精品解析：2026年山西省朔州市怀仁市第四中学九年级中考考前 模拟数学试题

2026山西朔州市怀仁市第四中学九年级中考考前模拟 数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 某实验室有一台可设置温度的冰箱，在设定温度的基础上，如果温度升高记为，那么温度降低记为（ ） A. B. C. D. 2. 传统纹样，乃中华文化之视觉符号，外彰装饰之美，内蕴寓意之深．下列纹样中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. “斗”是古代计量粮食的重要容器，用于规范交易、征收田赋．如图是一款上宽下窄的方斗形量器，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形的对角线与相交于点，是边的中点，连接．若，，则菱形的面积为（ ） A. 8 B. C. 16 D. 7. 下表是某市2025年12月22～27日每天的最高气温情况，这6天中最高气温（单位：℃）的中位数是（ ） 日期 12月22日 12月23日 12月24日 12月25日 12月26日 12月27日 最高气温 A. B. C. D. 8. 在“阳光大课间”集体跳绳活动中，同学们发现：绳中点C离地高度y（单位：m）与握绳点A离地高度x（单位：m）之间满足一定关系．经测量，得到一组数据后绘制成下面表格，表中有一对数据记录错误，则错误的那一组是（ ） 握绳点A离地高度 0.8 0.9 1.0 1.1 绳中点C离地高度 1.2 1.4 1.7 1.8 A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 如图，在中，，，根据图中尺规作图的痕迹．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 3 10. 如图，将等腰直角三角形绕点C逆时针旋转得到，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 化简：________ 12. 某款新能源汽车原价为a元，国家对购买该款新能源汽车给予每辆1500元的现金补贴，同时商家在此基础上再给予原价8％的降价优惠，用含a的代数式表示该款新能源汽车最终的实际售价为________元． 13. 如图，将一把含角的三角尺的顶点A，B分别放在两条平行直线a，b上．若，则________． 14. 剪纸是我国传统文化中的一块瑰宝，春节来临之际，某校开展了“剪纸迎春”活动．现有两张“福”字剪纸和一张“春”字剪纸，将它们分别放入完全相同的三个信封中．小华从中随机抽取两个信封，则恰好抽到放有一张“福”字和一张“春”字的信封的概率为_________． 15. 如图，在矩形中，为边的中点，将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接．若，，则的面积为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 完成下列各题： （1）计算：； （2）下面是乐乐进行因式分解的过程，请仔细阅读并完成下面任务： 因式分解：． 解：原式……………第一步 ．…………………………………………第二步 ①任务一：以上解题过程，第________步出现错误，错误原因是________ ②任务二：请写出正确的解题过程． 17. 如图，为的内接三角形，且为的直径，E为的中点，连接，若． （1）求的度数； （2）若的切线交的延长线于点D，的半径为3，求线段的长度． 18. 近几年，越来越多的人意识到，旅游不仅能缓解压力、放松身心，还能开阔眼界、增长见识．某旅行社为设计五一假期旅游线路，随机抽取某校七年级学生进行了问卷调查，了解他们最想去的旅游目的地类型（所有问卷全部收回且有效），并将调查结果绘制成如下不完整的扇形统计图和条形统计图： 问卷调查 ××年×月×日 你最想去的旅游目的地类型________．（单选） ·A．自然风光（如山、湖、森林） ·B．历史文化（如古城、博物馆） ·C．主题乐园（如游乐园、动物园） ·D．海滨度假（如三亚、青岛） ·E．乡村体验（如农家乐、田园风光） 请根据扇形统计图和条形统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查一共抽取的学生人数是多少？ （2）补全条形统计图，并求出m的值． （3）若该校七年级共有学生600人，请估计最喜欢“自然风光”和“海滨度假”两类旅游目的地的学生总人数． （4）请你结合本次的调查结果，帮助旅行社设计两条不同主题的旅游线路，并说明理由． 19. 凤鸟回眸，羽翼镌刻着晋国风云；一尊一世界，映照青铜时代的华彩．山西博物院将这份厚重传奇，化作可携的光影——“晋侯鸟尊”纪念章与“青铜华彩”书签，让三千年历史在掌心流转．已知购买1枚纪念章比购买1枚书签多花15元，用1200元购买纪念章的数量与用900元购买书签的数量相同． （1）每枚纪念章和每枚书签的价格各是多少元？ （2）某旅行团计划用2500元预算购买纪念章和书签作为礼物送给游客，若要求购买的总数量为50枚，则最多可以购买多少枚纪念章？ 20. 项目化学习 问题情境 矗立于晋阳湖畔的摩天轮，已成太原最具浪漫氛围的新地标．乘其缓缓升空，湖光山色尽收眼底，令人心醉．某中学数学兴趣小组对其高度进行测量，以验证官方宣传摩天轮的总高度（地面B到轮盘最顶端E的高度），是否接近官方宣传的88米． 设备概述 该摩天轮为单环式结构，轮盘近似一个圆，圆心为点A，，为摩天轮的支架，使其稳固地矗立在地面上． 测量工具 皮尺：测量水平距离； 测角仪：测量仰角，仪器自身高度为1米． 测量步骤 1．在摩天轮正前方水平地面上选取一点H，在点H处竖直放置测角仪，测得摩天轮的顶端E的仰角； 2．将测角仪水平向前移动一定距离到达点C处，测得摩天轮的顶端E的仰角； 3．用皮尺测得点C到点H的水平距离为50.2米． 测量示意图 参考数据 ，，， ，，． 请你根据以上信息，判断该摩天轮的高度是否接近官方宣传的88米． 21. 阅读与思考 请仔细阅读下面材料，完成相应问题： 在平面直角坐标系中，过点（，）分别作轴、轴的垂线，若垂线与两坐标轴围成的矩形的周长与该矩形的面积数值相等，则称这个点为“和谐点”． 例如，点：矩形周长为，面积为，两者相等，所以是和谐点． （1）判断：点________和谐点，点________和谐点．（填“是”或“不是”） （2）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，且是和谐点，求的值和反比例函数的解析式． （3）在（2）的条件下，反比例函数的图象上是否存在另一个和谐点（不与点重合）？若存在，求四边形的面积；若不存在，请说明理由． 22. 综合与实践 【问题情境】如图1，水枪是孩子们比较喜欢的一种玩具，玩水枪能锻炼孩子们的手眼协调能力与反应力，让孩子们远离屏幕，在欢笑中收获清凉、友谊与健康体魄． 【数学建模】小明在平地上玩水枪，水枪喷出的水柱轨迹可以看作两部分，当运行的水平距离在时，可以近似看作一条抛物线，当运行的水平距离在时，即从点M开始，可以近似看作一条直线，水柱的发射点A距离地面高度为，已知水柱在水平方向前进（即的距离）时，水柱达到最大高度为（即的高度），最终水柱在水平距离为的落地点落到地面点D处．以水柱轨迹在地面的投影直线为x轴，水柱发射点所在的竖直方向为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列任务： （1）求水柱抛物线部分的轨迹对应的二次函数解析式． （2）若小明想用水枪喷中水平距离为、高度为的目标顶端，请问水柱能否喷中该目标顶端？请说明理由． 23. 综合与探究： 数学活动课上，同学们进行了如下探究，请仔细阅读并回答下列问题． 如图1，在中，，D为边延长线上一动点（不与点C，B重合），过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F． 【初步感知】 （1）若，请判断与的数量关系，并说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，若，将绕点C顺时针旋转得到，点D，F对应点分别为M，N，连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 【问题延伸】 （3）连接，过点A作延长线的垂线，垂足为G，试在备用图上作出相应图形，标注相应字母．若时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026山西朔州市怀仁市第四中学九年级中考考前模拟 数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 某实验室有一台可设置温度的冰箱，在设定温度的基础上，如果温度升高记为，那么温度降低记为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵温度升高记为，说明规定升高用正数表示， ∴与升高意义相反的温度降低，需要用负数表示， ∴温度降低记为． 2. 传统纹样，乃中华文化之视觉符号，外彰装饰之美，内蕴寓意之深．下列纹样中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；  B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；  C、是轴对称图形，故本选项符合题意；  D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 3. 下列运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：∵，∴A错误； 选项B：∵，∴B错误； 选项C：∵，∴C错误； 选项D：∵，等式成立，∴D正确． 4. “斗”是古代计量粮食的重要容器，用于规范交易、征收田赋．如图是一款上宽下窄的方斗形量器，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵该几何体是上宽下窄的方斗形（四棱台）  ∴从上往下看，外轮廓是一个大正方形（上口），内部有一个小正方形（下底）  ∵侧棱从上往下看是可见的  ∴连接大小正方形对应顶点的线段应画为实线， ∴俯视图如图： ． 5. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 数轴表示如下： ． 6. 如图，菱形的对角线与相交于点，是边的中点，连接．若，，则菱形的面积为（ ） A. 8 B. C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形性质可得 是直角三角形，进而根据直角三角形斜边中线定理求出菱形的边长，再结合角度条件判定为等边三角形从而求出对角线的长，利用勾股定理求出的长，即可得的长，最后利用菱形面积公式求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， 是直角三角形， ∵是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，  ， 在中，， ∴， ∴菱形的面积． 7. 下表是某市2025年12月22～27日每天的最高气温情况，这6天中最高气温（单位：℃）的中位数是（ ） 日期 12月22日 12月23日 12月24日 12月25日 12月26日 12月27日 最高气温 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的定义，先将数据从小到大排序，再计算中间两个数的平均数即可得到结果． 【详解】解：由表格得，将这天的最高气温数据从小到大排序得：， ∵数据个数为，是偶数， ∴中位数为排序后第个和第个数据的平均数，即， 因此中位数为． 8. 在“阳光大课间”集体跳绳活动中，同学们发现：绳中点C离地高度y（单位：m）与握绳点A离地高度x（单位：m）之间满足一定关系．经测量，得到一组数据后绘制成下面表格，表中有一对数据记录错误，则错误的那一组是（ ） 握绳点A离地高度 0.8 0.9 1.0 1.1 绳中点C离地高度 1.2 1.4 1.7 1.8 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意易得满足一次函数关系，然后根据待定系数法可得该函数关系式为，进而问题可求解． 【详解】解：由表可知：绳中点C离地高度y（单位：m）与握绳点A离地高度x（单位：m）之间满足一次函数关系，则可设关系式为，把代入得： ，解得：， ∴该函数关系式为， ∴当时，则；当时，则， ∴错误的一组是，． 9. 如图，在中，，，根据图中尺规作图的痕迹．若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】连接，由题意易得，则有，然后可得，进而根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： 由作图可知：线段的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，将等腰直角三角形绕点C逆时针旋转得到，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，旋转角为，利用割补法将阴影部分的面积转化为扇形面积与三角形面积的差进行求解． 【详解】解：是等腰直角三角形，，， ，  绕点逆时针旋转得到，  ，，  ， ， ， ∴， 阴影部分的面积． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 化简：________ 【答案】## 【解析】 【详解】解：． 12. 某款新能源汽车原价为a元，国家对购买该款新能源汽车给予每辆1500元的现金补贴，同时商家在此基础上再给予原价8％的降价优惠，用含a的代数式表示该款新能源汽车最终的实际售价为________元． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，实际售价等于原价减去国家补贴金额再减去商家降价优惠金额，据此列出代数式并合并同类项即可． 【详解】解：由题意可得， 该款新能源汽车的原价为a元， 商家给予原价8%的降价优惠，即优惠了元， 国家给予每辆1500元的现金补贴， 则该款新能源汽车最终的实际售价为：． 13. 如图，将一把含角的三角尺的顶点A，B分别放在两条平行直线a，b上．若，则________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】过点作，则，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：过点作， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 解得． 14. 剪纸是我国传统文化中的一块瑰宝，春节来临之际，某校开展了“剪纸迎春”活动．现有两张“福”字剪纸和一张“春”字剪纸，将它们分别放入完全相同的三个信封中．小华从中随机抽取两个信封，则恰好抽到放有一张“福”字和一张“春”字的信封的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先对三个信封内的剪纸进行标记，列举出随机抽取两个信封所有等可能的结果，找出符合要求的结果数，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：将两张“福”字剪纸分别标记为，，将“春”字剪纸标记为 随机抽取两个信封，所有等可能的结果为：，，，共种，其中恰好抽到一张“福”字和一张“春”字的结果有种 根据概率公式可得，所求概率为． 15. 如图，在矩形中，为边的中点，将沿折叠，使点落在矩形内点处，连接．若，，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，先根据中点求出的长，结合矩形的性质求出的长，再根据折叠得出并证明是等腰三角形，然后结合等腰三角形的三线合一推出，，进一步推出，证明，运用相似性质求出的长，最后根据三角形面积公式即可求解． 【详解】如图，过点作交于点， ∵为边的中点，， ∴， ∵矩形， ∴， ∴在，， ∵沿折叠得， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴，，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，即，解得：，， ∴， ∴的面积． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 完成下列各题： （1）计算：； （2）下面是乐乐进行因式分解的过程，请仔细阅读并完成下面任务： 因式分解：． 解：原式……………第一步 ．…………………………………………第二步 ①任务一：以上解题过程，第________步出现错误，错误原因是________ ②任务二：请写出正确的解题过程． 【答案】（1） （2）①一，去括号时，括号前是负号，去掉括号后未变号；②正确过程如下： 解：原式 ． 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：①以上解题过程中，第一步出现错误，错误的原因是去括号时，括号前是负号，去掉括号后未变号； ②略． 17. 如图，为的内接三角形，且为的直径，E为的中点，连接，若． （1）求的度数； （2）若的切线交的延长线于点D，的半径为3，求线段的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，根据弧、圆心角的关系求出，最后根据圆周角定理求解即可； （2）根据切线的性质得出，然后在中，根据正切的定义求解即可． 【小问1详解】 解：连接，， ∵，， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的切线， ∴，即， 又，， ∴． 18. 近几年，越来越多的人意识到，旅游不仅能缓解压力、放松身心，还能开阔眼界、增长见识．某旅行社为设计五一假期旅游线路，随机抽取某校七年级学生进行了问卷调查，了解他们最想去的旅游目的地类型（所有问卷全部收回且有效），并将调查结果绘制成如下不完整的扇形统计图和条形统计图： 问卷调查 ××年×月×日 你最想去的旅游目的地类型________．（单选） ·A．自然风光（如山、湖、森林） ·B．历史文化（如古城、博物馆） ·C．主题乐园（如游乐园、动物园） ·D．海滨度假（如三亚、青岛） ·E．乡村体验（如农家乐、田园风光） 请根据扇形统计图和条形统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查一共抽取的学生人数是多少？ （2）补全条形统计图，并求出m的值． （3）若该校七年级共有学生600人，请估计最喜欢“自然风光”和“海滨度假”两类旅游目的地的学生总人数． （4）请你结合本次的调查结果，帮助旅行社设计两条不同主题的旅游线路，并说明理由． 【答案】（1）人 （2），补全条形统计图如图： （3） （4）线路1：自然风光山水休闲线，内容：规划湖景、山林、森林类景区的短途游，比如天目湖+南山森林两日游；理由：喜欢自然风光的学生占比，是所有类型中占比最高的，受众范围最广，报名需求最大；线路2：海滨欢乐度假线，内容：青岛/厦门海滨沙滩、海洋乐园多日游，理由：海滨度假类学生占比，受欢迎程度仅次于自然风光，青少年对沙滩、海洋活动兴趣高，能收获大量客源．（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】（1）用A组的人数除以占比即可求解抽取的人数； （2）先求出C组的人数，即可补全条形统计图，再由E组的人数除以总数即可求解： （3）用样本估计总体的方法求解即可； （4）根据条形统计图占比结合实际情况分析即可． 【小问1详解】 解：（人）， 答：本次调查一共抽取的学生人数是人； 【小问2详解】 解：C组的人数为：， ， 故， 补全条形统计图见答案； 【小问3详解】 解：（人）， 答：最喜欢“自然风光”和“海滨度假”两类旅游目的地的学生总人数为人； 【小问4详解】 略 19. 凤鸟回眸，羽翼镌刻着晋国风云；一尊一世界，映照青铜时代的华彩．山西博物院将这份厚重传奇，化作可携的光影——“晋侯鸟尊”纪念章与“青铜华彩”书签，让三千年历史在掌心流转．已知购买1枚纪念章比购买1枚书签多花15元，用1200元购买纪念章的数量与用900元购买书签的数量相同． （1）每枚纪念章和每枚书签的价格各是多少元？ （2）某旅行团计划用2500元预算购买纪念章和书签作为礼物送给游客，若要求购买的总数量为50枚，则最多可以购买多少枚纪念章？ 【答案】（1）每枚纪念章的价格为元，每枚书签的价格为元 （2）最多可以购买枚纪念章 【解析】 【分析】（1）设每枚纪念章的价格为元，则每枚书签的价格为元，由题意得，然后进行求解即可； （2）设购买枚纪念章，则购买书签为枚，由题意得，进而求解即可． 【小问1详解】 解：设每枚纪念章的价格为元，则每枚书签的价格为元，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴； 答：每枚纪念章的价格为元，每枚书签的价格为元． 【小问2详解】 解：设购买枚纪念章，则购买书签为枚，由题意得： ， 解得：， ∵取正整数， ∴的最大值为； 答：最多可以购买枚纪念章． 20. 项目化学习 问题情境 矗立于晋阳湖畔的摩天轮，已成太原最具浪漫氛围的新地标．乘其缓缓升空，湖光山色尽收眼底，令人心醉．某中学数学兴趣小组对其高度进行测量，以验证官方宣传摩天轮的总高度（地面B到轮盘最顶端E的高度），是否接近官方宣传的88米． 设备概述 该摩天轮为单环式结构，轮盘近似一个圆，圆心为点A，，为摩天轮的支架，使其稳固地矗立在地面上． 测量工具 皮尺：测量水平距离； 测角仪：测量仰角，仪器自身高度为1米． 测量步骤 1．在摩天轮正前方水平地面上选取一点H，在点H处竖直放置测角仪，测得摩天轮的顶端E的仰角； 2．将测角仪水平向前移动一定距离到达点C处，测得摩天轮的顶端E的仰角； 3．用皮尺测得点C到点H的水平距离为50.2米． 测量示意图 参考数据 ，，， ，，． 请你根据以上信息，判断该摩天轮的高度是否接近官方宣传的88米． 【答案】该摩天轮的高度接近官方宣传的88米 【解析】 【分析】延长，交于点，由题意可知：，米，米，设米，则米，然后根据三角函数可得，进而问题可求解． 【详解】解：延长，交于点，如图所示： 由题意可知：，米，米， ∴米， 设米，则米， 在中，米， 在中，米， ∴， 解得：， ∴米， ∴米； 答：该摩天轮的高度接近官方宣传的88米． 21. 阅读与思考 请仔细阅读下面材料，完成相应问题： 在平面直角坐标系中，过点（，）分别作轴、轴的垂线，若垂线与两坐标轴围成的矩形的周长与该矩形的面积数值相等，则称这个点为“和谐点”． 例如，点：矩形周长为，面积为，两者相等，所以是和谐点． （1）判断：点________和谐点，点________和谐点．（填“是”或“不是”） （2）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，且是和谐点，求的值和反比例函数的解析式． （3）在（2）的条件下，反比例函数的图象上是否存在另一个和谐点（不与点重合）？若存在，求四边形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）不是；是； （2）；； （3）存在，四边形的面积为． 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别求出关于点对应的矩形周长和矩形面积在进行比较大小即可求解； （2）根据是和谐点，列出方程，即可求出的值，再根据在反比例函数上，即可求出解析式； （3）假设存在点在反比例函数的图象上，且为和谐点，设，列出方程，求出点坐标，再根据点在，求出一次函数解析式和的坐标，根据坐标判断轴，，，最后根据四边形的面积即可求解． 【小问1详解】 ∵点：矩形周长为，矩形面积为， 又∵， ∴点不是和谐点； ∵点：矩形周长为，矩形面积为， 又∵， ∴点是和谐点； 【小问2详解】 ∵是和谐点，， ∴，解得：， ∴ ∵在反比例函数上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问3详解】 假设存在点在反比例函数的图象上，且为和谐点， ∵由（2）得， ∴设， ∴，整理得：， 解得：（舍），， ∴存在点， ∵由（2）得是上的点， ∴将代入，解得：， ∴一次函数解析式为， ∵直线与轴交于点， ∴， ∵，， ∴轴，，， ∴四边形的面积 ． 22. 综合与实践 【问题情境】如图1，水枪是孩子们比较喜欢的一种玩具，玩水枪能锻炼孩子们的手眼协调能力与反应力，让孩子们远离屏幕，在欢笑中收获清凉、友谊与健康体魄． 【数学建模】小明在平地上玩水枪，水枪喷出的水柱轨迹可以看作两部分，当运行的水平距离在时，可以近似看作一条抛物线，当运行的水平距离在时，即从点M开始，可以近似看作一条直线，水柱的发射点A距离地面高度为，已知水柱在水平方向前进（即的距离）时，水柱达到最大高度为（即的高度），最终水柱在水平距离为的落地点落到地面点D处．以水柱轨迹在地面的投影直线为x轴，水柱发射点所在的竖直方向为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列任务： （1）求水柱抛物线部分的轨迹对应的二次函数解析式． （2）若小明想用水枪喷中水平距离为、高度为的目标顶端，请问水柱能否喷中该目标顶端？请说明理由． 【答案】（1） （2）不能， 理由：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入， 得， 解得， ∴， 当时，， ∵， ∴水柱不能喷中该目标顶端． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据（1）中函数解析式求出点M的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，然后把代入直线的解析式，求出函数值，最后与目标高度对比，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设二次函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， ∴水柱抛物线部分的轨迹对应的二次函数解析式为； 【小问2详解】 略 23. 综合与探究： 数学活动课上，同学们进行了如下探究，请仔细阅读并回答下列问题． 如图1，在中，，D为边延长线上一动点（不与点C，B重合），过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F． 【初步感知】 （1）若，请判断与的数量关系，并说明理由． 【类比探究】 （2）如图2，若，将绕点C顺时针旋转得到，点D，F对应点分别为M，N，连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 【问题延伸】 （3）连接，过点A作延长线的垂线，垂足为G，试在备用图上作出相应图形，标注相应字母．若时，请直接写出的长． 【答案】（1）解；，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：四边形是菱形，理由如下： 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转可知：， ∴点三点共线， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （3） 【解析】 【分析】（1）由题意易证，然后根据相似三角形的性质可进行求解； （2）由（1）及题意可知，由旋转可知：，然后问题可求解； （3）过点作，由题意易得，则有，，然后根据三角函数可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意可得如图所示，过点作， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $