精品解析：2026年山西朔州市怀仁市初中学业水平考试押题卷（二）数学

2026年山西省初中学业水平考试押题卷（二） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解：由无理数的定义可知，四个数中只有是无理数． 2. 计算 的结果是（ ） A. a2 B. -a2 C. a4 D. -a4 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 故选D． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 3. 古汉字“雷”有下列四种写法，其中可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D.             【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，理解轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 中国第一颗人造地球卫星“东方红一号”于1970年4月24日成功发射，拉开了中国人探索宇宙的序幕，2016年起将每年这一天设立为中国航天日．2025年中国航天日的主题活动中，展示了火星探测器的通信数据：探测器向地球传输的某组信号数据量为439000字节，将439000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：439000用科学记数法表示为． 5. 在学校举办的元旦游园活动中，有一个摸球抽奖的游戏环节：工作人员在一个不透明的袋子里装有红球和黄球共40个，这些球除颜色外都相同，小红通过多次摸球试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数最有可能是( ) A. 14 B. 26 C. 30 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用大量重复试验中频率的稳定值估计概率，设袋子中有黄球x个，根据摸出红球的频率稳定在左右列出方程，求解即可． 【详解】解：∵多次摸球试验后，摸出红球的频率稳定在左右， ∴估计摸出红球的概率为． 设袋子中有黄球x个，则 ，解得， 因此袋子中黄球的个数最有可能是． 6. 如图，在中，，顶点A，C分别在直线m，n上．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据邻补角互补和两角互余得到的度数，再根据两直线平行内错角相等得到的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 7. 足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据单循环赛制的比赛场次规律，设出球队数量，列方程求解，舍去不合题意的负根即可求出答案． 【详解】单循环赛制中每两支球队之间只进行一场比赛，总比赛场数为28场， 设参加比赛的球队数量是，列方程 ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得 ，． 球队数量为正整数， （舍去）， ． 参加比赛的球队数量是8． 8. 一个菱形的边长是方程的一个根，菱形的一条对角线长为6，则该菱形的面积为（ ） A. 48 B. 24 C. 24或48 D. 48或40 【答案】B 【解析】 【分析】先解方程得到边长的可能值，结合三角形三边关系舍去不合理的解，再利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出另一条对角线长，最后计算菱形面积即可． 【详解】解：解方程， 分解因式得， 解得或， ∵菱形对角线互相垂直平分，已知一条对角线长为6，因此该对角线一半长为3， 若菱形边长为3，则，不能构成三角形，舍去； 若菱形边长为5，由勾股定理得另一条对角线的一半长为， ∴另一条对角线长为， ∴菱形面积为． 9. 如图，为等边三角形，，，相交于点P，于Q．已知，，则的长是（ ） A. 6.5 B. 10.5 C. 11 D. 11.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得出，，根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，，求出，求出，根据含角的直角三角形的性质求出，即可求出答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中 ， ，， ， ， ， ， 在中，，，， ， ， ． 10. 如图，在中，，，，将绕点A旋转至，使得A，B，E三点共线，则边扫过的面积（即阴影部分面积）为（ ） A. B. 9 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，解答即可 【详解】解：，，， ， ， 是直角三角形，且， ， ， ∴， 绕点A旋转至，使得A，B，E三点共线， ，，，， 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于的不等式求解，即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：由题意得， 解得． 12. 已知一个反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设反比例函数解析式为，利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于比例系数列等式求解即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 反比例函数图象经过点和， ， 整理得 ， 解得 ． 13. 某农资公司准备大批量采购玉米种子，为保障农户种植效果，采购前需对种子发芽率进行检测．质检员从待采购的玉米种子中抽取6批样本，在统一的温度、湿度等条件下做发芽试验，获取的数据如下表： 种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000 发芽种子粒数 85 318 652 793 1604 4005 发芽频率 0.850 0.795 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为_________（精确到0.01）． 【答案】 【解析】 【分析】大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此结合表格中的数据即可得到答案． 【详解】解：观察表格数据可知，随着抽取种子粒数逐渐增大，该玉米种子的发芽频率逐渐稳定在附近，故该玉米种子发芽的概率为． 14. 某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数表达式，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为_________分钟． 【答案】3.75 【解析】 【分析】根据二次函数的最值问题进行求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴当时，y取得最大值， ∴最佳加工时间为3.75分钟． 15. 如图，正方形的对角线上有一点，且，点在的延长线上，连接，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交的延长线于点，若，，则线段的长是_______． 【答案】． 【解析】 【分析】如图，作FH⊥PE于H．利用勾股定理求出EF，再证明△CEF∽△FEP，可得EF2=EC•EP，由此即可解决问题． 【详解】如图，作FH⊥PE于H． ∵四边形ABCD是正方形，AB=5， ∴AC=5，∠ACD=∠FCH=∠ECG=45°， ∵∠FHC=90°，CF=2， ∴CH=HF=， ∵CE=4AE， ∴CE=4，AE=， ∴EH=5， 在Rt△EFH中，， ∵∠GEF=∠GCF=90°， ∴E，G，F，C四点共圆， ∴∠EFG=∠ECG=45°， ∴∠ECF=∠EFP=135°， ∵∠CEF=∠FEP， ∴△CEF∽△FEP， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程（组）： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 或 解得：，； 【小问2详解】 解： ①得：③ ②+③得：，解得：， 将代入①得：，解得：， 所以原方程组的解是． 17. 如图，已知点B、F、C、E在一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：， ， 又在和中， ， ， ． ， 即， 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 根据可得，进而根据证明，可得，由即可证明结论． 【详解】略 18. 2025年全球电竞锦标赛开赛在即，电竞战队准备采购一批新的电竞装备：电竞耳机（副）和电竞键盘（个）． （1）采购员了解到，电竞键盘的单价比电竞耳机的单价贵50元，花费1600元购买电竞耳机的数量和花费2600元购买电竞键盘数量相同．求电竞耳机和电竞键盘的单价各是多少元； （2）若购买电竞耳机和电竞键盘共20件（两类装备都要买），总费用不超过1700元，问该战队有哪几种购买方案． 【答案】（1）电竞耳机的单价是80元，电竞键盘的单价是130元 （2）该战队有两种购买方案：①购买电竞耳机18副，则购买电竞键盘2个；②购买电竞耳机19副，则购买电竞键盘1个 【解析】 【分析】（1）设电竞耳机的单价是x元，则电竞键盘的单价是元，根据花费1600元购买电竞耳机的数量和花费2600元购买电竞键盘数量相同列分式方程解答； （2）设购买电竞耳机m副，则购买电竞键盘个，列不等式解答即可． 【小问1详解】 解：设电竞耳机的单价是x元，则电竞键盘的单价是元 由题意列： 解得 经检验：是原方程的解， （元）， 答：电竞耳机的单价是80元，电竞键盘的单价是130元； 【小问2详解】 设购买电竞耳机m副，则购买电竞键盘件， 由题意列： 解得 ，且为正整数 或19． 答：该战队有两种购买方案：①购买电竞耳机18副，则购买电竞键盘2个；②购买电竞耳机19副，则购买电竞键盘1个． 19. 为了丰富学生的课后实践活动，某校开展了“校园绿植养护”实践活动，设置了A．播种育苗、B．浇水施肥、C．修剪造型和D．病虫防治四个项目．学校为了解学生对这四个任务的完成情况，就“你完成了哪个项目”的问题，在全校中学生中进行了抽样调查（每个学生只选一项），根据调查结果绘制了如图尚不完整的统计图． （1）本次被调查的学生有_________人； （2）扇形统计图中所在扇形的圆心角为_________； （3）请将条形统计图补充完整； （4）没有完成过的两名学生准备从中各自随机选择一个项目来完成，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一项目的概率． 【答案】（1）60 （2）144 （3）补充条形统计图如图所示 （4）树状图如图所示： 共有16种等可能的结果，其中恰好选中同一项目结果有4种， 所以他们恰好选中同一项目的概率． 【解析】 【分析】（1）根据A项目的人数除以其百分比求出学生总人数； （2）圆心角某项所占的比例； （3）算出B项目的学生人数，补全统计图即可； （4）画树状图可以得到一共有16种可能性，其中他们恰好选中同一项目的可能性有4种，即可得到概率． 【小问1详解】 解：本次被调查的学生有（人）； 【小问2详解】 扇形统计图中所在扇形的圆心角为； 【小问3详解】 B项目的人数为人， 图略； 【小问4详解】 略 20. 项目式学习 2025年是新中国成立76周年，也是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年．为营造隆重热烈、喜庆祥和的氛围，天安门广场、长安街沿线以“奋进新征程，建功新时代”为主题进行花卉布置，天安门广场中心的“祝福祖国”花坛以喜庆的花篮为主景．花坛底部直径45米，为向日葵图案，寓意葵花朵朵向太阳，色彩以红色、橙色、黄色为主，热烈明快．花坛顶高18米，篮体高16米，篮盘直径12米．在篮体南侧书写“祝福祖国，”字样，北侧书写“欢度国庆，”字样．此外，花篮上还首次应用了灵动的“会发光”和平鸽造型，体现“和平发展、欣欣向荣”的美好寓意，表达对祖国繁荣富强的美好祝福，对世界和平发展的美好期盼．某数学兴趣小组的同学利用国庆假期开展了“测量巨型花篮的高度”的课题活动，具体方案及数据如下表： 课题 测量巨型花篮的高度 测量方案 如图，代表巨型花篮的高度，在地面C，D处用测角仪分别测得巨型花篮顶端A的仰角，，并测得之间的距离，均代表测角仪的高度． 说明：点A，B，C，D，M，N在同一竖直平面内，点B，C，D在同一直线上 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角的度数 仰角的度数 ，之间的直线距离 _________ 测角仪的高度 参考数据 ，， 请补全上表并计算巨型花篮的高度（结果精确至）． 【答案】，巨型花篮的高度约为 【解析】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．在 中，根据三角函数的定义得到，，进而由得到关于的方程，解方程求出，继而即可得到结论． 【详解】解：C，D之间的直线距离 如图，连接，交于点E 由题意得，， 四边形，四边形，四边形为矩形 ， 在中，， 在中，， 即： 答：巨型花篮的高度约为 21. 定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形． 下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示． 操作1：将正方形沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线上的点G处，折痕为． 操作2：将沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边，上，折痕为，则四边形为矩形． 设正方形的边长为1，则． 由折叠性质可知，，则四边形为矩形，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴四边形为矩形． 阅读以上内容，回答下列问题： （1）在图①中，所有与相等的线段是 ，的值是 ； （2）已知四边形为矩形，模仿上述操作，得到四边形，如图②，求证：四边形是矩形； （3）将图②中的矩形沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，则n的值是 ． 【答案】（1），，；（2）证明见试题解析；（3）6． 【解析】 【分析】（1）由折叠即可得到，设，则有，，由，得出，然后运用三角函数的定义即可求出的值； （2）只需借鉴阅读中证明“四边形为矩形”的方法就可解决问题； （3）同（2）中的证明可得：将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，由此就可得到n的值． 【详解】解：（1）由折叠可得：， ∴．设，则． ∵， ∴， ∴，解得， ∴． （2）∵， ∴． 由折叠可得，． ∵四边形是矩形，∴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是的矩形； （3）同理可得：将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”， 将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”， 将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”， 所以将图②中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”， 故答案为6． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、平行线分线段成比例、勾股定理，解直角三角形等知识，考查了阅读理解能力、操作能力、归纳探究能力、推理能力，运用已有经验解决问题的能力，是一道好题． 22. 综合与实践 【问题情境】我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”． 【建模分析】锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，把锅纵断面的抛物线记为中，把锅盖纵断面的抛物线记为． 【解决问题】 （1）求抛物线的解析式； （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 解：锅盖能正常盖上，理由如下： 将底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直居中放入炒菜锅内， 当时，，，， ， 锅盖能正常盖上； 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质和应用，涉及待定系数法求解析式和二次函数的性质。 （1）设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据炒菜时锅的水位高度是，建立方程求解，即可解题； （3）将底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直居中放入炒菜锅内，得到时，的函数值，进而得到其函数值之差，将差与圆柱形器皿的高进行比较，即可解题。 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 由题知， 解得， 即抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：炒菜时锅的水位高度是， 此时， 将代入中， 有， 解得， 此时水面的直径为； 【小问3详解】 略 23. 综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以直角三角形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在中，，点D是的中点，连接，分别过点A，B作的平行线相交于点E． 猜想证明：（1）判断四边形的形状，并证明你的结论； 操作探究：（2）“乐学”小组在图1的基础上连接，交于点O，然后将绕A点逆时针旋转得到（点D，E的对应点分别为，），在认真分析旋转到不同位置时的情形后，他们提出如下问题，请你解答： ①如图2，当点E'恰好与点D重合时，与交于点H，求证：； ②若，，当线段所在直线与所在直线平行时，直接写出点E，之间的距离． 【答案】（1）四边形是菱形， 证明：过点A，B作的平行线相交于点E， ， 四边形是平行四边形， 在中，点D是的中点， ， 四边形是菱形； （2）①四边形是菱形， ，， ， ， ， 由旋转得到， ， ， ， ，即； ②或 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，熟练利用分类讨论思想正确画出辅助线是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，在根据斜边上中线等于斜边一半得到，即可证明四边形为菱形； （2）①证明即可解答； ②分情况讨论，即当在点上方或当在点下方两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）略； （2）①略； ②如图，当在点上方，且点在上时，， ， ，， ， ， 根据旋转的性质，， ， 过点作，连接， ， ，， ， 如图，当在点下方，且点在的延长线上时， ， ， 根据旋转的性质， ， 过点作，交的延长线于点，连接， 同理可得， ， ， 综上所述，点E，之间的距离为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山西省初中学业水平考试押题卷（二） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 计算 的结果是（ ） A. a2 B. -a2 C. a4 D. -a4 3. 古汉字“雷”有下列四种写法，其中可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D.             4. 中国第一颗人造地球卫星“东方红一号”于1970年4月24日成功发射，拉开了中国人探索宇宙的序幕，2016年起将每年这一天设立为中国航天日．2025年中国航天日的主题活动中，展示了火星探测器的通信数据：探测器向地球传输的某组信号数据量为439000字节，将439000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 5. 在学校举办的元旦游园活动中，有一个摸球抽奖的游戏环节：工作人员在一个不透明的袋子里装有红球和黄球共40个，这些球除颜色外都相同，小红通过多次摸球试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数最有可能是( ) A. 14 B. 26 C. 30 D. 36 6. 如图，在中，，顶点A，C分别在直线m，n上．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 一个菱形的边长是方程的一个根，菱形的一条对角线长为6，则该菱形的面积为（ ） A. 48 B. 24 C. 24或48 D. 48或40 9. 如图，为等边三角形，，，相交于点P，于Q．已知，，则的长是（ ） A. 6.5 B. 10.5 C. 11 D. 11.5 10. 如图，在中，，，，将绕点A旋转至，使得A，B，E三点共线，则边扫过的面积（即阴影部分面积）为（ ） A. B. 9 C. D. 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数中，自变量的取值范围是_________． 12. 已知一个反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则的值为_________． 13. 某农资公司准备大批量采购玉米种子，为保障农户种植效果，采购前需对种子发芽率进行检测．质检员从待采购的玉米种子中抽取6批样本，在统一的温度、湿度等条件下做发芽试验，获取的数据如下表： 种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000 发芽种子粒数 85 318 652 793 1604 4005 发芽频率 0.850 0.795 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为_________（精确到0.01）． 14. 某食品加工厂专门生产爆米花，在生产过程中，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．为了提升产品品质、降低生产成本，技术人员研究发现，在特定生产条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足函数表达式，为了让爆米花的可食用率达到最高，最佳加工时间为_________分钟． 15. 如图，正方形的对角线上有一点，且，点在的延长线上，连接，过点作，交的延长线于点，连接并延长，交的延长线于点，若，，则线段的长是_______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程（组）： （1）； （2）． 17. 如图，已知点B、F、C、E在一条直线上，，，．求证：． 18. 2025年全球电竞锦标赛开赛在即，电竞战队准备采购一批新的电竞装备：电竞耳机（副）和电竞键盘（个）． （1）采购员了解到，电竞键盘的单价比电竞耳机的单价贵50元，花费1600元购买电竞耳机的数量和花费2600元购买电竞键盘数量相同．求电竞耳机和电竞键盘的单价各是多少元； （2）若购买电竞耳机和电竞键盘共20件（两类装备都要买），总费用不超过1700元，问该战队有哪几种购买方案． 19. 为了丰富学生的课后实践活动，某校开展了“校园绿植养护”实践活动，设置了A．播种育苗、B．浇水施肥、C．修剪造型和D．病虫防治四个项目．学校为了解学生对这四个任务的完成情况，就“你完成了哪个项目”的问题，在全校中学生中进行了抽样调查（每个学生只选一项），根据调查结果绘制了如图尚不完整的统计图． （1）本次被调查的学生有_________人； （2）扇形统计图中所在扇形的圆心角为_________； （3）请将条形统计图补充完整； （4）没有完成过的两名学生准备从中各自随机选择一个项目来完成，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一项目的概率． 20. 项目式学习 2025年是新中国成立76周年，也是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年．为营造隆重热烈、喜庆祥和的氛围，天安门广场、长安街沿线以“奋进新征程，建功新时代”为主题进行花卉布置，天安门广场中心的“祝福祖国”花坛以喜庆的花篮为主景．花坛底部直径45米，为向日葵图案，寓意葵花朵朵向太阳，色彩以红色、橙色、黄色为主，热烈明快．花坛顶高18米，篮体高16米，篮盘直径12米．在篮体南侧书写“祝福祖国，”字样，北侧书写“欢度国庆，”字样．此外，花篮上还首次应用了灵动的“会发光”和平鸽造型，体现“和平发展、欣欣向荣”的美好寓意，表达对祖国繁荣富强的美好祝福，对世界和平发展的美好期盼．某数学兴趣小组的同学利用国庆假期开展了“测量巨型花篮的高度”的课题活动，具体方案及数据如下表： 课题 测量巨型花篮的高度 测量方案 如图，代表巨型花篮的高度，在地面C，D处用测角仪分别测得巨型花篮顶端A的仰角，，并测得之间的距离，均代表测角仪的高度． 说明：点A，B，C，D，M，N在同一竖直平面内，点B，C，D在同一直线上 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角的度数 仰角的度数 ，之间的直线距离 _________ 测角仪的高度 参考数据 ，， 请补全上表并计算巨型花篮的高度（结果精确至）． 21. 定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形． 下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示． 操作1：将正方形沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线上的点G处，折痕为． 操作2：将沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边，上，折痕为，则四边形为矩形． 设正方形的边长为1，则． 由折叠性质可知，，则四边形为矩形，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴四边形为矩形． 阅读以上内容，回答下列问题： （1）在图①中，所有与相等的线段是 ，的值是 ； （2）已知四边形为矩形，模仿上述操作，得到四边形，如图②，求证：四边形是矩形； （3）将图②中的矩形沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，则n的值是 ． 22. 综合与实践 【问题情境】我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”． 【建模分析】锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，把锅纵断面的抛物线记为中，把锅盖纵断面的抛物线记为． 【解决问题】 （1）求抛物线的解析式； （2）如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 23. 综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以直角三角形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在中，，点D是的中点，连接，分别过点A，B作的平行线相交于点E． 猜想证明：（1）判断四边形的形状，并证明你的结论； 操作探究：（2）“乐学”小组在图1的基础上连接，交于点O，然后将绕A点逆时针旋转得到（点D，E的对应点分别为，），在认真分析旋转到不同位置时的情形后，他们提出如下问题，请你解答： ①如图2，当点E'恰好与点D重合时，与交于点H，求证：； ②若，，当线段所在直线与所在直线平行时，直接写出点E，之间的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $