．两个区别 （1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A． （2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值． 【易错提醒】 （1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象 （2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数 （3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ| 即时即练 1.（25-26高一下·上海·阶段检测）只需要把函数的图象（   ），即可得到函数的图象. A．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 B．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 C．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度 D．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度 2.（25-26高一下·上海·期中）把函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则的值为____________． 知识点二 五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象 1．五点法作y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的简图 找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点．其步骤为： （1）先确定周期T，在一个周期内作出图象； （2）令X＝ωx+φ，令X分别取0，，π，，2π，求出对应的x值，列表如下： x ωx+φ 0 π 2π y＝Asin（ωx+φ） 0 A 0 ﹣A 0 由此可得五个关键点； （3）描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到y＝Asin（ωx+φ）的简图． 【易错警示】 1.换元后记错对应的五个基准值 2.由反解时运算出错导致关键点横坐标计算偏差 即时即练 1.（23-24高二下·上海静安·期中）用“五点法”作出函数在一个周期内的图像. 2.当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 知识点三 由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 根据图象确定解析式的方法： 在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A，k，ω由周期T确定，即由T求出，φ由特殊点确定 【易错警示】 1.计算周期出错进而导致求解错误 2.利用关键点求时不结合题目给定角度范围出现多解未取舍 3.误用对称点零点列方程混淆对称轴与对称中心对应的函数取值 4.忽略图像整体趋势选取错误的特征点代入计算参数 即时即练 1.（25-26高一下·上海·期中）已知函数，（，，）在同一周期内，当时，取得最大值，当时，取得最小值，则该函数的解析式为___________． 2.（25-26高一下·上海·期中）函数的部分图像如图所示，则其解析式是______． 知识点四 y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义 当函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，x∈[0，+∞））表示一个简谐振动时，则A叫做振幅，T叫做周期，f叫做频率，ωx+φ叫做相位，x＝0时的相位φ叫做初相． 【易错警示】 1.误将理解为影响左右平移分不清与的作用 2.错误认为周期与相关忽略周期仅由决定 即时即练 1.（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的振幅、频率和初始相位. 2.（23-24高一·上海·课堂例题）已知函数（，）的振幅是3，最小正周期是，初始相位是.求这个函数的表达式. 知识点五 函数（，）的图像性质 函数y= 函数 的图象变换 函数 的图象性质 函数 定义域 值域 ⑦_________ 最值 由，解得 由，解得 最小正周期 ⑧_________ 奇偶性 当⑨_________，且时，函数为奇函数； 当⑩_________时，函数为偶函数 单调性 当时，函数⑪_单调递增________ 当时，函数⑫单调递减_________ 对称性 由解得对称轴；由解得对称中心横坐标，对称中心纵坐标为⑬_B________ 【易错警示】 1.求限定区间内最值值域时直接套用全域范围未分析的取值范围 2.混淆对称轴与对称中心的表达式记错两类位置对应的等式关系 即时即练 1.已知函数，若的图象关于点对称，且直线与函数的图象的两个交点之间的最短距离为，则下列四个结论中错误的是（　　） A．的最小正周期为 B．的单调递减区间是， C．的图象关于直线对称 D．的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数 2.（24-25高一下·上海徐汇·阶段检测）函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论中正确的是（    ） ①的一个周期为；②的图象关于对称； ③是的一个零点；④在单调递减. A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 知识点六 正切函数的图象 （1）在以原点为圆心的单位圆中，角对应的终边与过的直线的交点的纵坐标为_____，从而可在坐标系中得到函数图象上的点. （2）我们可以利用信息计算结合（1）可得图象. （3）利用正切函数的周期性和奇偶性可得得到正切函数的图象，该图象称为_正切___曲线. 【易错警示】 1.忽略渐近线作图时跨越间断区间图像连续绘制 2.混淆正切函数与正余弦函数的五点特征套用错误描点方法 即时即练 1.（25-26高一下·上海·阶段检测）已知函数 ， 和函数的图像交于 三点，则 的面积为 ______. 2.作出函数的图象. 知识点七 函数的图像与性质 解析式 图像 定义域 值域 最小正周期 _________ 奇偶性 _奇__函数 单调性 在每一个区间__（）_________上都单调递增 对称性 对称中心__（）_________ 【易错警示】 1.解题全程忽略定义域单调区间求值求参数均出现疏漏 2.记错周期公式套用正余弦周期计算正确最小正周期为 3.混淆对称中心误记为只包含遗漏 4.比较正切值大小时未将角度转化到同一单调区间直接比较自变量大小 即时即练 1.（24-25高三上·上海·开学考试）函数的单调减区间是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 2.函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ）    A． B． C． D． 题型1 描述正（余）弦函数图像的变换过程 例1．（24-25高二上·上海·阶段检测）把函数的图像经过变换得到图像，这个变换是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 例2．（24-25高一上·上海·课后作业）要得到函数的图象，只需将函数的图象向__________平移__________个单位. 【技巧总结】 1.明确变换起点与终点函数区分从/到目标函数的变换方向 2.两类主流变换顺序先平移后伸缩先伸缩后平移严格区分平移长度 3.平移遵循左加右减规则仅对自变量操作伸缩变换改变系数不改变相位数值 4.描述过程按顺序书写依次说明平移方向单位横向/纵向伸缩倍数条理清晰 5.多个变换叠加时分步拆解避免变换顺序混乱导致出错 【变式训练1-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）函数的图象是由函数的图象通过怎样的变换得到的？ 【变式训练1-2】（23-24高一下·上海嘉定·期中）函数是由（    ）得到的 A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向右平移 题型2 函数的物理意义 例1．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的振幅是2，最小正周期是，初始相位是： (1)求的值 (2)求函数的表达式． 例2．（24-25高一下·上海黄浦·期末）函数的初始相位是______． 【技巧总结】 1.明确各参数对应物理量为振幅代表振动最大偏离量 2.为角频率结合周期公式求周期求频率 3.为初相决定初始位置与初始状态 【变式训练2-1】（24-25高一下·上海·阶段检测）函数的频率与初始相位之差为_______ 【变式训练2-2】（24-25高一下·上海·期中）函数的频率为________． 题型3 由正（余）弦函数的图像求解析式 例1．（25-26高一下·上海·期中）已知函数的一部分图象如图所示，如果，，． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的最大值与最小值，并写出对应的值． 例2．（25-26高一下·上海·期中）已知（，），函数的部分图象如图所示，则函数的最小正周期为________． 【技巧总结】 1.定振幅由图像最高点最低点纵坐标计算 2.定由相邻最值点零点对称点间距求出周期再由计算 3.定初相利用五点法关键点对称轴对称中心代入解析式求解 4.结合题目给定角度范围对多解进行取舍 5.正弦型余弦型函数可借助诱导公式互相转化择优选择求解形式 【变式训练3-1】（2026·上海宝山·三模）如图为函数的局部图象，其中为函数的一个最高点，为函数与轴的一个交点，则的值为________. 【变式训练3-2】（25-26高一下·上海杨浦·期中）已知，函数的部分图像如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调减区间； (3)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围． 题型4 结合三角函数的图像变换求三角函数的性质 例1．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知函数的一段图象如图所示，若将图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则___________． 例2．（24-25高一下·上海·阶段检测）已知定义域为的函数的解析式为． (1)求函数的最小正周期； (2)已知方程在区间有两个不同的实数解，求实数的取值范围； (3)将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．函数的解析式为，，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【技巧总结】 1.先根据图像变换规则写出变换后完整函数解析式 2.整体换元令将复合函数转化为基础正（余）弦函数 3.依托基础函数结论依次求解单调区间周期奇偶性对称最值等性质 4.变换过程中参数发生改变重点关注对周期单调性的影响 5.数形结合对照变换前后图像特征辅助验证性质结果 【变式训练4-1】已知函数． (1)求函数在R上的单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若实数满足，求的最小值． 【变式训练4-2】已知函数的对称中心到对称轴的最小距离为，将的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称，且关于函数有下列四种说法： ①是的一个对称轴；②是的一个对称中心； ③在上单调递增；④若，则，． 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型5 正（余）弦型三角函数图像的综合性质 例1．（25-26高一下·上海杨浦·期中）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象．若这两个函数图象的相邻三个交点恰好形成正三角形，则__________． 例2．（23-24高一下·上海·期末）设函数在上恰有两个零点，则__________. 【技巧总结】 1.通用解题思路整体换元把当作整体分析 2.周期性直接套用公式与无关 3.单调性结合基础函数单调区间列不等式求解自变量范围标注 4.对称性最值处对应对称轴函数零点对应对称中心列方程求解 5.值域与最值先确定整体角范围再结合正（余）弦函数有界性求解 6.奇偶性优先判断定义域再根据取值判定类型 【变式训练5-1】（24-25高一下·上海徐汇·期中）已知函数 的最小正周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像. (1)求函数与的解析式； (2)当，求实数与正整数，使在恰有个零点． 【变式训练5-2】（2022·上海浦东新·二模）将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，设为以上两个函数图像不共线的三个交点，则的面积不可能为（    ） A． B． C． D． 题型6 函数的图像的实际应用 例1．（25-26高一下·上海·阶段检测）摩天轮因节奏舒缓浪漫治愈，寓意圆满幸福，老少皆宜还氛围感十足，深受众人喜爱.国内已建成运营的最大摩天轮是南昌之星，其设置有60个座舱，并在轮面装饰彩灯，当灯全部亮起时可以显示一座巨型彩色时钟.该摩天轮最高点距离地面高度160米，转盘直径为153米，其示意图如图所示（座舱相对于摩天轮来说大小可忽略，因此未在图中画出）.摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，匀速旋转一周需要30分钟.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，旋转一圈后下舱.已知小朱比小毛提前5分钟进入座舱，在小朱运行一周的过程中，设小朱坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米. (1)求关于的表达式； (2)当小朱和小毛距离地面高度相同时，求的值； (3)设，当时，这两人距离地面的高度差恰有1次取到最大值，求的取值范围. 例2．（25-26高一下·上海青浦·期中）青浦高级中学在学校嘉年华主题活动中，计划将如图所示的扇形空地分隔成三部分分别作为团队游戏区、运动区及签到区.已知扇形的半径为60米，，动点在扇形的弧上（不包含端点）.点在半径上，且. (1)当米时，求团队游戏区的面积； (2)综合考虑到运动的安全性等原因，希望运动区的面积尽可能的大，求该区的面积的最大值. 【技巧总结】 1.提取题干数据对应图像最值求周期求初始状态求建立函数模型 2.将实际问题中的变量对应解析式中的明确变量实际意义 3.利用函数性质求解实际问题如计算特定时刻数值变化范围周期时长等 4.结合实际场景取舍解舍去不符合现实意义的结果 【变式训练6-1】（25-26高一下·上海嘉定·阶段检测）如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数． (1)写出这段时间的最大温差（单位：℃）； (2)若，，，．试确定常数A、、、b的值． 【变式训练6-2】（25-26高一下·上海·期中）如图为一个公路隧道，隧道口截面为的正弦曲线，已知隧道跨径为，最高点离地面，若设正弦曲线的左端为原点． (1)试求出该正弦曲线的函数表达式； (2)如果隧道设计为双车道，路面总宽度为，为确保车辆安全通行，则车辆的限高应为多少？ 题型7 正切函数图像及其应用 例1．设定义在区间上的函数的图象与的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线与函数的图象交于点，则线段的长为______． 例2．利用三角函数图象，求出中的取值范围（    ） A．， B．， C． D．， 【技巧总结】 1.作图识图牢记定义域存在垂直渐近线单周期内单调递增 2.利用图像走势渐近线位置判断自变量取值范围 3.借助图像单调性比较多个正切值大小先统一转化到同一单调区间 4.结合图像对称特征分析零点对称中心相关问题 5.图像平移伸缩变换参照三角函数通用规则始终优先兼顾定义域限制 【变式训练7-1】（2023·上海普陀·一模）函数在区间上的零点为______． 【变式训练7-2】（24-51高一下·上海奉贤·期中）已知函数和函数的图像交于、、三点，则的面积为____． 题型8 求正切型函数的定义域与值域 例1．（2026·上海杨浦·模拟预测）函数的定义域为__________． 例2．在上，函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【技巧总结】 1.定义域令内层解不等式得到取值范围 2.值域正切函数本身值域为正切型函数值域同样为全体实数无最大最小值 3.限定自变量区间时先求内层整体角范围结合图像判断函数取值范围 【变式训练8-1】（23-24高一下·上海·期中）关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（ ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 【变式训练8-2】（24-25高一下·上海徐汇·期中）函数的值域是________ 题型9 求正切型函数的单调性 例1．（25-26高一下·上海·期中）函数的严格增区间为________. 例2．（24-25高三上·上海·开学考试）函数的单调减区间是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【技巧总结】 1.统一变形若先用诱导公式转化为的标准形式 2.整体换元令套用单调区间列不等式 3.解不等式求出范围多个单调区间分开书写禁止使用并集符号 【变式训练9-1】（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的定义域，并写出其单调区间． 【变式训练9-2】（24-25高二·上海·暑假作业）求下列函数的单调区间： (1) ； (2). 题型10 求正切型函数的奇偶性 例1．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知函数，且，则________． 例2．（2025高三·上海·专题练习）已知函数是上的奇函数，则__________． 【技巧总结】 1.第一步判断定义域定义域不关于原点对称直接判定为非奇非偶函数 2.定义域对称时利用与的关系结合判断 3.为奇函数满足图像过原点 【变式训练10-1】（25-26高一下·上海·期中）已知，若，则__________． 【变式训练10-2】函数的图象大致是(    ) A． B． C． D． 题型11 求正切型函数的对称性 例1．（22-23高一下·上海嘉定·期中）下列关于函数的说法：①在区间上为严格增函数；②最小正周期为；③图像的对称中心为.其中正确的说法是______.（只填写正确说法的序号） 例2．已知点是函数的图象的一个对称中心，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【技巧总结】 1.整体换元令结合对称中心结论解题 2.正切函数对称中心为列方程求解对应的值 3.正切函数无对称轴切勿套用正余弦函数对称轴解题思路 【变式训练11-1】若点为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练11-2】已知点 是函数 的图象的一个对称中心，则 的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型12 由正切型函数的性质求参数 例1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数在上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2．（2023·上海普陀·一模）若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为______. 【技巧总结】 1.由定义域求参数根据的限制条件列方程 2.由周期求参数套用公式建立等式求解 3.由单调性求参数结合单调区间包含关系列出参数不等式组 4.由奇偶性对称性求参数对应性质结论列方程求解 【变式训练12-1】（25-26高一下·上海·期中）设，，函数，且，若在区间上恰有3次使得函数的值能取遍区间内的所有值，则的取值范围为______. 【变式训练12-2】（2025·上海普陀·一模）在中，内角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)设，，函数的表达式为，且，若在区间上恰有3次使得函数的值能取遍区间内的所有值，求的取值范围． 题型13 求正切型函数的最值 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数，的最大值和最小值，并指出使其取得最大值和最小值时所有的值． 例2．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值、最小值，并求函数取得最大值或最小值时自变量x的集合. 【技巧总结】 （1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域） （2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值） （3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解 【变式训练13-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数，的值域. 【变式训练13-2】已知为钝角，则的最大值为______． 题型14 正切型函数的综合应用 例1．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知，其中. (1)若，求函数的最小正周期及严格增区间； (2)若关于的方程在上至少存在2026个解，且的最小值不小于2026，求的取值范围. 例2．（24-25高一下·上海·期中）已知函数． (1)若，求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； (3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 【技巧总结】 1.解题顺序先确定函数解析式再求解定义域周期单调区间等基础性质 2.遇复合型函数坚持整体换元法简化运算 3.多条件问题逐一拆解定义域为首要限制条件贯穿整道题目 4.比较大小解不等式类问题结合图像与单调性综合分析 5.含参综合题分类讨论参数取值结合区间性质限定参数范围 【变式训练14-1】（25-26高一下·上海·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是的一个周期 B．在上不单调 C．时， D．图像既有对称轴又有对称中心 【变式训练14-2】（25-26高三上·上海·期中）已知，不等式在中的整数解有个．关于的个数，以下可能的结果是（　　） A．334 B．338 C．678 D．1012 一、单选题 1．（25-26高一下·上海嘉定·阶段检测）记的定义域为D，集合，若，则t的取值可能是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·上海·期中）下列函数中，最小正周期为的是（      ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·上海闵行·期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．直线是图象的一条对称轴 C．图象的对称中心为 D． 4．（25-26高一下·上海·期中）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，，且图中阴影部分的面积为，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·上海普陀·期中）已知，，，函数的部分图象如图所示，则该函数的表达式是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·上海·阶段检测）将函数的图象向上平移1个单位，得到函数的图象，若且，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·上海徐汇·阶段检测）若直线是函数图像的对称轴，且在上无最值，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D．或 8．（25-26高一下·上海杨浦·期中）已知函数 在区间 上有且仅有 3 个零点．给出下面两个说法： ①函数 在区间 上单调递增； ② 将 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，则其在区间 上有且仅有 2 条对称轴． 下列判断正确的是（    ） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 二、概念填空 9．（25-26高一下·上海·期中）函数的单调增区间是_______________. 三、填空题 10．（25-26高一下·上海静安·期中）函数的零点为________． 11．（25-26高一下·上海·期中）函数的最小正周期为___________ . 12．（24-25高一下·上海·期中）函数 的频率为 ______． 13．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的最小正周期为4，则实数的值是________． 14．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的图像向左平移（）个单位长度后关于原点对称，则的最小值是________． 15．（25-26高一下·上海·期中）函数，如图，则___________. 16．（25-26高一下·上海黄浦·期中）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是__________. 17．（25-26高一下·上海松江·期中）已知函数的部分图象如下图所示，则______. 18．（25-26高一下·上海松江·期中）游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟.如图2，设座舱距离地面最近的位置为点P.坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感，游客能感受这个过程的时长为_____（分钟）. 19．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知函数 在上有两个最值点，则的取值范围为__________． 20．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知，不等式在中的整数解有个，则所有取值的集合为_________ 21．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知函数（）的最小正周期为，若方程在区间上恰有一个解，则的取值范围是__________． 四、解答题 22．（25-26高一下·上海·期中）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式及严格减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：.试确定的值，并求的值. 23．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)分别求在上的严格递增区间、对称中心、最大值，及取得最大值时x的值； (3)把曲线向左平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到曲线，试问当，时，，，能否作为的三边长？若能，请给出证明，若不能，请说明理由． 24．（25-26高一下·上海·期中）已知函数图像上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点坐标为,将函数的图像向右平移个单位得到曲线C，把曲线C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作. (1)求函数的解析式，并写出函数单调递减区间； (2)求函数的最小值； (3)若函数 在内恰有6个零点，求的值. 25．（25-26高一下·上海浦东新·期末）已知函数，其中（）． (1)求函数的振幅和初相； (2)若，且，求的最小正周期和对称轴方程． 26．（25-26高一下·上海·期中）已知． (1)求函数的单调减区间； (2)求函数在区间上的最大值和最小值； (3)说明函数的图象由图象怎么变换而来． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数y=Asin(wx+φ)的图像与正切函数图像和性质 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 描述正（余）弦函数图像的变换过程 题型8 求正切型函数的定义域与值域 题型2 函数y=Asin(wx+φ)的物理意义 题型9 求正切型函数的单调性 题型3 由正（余）弦函数的图像求解析式 题型10 求正切型函数的奇偶性 题型4 结合三角函数的图像变换求三角函数的性质 题型11 求正切型函数的对称性 题型5 正（余）弦型三角函数图像的综合性质 题型12 由正切型函数的性质求参数 题型6 函数y=Asin(wx+φ)的图像的实际应用 题型13 求正切型函数的最值 题型7 正切函数图像及其应用 题型14 正切型函数的综合应用 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 考点1函数中参数的几何意义 常以选择填空形式单独考查参数与图像特征的对应关系或在综合题中作为基础分析步骤考查参数对周期最值相位的影响 考点2函数的图像平移与伸缩变换 高频易错题型常以多步复合变换命题设置顺序陷阱考查对变换本质的理解客观题为主难度中等 考点3由函数的图像求解析式 高考核心高频考点选择填空解答题均有考查融合图像特征与代数运算区分度较强 考点4用五点法作函数的图像 基础考查题型常作为解答题第一步出现或在客观题中考查关键点坐标识别难度偏低 考点5函数的对称性与周期性 常与参数求解结合命题通过对称条件反推的值客观题为主考查数形结合思想 考点6正切函数的图像特征识别 基础识图题型常与正弦余弦函数图像对比考查以选择填空形式为主难度偏低 考点7正切函数的定义域与值域 高频基础考点常直接考查定义域求解或在单调区间参数题中隐含定义域限制易设置陷阱 考点8正切函数的周期性 常与正弦余弦型函数周期对比考查客观题为主或结合周期反求参数难度中等 考点9正切函数的奇偶性与对称性 常与单调性参数求解结合命题客观题为主考查利用对称性质分析函数特征 考点10正切函数的单调性 核心易错考点常考查单调区间求解利用单调性比较正切值大小或由单调区间求参数客观题解答题均有涉及难度中等偏上 考点11正切型函数的综合应用 高考中档题型常结合参数设置综合问题考查定义域限制单调性分析与数形结合思想区分度较强 考情解码： 1参数几何意义与图像变换是高频易错点命题常设置先平移后伸缩先伸缩后平移的辨析陷阱多数学生易混淆平移单位复习需吃透变换本质不机械记口诀结合坐标变化理解规则 2五点作图与由图像求解析式属于核心必考内容五点法多作为解答题作图步骤或客观题识图考点难度偏低由图像求参数是高频拉分题型解题需遵循最值定周期定关键点/对称特征定的固定流程注意的范围取舍 3正余弦型函数的周期对称性质常结合参数综合命题单独考查基础结论题目较少多将对称周期作为条件反求参数解题需熟练掌握对称轴对称中心对应的等式关系规范书写 4正切函数是本模块重难点定义域限制是贯穿所有题型的隐含陷阱求解单调区间分析函数性质求参数时必须优先考虑定义域考生易忽略导致解题失误 5正切函数单调性考查形式灵活仅存在递增区间无递减区间不能将多个单调区间合并书写考题常结合比较函数值大小区间范围含参问题综合设问难度中等偏上 6周期性考查会将正余弦型函数与正切型函数对比命题三类函数周期公式不同需区分与的适用场景计算周期务必保留绝对值 7奇偶性对称性多为组合型考点极少单独出题常与单调性周期性联立考查正切函数对称中心结论易记混需结合图像强化记忆 8综合题型以数形结合为核心思想先由图像推导函数解析式再逐层分析各类性质前后设问关联 知识点一 函数的图像变换 函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤 两种变换的差异 先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的． 【解题方法点拨】 1．一个技巧 列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标． 2．两个区别 （1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A． （2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值． 【易错提醒】 （1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象 （2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数 （3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ| 即时即练 1.（25-26高一下·上海·阶段检测）只需要把函数的图象（   ），即可得到函数的图象. A．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 B．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 C．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度 D．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度 【答案】B 【详解】要得到函数的图象，需要把函数的图象各点的横坐标缩短到原来的， 再向左平移个单位长度得到. 2.（25-26高一下·上海·期中）把函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则的值为____________． 【答案】/ 【分析】由图象变换求得，代入求解. 【详解】由题，，所以. 知识点二 五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象 1．五点法作y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的简图 找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点．其步骤为： （1）先确定周期T，在一个周期内作出图象； （2）令X＝ωx+φ，令X分别取0，，π，，2π，求出对应的x值，列表如下： x ωx+φ 0 π 2π y＝Asin（ωx+φ） 0 A 0 ﹣A 0 由此可得五个关键点； （3）描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到y＝Asin（ωx+φ）的简图． 【易错警示】 1.换元后记错对应的五个基准值 2.由反解时运算出错导致关键点横坐标计算偏差 即时即练 1.（23-24高二下·上海静安·期中）用“五点法”作出函数在一个周期内的图像. 【答案】答案见解析 【分析】令,取，列表描点，即得图象. 【详解】令,则，列表并描点作图，得 0 0 1 0 -1 0 0 2 0 -2 0 2.当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 知识点三 由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 根据图象确定解析式的方法： 在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A，k，ω由周期T确定，即由T求出，φ由特殊点确定 【易错警示】 1.计算周期出错进而导致求解错误 2.利用关键点求时不结合题目给定角度范围出现多解未取舍 3.误用对称点零点列方程混淆对称轴与对称中心对应的函数取值 4.忽略图像整体趋势选取错误的特征点代入计算参数 即时即练 1.（25-26高一下·上海·期中）已知函数，（，，）在同一周期内，当时，取得最大值，当时，取得最小值，则该函数的解析式为___________． 【答案】 【分析】先由函数最值确定振幅，再根据同一周期内最值点的横坐标差求周期进而得到，最后代入最值点坐标结合的取值范围求解，即可得到函数解析式. 【详解】因为函数最大值为，最小值为，且，因此. 又因为在同一周期内最大值点与最小值点的横坐标差为半个周期，即， 解得，由周期公式，得. 此时函数表达式为. 再将，代入函数得：，化简得， 因此，解得， 结合条件，取得. 综上，该函数的解析式为. 2.（25-26高一下·上海·期中）函数的部分图像如图所示，则其解析式是______． 【答案】 【详解】由图象可知，函数最大值为，所以， 因为，所以，而，，所以， 当时，，所以，， 因为，所以，故. 知识点四 y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义 当函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，x∈[0，+∞））表示一个简谐振动时，则A叫做振幅，T叫做周期，f叫做频率，ωx+φ叫做相位，x＝0时的相位φ叫做初相． 【易错警示】 1.误将理解为影响左右平移分不清与的作用 2.错误认为周期与相关忽略周期仅由决定 即时即练 1.（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的振幅、频率和初始相位. 【答案】振幅为，频率为，初始相位为 【分析】利用三角函数振幅、频率和初始相位的定义即可得解. 【详解】对于， 其振幅为，周期， 则频率为，初始相位为. 2.（23-24高一·上海·课堂例题）已知函数（，）的振幅是3，最小正周期是，初始相位是.求这个函数的表达式. 【答案】 【分析】由振幅确定，最小正周期确定，初始相位确定. 【详解】因为函数（，）的振幅是3， 最小正周期是，初始相位是. 所以, ，. 即这个函数的表达式为 知识点五 函数（，）的图像性质 函数y= 函数 的图象变换 函数 的图象性质 函数 定义域 值域 ⑦_________ 最值 由，解得 由，解得 最小正周期 ⑧_________ 奇偶性 当⑨_________，且时，函数为奇函数； 当⑩_________时，函数为偶函数 单调性 当时，函数⑪_单调递增________ 当时，函数⑫单调递减_________ 对称性 由解得对称轴；由解得对称中心横坐标，对称中心纵坐标为⑬_B________ 【易错警示】 1.求限定区间内最值值域时直接套用全域范围未分析的取值范围 2.混淆对称轴与对称中心的表达式记错两类位置对应的等式关系 即时即练 1.已知函数，若的图象关于点对称，且直线与函数的图象的两个交点之间的最短距离为，则下列四个结论中错误的是（　　） A．的最小正周期为 B．的单调递减区间是， C．的图象关于直线对称 D．的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数 【答案】C 【分析】根据正弦函数的图象和性质逐项进行检验即可求解. 【详解】由题知直线与函数的交点之间的最短距离为，所以，故A正确； 所以，所以， 因为的图象关于点对称，所以，即，， 又因为，所以当时，，所以， 令，，解得，， 所以的单调递减区间为，，故B正确； 因为，故C错误； 函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数 为奇函数，故D正确． 故选:C． 2.（24-25高一下·上海徐汇·阶段检测）函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论中正确的是（    ） ①的一个周期为；②的图象关于对称； ③是的一个零点；④在单调递减. A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，可求得的解析式，再由函数的周期为的整数倍可判断①的正误，由正弦型函数的对称轴为可判断②正误，由正弦型函数的对称中心为可判断③正误，由正弦型函数的单调区间为可判断④正误. 【详解】函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合， 所以， 所以的一个周期为，故①正确； 的对称轴满足，， 当时，的图象关于对称，故②正确； 由，得,当时，， 所以是的一个零点，故③正确； 当时，，此时为单调递增, 所以在上单调递增，故④错误. 故选：A. 知识点六 正切函数的图象 （1）在以原点为圆心的单位圆中，角对应的终边与过的直线的交点的纵坐标为_____，从而可在坐标系中得到函数图象上的点. （2）我们可以利用信息计算结合（1）可得图象. （3）利用正切函数的周期性和奇偶性可得得到正切函数的图象，该图象称为_正切___曲线. 【易错警示】 1.忽略渐近线作图时跨越间断区间图像连续绘制 2.混淆正切函数与正余弦函数的五点特征套用错误描点方法 即时即练 1.（25-26高一下·上海·阶段检测）已知函数 ， 和函数的图像交于 三点，则 的面积为 ______. 【答案】/ 【详解】由题：， ，所以，， 所以， ． 2.作出函数的图象. 【答案】图见解析 【分析】依题意是将在轴下方部分的图象关于轴翻折上去，即可得到的函数图象； 【详解】解：函数是将在轴下方部分的图象关于轴翻折上去，所以的图象如下所示： 知识点七 函数的图像与性质 解析式 图像 定义域 值域 最小正周期 _________ 奇偶性 _奇__函数 单调性 在每一个区间__（）_________上都单调递增 对称性 对称中心__（）_________ 【易错警示】 1.解题全程忽略定义域单调区间求值求参数均出现疏漏 2.记错周期公式套用正余弦周期计算正确最小正周期为 3.混淆对称中心误记为只包含遗漏 4.比较正切值大小时未将角度转化到同一单调区间直接比较自变量大小 即时即练 1.（24-25高三上·上海·开学考试）函数的单调减区间是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【分析】由正切函数的诱导公式变形后结合单调性即可求出； 【详解】， 令，， 解得， 所以函数的单调减区间是（）， 故选：D. 2.函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正切函数的周期性及其图象，应用等面积法求得最小正周期为，结合图象所过的点求参数，即可得解析式，进而求函数值. 【详解】如图，①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形的面积，可得， 设函数的最小正周期为，则， 由题意得，解得，故，得，即， 的图象过点，即， ∵，则，    ∴，解得． ∴ ∴. 故选：A 题型1 描述正（余）弦函数图像的变换过程 例1．（24-25高二上·上海·阶段检测）把函数的图像经过变换得到图像，这个变换是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】根据两角和的正弦函数，将表达式化为一个三角函数的形式，然后根据左加右减的原则，判断平移的方向与单位. 【详解】 ， 则， 将向右平移个单位可得到， 故选：D. 例2．（24-25高一上·上海·课后作业）要得到函数的图象，只需将函数的图象向__________平移__________个单位. 【答案】 右 【分析】,再根据三角函数的图象变换即可求解. 【详解】， 故要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位. 故答案为:右；. 【技巧总结】 1.明确变换起点与终点函数区分从/到目标函数的变换方向 2.两类主流变换顺序先平移后伸缩先伸缩后平移严格区分平移长度 3.平移遵循左加右减规则仅对自变量操作伸缩变换改变系数不改变相位数值 4.描述过程按顺序书写依次说明平移方向单位横向/纵向伸缩倍数条理清晰 5.多个变换叠加时分步拆解避免变换顺序混乱导致出错 【变式训练1-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）函数的图象是由函数的图象通过怎样的变换得到的？ 【答案】答案见解析. 【分析】根据三角函数平移伸缩的规则分两种方法得出变换过程. 【详解】方法一：先伸缩后平移 的图象 的图象 的图象 的图象 . 方法二：先平移后伸缩 的图象 的图象 的图象 的图象 的图象. 【变式训练1-2】（23-24高一下·上海嘉定·期中）函数是由（    ）得到的 A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向右平移 【答案】B 【分析】根据题意，由三角函数的平移变换，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以函数是由向右平移得到的. 故选：B 题型2 函数的物理意义 例1．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的振幅是2，最小正周期是，初始相位是： (1)求的值 (2)求函数的表达式． 【答案】(1)，，. (2) 【分析】（1）由振幅、初始相位定义以及最小正周期公式即可得解. （2）由（1）即可得解. 【详解】（1）由题得，即. （2）由（1）得函数的表达式为. 例2．（24-25高一下·上海黄浦·期末）函数的初始相位是______． 【答案】 【分析】由初始相位的定义可得结论. 【详解】因为， 所以函数的初始相位是， 故答案为：. 【技巧总结】 1.明确各参数对应物理量为振幅代表振动最大偏离量 2.为角频率结合周期公式求周期求频率 3.为初相决定初始位置与初始状态 【变式训练2-1】（24-25高一下·上海·阶段检测）函数的频率与初始相位之差为_______ 【答案】 【分析】根据给定函数，结合三角函数的初始相位定义可得. 【详解】函数的周期，初相为， 所以频率为，故频率与初始相位之差为. 故答案为：. 【变式训练2-2】（24-25高一下·上海·期中）函数的频率为________． 【答案】 【分析】利用三角函数频率的定义，即可求解. 【详解】由题意有，所以， 故答案为：. 题型3 由正（余）弦函数的图像求解析式 例1．（25-26高一下·上海·期中）已知函数的一部分图象如图所示，如果，，． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的最大值与最小值，并写出对应的值． 【答案】(1) (2)最大值为4，此时；最小值为1，此时 【分析】（1）由函数的最大值和最小值求出，，由周期求出，由特殊点求出，即可求得函数解析式； （2）由求出的范围，再求出的取值范围，即可求得函数的取值范围. 【详解】（1）由图象可知，，， 设最小正周期为，，∴， ∴， 又∵，且， ∴，，∴， ∴函数的解析式为. （2）当时，，， 故当，即时，有最小值； 当，即时，有最大值. 例2．（25-26高一下·上海·期中）已知（，），函数的部分图象如图所示，则函数的最小正周期为________． 【答案】 【分析】先将代入求出，再将代入，结合部分图象即可求出，进而即可求出最小正周期． 【详解】将代入可得，则， 又，解得， 将代入，可得， 则，即，， 又结合的部分图象可知，其最小正周期， 即，，又，解得， 则最小正周期为． 【技巧总结】 1.定振幅由图像最高点最低点纵坐标计算 2.定由相邻最值点零点对称点间距求出周期再由计算 3.定初相利用五点法关键点对称轴对称中心代入解析式求解 4.结合题目给定角度范围对多解进行取舍 5.正弦型余弦型函数可借助诱导公式互相转化择优选择求解形式 【变式训练3-1】（2026·上海宝山·三模）如图为函数的局部图象，其中为函数的一个最高点，为函数与轴的一个交点，则的值为________. 【答案】/ 【分析】由最高点的纵坐标确定，又由两点之间的横坐标之差为，结合周期公式从而确定，将点坐标代入解析式，再结合的范围，即可确定的值. 【详解】由题意可知最高点的纵坐标就是振幅，所以， 又由图象可知两点之间的横坐标之差为，即， 所以，解得，即. 将代入上式，可得，即， 所以，解得. 因为，所以当时，可得. 【变式训练3-2】（25-26高一下·上海杨浦·期中）已知，函数的部分图像如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调减区间； (3)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据最大值和最小值确定；根据图象可得最小正周期，求得；由，结合的范围可求得的取值，从而得到解析式； （2）根据正弦函数的图象的单调性即可求解； （3）将问题转化为与的图象在上有两个交点，通过数形结合的方式可确定的取值范围； 【详解】（1）由图可知最大值为最小值为所以， 又从最大点到最小点的横坐标差为，即，所以， 所以，将点代入函数得， 即，所以， 又因为，解得，故. （2）处于单调递减区间时， 解得 （3） ， 故原方程等价于，即， 当时，，在该区间上， 所以，故. 题型4 结合三角函数的图像变换求三角函数的性质 例1．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知函数的一段图象如图所示，若将图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则___________． 【答案】 【分析】由图可得解析式，再利用三角函数性质计算即可得解. 【详解】由图可得，，则，故， ，解得， 由，故，则， 由将图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数， 则，解得. 例2．（24-25高一下·上海·阶段检测）已知定义域为的函数的解析式为． (1)求函数的最小正周期； (2)已知方程在区间有两个不同的实数解，求实数的取值范围； (3)将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．函数的解析式为，，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用两角和的正弦、余弦公式和二倍角公式化简，再根据正弦函数的周期公式求解即可； （2）根据（1）中解析式画出大致图象，根据图象求解即可； （3）利用函数的平移变换求出，按的正负分情况讨论的取值范围，结合题意利用集合的包含关系列式求解即可. 【详解】（1）由题意可得 ， 所以. （2）由（1）可知，当时，，    方程有两个不同的解，由正弦函数的图象可知. （3）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的， 可得， 纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度， 可得，即， 当时，，则， 当，，则， 因为 ①当时，， 由题意可得， 则，解得，所以； ②当时，， 由题意可得， 则，解得，所以； 综上所述，． 【技巧总结】 1.先根据图像变换规则写出变换后完整函数解析式 2.整体换元令将复合函数转化为基础正（余）弦函数 3.依托基础函数结论依次求解单调区间周期奇偶性对称最值等性质 4.变换过程中参数发生改变重点关注对周期单调性的影响 5.数形结合对照变换前后图像特征辅助验证性质结果 【变式训练4-1】已知函数． (1)求函数在R上的单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若实数满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简函数得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （2）根据三角函数的图象变换，求得，根据题意，得到为函数的最值，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数 ， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. （2）解：将函数的图形向左平移个单位长度， 得到， 再将得到的函数图象向上平移1个单位长度，可得， 由实数满足，则为函数的最值， 不妨设， 则， 解得， 则， 当或时，此时. 【变式训练4-2】已知函数的对称中心到对称轴的最小距离为，将的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称，且关于函数有下列四种说法： ①是的一个对称轴；②是的一个对称中心； ③在上单调递增；④若，则，． 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用三角函数性质可得，代入验证检验可得①正确；②错误；根据正弦函数单调性利用整体代换法可得③错误；由正弦函数图象性质可知两个相邻零点的距离为半个周期，即任意两个零点之间的距离为半周期的整数倍，可得④正确. 【详解】根据题意由对称中心到对称轴的最小距离为可得，即，得； 将的图象向右平移个单位长度后可得， 其图象关于y轴对称，所以为偶函数，则，， 解得，，由可知当时，符合题意； 由可得； 因此； 对于①，当时，，取得最大值， 所以是的一个对称轴，即①正确； 对于②，当时，， 所以不是的一个对称中心，即②错误； 对于③，当时，可得，又在上不单调， 所以在上不是单调递增的，所以③错误； 对于④，若，由正弦函数图象性质可知两个相邻零点的距离为半个周期， 所以任意两个零点之间的距离为半周期的整数倍， 由的周期为可得，，即④正确； 所以正确的个数只有①和④共2个. 故选：B 【点睛】方法点睛：求解三角函数图象性质问题时，要充分利用已知条件并结合图象特征求出解析式，再由检验法或整体代换法判断结论是否正确. 题型5 正（余）弦型三角函数图像的综合性质 例1．（25-26高一下·上海杨浦·期中）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象．若这两个函数图象的相邻三个交点恰好形成正三角形，则__________． 【答案】或 【分析】由题意得，进而结合正弦函数性质得交点横坐标为，，代入解析式求得交点纵坐标为，再根据坐标关系可知正三角形的边长为2，且满足，进而得，再结合解方程即可. 【详解】由题意得，即 两图象交点满足 由正弦函数性质，或， 当时，，与矛盾； 所以，，解得， 代入得交点纵坐标为 所以，相邻三个交点的横坐标为，纵坐标的绝对值相等，为 所以，相邻两点的水平距离为， 所以，该正三角形的边长为，且满足，即， 所以， 因为，， 所以，当时，，解得； 当时，，解得， 综上，或. 例2．（23-24高一下·上海·期末）设函数在上恰有两个零点，则__________. 【答案】或 【分析】先将函数化简成，将函数有两个零点问题转化成函数与图象在上恰有两个交点问题，然后数形结合根据函数的图象性质即可得解. 【详解】由题得， 因为函数在上恰有两个零点， 所以方程在上恰有两个根， 所以函数与图象在上恰有两个交点， 令， 即函数的对称轴方程为， 所以在上有两条对称轴为和，如图， 所以由函数的图象性质可知或. 故答案为：或. 【点睛】思路点睛：研究三角函数问题，通常需要利用三角恒等变换公式化成一角一函数，故解决本题先利用辅助角公式将函数化简成，再将题中所给条件函数有两个零点问题转化成函数与图象在上恰有两个交点问题，然后作出有关函数图象，数形结合根据函数的图象性质即可得解. 【技巧总结】 1.通用解题思路整体换元把当作整体分析 2.周期性直接套用公式与无关 3.单调性结合基础函数单调区间列不等式求解自变量范围标注 4.对称性最值处对应对称轴函数零点对应对称中心列方程求解 5.值域与最值先确定整体角范围再结合正（余）弦函数有界性求解 6.奇偶性优先判断定义域再根据取值判定类型 【变式训练5-1】（24-25高一下·上海徐汇·期中）已知函数 的最小正周期为，图像的一个对称中心为，将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像. (1)求函数与的解析式； (2)当，求实数与正整数，使在恰有个零点． 【答案】(1)， (2)． 【分析】(1)根据函数图象的变关系直接求解； (2)转化为方程有个根，根据奇数个根可得其中一个根必为或1，分类讨论求解. 【详解】（1）， 当时，， 因为，取， ， 将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）， 可得函数，再将所得图像向右平移个单位长度后， ， （2）由（1）得， ， 不妨设或，显然 若，则在上必有偶数个零点， 所以中至少有一个为或， 不妨设， 当，则（舍）； 当，则， 此时在上有3个零点， 又 ， 即， 综上所述，． 【变式训练5-2】（2022·上海浦东新·二模）将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，设为以上两个函数图像不共线的三个交点，则的面积不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得的解析式，在同一坐标系内作出图像，不妨取x轴正半轴第一个交点为A，第二个交点为B，分别求得当C位于不同位置时，的面积，根据规律，分析即可得答案. 【详解】由题意得， 在同一坐标系内作出图像，如下图所示 令，解得， 不妨取x轴正半轴第一个交点为A，第二个交点为B， 所以 若C点位于时，的面积，故C正确 当C点位于时，的面积， 当C点位于时，的面积，故B正确， 因为，此时为面积的2倍， 以此类推，当C位于不同位置时，的面积应为的整数倍，故A正确，D错误， 故选：D 题型6 函数的图像的实际应用 例1．（25-26高一下·上海·阶段检测）摩天轮因节奏舒缓浪漫治愈，寓意圆满幸福，老少皆宜还氛围感十足，深受众人喜爱.国内已建成运营的最大摩天轮是南昌之星，其设置有60个座舱，并在轮面装饰彩灯，当灯全部亮起时可以显示一座巨型彩色时钟.该摩天轮最高点距离地面高度160米，转盘直径为153米，其示意图如图所示（座舱相对于摩天轮来说大小可忽略，因此未在图中画出）.摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，匀速旋转一周需要30分钟.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，旋转一圈后下舱.已知小朱比小毛提前5分钟进入座舱，在小朱运行一周的过程中，设小朱坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米. (1)求关于的表达式； (2)当小朱和小毛距离地面高度相同时，求的值； (3)设，当时，这两人距离地面的高度差恰有1次取到最大值，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）建立适当平面直角坐标系后，可设，，结合题意与三角函数性质计算即可得解； （2）由题意可表示出小毛距离地面高度与的表达式，令其与小朱相等，解出即可得； （3）利用三角恒等变换公式计算即可得. 【详解】（1）如图，设座舱距离地面的最近点为，以摩天轮轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系， 设，， 由题得，解得， 又摩天轮匀速旋转一周需要30分钟，所以，所以，. 又当时，小朱位于点，以为终边的角为，所以， 所以，， 即，. （2）设小毛距离地面的高度为，则，， 令，可得，即， 所以，或，（舍去）， 即，，又，当时，. （3）令，则，， 所以， 当，，即，时，. 又当时，这两人距离地面的高度差恰有1次取到最大值， 所以，即的取值范围是. 例2．（25-26高一下·上海青浦·期中）青浦高级中学在学校嘉年华主题活动中，计划将如图所示的扇形空地分隔成三部分分别作为团队游戏区、运动区及签到区.已知扇形的半径为60米，，动点在扇形的弧上（不包含端点）.点在半径上，且. (1)当米时，求团队游戏区的面积； (2)综合考虑到运动的安全性等原因，希望运动区的面积尽可能的大，求该区的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得，由正弦定理，求得，进而得到，结合扇形的面积公式，即可求解； （2）设，在中，由正弦定理，求得，化简的面积为，结合三角函数的图象与性质，即可求解. 【详解】（1）解：由，可得， 在中，， 由正弦定理，可得， 即，解得，则， 因为，所以，所以， 所以团队游戏区（扇形）的面积为（平方米）. （2）解：设，则， 在中，， 由正弦定理得， 则的面积为： ， 因为，所以， 所以当时，即时，取得最大值1， 此时的最大值为平方米. 【技巧总结】 1.提取题干数据对应图像最值求周期求初始状态求建立函数模型 2.将实际问题中的变量对应解析式中的明确变量实际意义 3.利用函数性质求解实际问题如计算特定时刻数值变化范围周期时长等 4.结合实际场景取舍解舍去不符合现实意义的结果 【变式训练6-1】（25-26高一下·上海嘉定·阶段检测）如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数． (1)写出这段时间的最大温差（单位：℃）； (2)若，，，．试确定常数A、、、b的值． 【答案】(1)℃ (2)，，，. 【详解】（1）最高温为，最低温为，因此℃ （2）由图象可知，，， ，， 当时，，即， 解得， 因为，所以，即. 【变式训练6-2】（25-26高一下·上海·期中）如图为一个公路隧道，隧道口截面为的正弦曲线，已知隧道跨径为，最高点离地面，若设正弦曲线的左端为原点． (1)试求出该正弦曲线的函数表达式； (2)如果隧道设计为双车道，路面总宽度为，为确保车辆安全通行，则车辆的限高应为多少？ 【答案】(1) (2)m 【分析】（1）由题可设，结合条件即求； （2）将代入函数解析式即得． 【详解】（1）根据题意，设该正弦曲线的解析式为， 则，，， ∴， 故该正弦曲线的解析式为． （2）根据题意，将代入函数解析式得： ， 即公路边缘距隧道顶端的高度为m． 题型7 正切函数图像及其应用 例1．设定义在区间上的函数的图象与的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线与函数的图象交于点，则线段的长为______． 【答案】 【分析】依题意可得，根据同角三角函数的基本关系转化为的方程，求出，即可得到点的纵坐标，从而得解. 【详解】设点的坐标为，则可设点的坐标为，点的坐标为， 联立，消去得，整理得， 即，即， 所以或（舍去）， 即， 所以点的纵坐标， 所以线段的长为． 故答案为： 例2．利用三角函数图象，求出中的取值范围（    ） A．， B．， C． D．， 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正切函数的图象与性质求解不等式. 【详解】由正切函数图象知，在内，满足不等式的取值范围是， 所以在整个定义域内满足不等式的取值范围是，. 故选：D 【技巧总结】 1.作图识图牢记定义域存在垂直渐近线单周期内单调递增 2.利用图像走势渐近线位置判断自变量取值范围 3.借助图像单调性比较多个正切值大小先统一转化到同一单调区间 4.结合图像对称特征分析零点对称中心相关问题 5.图像平移伸缩变换参照三角函数通用规则始终优先兼顾定义域限制 【变式训练7-1】（2023·上海普陀·一模）函数在区间上的零点为______． 【答案】 【分析】令，在上求解即可. 【详解】令， ∵，∴， ∴，即， ∴函数在区间上的零点为. 故答案为：. 【变式训练7-2】（24-51高一下·上海奉贤·期中）已知函数和函数的图像交于、、三点，则的面积为____． 【答案】 【分析】联立方程组，求出交点坐标，利用三角形的面积公式求出面积. 【详解】由，得或，因为 ， 所以或或， 所以函数与函数图像的交点为，，，所以的面积 故答案为：. 题型8 求正切型函数的定义域与值域 例1．（2026·上海杨浦·模拟预测）函数的定义域为__________． 【答案】 【分析】应用正切函数定义域计算求解. 【详解】因为，所以， 所以函数的定义域为 例2．在上，函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数及正切函数的性质即可求得函数的定义域. 【详解】，又， ， 所以函数的定义域是. 【技巧总结】 1.定义域令内层解不等式得到取值范围 2.值域正切函数本身值域为正切型函数值域同样为全体实数无最大最小值 3.限定自变量区间时先求内层整体角范围结合图像判断函数取值范围 【变式训练8-1】（23-24高一下·上海·期中）关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（ ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 【答案】B 【分析】根据正切函数的单调性即可求解. 【详解】因为在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为. 故选：B. 【变式训练8-2】（24-25高一下·上海徐汇·期中）函数的值域是________ 【答案】 【分析】求出的范围，利用二次函数的性质得出值域. 【详解】， 故答案为： 题型9 求正切型函数的单调性 例1．（25-26高一下·上海·期中）函数的严格增区间为________. 【答案】 【详解】设，由正切函数的性质可知， 函数在每个区间上严格递增， 在上严格递增，由复合函数的单调性判断方法， 令， 解不等式得， 即， 所以函数的严格增区间为. 例2．（24-25高三上·上海·开学考试）函数的单调减区间是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【分析】由正切函数的诱导公式变形后结合单调性即可求出； 【详解】， 令，， 解得， 所以函数的单调减区间是（）， 故选：D. 【技巧总结】 1.统一变形若先用诱导公式转化为的标准形式 2.整体换元令套用单调区间列不等式 3.解不等式求出范围多个单调区间分开书写禁止使用并集符号 【变式训练9-1】（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的定义域，并写出其单调区间． 【答案】定义域为，单调递增区间为，没有减区间 【分析】根据正切型函数定义域和单调区间的求法求得正确答案. 【详解】由解得， 所以函数的定义域为， 由解得， 所以函数的单调递增区间为，没有减区间. 【变式训练9-2】（24-25高二·上海·暑假作业）求下列函数的单调区间： (1) ； (2). 【答案】(1)单调递增区间为，，无单调递减区间 (2)单调递减区间为，，无单调递增区间 【分析】（1）直接根据正切函数的性质计算可得； （2）首先利用诱导公式将函数化简，再结合正切函数的性质计算可得. 【详解】（1）由题意得，， 解得， 所以函数的单调递增区间为，，无单调递减区间； （2）， 由题意得，， 解得， 所以函数的单调递减区间为，，无单调递增区间. 题型10 求正切型函数的奇偶性 例1．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知函数，且，则________． 【答案】 【分析】构造函数，判断函数的奇偶性，再根据函数的奇偶性求解即可. 【详解】令， 则，所以， 因为， 所以， 所以. 例2．（2025高三·上海·专题练习）已知函数是上的奇函数，则__________． 【答案】 【分析】利用和角的正切公式化简函数，再利用函数奇偶性运算分析计算得解. 【详解】依题意， 函数是上的奇函数，而函数是上的奇函数， 因此函数是上的偶函数， 则，所以. 故答案为： 【技巧总结】 1.第一步判断定义域定义域不关于原点对称直接判定为非奇非偶函数 2.定义域对称时利用与的关系结合判断 3.为奇函数满足图像过原点 【变式训练10-1】（25-26高一下·上海·期中）已知，若，则__________． 【答案】 【分析】设，由奇函数的性质即可求解． 【详解】设，定义域为， 因为， 所以为奇函数，又， 所以， 所以． 【变式训练10-2】函数的图象大致是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性，排除AC，再判断函数在上的符号，排除D，即可得答案． 【详解】∵f(x)定义域[－1，1]关于原点对称，且， ∴f(x)为偶函数，图像关于y轴对称，故AC不符题意； 在区间上，，，则有，故D不符题意，B正确. 故选：B． 题型11 求正切型函数的对称性 例1．（22-23高一下·上海嘉定·期中）下列关于函数的说法：①在区间上为严格增函数；②最小正周期为；③图像的对称中心为.其中正确的说法是______.（只填写正确说法的序号） 【答案】①③ 【分析】直接利用正切函数的图象和性质的应用即可判断. 【详解】对于①，令，解得， 当时，，所以函数在区间上为严格增函数，①正确； 对于②，函数的最小正周期为，②错误； 对于③，令，解得， 所以函数图象的对称中心为，③正确. 故答案为：①③ 例2．已知点是函数的图象的一个对称中心，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正切函数对称中心的通式，结合函数内部的线性变换和平移量，求出对称中心的横、纵坐标表达式，再通过取整参数验证选项是否符合通式。 【详解】正切函数的对称中心为， 令，则原函数化为， 当时，，此时，故对称中心的纵坐标， 横坐标满足：，，， 于是：， 当时，. 故选：A 【技巧总结】 1.整体换元令结合对称中心结论解题 2.正切函数对称中心为列方程求解对应的值 3.正切函数无对称轴切勿套用正余弦函数对称轴解题思路 【变式训练11-1】若点为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正切函数的性质求出函数图象的对称中心，再求出最小值. 【详解】由，得， 因此函数图象的对称中心为， 而，则，， 所以的最小值为. 故选：D 【变式训练11-2】已知点 是函数 的图象的一个对称中心，则 的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的对称中心即可得解. 【详解】因为函数的对称中心为，， 所以的对称中心为，， 所以，，又，所以a的最小值为. 故选：A. 题型12 由正切型函数的性质求参数 例1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数在上是减函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，，即可得到答案. 【详解】因为函数在上是减函数， 所以，，， . 故选：B. 例2．（2023·上海普陀·一模）若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】解出正切型函数单调区间，则得到的范围. 【详解】令，，解得，， 令，则其一个单调增区间为，则实数的取值范围为， 故答案为：. 【技巧总结】 1.由定义域求参数根据的限制条件列方程 2.由周期求参数套用公式建立等式求解 3.由单调性求参数结合单调区间包含关系列出参数不等式组 4.由奇偶性对称性求参数对应性质结论列方程求解 【变式训练12-1】（25-26高一下·上海·期中）设，，函数，且，若在区间上恰有3次使得函数的值能取遍区间内的所有值，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】由，可得，然后由题设结合正切函数性质列出不等式可得答案. 【详解】因，则，又， 则，从而， 当时，， 由已知可得. 【变式训练12-2】（2025·上海普陀·一模）在中，内角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)设，，函数的表达式为，且，若在区间上恰有3次使得函数的值能取遍区间内的所有值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二倍角正弦公式和正弦定理得，结合得，结合角的范围即可求解； （2）先求得，然后利用整体法，结合正切函数性质列不等式求解即可. 【详解】（1）由已知条件得， 由正弦定理得， 又，则，因为，所以. （2）由得，， 又，则，又，则， 要在区间上恰有3次使得函数的值能取遍内的所有值， 则，即， 则所求的的取值范围是. 题型13 求正切型函数的最值 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数，的最大值和最小值，并指出使其取得最大值和最小值时所有的值． 【答案】当时，取得最小值；当时取得最大值为 【分析】根据正切函数的单调性和最值的求法求得正确答案. 【详解】正切函数在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最小值， 当时，函数取得最大值. 例2．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值、最小值，并求函数取得最大值或最小值时自变量x的集合. 【答案】答案见解析. 【分析】用换元，结合分离常数法与基本不等式求最值，然后根据正切函数性质即可求解. 【详解】解：令（，），则. 当时，； 当时，，当且仅当，即时，取等号， 所以，所以，时取到等号； 当时，所以， ，当且仅当， 即时，所以，所以，时取到等号. 所以，y的最小值为，此时，；y的最大值为3，此时，. 所以当时，函数为常数函数； 当时，函数取得最小值，自变量的集合为， 当时，函数取得最大值，自变量的集合为. 【技巧总结】 （1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域） （2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值） （3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解 【变式训练13-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数，的值域. 【答案】. 【分析】应用复合函数的单调性，结合正切函数及二次函数求值域即可. 【详解】. ∵，∴. 当，即时，y取最小值-1； 当，即时，y取最大值. ∴函数的值域为. 【变式训练13-2】已知为钝角，则的最大值为______． 【答案】 【分析】先确定，然后利用基本不等式求最值. 【详解】为钝角, , ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为. 故答案为：. 题型14 正切型函数的综合应用 例1．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知，其中. (1)若，求函数的最小正周期及严格增区间； (2)若关于的方程在上至少存在2026个解，且的最小值不小于2026，求的取值范围. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据正切函数的性质代入公式求解即可； （2）结合正切函数的性质，可知要使区间上至少存在2026个解，其区间长度的最小值为个周期，再代入运算即可. 【详解】（1）当时，，所以最小正周期. 由，得， 所以严格增区间为，. （2）因为，，， 与相差个周期，与相差个周期， 所以要使区间上至少存在2026个解，其区间长度的最小值为个周期，且最小值不小于， 故，即，所以，又, 所以. 例2．（24-25高一下·上海·期中）已知函数． (1)若，求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； (3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先写出函数的解析式，进而求出该函数的最小正周期； （2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围； （3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得的范围． 【详解】（1）由于，且， 所以的最小正周期为. （2）由，且，得， 若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，则， 则的范围为． （3）由关于的方程在区间上至少存在2024个根， 则关于的方程至少有2024个根， 则至少存在个使得， 因函数的最小正周期为， 故至少包含2023个周期，即 又在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，则， 得， 所以的取值范围为． 【技巧总结】 1.解题顺序先确定函数解析式再求解定义域周期单调区间等基础性质 2.遇复合型函数坚持整体换元法简化运算 3.多条件问题逐一拆解定义域为首要限制条件贯穿整道题目 4.比较大小解不等式类问题结合图像与单调性综合分析 5.含参综合题分类讨论参数取值结合区间性质限定参数范围 【变式训练14-1】（25-26高一下·上海·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是的一个周期 B．在上不单调 C．时， D．图像既有对称轴又有对称中心 【答案】D 【分析】对A，计算，利用诱导公式结合正切奇函数性质得判断；对B，利用复合函数的单调性判断；对C，利用正切和角恒等式，结合时且，推导判断；对D，及判断. 【详解】对于A：，A错误； 对于B：和都在单调递增，而在单调递增， 由复合函数的单调性可知，在单调递增，B错误； 对于C：由两角和的正切公式可得， 令，时，， 因此，且， 可得，C错误； 对于D：对任意， ，， 因此是的对称轴； 对任意，因为， ， 所以， ， 因为，所以， 所以 ，因此是的对称中心。 故既有对称轴又有对称中心，D正确. 【变式训练14-2】（25-26高三上·上海·期中）已知，不等式在中的整数解有个．关于的个数，以下可能的结果是（　　） A．334 B．338 C．678 D．1012 【答案】B 【分析】由题设可得，结合正切函数的周期，数形结合讨论范围研究不等式整数解个数，即可得. 【详解】由，即， 对于，周期为，且 ， 所以在一个周期内的大致图象如下，注意， 由，易知在区间上的图象与区间上的图象相同， 结合图象知，在中，与区间上的图象相同的区间有个， 在中，与区间上的图象相同的区间有个， 当时，不等式在中无整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中无整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中无整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中无整数解； 故选：B. 一、单选题 1．（25-26高一下·上海嘉定·阶段检测）记的定义域为D，集合，若，则t的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定函数的定义域，再根据的取值不同，判断选项是否符合 【详解】函数的定义域， 因为 所以， 解得， 当时，，而 再考虑时，， 不包含其他选项的值，故只有A选项正确 2．（25-26高一下·上海·期中）下列函数中，最小正周期为的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，最小正周期为，正确； 对于B，，但定义域为，其周期为，错误； 对于C，图象下方做关于轴的对称，周期不变为，错误； 对于D，图象关于轴对称，不是周期函数，错误. 3．（25-26高一下·上海闵行·期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．直线是图象的一条对称轴 C．图象的对称中心为 D． 【答案】C 【分析】先根据图象确定的值，再通过周期求出，然后根据特殊点求出，得到函数表达式后，依次对各选项进行判断. 【详解】由函数图象可知，函数的最大值为，因为，所以. 设函数的周期为，则，则，所以， 此时. 已知函数图象过点，则， 即，所以，， 因为，解得，那么.   对于A，函数的最小正周期为，所以选项A错误； 对于B，， 所以直线不是图象的一条对称轴，所以选项B错误； 对于C，令，，解得，，此时， 所以图象的对称中心为，，所以选项C正确； 对于D，，所以选项D错误. 4．（25-26高一下·上海·期中）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，，且图中阴影部分的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题意由三角函数的对称性得到，再结合正弦函数的周期性和最值求解即可. 【详解】 如图，由三角函数的对称性可得阴影部分的面积等于矩形和矩形的面积之和， 又，所以， 因为函数图象向左平移个单位长度得到的图象，所以， 所以，即，故， 由图象可得，所以，则， 又，所以，则， 又，所以. 5．（25-26高一下·上海普陀·期中）已知，，，函数的部分图象如图所示，则该函数的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图像和选项求出A，根据周期求出，根据求出. 【详解】根据图象知，函数最大值为，因此. 根据图像知，，解得. 将最高点代入，即， 解得，即. 因为条件，得，因此函数为. 6．（25-26高一下·上海·阶段检测）将函数的图象向上平移1个单位，得到函数的图象，若且，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象平移规律得到的表达式，再结合分析与的关系，进而求出的最小值. 【详解】函数向上平移1个单位，根据平移规则得：， 因为正弦函数，因此的值域为， 由于的最大值为2，要使 ，则， 当时，，即， 根据正弦函数性质可得：， 化简得：，设，， 所以，，因为， 所以当时，取得最小值为. 7．（25-26高一下·上海徐汇·阶段检测）若直线是函数图像的对称轴，且在上无最值，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】通过辅助角公式化简函数解析式，由函数对称轴建立方程求得，然后由在上无最值求得范围，从而求得答案. 【详解】， 由题意可知是方程的一个解， 即，∴， 当时，， 由题意可知，所以， ∴当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，舍去， 所以或 8．（25-26高一下·上海杨浦·期中）已知函数 在区间 上有且仅有 3 个零点．给出下面两个说法： ①函数 在区间 上单调递增； ② 将 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，则其在区间 上有且仅有 2 条对称轴． 下列判断正确的是（    ） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 【答案】D 【详解】若，则. 由函数 在区间 上有且仅有 3 个零点，得， 解得. 若，则， 又，所以函数 在区间 上先单调递增，后单调递减，所以①错误； 将 的图象向左平移个单位，得到函数的图象，所以， 若，则. 因为，所以， 所以成立，可能成立， 所以函数 的图象，在区间 上可能有 3 条对称轴． 所以②错误. 二、概念填空 9．（25-26高一下·上海·期中）函数的单调增区间是_______________. 【答案】 【详解】略 三、填空题 10．（25-26高一下·上海静安·期中）函数的零点为________． 【答案】 【详解】因为函数的最小正周期为，且函数在上有唯一零点， 所以函数的零点为. 11．（25-26高一下·上海·期中）函数的最小正周期为___________ . 【答案】/ 【详解】函数的最小正周期为. 12．（24-25高一下·上海·期中）函数 的频率为 ______． 【答案】 【分析】由周期与频率的关系进行求解． 【详解】频率为： 13．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的最小正周期为4，则实数的值是________． 【答案】 【分析】利用正弦型函数的最小正周期公式列方程求解的值. 【详解】由函数的最小正周期为4，代入公式得，解得，因此。 14．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的图像向左平移（）个单位长度后关于原点对称，则的最小值是________． 【答案】 【分析】根据正切函数对称中心为，建立关于的等量关系，结合，的条件，即可求出的最小值. 【详解】解：由题意得，的图像向左平移（）个单位长度后的函数表达式为， 由正切函数的对称中心为，， 因为图像关于原点对称，则当时，， 即，，又，所以， 又因为，所以时，取最小值，为. 15．（25-26高一下·上海·期中）函数，如图，则___________. 【答案】 【详解】由图可知，正切函数的周期 . 根据周期公式 ，得 ，解得 . 正切函数的零点满足 ，图中零点为 ，代入得， 由，得 时，，符合条件. 由图可知函数过点，代入得， 所以. 16．（25-26高一下·上海黄浦·期中）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是__________. 【答案】/ 【详解】由题意得，新函数解析式为， 因为其图象关于轴对称，所以，得， 则当时有最小正值，最小正值是 17．（25-26高一下·上海松江·期中）已知函数的部分图象如下图所示，则______. 【答案】1 【分析】根据图象先求出，进而代值求解即可. 【详解】由图可知，，， 则，即， 因为点附近函数单调递减， 则将点代入函数解析式，得， 即，又，则， 所以，则. 18．（25-26高一下·上海松江·期中）游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为90米，转盘直径为88米，设置有56个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要18分钟.如图2，设座舱距离地面最近的位置为点P.坐上摩天轮转动一圈，当距离地面68米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感，游客能感受这个过程的时长为_____（分钟）. 【答案】6 【分析】设开始转动分钟后距离地面的高度为米，且，根据题设求出解析式，再令，解不等式即可求解. 【详解】设开始转动分钟后距离地面的高度为米， 且， 由题意知，解得， 又，解得， 所以， 因为，所以，则，可取， 所以，， 令，则，即， 因为，则，所以，解得， 所以游客坐上摩天轮能有（分钟）感受这个过程. 19．（2026·上海杨浦·模拟预测）已知函数 在上有两个最值点，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】结合正弦函数图象，根据题意列不等式计算即可求解. 【详解】因为，所以， 由正弦函数性质可知，要使函数有两个最值点， 则，且，解得且， 所以的取值范围为. 20．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知，不等式在中的整数解有个，则所有取值的集合为_________ 【答案】 【分析】由题设可得，结合正切函数的周期，数形结合讨论范围研究不等式整数解个数，即可得. 【详解】由， 得，得， 对于，周期为，且，， 所以在一个周期内的大致图象如下，注意， 由，易知在区间上的图象与区间上的图象相同， 结合图象知，在中，与区间上的图象相同的区间有个， 在中与区间上的图象相同的区间有个， 当时，不等式在中无整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中无整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中无整数解； 当时，不等式在中有个整数解； 当时，不等式在中无整数解； 综上，所有取值的集合为 21．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知函数（）的最小正周期为，若方程在区间上恰有一个解，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先根据周期公式求出，再将转化为关于的方程，最后结合正弦函数通解及解的个数确定的范围. 【详解】因为的最小正周期为， 所以由周期公式，得，因此：， 又因为方程，即，， 令，则，所以在区间上恰有一个解， 等价于方程在区间上恰有1个解，又因为的通解为： 或，又因为恰有1个解落在区间内， 所以仅落在区间内得：， 解得：， 仅落在区间内 ， 解得：. 四、解答题 22．（25-26高一下·上海·期中）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式及严格减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：.试确定的值，并求的值. 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）利用正弦函数的周期、奇偶性求得参数的值，从而得到函数的解析式及其单调递减区间； （2）利用三角函数的图象变换规律，求得函数的解析式，进而求得函数的值域； （3）根据方程并结合正弦函数图象得到方程根的个数，再结合三角函数图象的对称性分组求和即可． 【详解】（1）因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得． 又由函数为奇函数，可得，所以， 因为，所以，所以函数， 令，解得， 所以的单调递减区间为． （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为， 故函数在区间上的值域为． （3）由方程，即，得， 因为，所以， 设，则，，结合正弦函数的图象，如图所示： 可得方程在区间上有3个根，即， 其中，， 即，， 解得：，， 所以． 23．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)分别求在上的严格递增区间、对称中心、最大值，及取得最大值时x的值； (3)把曲线向左平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到曲线，试问当，时，，，能否作为的三边长？若能，请给出证明，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)在上的严格递增区间为，对称中心为，时，取得最大值为. (3)能，证明见解析 【分析】（1）根据三角函数图像，判断函数经过的点，列出方程组，求出参数值，进而写出函数解析式； （2）根据换元法，求出三角函数的最值和对称中心，判断函数的性质即可； （3）根据三角形三边长的关系，以及三角恒等变换，通过作差法判断三个函数值的大小关系，进而判断能够组成三角形； 【详解】（1）可知函数最大值为，所以； 函数经过，所以，即， 因为，解得； 函数经过，所以，化简得， 由五点法可得，解得， 所以. （2）令，故， 取，则；取，则； 取，则，而， 故在上的严格递增区间为， 当时，解得， 当时，，当时，，对称中心为， 当时，， 故当即时，取得最大值为； （3）由向左平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的3倍， 纵坐标不变，得到曲线， 则， 因为，所以，且， 不妨设，当时，可知， 此时， 化简得 ， 此时，，能作为的三边长， 当时，可知， ， 因为，，所以 ， 即，此时，，能作为的三边长. 24．（25-26高一下·上海·期中）已知函数图像上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点坐标为,将函数的图像向右平移个单位得到曲线C，把曲线C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作. (1)求函数的解析式，并写出函数单调递减区间； (2)求函数的最小值； (3)若函数 在内恰有6个零点，求的值. 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据条件，确定函数的最值，周期，求函数的解析式； （2）首先求，再根据三角恒等变换求函数的解析式，再根据正弦函数的性质求最值； （3）首先根据二倍角公式，转化为关于的二次函数，再令，得，再根据复合函数的零点个数，求的取值范围. 【详解】（1）由题意，最小正周期，则， 由，可得 又，所以，，所以， 令，,解得：，， 所以函数的单调递减区间是. （2）由题意得， ， 所以的最小值为，当，即； （3）， 令，可得，令，得， 由于，故方程必有两个不同的实数根，，且，故异号， 不妨设， 若，则，无解，在内有四个零点，不符题意； 若，则在内有2个零点，在内有4个零点，符合题意， 此时 ； 若在有4个零点，故在内应恰有2个零点， ，此时， 综上所述，或． 25．（25-26高一下·上海浦东新·期末）已知函数，其中（）． (1)求函数的振幅和初相； (2)若，且，求的最小正周期和对称轴方程． 【答案】(1)函数的振幅为，初相为 (2) 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式及辅助角公式，化简，得（），从而得到其振幅和初相； （2）由，得是函数的最小值，是函数的最大值，结合，得，求得，从而求得，并得到其对称轴的方程. 【详解】（1）（）． 因此，函数的振幅为，初相为 （2） 由题意，是函数的最小值，是函数的最大值， 所以为半个最小正周期，即，得. 又因为，所以 此时 令，得. 所以的对称轴方程为. 26．（25-26高一下·上海·期中）已知． (1)求函数的单调减区间； (2)求函数在区间上的最大值和最小值； (3)说明函数的图象由图象怎么变换而来． 【答案】(1)， (2)最大值为，最小值为 (3)方法一：先将图象向左平移个单位长度，得到的图象， 再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变，得到的图象． 方法二：先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变，得到的图象， 再将图象左平移个单位长度，得到的图象． 【分析】（1）先根据正弦的二倍角公式，及辅助角公式将化简为正弦型函数，进而结合正弦函数的单调区间求解即可； （2）结合（1），及正弦函数的闭区间最值求解即可； （3）根据三角函数图象的变换规则即可说明． 【详解】（1）由， 令，，解得，， 所以函数的单调递减区间为，． （2）结合（1）有， 由，得，则， 所以， 所以的最大值为，最小值为． （3）方法一：先将图象向左平移个单位长度，得到的图象， 再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变， 得到的图象． 方法二：先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变， 得到的图象， 再将图象左平移个单位长度，得到的图象． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $