精品解析：广东东莞高级中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

2025—2026学年第二学期东莞高级中学期中考试 高一数学 说明：本试卷共4页，19题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知中，内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 已知l，m，n是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 5. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时．液面恰好过，，，的三等分点处，，当底面水平放置时，液面高为（ ） A. 3 B. C. D. 6. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为，向山顶前进到达B处，又测得C对于山坡的斜度为，若，山坡对于地平面的坡度为，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，．E，F分别是，的中点，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 复数，则 B. 复数的虚部为 C. D. 复数是方程在复数范围内的一个解 10. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则三角形有一解 C. 若，，，则是锐角三角形 D. 若，且，则为等边三角形 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是，，的中点，则（ ） A. 存在点线段，使平面 B. 用经过点的平面截正方体，所得截面图形的面积为 C. 异面直线与所成角的正弦值为 D. 若点E满足 ，则与点位置无关 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应的位置上． 12. 复数（其中i是虚数单位）．则________． 13. 记的内角的对边分别为，已知，则的外接圆的半径为______． 14. 已知四边形是边长为4的正方形，点E满足．P为平面内一点，则的最小值为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数（，i为虚数单位），其共轭复数为． （1）若复数为纯虚数，求实数a的值； （2）若且复数在复平面内所对应的点位于第二象限．求实数a的取值范围． 16. 已知向量满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的大小． 17. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形，其直观图为如图所示的四边形，已知，，，且． （1）在直角坐标系中画出原平面图形，并求原平面图形的面积； （2）将原平面图形绕旋转一周，请描述这个几何体的结构特征并求其表面积和体积． 18. 正四棱锥，，P为侧棱上一动点． （1）正四棱锥的表面积； （2）若P为棱的中点（如图1所示），求证：直线平面； （3）若（如图2所示），侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，请写出证明过程，并求的值；若不存在，说明理由． 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为． （1）求角B； （2）若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围； （3）若D为外一点且在所在平面内，满足，，，求的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期东莞高级中学期中考试 高一数学 说明：本试卷共4页，19题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求解. 【详解】由向量的线性运算可得． 故选：B． 2. 已知中，内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理求出，从而求出. 【详解】由正弦定理，得，解得， 又，所以或. 故选：D 3. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数模的公式求解. 【详解】由题意可得， 所以，解得. 故选：B． 4. 已知l，m，n是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及线面平行的性质定理判断即可. 【详解】对于A，若，，则m，n平行或异面，A错误. 对于B，若，，，则m，n平行、相交或异面，B错误. 对于C，根据线面平行的性质定理可知，若，，，则，C正确. 对于D，若，，则或，D错误. 5. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时．液面恰好过，，，的三等分点处，，当底面水平放置时，液面高为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“侧棱”及“侧面水平放置时液面过三等分点”，运用相似三角形面积比关系得出空出部分体积，再用总体积减空出体积得到水的体积，当“底面水平放置”时，利用体积不变及柱体体积公式建立方程，解得液面高度. 【详解】设底面的面积为，直三棱柱侧棱，因此直三棱柱总体积为， 当侧面水平放置时，上方空出部分是一个小三棱柱： 由，可得空出的小三角形与相似，相似比为，面积比为相似比的平方，即， 空出部分的体积为： 因此水的体积为： 当底面水平放置时，设液面高为，此时水的体积为， 结合体积相等：，约去得，即液面高为. 6. 已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为向量，且向量在向量上的投影向量为， 所以，所以 所以 7. 如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为，向山顶前进到达B处，又测得C对于山坡的斜度为，若，山坡对于地平面的坡度为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在ABC中，由正弦定理得AC＝m，再在ADC中，由正弦定理得解. 【详解】由题知，，，所以，. 在ABC中，由正弦定理得， 又m，∴AC＝m． 在ADC中，，m， 由正弦定理得， ∴. 故选：C. 8. 如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，．E，F分别是，的中点，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用侧棱长表示出，再在侧面中，利用余弦定理列方程求出侧棱长，然后可得三条侧棱两两垂直，通过补形法即可求解. 【详解】设，则，， 因为， 所以，则， 在中，因为，则， 由余弦定理可得， 即，解得， 可知，即，所以，，两两垂直， 可以把三棱锥补形棱长为的正方体，可知球即为正方体的外接球， 其体对角线即为外接球的直径，即，， 所以球的表面积． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 复数，则 B. 复数的虚部为 C. D. 复数是方程在复数范围内的一个解 【答案】BC 【解析】 【详解】选项A：只有两个都是实数的复数才能比较大小， 、都是虚数，不能比较大小，因此A选项错误； 选项B：的共轭复数为，虚部为，B选项正确； 选项C： ，， 等式对任意复数都成立，因此C选项正确； 选项D：方程配方得，复数范围内根为， 不是该方程的根，D选项错误. 10. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则三角形有一解 C. 若，，，则是锐角三角形 D. 若，且，则为等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦定理及三角形大边对大角判断AB选项，由三角形大边对大角及余弦定理判断C选项，由向量加法的几何意义、数量积的运算判断D选项. 【详解】对于A，由正弦定理得，，所以，A正确. 对于B，由正弦定理，得， 因为，所以，所以只有一个锐角解，故三角形有一解，B正确. 对于C，因为，所以为最大角， 由余弦定理， 因为，所以为钝角，即是钝角三角形，C错误. 对于D，和分别表示与和同方向的单位向量，以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形， 又由结合菱形性质知的角平分线与垂直， 所以是等腰三角形且， 又因为，且， 所以，所以是等边三角形，D正确. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是，，的中点，则（ ） A. 存在点线段，使平面 B. 用经过点的平面截正方体，所得截面图形的面积为 C. 异面直线与所成角的正弦值为 D. 若点E满足 ，则与点位置无关 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，取中点，可得平面，即可判断；对于B，先判断四边形为此截面，再判断出为等腰梯形，求出其面积，即可判断；对于C，根据异面直线所成角的定义可得为异面直线与所成角，在中，利用正弦定理求解后即可判断；对于D，由题意可得在上，从而得点到平面的距离为定值2，利用等体积法求解即可. 【详解】对于A，当为中点时，，又， 所以，又平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，连接， 则四边形为过点的平面与正方体的截面， 因为，所以， 因为， 所以， 易知， 所以四边形为等腰梯形，其高， 所以其面积，故B错误； 对于C，易知为异面直线与所成角， 在中，， 由正弦定理可得， 即， 解得， 即异面直线与所成角的正弦值为，故C正确； 对于D，因为 ，， 所以三点共线， 即在上， 所以点到平面的距离为定值2， 所以， 即与点位置无关，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应的位置上． 12. 复数（其中i是虚数单位）．则________． 【答案】 【解析】 【详解】原式，因为， 所以，则. 13. 记的内角的对边分别为，已知，则的外接圆的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理求出边后，再利用正弦定理求出外接圆半径即可. 【详解】，. ，. 14. 已知四边形是边长为4的正方形，点E满足．P为平面内一点，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，根据向量数量及的坐标表示求解即可. 【详解】以为原点，以，为，轴建立平面直角坐标系，则，，，. 因为，则. 设，则，，. 所以， 所以 . 因为，， 所以当，时，取得最小值，为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数（，i为虚数单位），其共轭复数为． （1）若复数为纯虚数，求实数a的值； （2）若且复数在复平面内所对应的点位于第二象限．求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据共轭复数的定义以及纯虚数的定义即可求解； （2）先根据复数的除法对复数进行化简，再根据复数的几何意义即可求解. 【小问1详解】 由复数，可得， 则， 因为复数为纯虚数，则满足， 解得． 【小问2详解】 由复数， 因为复数在复平面内所对应的点位于第二象限，可得， 解得，所以实数a的取值范围为． 16. 已知向量满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直关系得，使用向量数量积的公式即可求解； （2）使用向量夹角公式，结合数量积公式即可求解. 【小问1详解】 由题意可得， 因为，所以， 即， 解得． 【小问2详解】 设与的夹角为，由（1）可知， ， 由题意可得， 由，得， 所以，所以. 17. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形，其直观图为如图所示的四边形，已知，，，且． （1）在直角坐标系中画出原平面图形，并求原平面图形的面积； （2）将原平面图形绕旋转一周，请描述这个几何体的结构特征并求其表面积和体积． 【答案】（1）；面积12 （2）所得几何体是一个圆柱挖去一个圆锥，表面积为，体积为 【解析】 【分析】（1）根据斜二测画法还原即可；结合梯形面积公式求解即可. （2）结合旋转所得图形，根据圆柱、圆锥的体积及表面积公式求解即可. 【小问1详解】 还原平面图形，如图， 原平面图形为直角梯形，故． 【小问2详解】 将原平面图形绕旋转一周，所得几何体是一个圆柱挖去一个圆锥， 如图，其中圆柱的底面半径为3，高为6，圆锥的底面半径为3，高为4，母线长为5， 圆柱的下底面面积， 圆柱的侧面积， 圆锥的侧面积， 所以几何体的表面积为， 圆柱的体积， 圆锥的体积， 几何体的体积为． 18. 正四棱锥，，P为侧棱上一动点． （1）正四棱锥的表面积； （2）若P为棱的中点（如图1所示），求证：直线平面； （3）若（如图2所示），侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，请写出证明过程，并求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）连接交于O，则O为中点，连接， 因为P为的中点，所以为的中位线，即， 又因为平面，平面，所以平面． （3）存在一点E，当满足时，平面. 【解析】 【分析】（1）利用正四棱锥的性质求出； （2）利用线面平行的判定定理求证； （3）取的中点Q，依次求证平面，平面，求证平面平面即可. 【小问1详解】 因为，所以底面积为2， 由正四棱锥的性质可得侧面为全等的等腰三角形， 所以侧面积为， 所以正四棱锥的表面积为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 取的中点Q，连接，，，（交于O）， 因为，所以，即P为的中点， 又O为的中点，在中，， 又平面，平面，所以平面， 因为，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面， 所以侧棱上存在一点E，当满足时，平面． 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为． （1）求角B； （2）若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围； （3）若D为外一点且在所在平面内，满足，，，求的大小． 【答案】（1） （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和面积公式化简； （2）利用正弦定理和面积公式得出，结合三角函数求取值范围； （3）设，在、中利用正弦定理得出即可列出方程求解. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得：，即， 所以，化简得：，即， 因为，所以． 【小问2详解】 由正弦定理可得：，解得， 因为，，所以 ， 又因为为锐角三角形，则，则，， 所以，即的面积S的取值范围为． 【小问3详解】 设，则， 则在中，由正弦定理可得：，所以， 在中，由正弦定理可得：，所以， 则，化简得：， 即，即，即， 因为，所以或，解得或， 即或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $