6.4.3 第1课时 余弦定理 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝4，c＝3，则cos A＝(　　) A． B． C． D．－ 解析：选A.在△ABC中，已知a＝，b＝4，c＝3，由余弦定理的推论， 得cos A＝＝＝. 2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ac＝8，a＋c＝7，B＝，则b＝(　　) A．6 B．5 C．4 D． 解析：选B.因为在△ABC中，ac＝8，a＋c＝7，B＝，所以由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－2ac－2ac×＝49－16－8＝25，所以b＝5. 3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝7，A＝，5b＝8c，则△ABC的周长为(　　) A．12 B．20 C．16 D．17 解析：选B.在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc＝49，联立解得(b，c均大于0)，所以a＋b＋c＝20. 4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C＝60°，c2＝ab，则△ABC的形状是(　　) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 解析：选D.由余弦定理的推论知cos C＝，因为c2＝ab，C＝60°，所以cos 60°＝＝，所以(a－b)2＝0，所以b＝a，因此B＝A，所以B＝A＝C＝60°，即△ABC是等边三角形． 5．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，D是BC的中点，则AD＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C.由题意知，BD＝BC＝2，在△ABC中，由余弦定理的推论得cos B＝＝＝，在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos B＝32＋22－2×3×2×＝，由AD>0，得AD＝. 6．(多选)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是(　　) A．若B>C，则b>c B．sin (A＋C)＝sin B C．若b2＋c2>a2，则△ABC是锐角三角形 D．若b2＋c2<a2，则△ABC是钝角三角形 解析：选ABD.对于A，在△ABC中，B>C，则b>c，A正确；对于B，sin (A＋C)＝sin (π－B)＝sin B，B正确；对于C，由b2＋c2>a2，得cos A＝>0，则A是锐角，但B，C是否都是锐角无法确定，C错误；对于D，由b2＋c2<a2，得cos A＝<0，则A是钝角，△ABC是钝角三角形，D正确． 7．已知4根细钢丝的长度分别为2，3，4，6，用其中的3根细钢丝围成一个三角形，则该三角形最小内角的余弦值可以是________． 解析：根据三角形的性质，只能用长度分别为2，3，4或3，4，6的3根细钢丝围成三角形，则该三角形最小内角的余弦值为＝或＝. 答案：或 8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝，a＝3，b＝4，则cos B＝________． 解析：由余弦定理的推论cos C＝可得＝，解得c＝3，所以cos B＝＝＝. 答案： 9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos C＝a(2－c)，且B＝，则a＝________． 解析：因为2b cos C＝a(2－c)，两边同时乘以a得2ab cos C＝a2(2－c)，由余弦定理可得a2＋b2－c2＝2ab cos C，则a2＋b2－c2＝a2(2－c)，所以有a2＋c2－b2＝a2c，又a2＋c2－b2＝2ac cos B，所以a2c＝2ac cos B，故a＝2cos B，又因为B＝，所以a＝1. 答案：1 10．(13分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＋c2＝b2＋ac. (1)求B；(6分) (2)若c＝2a，求cos C．(7分) 解：(1)由a2＋c2＝b2＋ac， 得a2＋c2－b2＝ac， 故cos B＝＝＝， 因为B∈(0，π)，所以B＝. (2)设a＝t，c＝2t，代入a2＋c2＝b2＋ac， 得t2＋8t2＝b2＋t·2t， 故b2＝5t2，解得b＝t， 由余弦定理的推论得cos C＝＝＝－. 11．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，c＋b)，q＝(c－a，b).若p⊥q，则角A的大小为(　　) A． B． C． D． 解析：选A.由p⊥q可得p·q＝0，即(a＋c，c＋b)·(c－a，b)＝c2－a2＋bc＋b2＝0，所以c2＋b2－a2＝－bc，因此cos A＝＝＝－，又A∈(0，π)，所以A＝. 12．若钝角三角形的三边长分别为a＋1，a＋2，a＋3，则a的取值范围是________． 解析：因为a＋1<a＋2<a＋3，所以此三角形的最大边为a＋3， 设此边所对应的角为α，则α为钝角， 由余弦定理的推论可得 cos α＝<0， 即有(a＋1)2＋(a＋2)2－(a＋3)2<0，整理得a2－4<0，解得－2<a<2， 又因为即a>0， 所以a的取值范围为(0，2). 答案：(0，2) 13．黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形．其中顶角为36°的等腰三角形的底与腰的长度之比为，这种黄金三角形被认为是最美的三角形．根据上述信息，可得cos 36°＝________． 解析： 在△ABC中，A＝36°，AB＝AC，＝.设AB＝2x，BC＝(－1)x，则cos 36°＝＝ ＝. 答案： 14．(13分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2(－A)＋cosA－＝0. (1)求cos A；(6分) (2)若c－a＝，证明：△ABC是直角三角形．(7分) 解：(1)由cos2(－A)＋cosA－＝0， 可得sin 2A＋cos A－＝0， 即cos 2A－cos A＋＝0， 整理得(cos A－)2＝0， 解得cos A＝. (2)证明：由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc，因为c－a＝， 所以a＝c－， 代入上式可得c2－bc＋b2＝b2＋c2－bc，化简得c＝b.又a＝c－＝，则c2＝a2＋b2， 故△ABC是直角三角形． 15．(15分)在△ABC中，BC＝4，AC＝6，cos C＝. (1)求证：B＝2A；(7分) (2)若＝λ，BD＝，求实数λ的值．(8分) 解：(1)证明：在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C＝36＋16－27＝25，所以AB＝5，又cos B＝＝＝， cos A＝＝＝， 所以cos 2A＝2cos2A－1＝2×()2－1＝， 所以cosB＝cos 2A， 由题意知0<A<B<π，所以0<A<，0<2A<π，0<B<π，所以B＝2A. (2) 因为＝λ，BD＝<4，所以点D在AC上，即0<λ<1. 由(1)知cos A＝，设AD＝x，在△ABD中，由余弦定理知BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos A， 化简得2x2－15x＋22＝0，得x＝或x＝2. 当x＝2时，AD＝2，λ＝； 当x＝时，AD＝，λ＝. 综上所述，λ＝或λ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $