专题04 解三角形中中线、角平分线、垂线条件的处理（思维导图+3知识点+6大题型+综合通关）（暑假复习讲义）新高二数学人教A版

专题04 解三角形中中线、角平分线、垂线条件的处理 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型01 向量法处理中线条件 题型02 其他方法处理中线条件 题型03 类中线问题 题型04 等积法处理角平线条件 题型05 其他方法处理角平线条件 题型06 垂线条件的处理 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 含中线的问题 2. 含角平分线的问题 3. 含垂线的问题 1. 中线：求中线的长度或者出现中线条件求其他量 2. 角平分线：求角平分线的长度或者出现角平分线条件求其他量 3. 垂线：等面积法 考情解码： 这些问题都是有固定的套路，所以经过相应练习后，举一反三即可. 知识点一 中线 如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长. ② 向量法：,平方即可； ③ 余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即 注：若或将条件“AD为BC的中线”换为“”则可以考虑方法②或方法③. 【易错提醒】 （1）1、向量法：＝(b2＋c2＋2bccos A). 推导过程：由＝＋)，得＝＋)2＝＋＋｜｜｜｜·cos A， 所以＝(b2＋c2＋2bccos A).　 2、中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 推导过程：在△ABD中，cos B＝，在△ABC中，cos B＝， 联立得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 即时即练 1．在中，，，，D为BC的中点，则中线______． 2．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为，则最大值为（　　） A．3 B． C．2 D． 知识点二 角平分线条件 △ABC中，AD平分∠BAC. ①角平分线定理： 证法1（等面积法），得 注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离. 证法2（正弦定理） 如图，，,而，整理得 ②等面积法 【易错提醒】 1、等面积法 因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABC， 所以c·ADsin＋b·ADsin＝bcsin A， 所以AD＝2bccos，整理得AD＝(角平分线长公式). 2、内角平分线定理：＝. 即时即练 1．（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，，，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．在中，点在边上，是的内角的角平分线，，，则的面积是________． 知识点三 垂线 ①等面积法： ② ③ 即时即练 1．（25-26高一下·天津红桥·期中）在中，内角所对的边分别为，则边的高线长______ . 题型01 向量法处理中线条件 1．（25-26高一下·重庆·阶段检测）在中，内角的对边分别为． (1)求； (2)若的面积为，求边上的中线的长． 2．（25-26高一下·四川宜宾·期中）在中，角的对边分别为，向量，且 (1)求角的值； (2)若是边上的中线，，求的面积． 3．已知分别为三个内角的对边，且． (1)求角； (2)若为锐角，边上的中线，求的面积最大值． 4．（25-26高一下·四川成都·期中）在锐角中，设角所对的边分别为，已知且． (1)求角； (2)求周长的取值范围； (3)求边上的中线的取值范围． 【易错警示】 （1）1、向量法：＝(b2＋c2＋2bccos A). 推导过程：由＝＋)，得＝＋)2＝＋＋｜｜｜｜·cos A， 所以＝(b2＋c2＋2bccos A).　 题型02 其他方法处理中线条件 1．如图，已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若边上的中线，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（    ） A． B． C． D． 4．在中，角所对的边分别为，已知，若为边上的中线，且，则的面积等于__________． 5．（25-26高一下·湖北武汉·期中）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，． (1)求A； (2)若，求中线的长； (3)若的内切圆半径，求的面积S. 【易错警示】 中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 推导过程：在△ABD中，cos B＝，在△ABC中，cos B＝， 联立得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 题型03 类中线问题 1．已知，，，，点D在边上且，则长度为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·广东广州·期中）三角形中，角所对的边分别为，已知，，点满足，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 3．设中，角所对的边分别为，． (1)求A； (2)已知的面积为，是边上靠近点的三等分点，，求的值． 4．已知中，内角所对的边分别为． (1)求角的值； (2)若点满足，且，求的值． 【易错警示】 线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量 D A C B 题型04 等积法处理角平线条件 1．在中，三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c，的角平分线为CM交AB于M且,,，则线段（   ） A． B． C．2 D． 2．（25-26高一下·广东深圳·期中）在中，内角所对边分别为，若，，角C的角平分线交于点D，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东枣庄·阶段检测）已知在中，． (1)求的大小； (2)若角的角平分线交边于点，，的周长为15，求的长． 4．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）的内角，，所对的边分别是，，，已知． (1)求； (2)是的角平分线，且，求的最小值. 5．（25-26高一下·河南郑州·期中）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，. (1)求角的大小； (2)求边的值； (3)角的角平分线与边交于点，求角平分线长度的取值范围. 【易错警示】 等面积法 因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABC， 所以c·ADsin＋b·ADsin＝bcsin A， 所以AD＝2bccos，整理得AD＝(角平分线长公式). 题型05 其他方法处理角平线条件 1．在锐角中，的角平分线交BC于D，则AD为（   ） A． B．2 C． D． 2．在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 3．在中，已知的角平分线交于D，，，则_____． 4．（24-25高一·全国·暑假作业）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，的角平分线交边于点D，且，则______. 5．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）在中，角的对边分别为，已知，． (1)若为锐角三角形，求其周长的取值范围； (2)若角的角平分线交于，满足，求的长． 6．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且. (1)求C； (2)若，，求内切圆的半径； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 【易错警示】 三角形中与角平分线有关的解题策略 在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 1、利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD. 2、内角平分线定理：＝. 题型06 垂线条件的处理 1．已知中，的对边分别为，且的面积. (1)求； (2)若，且为钝角，求边上的高. 2．（25-26高一下·山东济宁·期中）已知a，b，c分别为斜三个内角A，B，C的对边，且满足. (1)求角A的值； (2)记BC边上的高为h，若，求的值. 3．在中，. (1)求角的值； (2)若边上的高等于，求. 4．（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）（1）在中，边上的中线为，证明：； （2）已知面积为，，，求的长． （3）在中，，边上的高线长为，为的中点，求的最小值. 5．（25-26高一下·重庆·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求． (2)若，且，求． (3)若为锐角三角形，且边上的高，求面积的取值范围． 1．的内角的对边分别为，若边上的高为，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，，，边上的中线，则的面积S为(    ) A． B． C． D． 3．已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，，，为边上一点，且满足，此时，则边长等于（    ） A． B． C．4 D． 5．（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，角的对边分别为，若是的角平分线，点在上，，则（    ） A． B． C． D．4 6．在中，，的角平分线AD交BC于点D，若，则（   ） A． B． C．1 D． 7．（多选题）（24-25高一下·四川成都·期末）在中，，，，点为边上一动点，则（   ） A． B．当为边上的高线时， C．当为边上的中线时， D．当为角的角平分线时， 8．在中，内角的对边分别为，且， (1)求角； (2)若，且边上的中线，求的面积. 9．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：. (2)若，A的角平分线交BC于D，且，求a. 10．已知中，内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若，，在上，且，求的长. 11．已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)已知，为边上的高，求的取值范围． 12．（25-26高一下·黑龙江绥化·期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求B； (2)若D是边AC上靠近A的三等分点，，，求的面积； (3)若BD是的角平分线，，，求b的长． 13．（24-25高一下·河南鹤壁·期末）已知在中，内角的对边分别为且. (1)求C； (2)若AB边上的高为h，求的最大值. 14．（25-26高一下·四川眉山·阶段检测）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，求的周长的范围； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 15．（25-26高一下·天津西青·期中）在面积为S的中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且. (1)求角C的大小； (2)若，，求的周长； (3)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围. 16．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角C的大小； (2)求b的取值范围； (3)边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围. 17．（24-25高一下·云南文山·期中）在中，角的对边分别为，且，. (1)若，求的值； (2)若为锐角三角形. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若是的角平分线，求的取值范围. 18．（24-25高一下·江苏常州·期末）中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求证：； (2)若是锐角三角形，求的取值范围； (3)若的角平分线交BC于D，且，求． 19．（24-25高一下·陕西西安·阶段检测）在中，内角，，所对的边分别是，，，且，. (1)求角； (2)若，求边AC上的角平分线BD长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 解三角形中中线、角平分线、垂线条件的处理 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型01 向量法处理中线条件 题型02 其他方法处理中线条件 题型03 类中线问题 题型04 等积法处理角平线条件 题型05 其他方法处理角平线条件 题型06 垂线条件的处理 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 含中线的问题 2. 含角平分线的问题 3. 含垂线的问题 1. 中线：求中线的长度或者出现中线条件求其他量 2. 角平分线：求角平分线的长度或者出现角平分线条件求其他量 3. 垂线：等面积法 考情解码： 这些问题都是有固定的套路，所以经过相应练习后，举一反三即可. 知识点一 中线 如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长. ② 向量法：,平方即可； ③ 余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即 注：若或将条件“AD为BC的中线”换为“”则可以考虑方法②或方法③. 【易错提醒】 （1）1、向量法：＝(b2＋c2＋2bccos A). 推导过程：由＝＋)，得＝＋)2＝＋＋｜｜｜｜·cos A， 所以＝(b2＋c2＋2bccos A).　 2、中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 推导过程：在△ABD中，cos B＝，在△ABC中，cos B＝， 联立得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 即时即练 1．在中，，，，D为BC的中点，则中线______． 【答案】 【详解】法1：由余弦定理，. 所以. 又， 所以， 所以. 法2：在中，由中线长定理可知， 则，解得． 2．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为，则最大值为（　　） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据两角互补余弦值之和等于，然后分别在三角形中利用余弦定理求出两角的余弦，列出方程，然后利用基本不等式求出最值即可. 【详解】由题意得，， 所以，， 又，且是的中点，所以， 在中，， 在中，， 所以， 即，得，当且仅当取等号， 所以最大值为. 故选：C. 知识点二 角平分线条件 △ABC中，AD平分∠BAC. ①角平分线定理： 证法1（等面积法），得 注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离. 证法2（正弦定理） 如图，，,而，整理得 ②等面积法 【易错提醒】 1、等面积法 因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABC， 所以c·ADsin＋b·ADsin＝bcsin A， 所以AD＝2bccos，整理得AD＝(角平分线长公式). 2、内角平分线定理：＝. 即时即练 1．（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，，，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等面积法，结合三角形面积公式，整理计算，即可得答案. 【详解】因为，所以， 解得. 2．在中，点在边上，是的内角的角平分线，，，则的面积是________． 【答案】/ 【分析】由角平分线的性质可得，设，则，，利用余弦定理可得，求解可得，可利用余弦定量求得，可求得的面积. 【详解】因为是的内角的角平分线，所以. 设，则.    在中，由余弦定理可得， 即， 在中，由余弦定理可得， 即. 因为，所以， 所以，解得，所以. 在中，，，， 则，从而， 故的面积. 故答案为：. 知识点三 垂线 ①等面积法： ② ③ 即时即练 1．（25-26高一下·天津红桥·期中）在中，内角所对的边分别为，则边的高线长______ . 【答案】 【详解】由余弦定理可知， 可知， 所以边的高线长为. 题型01 向量法处理中线条件 1．（25-26高一下·重庆·阶段检测）在中，内角的对边分别为． (1)求； (2)若的面积为，求边上的中线的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用正弦定理得出，再利用余弦定理求出，最后利用同角三角函数关系即可； （2）利用面积公式得出，再利用可计算. 【详解】（1）由以及正弦定理得，， 因为，所以由余弦定理可得， 因为，所以； （2）因为的面积为，所以， 得，则，， 因为是边上的中线，所以， 则， 故边上的中线的长为. 2．（25-26高一下·四川宜宾·期中）在中，角的对边分别为，向量，且 (1)求角的值； (2)若是边上的中线，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量模长公式得到，代入数量积的坐标公式，然后边化角得到角的三角函数式，求出角； （2）利用向量中线公式得出边的长，根据面积公式计算求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 由正弦定理得， 即，且，则， 可得，因为， 所以. （2）由题意得， 则， 即有，且， 解得， 所以， 故的面积为． 3．已知分别为三个内角的对边，且． (1)求角； (2)若为锐角，边上的中线，求的面积最大值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先由正弦定理化简等式，结合两角和的正弦公式和三角形中角的范围计算角的大小； （2）根据平面向量运算以及基本不等式得，再根据三角形面积公式求最值. 【详解】（1）在三角形中，由正弦定理得： ． 中，，， ，， 或． （2）为锐角，， 为的中点，，， ，即， 根据重要不等式知：， ，当且仅当时，等号成立． 因此，的面积最大值为 4．（25-26高一下·四川成都·期中）在锐角中，设角所对的边分别为，已知且． (1)求角； (2)求周长的取值范围； (3)求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理得解； （2）利用正弦定理及三角恒等变换求出的取值范围进而得出结果； （3）用余弦定理、中线向量定理、正弦定理、辅助角公式等，将的范围转化为的范围，再结合锐角三角形以及角，求得角的范围，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 又由余弦定理得，，故． （2）由正弦定理得 ， ， 又因为是锐角三角形，故，解得， ， 周长的取值范围为 ． （3）由余弦定理得，，即． ，两边平方得． 由正弦定理可知，，故， 因此 ， 又因为是锐角三角形，故，解得， 故，，， 即，则． 【易错警示】 （1）1、向量法：＝(b2＋c2＋2bccos A). 推导过程：由＝＋)，得＝＋)2＝＋＋｜｜｜｜·cos A， 所以＝(b2＋c2＋2bccos A).　 题型02 其他方法处理中线条件 1．如图，已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若边上的中线，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在和中，利用余弦定理建立方程，求解即可. 【详解】在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 相加得，又，解得， 故选：A 2．已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理角化边得到，结合基本不等式得到，再由中线长公式求解. 【详解】，由正弦定理可得， 即，则， 又，所以，因为，当且仅当时等号成立， 所以，则． 设边上中线的长度为，则， 所以边上中线长度的最大值为． 故选：C 3．已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角互补余弦值之和等于0，然后分别在三角形中利用余弦定理求出两角的余弦，列出方程求出，然后利用基本不等式求出最值即可. 【详解】由题意得， 所以， 又，且D是的中点，所以， 在中，， 在中，， 所以， 即，得，当且仅当取等号， 故选：A 4．在中，角所对的边分别为，已知，若为边上的中线，且，则的面积等于__________． 【答案】/ 【分析】将条件式，利用正弦定理角化边，再根据余弦定理求得，以为邻边做平行四边形，在中，利用余弦定理求得，所以，得解；方法二，设，在中由余弦定理得，又，由余弦定理可得，解得，后面同解法一. 【详解】由，得， ， 注意，得，得， 记，由，知， 如图，以为邻边做平行四边形， 在中：，即， 得，所以， 故答案为：． 法（2）：设，在中：① 因为，则， 由余弦定理可得，得② 联立①②知：，即，解得，后面同上． 故答案为： 5．（25-26高一下·湖北武汉·期中）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，． (1)求A； (2)若，求中线的长； (3)若的内切圆半径，求的面积S. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦边角关系及三角恒等变换化简条件得，即可得； （2）由余弦定理得，结合列方程求； （3）应用等面积法、余弦定理得到，从而求出，即可求. 【详解】（1）由，可得. ， ，又，则， ，又， （2）在中， ，则， 在中，有，即， 在中，有，即， 又，则， 得 ，解得，得； （3）由， ，即， 由余弦定理得，得， ，即，解得 或（舍）， 所以. 【易错警示】 中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 推导过程：在△ABD中，cos B＝，在△ABC中，cos B＝， 联立得AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 题型03 类中线问题 1．已知，，，，点D在边上且，则长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量数量积去求长度即可. 【详解】中，点D在边上且， 则 又，，， 则 ，即长度为 故选：D 2．（25-26高一下·广东广州·期中）三角形中，角所对的边分别为，已知，，点满足，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的平方和关系及三角形面积公式得到，根据向量的线性运算得到，结合向量的模的计算及基本不等式求解即可. 【详解】在中，，所以. 又，所以. 又， 所以 ，当且仅当时，等号成立. 故的最小值为. 3．设中，角所对的边分别为，． (1)求A； (2)已知的面积为，是边上靠近点的三等分点，，求的值． 【答案】(1) (2)24 【分析】（1）结合已知条件，利用正弦定理进行边化角，再利用三角恒等变换公式进行化简即可； （2）根据是边上靠近点的三等分点，可得，从而可得，对等式两边同时平方化简即可得到答案． 【详解】（1）由正弦定理及， 得， ， ， ． ∵，∴，整理得． 又∵， ∴，∴． （2）由题知， 则， 故， 两边平方得． ∵， ∴， 即． ∵，即，∴， ∴． 4．已知中，内角所对的边分别为． (1)求角的值； (2)若点满足，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件和三角形内角关系，利用两角和的正弦公式化简可得，再由辅助角公式以及角的范围可得； （2）根据向量定比分点以及，在中由正弦定理可得，化简计算即可求得. 【详解】（1）由以及可得 ， 即， 可得，又， 所以，即， 可得，又, 解得. （2）如下图所示： 由可得，，，； 在中，由正弦定理可得，即， 由可得， 化简可得，整理可得， 所以. 【易错警示】 线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量 D A C B 题型04 等积法处理角平线条件 1．在中，三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c，的角平分线为CM交AB于M且,,，则线段（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由余弦定理求出，再由，代入三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】由余弦定理可得：， 因为，所以， 因为为的角平分线，所以， 且， ， 则， 可得：. 故选：B. 2．（25-26高一下·广东深圳·期中）在中，内角所对边分别为，若，，角C的角平分线交于点D，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式列式求解. 【详解】在中，，由余弦定理得， 解得，又，由， 得，则， 所以. 3．（24-25高一下·山东枣庄·阶段检测）已知在中，． (1)求的大小； (2)若角的角平分线交边于点，，的周长为15，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）利用余弦定理求出，再由及面积公式计算可得. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 即， 又，所以，所以， 又，所以； （2）因为，， 由余弦定理得， 即，解得. 为角的角平分线，， ∵， ∴， ∴，得. 4．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）的内角，，所对的边分别是，，，已知． (1)求； (2)是的角平分线，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式及三角函数平方关系求解即可. （2）根据三角形面积关系得到，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 即，整理得，解得， 又，所以. （2）在中，，是的角平分线，且， 而， 则，即， 整理得， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 5．（25-26高一下·河南郑州·期中）在锐角三角形中，角的对边分别为，若，. (1)求角的大小； (2)求边的值； (3)角的角平分线与边交于点，求角平分线长度的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，进一步整理得，即可求得角； （2）利用正弦定理将所给等式转化为关于的等式，结合余弦定理即可求出； （3）利用三角形面积公式，将角平分线表示为，对边对角模型，，转化为三角函数求值域． 【详解】（1）由及正弦定理得： ， 因为，所以， 所以，又，所以. （2）由正弦定理，得， 由得：， 即， 由余弦定理得，， 联立解得. （3） 如图所示，由（1）知，由于， ， ， 由（2）知， 因为，所以， 则 令，则， 因为是锐角三角形，则， 则， 令，由解析式可知在单调递增， 所以，即 即长度的范围为 【易错警示】 等面积法 因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABC， 所以c·ADsin＋b·ADsin＝bcsin A， 所以AD＝2bccos，整理得AD＝(角平分线长公式). 题型05 其他方法处理角平线条件 1．在锐角中，的角平分线交BC于D，则AD为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】在中由正弦定理得出，再在中由正弦定理可得. 【详解】在中由正弦定理得，， 即， 因为， 且为锐角三角形， 所以，， 因为为的角平分线，所以，， 则在中由正弦定理得， 即. 2．在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用向量性质得，平方后求得，再由余弦定理求得，由角平分线定理求得，然后由余弦定理求得后在中计算出． 【详解】是边中点，则， 所以， 即，解得， ， 是的平分线，则，， ， 在中，， 故选：B． 3．在中，已知的角平分线交于D，，，则_____． 【答案】 【分析】设，设，由角平分线的性质可得，在中，由余弦定理可求得. 【详解】因为的角平分线交于D，所以， 设，又因为，所以， 又因为，设，则，解得， 在中，由余弦定理可得. 故答案为：. 4．（24-25高一·全国·暑假作业）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，的角平分线交边于点D，且，则______. 【答案】/ 【分析】法1，由角平分线性质定理可得，由，结合余弦定理列式求得，再由余弦定理求得答案；法2，同法1得，再由Stewart公式，求得，再由余弦定理求得答案. 【详解】法1：如图，由角平分线性质定理得，即，设，则， 由图可知，所以，即， 解得：，所以，故. 解法2：如图，由角平分线性质定理，，即，设，则， 由Stewart公式，，解得：，所以， 故. 故答案为：. 5．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）在中，角的对边分别为，已知，． (1)若为锐角三角形，求其周长的取值范围； (2)若角的角平分线交于，满足，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）正弦定理化边，结合余弦定理求角，最后用正弦函数的性质或基本不等式求最值； （2）利用角平分线定理定边的比例，再用余弦定理求三边，最后用向量模长公式计算长度． 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，整理得， 所以， 又因为，所以， 因为，由正弦定理得， 所以，， 因为，所以， 则， 又，则，即， 所以，，即， 所以，即周长的取值范围是， （2）因为，由角平分线定理得，即， 在三角形中，，由余弦定理得，，； 因为，所以，得， 所以 ． 6．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且. (1)求C； (2)若，，求内切圆的半径； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理将角转化为边，再结合余弦定理，即可求解； （2）首先根据余弦定理求边，再根据等面积转化求内切圆半径； （3）首先根据求得，再根据正弦定理求角的三角函数值. 【详解】（1）因为， 所以. 由正弦定理得，所以， 因为，所以. （2）由（1）知，代入数据得. 因为的面积， 所以内切圆的半径. （3）因为，是角平分线，即， 因为， 所以 由正弦定理可知， 所以， 整理可得. 又因为，即， ∴ 且∵∴ 解得 【易错警示】 三角形中与角平分线有关的解题策略 在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 1、利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD. 2、内角平分线定理：＝. 题型06 垂线条件的处理 1．已知中，的对边分别为，且的面积. (1)求； (2)若，且为钝角，求边上的高. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）利用三角形面积公式列式求解. （2）由（1）及已知得，再利用余弦定理及三角形面积求解. 【详解】（1）在中，由的面积，得， 解得，而，因此或. （2）由为钝角，得必为锐角，即， 由余弦定理得， 此时，B为钝角，符合题意， 设边上高为，由，得. 2．（25-26高一下·山东济宁·期中）已知a，b，c分别为斜三个内角A，B，C的对边，且满足. (1)求角A的值； (2)记BC边上的高为h，若，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由正弦定理边化角可得：，在中，根据代入上式化简，再利用辅助角公式和角的范围即可求解； （2）由（1）知，根据三角形面积公式及余弦定理可求得的值，再利用正弦定理边化角即可求解. 【详解】（1）由及正弦定理可得： ， 在中，， ， 代入上式化简可得：， ，，即， ， 又，，或，即或. 又为斜三角形知，； （2）由（1）知， 面积，BC边上的高，， 由余弦定理可知：，即， 即，或， 所以或. 3．在中，. (1)求角的值； (2)若边上的高等于，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形内角和与两角和的正切公式得到，再结合已知条件求出，根据角的范围求解； （2）根据等面积法得到，利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式求出，最后利用同角三角函数的平方关系求出. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 由已知得， 因为，所以，，所以. （2）设角所对应的边分别为， 因为的面积，则， 由正弦定理得， 因为，所以， 即，由，得， 所以， 所以，因为，解得. 4．（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）（1）在中，边上的中线为，证明：； （2）已知面积为，，，求的长． （3）在中，，边上的高线长为，为的中点，求的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】(1)利用补角余弦值互为相反数求解； (2)作高拆分底边的几何思路，利用正切定义求出未知数表示出高与底边两段的长度，再代入面积公式列方程求解； (3)利用等腰三角形性质与中线公式得到三边边长，再用余弦定理表示目标角余弦值，通过换元法转化为单变量函数，最后利用配凑分式求最值. 【详解】（1）由得，，化简得， ． （2）作于， 设，则，． ， 解得，． （3）设，则，， 由（1）得，， ， 令，， ， 当时，．此时． 5．（25-26高一下·重庆·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求． (2)若，且，求． (3)若为锐角三角形，且边上的高，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理结合三角变换公式可求. （2）根据正弦定理结合（1）结合可判断为等边三角形，再根据数量积可求； （3）设边上的高为，结合两角差的正切可求的范围，从而可求面积的范围. 【详解】（1）因为，结合正弦定理可得， 而为三角形内角，故，故， 因为三角形内角，故，故，故. （2）因为，结合正弦定理得， 故，而为三角形内角，故， 故即为等边三角形. 因为，故， 故，故即. （3） 设边上的高为，则， 因为锐角三角形，故在上（不含端点）， 设，则，其中， 故， 故 设， 因为在上为减函数，在为增函数， 故，故， 故. 1．的内角的对边分别为，若边上的高为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形的余弦定理求解即可 【详解】如图： 设边上的高为．因为，所以， 所以． 由勾股定理可得， 由余弦定理可得． 故选：D 2．在中，，，边上的中线，则的面积S为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长到点使，连接，根据可得面积等于的面积，利用余弦定理求出，再求出sin∠ACE，根据三角形面积公式即可求得答案． 【详解】如图所示， 延长到点使，连接， 又∵，∴(SAS)， ∴的面积等于的面积． 在中，由余弦定理得， 又，则， ∴． 故选：C． 3．已知在中，，，.若的角平分线交边于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理求出的长度，再利用角平分线定理得到与的比例关系，进而求出的长度，最后在中利用余弦定理求出的长度. 【详解】在中，根据余弦定理， 已知，，，设，则有： 解得或（边长不能为负舍去），所以. 因为AD是角平分线，根据角平分线定理：可得. 又因为，所以. 在中，再根据余弦定理， 将，，代入可得： 所以.的长度为 故选：D. 4．在中，，，为边上一点，且满足，此时，则边长等于（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题首先可以结合题意绘出图像，然后根据求出、长，再然后在中通过余弦定理求出，最后在中通过余弦定理即可求出长. 【详解】如图，结合题意绘出图像， 因为，，所以，， 因为，所以， 在中，， 即，解得或（舍去），， 在中，, 即，解得， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形相关问题的求解，主要考查余弦定理解三角形，考查的公式为，考查计算能力，是中档题. 5．（25-26高一下·江苏南京·期中）在中，角的对边分别为，若是的角平分线，点在上，，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】先利用半角公式求出，再根据等面积法进行求解 【详解】题中已知 由半角公式得 化简得 再化简得，即， 解得或，因为，所以， 是的角平分线，点在上，， ， ，，， ， 化简得，即， 将代入得：，那么， 由余弦定理： 得，即，所以. 6．在中，，的角平分线AD交BC于点D，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】设，则，根据正弦定理得角平分线定理得，求得，再根据正弦定理化简得，求出，进而，即可得解. 【详解】，则，设，则， 在中，由正弦定理，， 在中，由正弦定理，， 因，两式相比，可得， 所以，所以， 由正弦定理得，所以， 所以，化简得， 所以或（舍去），又，所以， 所以. 故选：C 7．（多选题）（24-25高一下·四川成都·期末）在中，，，，点为边上一动点，则（   ） A． B．当为边上的高线时， C．当为边上的中线时， D．当为角的角平分线时， 【答案】AC 【分析】对于A，由余弦定理验算即可；对于B，由等面积法验算即可；对于C，由公式验算即可；对于D，将所求转换为即可. 【详解】对于A，由余弦定理有，故A正确； 对于B，当为边上的高线时，由等面积法有， 即，解得，故B错误； 对于C，当为边上的中线时， ，故C正确； 对于D，当为角的角平分线时，设， 由三点共线可知，，解得， 所以，故D错误. 故选：AC. 8．在中，内角的对边分别为，且， (1)求角； (2)若，且边上的中线，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理把角转化成边，再利用余弦定理可得答案； （2）法一：把向量关系式平方，联立余弦定理，解方程可得答案；法二：延长中线至点，使得，解可得答案；法三：利用平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和，以及余弦定理列方程，解方程可得答案；法四：以及余弦定理，列方程，解方程可得答案. 【详解】（1）由余弦定理：， 得：， 即：， 整理得：， 又由余弦定理： 故：. （2）法一：（向量法）由余弦定理，即. 而，得， 即，解得. 故. 法二：（倍长中线法）延长中线至点，使得. 在中，， 由余弦定理得， 即，余下同法一. 法三：（平行四边形法则）平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 即，即.余下同法一. 法四：（双余弦法）由，利用余弦定理得， 即，即.余下同法一. 9．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：. (2)若，A的角平分线交BC于D，且，求a. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）本题利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和与三角恒等变换，通过两角差的正弦公式推导角的等量关系，从而证明. （2）本题先由（1）的结论结合正弦定理得到与的关系，再利用角平分线的性质得到三角形内角的关系，结合正弦定理建立关于的方程，求解得到的值. 【详解】（1）由正弦定理得， 得， 得. 因为，，所以，得. （2）由正弦定理，得.① 因为A的角平分线交BC于D，所以，. 在中，得，得. 在中，由正弦定理得， 得.② 由①②得，得（负根舍去）. 10．已知中，内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若，，在上，且，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二倍角公式和同角三角函数关系化简已知条件即可求解； （2）根据同角三角函数关系得，由向量加法运算得， 平方化简即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以，由得， 即，平方化简得，所以. （2）由题意，所以，即, 又由（1）知，， 又因为，所以， 所以， 所以. 11．已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)已知，为边上的高，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式转化为关于角的三角函数关系，进而求解. （2）利用正弦定理和三角形内角和定理，将高表示为角的函数，再利用三角函数性质求其范围． 【详解】（1）由， 用正弦定理得， 化简得：， 又, 从而，， 得又. （2）由正弦定理得: , 所以 , 在 中， 因为 ，所以 ， 所以 ，即 ． 12．（25-26高一下·黑龙江绥化·期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求B； (2)若D是边AC上靠近A的三等分点，，，求的面积； (3)若BD是的角平分线，，，求b的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用正弦定理结合两角和正弦公式计算，最后应用特殊值的余弦计算求解； （2）应用向量的数量关系列式平方结合数量积的定义及运算律计算得出，最后应用面积公式计算求解； （3）应用面积公式计算得出，最后结合余弦定理求解. 【详解】（1）由正弦定理得，， 又，所以， 则 ， 化简得，， 在中，，所以， 又因为，所以． （2）因为是边上靠近的三等分点， 所以， 所以， 又因为，，， 所以，化简得， 即，解得或（舍去）， 所以； （3）已知平分，且，故， 由得； 将，代入得， 解得． ，． 13．（24-25高一下·河南鹤壁·期末）已知在中，内角的对边分别为且. (1)求C； (2)若AB边上的高为h，求的最大值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再用内角和消元化简，即可得，从而得解； （2）利用等面积法把转化为边的关系，再利用余弦定理结合不等式即可求最大值. 【详解】（1）由及正弦定理得 ， 所以， 因为，所以，所以， 所以，又因为，所以. （2）因为，AB边上的高为h， 由三角形的面积公式得，所以. 由余弦定理得， 当且仅当时取等号，所以， 即的最大值为. 14．（25-26高一下·四川眉山·阶段检测）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，求的周长的范围； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理结合三角变换公式化简题设条件可得，从而可求； （2）利用正弦定理可得，再利用三角变换公式化简后可求的取值范围，从而可得周长的取值范围； （3）由角平分线的性质可得，两次利用余弦定理可求的值. 【详解】（1）由和正弦定理， 可得， 因， 代入可得， 因，则，故， 又因，故； （2）由正弦定理有， 所以，而， 所以 因为，故，故， 故，即周长的取值范围为. （3） 如图，因平分，且， 由角平分线的性质可得，即， 在中，由余弦定理，， 即得，则， 故. 15．（25-26高一下·天津西青·期中）在面积为S的中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且. (1)求角C的大小； (2)若，，求的周长； (3)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据向量共线的坐标关系，结合正余弦定理边角互化即可求解， （2）由余弦定理以及面积公式即可求解得解， （3）根据正弦定理得，进而根据面积公式可得，由三角恒等变换，化简可得，即可根据三角函数的性质求解. 【详解】（1）若，则, 由正弦定理可得，故， 因此, . （2）由（1）可得，又,故， 因此，故， 因此周长为 （3）由于，故， 由正弦定理可得， 故， 因为，所以， 所以， 故, 由于三角形为锐角三角形，故,解得， 因此，故，则， 因此. 16．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角C的大小； (2)求b的取值范围； (3)边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦余弦二倍角公式，结合同角三角函数关系式中的商关系化简已知等式、两角和的正弦余弦公式进行求解即可； （2）根据锐角三角形的性质，结合正弦定理进行求解即可； （3）根据平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的运算性质，结合辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，即 因为，所以， 则，即， 整理可得，即， 所以， 所以. （2）由正弦定理得， 因为锐角，所以， 所以，所以； （3）由余弦定理可得， 又， 则 ， 由正弦定理可得， 所以， 所以 由（2）知，则， 所以， 则， 则， 故中线的长度的取值范围为. 17．（24-25高一下·云南文山·期中）在中，角的对边分别为，且，. (1)若，求的值； (2)若为锐角三角形. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若是的角平分线，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】(1)先边化角，结合两角和的正弦展开式求出角再利用余弦定理求的值； (2) （ⅰ）锐角三角形中最大角必为锐角结合余弦定理写出三边关系求出的取值范围； （ⅱ）由的取值计算出的取值范围结合面积公式及倍角公式计算出的取值范围即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， ∴， ∴， ∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴． 由余弦定理可得， ∴， ∴． （2）（ⅰ）已知，，， ∴，又∵△ABC为锐角三角形， 所以，即， ∴，∴． （ⅱ）因为，所以， 所以． 又∵， ∴， 化简得， 又∵，∴， ∴，∴． 18．（24-25高一下·江苏常州·期末）中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求证：； (2)若是锐角三角形，求的取值范围； (3)若的角平分线交BC于D，且，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理以及两角和差的正弦公式化简得到，再根据角的范围即可证明； （2）根据三角形形状及交的关系确定角的范围，进而根据三角恒等变换化解可得，进而结合余弦函数的性质求解即可； （3）由题设可得，，，进而结合正弦定理及三角恒等变换求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理有：， 所以， 则， 则， 则， 因为、，所以， 又因为，所以，所以， 所以有或，即或（舍去）， 所以得证. （2）因为是锐角三角形，，所以， 所以，解得， 所以 ， 由，则，则， 所以，则的取值范围为. （3）因为为的平分线，且， 所以，所以， 在中，，， 由正弦定理有：，即， 则， 则， 则，解得或， 又，则为锐角，即. 19．（24-25高一下·陕西西安·阶段检测）在中，内角，，所对的边分别是，，，且，. (1)求角； (2)若，求边AC上的角平分线BD长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用和角的正弦公式展开整理，求出，结合角的范围即得； （2）先由余弦定理结合条件，求得，再由三角形面积相等列方程求解即得； （3）利用线段中点的向量表达式推得，由（2）结论代入可得，利用正弦定理和三角恒等变换化简可得，结合锐角三角形中及正弦函数的图象性质求得，即可得到的取值范围. 【详解】（1）由可得， 因为， 所以， 由，得，又，则. （2）如图： 由余弦定理，，因为，， 所以，又，所以. 由，得， 整理得：. （3）因为是边上的中线，则， 两边取平方，， 由（2）已得，代入可得， 由正弦定理，， 则， 所以 ， 因为为锐角三角形，则有，解得， 则， 由正弦函数的图象性质，可得， 故得，从而， 故边上的中线的取值范围为. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $