第07讲 解三角形中角平分线、中线、垂线条件的应用（思维导图+知识串讲+3大考点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第07讲 解三角形中角平分线、中线、垂线条件的应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 中线条件 如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长. ② 向量法：,平方即可； ③ 余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即 注：若或将条件“AD为BC的中线”换为“”则可以考虑方法②或方法③. 知识点02 角平分线条件 △ABC中，AD平分∠BAC. ①角平分线定理： 证法1（等面积法），得 注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离. 证法2（正弦定理） 如图，，,而，整理得 ②等面积法 知识点03 垂线条件 ①等面积法： ② ③ 【考点一：角平分线条件】 一、单选题 1．（24-25高一下·福建福州·期中）在中，的对边分别为，的角平分线交边于点．若，，，则（    ） A．1 B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏南京·期中）在斜中，设角、、的对边分别为、、，已知，若是的角平分线，且，则（    ） A． B． C． D． 二、解答题 3．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)求角A的大小； (2)若，∠BAC的角平分线交BC于点D，求线段AD长度的最大值. 4．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且. (1)求C； (2)若，，求内切圆的半径； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 5．（2024·广东深圳·模拟预测）已知中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角A的大小； (2)若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求的最小值． 6．（23-24高一下·吉林·期末）法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，以，，为边向外作三个等边三角形，其中心分别为D，E，F. (1)求角A； (2)若，且的周长为9，求； (3)若的面积为，求的角平分线的取值范围. 【考点二：中线条件】 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）的内角的对边分别为．其中，则边上的中线的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一·全国·专题练习）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·浙江·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，.若，，则边上中线的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 5．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）在中，角的对边分别为. (1)证明：； (2)求； (3)若，边上的中线，求边的长. 6．（2025·浙江嘉兴·二模）在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知． (1)求； (2)若，，，求的面积． 【考点三：垂线条件】 一、单选题 1．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边上的中线、高线、角平分线长分别是，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）在中，，，，为的一条高线，则 ． 三、解答题 3．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）在中，A，B，C所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求BC边上的高线AD的最大值. 4．（2025高一·全国·专题练习）记斜三角形的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)过点作的垂线，与的延长线相交于点，若，且，求. 5．（23-24高一上·云南玉溪·期中）已知的三个内角所对的边分别为，满足，且． (1)求； (2)若点在边上，，且满足 ，求边长； 请在以下三个条件： ①为的一条中线；②为的一条角平分线；③为的一条高线； 其中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）在中，，的角平分线AD交BC边于点D，的面积是的面积的2倍，则（） A． B． C． D． 二、多选题 2．（24-25高一下·四川成都·期中）中，，点D在线段AB上，下列结论正确的是（   ） A．若CD是中线，则 B．若CD是高，则 C．若CD是角平分线，则 D．若D是线段AB的三等分点，则 三、填空题 3．（24-25高一下·广东汕尾·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB边上的高为2c，，则 ． 4．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）△ABC中， AB=3，AC=2，∠BAC=60°， 中线AM长为m，角平分线AD的长为n，则 四、解答题 5．（2025·河北·模拟预测）在中，三个内角的对边分别为. (1)若，求； (2)若边上的高，求的周长. 6．（24-25高一下·吉林·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求； (2)若的面积为，求AB边上的中线CD的长． 7．（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）已知函数，最小正周期是，在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c． (1)求的单调递减区间； (2)若，，AD为BC边上的中线，求AD的取值范围． 8．（24-25高一下·福建莆田·期中）记的内角的对边分别为，三个内角满足且为锐角，， (1)求角的大小； (2)为AB上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段CD的最大值． 条件①：CD为的角平分线；条件②：CD为边AB上的中线． 9．（23-24高一下·四川成都·期中）已知的内角的对边为，且 (1)求; (2)若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 10．（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）在中，角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若，为边上的一点，，且______，求的面积. （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）. ①是的平分线； ②为线段的中点. (3)若为锐角三角形，求边上的高取值范围. 11．（24-25高一下·山西·期中）如图，在中，是上一点，是上一点，且． (1)已知在的垂直平分线上，且． ①求； ②若为外接圆的圆心，为外接圆的圆心，求． (2)若是的角平分线，，求的最大值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 解三角形中角平分线、中线、垂线条件的应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 中线条件 如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长. ② 向量法：,平方即可； ③ 余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即 注：若或将条件“AD为BC的中线”换为“”则可以考虑方法②或方法③. 知识点02 角平分线条件 △ABC中，AD平分∠BAC. ①角平分线定理： 证法1（等面积法），得 注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离. 证法2（正弦定理） 如图，，,而，整理得 ②等面积法 知识点03 垂线条件 ①等面积法： ② ③ 【考点一：角平分线条件】 一、单选题 1．（24-25高一下·福建福州·期中）在中，的对边分别为，的角平分线交边于点．若，，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，利用正弦定理边化角求得，再利用，可得到，利用余弦定理求得答案. 【详解】因为， 由正弦定理得，则， 所以， 因为，所以 且，所以． 由题意可知：， 因为， 则， 即，可得． 在中，. 故选：C. 2．（23-24高一下·江苏南京·期中）在斜中，设角、、的对边分别为、、，已知，若是的角平分线，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正余弦定理可得，即可根据等面积法可得，利用余弦定理可得，由二倍角公式即可求解. 【详解】解：由正弦定理可得得，    由余弦定理可得， 由于所以， ， 由于，所以， 由于，， 由余弦定理可得， ， ，， ，， ， 故选：B 二、解答题 3．（24-25高一下·广东深圳·阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. (1)求角A的大小； (2)若，∠BAC的角平分线交BC于点D，求线段AD长度的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得，由正弦定理有，由余弦定理即可求解 （2）由余弦定理得，利用基本不等式得，由得，由均值不等式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 又， 所以. （2）因为，， 所以由余弦定理得， 即， 所以， 即（当且仅当时，等号成立）， 因为， 所以，解得， 因为（当且仅当时，等号成立）， 所以（当且仅当时，等号成立）， 所以长度的最大值为. 4．（24-25高一下·山东济宁·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且. (1)求C； (2)若，，求内切圆的半径； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理将角转化为边，再结合余弦定理，即可求解； （2）首先根据余弦定理求边，再根据等面积转化求内切圆半径； （3）首先根据求得，再根据正弦定理求角的三角函数值. 【详解】（1）因为， 所以. 由正弦定理得，所以， 因为，所以. （2）由（1）知，代入数据得. 因为的面积， 所以内切圆的半径. （3）因为，是角平分线，即， 因为， 所以 由正弦定理可知， 所以， 整理可得. 又因为，即， ∴ 且∵∴ 解得. 5．（2024·广东深圳·模拟预测）已知中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角A的大小； (2)若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，求出； （2）利用余弦定理得到，由三角形面积公式和求出，表达出，利用两次基本不等式求出最值. 【详解】（1）由题意知中，， 故 即， 即， 所以， 而，故， 故，即， 又，故； （2）由余弦定理：， 又， 所以，所以， 所以， 当且仅当时，取等号，则的最小值为. 6．（23-24高一下·吉林·期末）法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，以，，为边向外作三个等边三角形，其中心分别为D，E，F. (1)求角A； (2)若，且的周长为9，求； (3)若的面积为，求的角平分线的取值范围. 【答案】(1)； (2)9； (3). 【分析】（1）由已知，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦公式计算得解. （2）则（1）的结论，利用余弦定理求出，再利用数量积的定义计算即得. （3）由（2）中信息，利用三角形面积公式求出，再求出的范围，借助函数单调性求出范围. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， 又，则， 又，于是即，又， 所以. （2）由（1）知，由正的周长为，得， 依题意，， 在中，由余弦定理得， 则，即， 在中，由余弦定理得，即，联立解得， 所以. （3）由正的面积为，得， 由（2）知，即， 由，得， 于是，又，则， 又，即，解得，因此， 令函数，而函数与在上均单调递增， 则函数在上单调递增，从而，则， 所以的取值范围是. 【点睛】思路点睛：求三角形中线段长的最值问题，主要方法有两种，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 【考点二：中线条件】 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）的内角的对边分别为．其中，则边上的中线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，进而结合平面向量数量积的运算律、余弦定理求解即可. 【详解】由题意，， 则， 则 ， 则，即. 故选：A. 2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角互补余弦值之和等于0，然后分别在三角形中利用余弦定理求出两角的余弦，列出方程求出，然后利用基本不等式求出最值即可. 【详解】由题意得， 所以， 又，且D是的中点，所以， 在中，， 在中，， 所以， 即，得，当且仅当取等号， 故选：A 3．（2025高一·全国·专题练习）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理角化边得到，结合基本不等式得到，再由中线长公式求解. 【详解】，由正弦定理可得， 即，则， 又，所以，因为，当且仅当时等号成立， 所以，则． 设边上中线的长度为，则， 所以边上中线长度的最大值为． 故选：C 4．（23-24高一下·浙江·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，.若，，则边上中线的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加法运算及数量积模的运算，推导出，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式，将表示为角的三角函数表达式，结合正弦函数的性质算出的取值范围． 【详解】因为是边上的中线，所以， 则， 由正弦定理得， 可得，， 所以， 而， ， 所以 ， 因为为锐角三角形，，则，即， 所以，所以， 所以当时，取得最大值，的最小值大于， 所以的最大值为，最小值大于，即的取值范围为． 故选：B． 二、解答题 5．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）在中，角的对边分别为. (1)证明：； (2)求； (3)若，边上的中线，求边的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）利用正弦定理将角转化为边即可得证； （2）利用余弦定理即可求解； （3）在和中有，利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）证明：由正弦定理得：， 即. （2）因为， 即. 则， 因为， 所以. （3）因为，由余弦定理知：， ， 即， ， 故， 解得：或. 6．（2025·浙江嘉兴·二模）在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知． (1)求； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出，结合正弦定理可求得结果； （2）由平面向量的减法可得出，利用平面向量数量积的运算性质结合与余弦定理可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）由及正弦定理可得， 即， 即， 即， 因为为锐角，故，可得，由正弦定理得，故. （2）因为，则，故， 所以， 即，即①， 由余弦定理可得，即②， 联立①②可得，，故， 因此，. 【考点三：垂线条件】 一、单选题 1．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边上的中线、高线、角平分线长分别是，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A中，由正弦定理可得中线的表达式，判断出A的真假；B中，由三角形等面积法求出角平分线的表达式，判断出B的真假；C中，由三角形等面积法求出高的表达式，判断出C的真假；D中，由选项的分析，可得三角形的面积的表达式，判断出D的真假． 【详解】A：设为的中线，由可得,可得， 即，所以A正确； B中，设，设为的角平分线，所以， 由三角形等面积法可得， 可得， 所以，即，所以B正确； 设为边上的高，由等面积法可得， 所以，因为，由余弦定理可得， 所以， 所以， 即，所以C正确； D中，由C可得，所以D不正确． 故选：D． 二、填空题 2．（24-25高一下·山东泰安·阶段练习）在中，，，，为的一条高线，则 ． 【答案】 【分析】先利用余弦定理求出，再根据即可得解. 【详解】在中，由余弦定理得， 因为， 所以. 故答案为：. 三、解答题 3．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）在中，A，B，C所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求BC边上的高线AD的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，由正弦定理得，化简得，结合求解即可； （2）由余弦定理结合基本不等式求三角形面积得最大值即可求出高线AD的最大值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 即， 又因为，所以， 因为，所以. （2）由（1）可知：，又， 所以由余弦定理得：, 所以，所以， 当且仅当时，等号成立. 所以, BC边上的高线AD的最大值. 4．（2025高一·全国·专题练习）记斜三角形的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)过点作的垂线，与的延长线相交于点，若，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理的边角互化结合正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果； （2）由余弦定理可得，在直角三角形中可得，再由两角互补其余弦值互为相反数，即可得到，再结合勾股定理，即可得到结果. 【详解】（1）由正弦定理的边角互化可得， 且， 即， 即， 即， 其中为斜三角形，所以，即， 则，即，所以. （2） 因为， 在中，由余弦定理可得， 又，，所以， 且，所以， 即，解得，所以， 则. 5．（23-24高一上·云南玉溪·期中）已知的三个内角所对的边分别为，满足，且． (1)求； (2)若点在边上，，且满足 ，求边长； 请在以下三个条件： ①为的一条中线；②为的一条角平分线；③为的一条高线； 其中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，借助三角恒等变换公式化简即可； （2）由（1）问，分析边角关系，利用余弦定理等知识求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 由倍角公式可得，则， 又因为，则， 所以， 即． 且，则，可得， 又因为，所以． （2）若选择①：若为的中线，设（）， 由余弦定理可得，， 因为，可得， 即，整理得，可知， 又因为，解得或（舍去）， 所以； 若选择②：若为的角平分线，则， 在中，由余弦定理得，即， 可知，即，可知，， 所以； 若选择③：若为的高线，则， 则，即，则， 可知，可知，, 所以． 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）在中，，的角平分线AD交BC边于点D，的面积是的面积的2倍，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质，结合等面积法可得，即可由正弦定理求解，由三角恒等变换即可求解. 【详解】，的角平分线AD交BC边于点D，故，    故， 由正弦定理可得，故，故， 故，故， 故选：C. 二、多选题 2．（24-25高一下·四川成都·期中）中，，点D在线段AB上，下列结论正确的是（   ） A．若CD是中线，则 B．若CD是高，则 C．若CD是角平分线，则 D．若D是线段AB的三等分点，则 【答案】AC 【分析】分别使用向量解决三角形中线长问题，等面法求解高线、角平分线问题，两次使用余弦定理解决三等分点问题. 【详解】 A选项：由余弦定理知： 因为是中线，则 则 则 B选项： 则 则故B错误. C选项： 即 则则故C正确. D选项：在中 在中若， 可得若是线段的三等分点，则或 但,均不是方程的解，则选项D错误. 故选：AC. 三、填空题 3．（24-25高一下·广东汕尾·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB边上的高为2c，，则 ． 【答案】 【分析】根据已知，用c表示出a、b，然后由余弦定理可得 【详解】如图，AB边上的高为CD, 因为，所以 所以 由勾股定理可得 由余弦定理可得 故答案为： 4．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）△ABC中， AB=3，AC=2，∠BAC=60°， 中线AM长为m，角平分线AD的长为n，则 【答案】 【分析】中线用向量即可求的值；角平分线用即可求的值. 【详解】AM为中线，则，则，则， AD为角平分线，则，即， 得， 则 故答案为： 四、解答题 5．（2025·河北·模拟预测）在中，三个内角的对边分别为. (1)若，求； (2)若边上的高，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理求得，再由正弦定理即可求解； （2）由面积公式得到，再结合余弦定理求得，即可求解. 【详解】（1）由余弦定理 得， 联立，解得（舍）或， 由正弦定理得，得 解得. （2）由题得的面积， . 由余弦定理得， ， ， 的周长为. 6．（24-25高一下·吉林·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求； (2)若的面积为，求AB边上的中线CD的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，然后通过余弦定理求出. （2）根据三角形面积公式求出边的值，最后利用余弦定理求出中线的长. 【详解】（1）在中，因为，根据正弦定理得： ，因为，所以. 根据余弦定理. （2）由（1）知，因为， 所以. 因为的面积为，所以， 解得，进而.    根据余弦定理可得. 所以根据余弦定理. 因为为线段，其长度取正值，所以. 所以边上的中线的长为. 7．（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）已知函数，最小正周期是，在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c． (1)求的单调递减区间； (2)若，，AD为BC边上的中线，求AD的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为， (2) 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简得，然后根据周期求得，进而求出解析式，然后利用正弦函数单调性求解单调递减区间； （2）先求出，利用余弦定理得，然后利用数量积的运算律得，然后由正弦定理及三角恒等变换得，然后利用正弦函数的性质求解即可． 【详解】（1）， 因为的最小正周期为，所以，所以， 令，，得，， 所以的单调递减区间为，． （2）由（1）可知，，则， 因为，所以，所以，解得． 由，及余弦定理，得， 因为，所以， 由正弦定理得，，， 所以 ． 所以， 又，所以，所以， 故， 所以周长的取值范围是． 8．（24-25高一下·福建莆田·期中）记的内角的对边分别为，三个内角满足且为锐角，， (1)求角的大小； (2)为AB上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段CD的最大值． 条件①：CD为的角平分线；条件②：CD为边AB上的中线． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）将已知的三角函数等式通过恒等变形转化为关于角的方程，利用角度和的三角恒等式和正切函数的和公式，最终求得角的正弦值，结合锐角条件确定角的大小. （2）选择条件①：利用余弦定理与面积及均值不等式得出结果. 选择条件②：利用角平分线的性质与向量的平行四边形法则结合进行运算，最后在运用均值不等式得出结果. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 即， 所以，即， 因为，所以． （2）选择条件①： 在中，由余弦定理，得， 即，故， 当且仅当时，等号成立， 又因为. 所以. 故CD的最大值为3． 选择条件②： 由题，平方得， 在中，由余弦定理得， 所以， 故，当且仅当时，等号成立， 故有， 从而，即CD的最大值为3． 9．（23-24高一下·四川成都·期中）已知的内角的对边为，且 (1)求; (2)若的面积为 ①已知为的中点，且，求底边上中线的长; ②求内角的角平分线长的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，由余弦定理可得，由同角三角函数的基本关系求解即可. （2）①根据面积公式可得，结合以及向量的模长公式求解即可，②利用等面积法可得，进而根据半角公式可得，即可得，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得，即， 故，因为，所以， 所以. （2）①由（1）知，因为的面积为， 所以，解得， 且，解得，由于， 所以 ，所以，即. ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 得到， 由于，所以， 由二倍角公式得，则，解得， 又，所以， 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故. 10．（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）在中，角的对边分别是，且. (1)求角的大小； (2)若，为边上的一点，，且______，求的面积. （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）. ①是的平分线； ②为线段的中点. (3)若为锐角三角形，求边上的高取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据边角互化，结合三角恒等变换可得， （2）选择①，利用等面积法以及余弦定理即可求解的值，即可根据面积公式求解，选择②，利用向量的模长公式以及余弦定理可得的值，即可根据面积公式求解， （3）根据正弦定理可得外接圆半径，即可根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换，即可结合三角函数的性质求解的范围，即可利用三角形面积公式求解. 【详解】（1） 在中，： 结合正弦定理可得： 由得， ， ， ，又，所以． （2）若选①：由平分得：， ，即． 在中，由余弦定理得，则， 联立，得，解得， ； 若选②：由题设，则， 所以， 在中，由余弦定理得，则， 联立，得， ． （3）由正弦定理得， 故 , 由于为锐角三角形，故,故，因此， 故当，即时，此时取到最大值， 当或，即或时，此时， 因此 ， 故三角形的面积为， 故边上的高为， 11．（24-25高一下·山西·期中）如图，在中，是上一点，是上一点，且． (1)已知在的垂直平分线上，且． ①求； ②若为外接圆的圆心，为外接圆的圆心，求． (2)若是的角平分线，，求的最大值． 【答案】(1)①，②2 (2)1 【分析】（1）由垂直平分线的性质及余弦定理即可求解；再由正弦定理得出和外接圆的半径，再根据勾股定理即可求解； （2）根据三角形面积公式及基本不等式求得，再根据余弦定理及基本不等式得出，即可求解． 【详解】（1）①因为是的垂直平分线， 所以， 则， 又，所以，则， 所以，则， 在中，， 所以； ②因为，所以， 又是的垂直平分线，所以外接圆的圆心在射线上，如图所示， 半径为； 同理可得外接圆的圆心在射线上，半径， 所以． （2）因为是的角平分线，， 所以， 所以， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 因为， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为1． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$