精品解析：2026年山西省朔州市怀仁市中考考前测试数学题

2026年怀仁市第二中学校九年级学业水平调研卷（三）数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 2025年我国新能源汽车制造业保持稳健增长，电动化技术快速普及，智能化生产线不断升级，下列四个新能源汽车企业的品牌图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年前三季度全国可再生能源发电量达到28900亿千瓦时．将28900亿用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 5. 下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 随着智慧城市的发展，智能路灯系统通过实时感知环境光照强度自动调节亮度，既能保障夜间交通安全，又能节约能源．某科技公司研发了一款智能路灯，其亮度调节模块可根据环境光照强度调节输出功率．如表是一组实验数据，记录不同环境光照强度（单位：）下路灯的功率（单位：），根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ） 环境光照强度 100 150 200 250 300 路灯功率 60 50 40 30 20 A. B. C. D. 8. 如图，，，，是上的四个点，，，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 电影《哪吒之魔童闹海》讲述了哪吒突破“灵珠为善、魔丸为恶”的天命枷锁，以“若天地不容，我便扭转乾坤”的信念反抗仙界虚伪秩序，实现自我救赎与群体觉醒的故事．该影片登顶中国影史票房榜和全球动画电影票房榜，同时位居全球影史票房榜第5名．某商家推出了《哪吒之魔童闹海》角色盲盒，深受喜爱．已知一套盲盒包含哪吒、敖丙、龙王、太乙真人四种角色，且每个角色出现的可能性相同．小明购买了两个盲盒，则小明开出的两个盲盒角色恰好是“哪吒和敖丙”的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标是 B. 当时，函数取得最大值 C. 图象与轴两个交点之间的距离为4 D. 当时，的值随值的增大而增大 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：＝_____． 12. 2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大阅兵在天安门广场盛大举行．人民解放军此次受阅的新装备比例达到历史高点，各类先进装备在阳光下熠熠生辉．歼击机梯队如钢铁雄鹰般在苍穹中震撼亮相．如图，表示歼的点的坐标为，则表示歼的点的坐标为______． 13. 已知点与点在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是_____． 14. 下面三幅图分别表示甲、乙、丙三名队员的射击成绩，你认为_____（填“甲”“乙”或“丙”）的发挥最稳定． 15. 如图，在矩形中，，，点在边上，且，为的三等分点，为的中点，为上一点，若，则线段的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求完成下列各题． （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在中，，点是斜边的中点． （1）实践与操作：过点作，在直线上（且在点的左边）截取，连接；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法） （2）猜想与证明：在（1）的条件下，连接，猜想与的位置关系，并说明理由． 18. 为推进“阳光体育”活动，某校大课间共开展6项体育活动，每名学生均参加其中一项活动．为了解该校学生参与大课间体育活动情况，随机抽取了该校60名学生进行调查，得到如下未完成的统计表． 体育活动 足球 篮球 排球 乒乓球 跳绳 羽毛球 人数 11 10 8 15 6 两名同学近八周定点投篮测试成绩折线图 （1）表格中的值为______； （2）若该校有1200名学生，请估计该校参加跳绳活动的学生人数； （3）为备战校际篮球联赛，学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入校篮球队．已知甲、乙两名同学近八周定点投篮测试成绩（每次测试共有12次投篮机会，以命中次数作为测试成绩）如图所示．你建议选拔哪名同学，请说明理由． 19. 2025年11月5日，我国第一艘电磁弹射型航空母舰——福建舰正式入列，不仅标志着中国海军进入“三航母时代”，更是一次战斗力的质的飞跃，深刻影响着中国海军的战略运用和未来发展．福建舰的电磁弹射系统包含A，B两款适配歼舰载机的弹射器，单次弹射歼的总耗能约为120兆焦耳，已知A款弹射器每秒消耗的能量是B款弹射器的1.5倍，且A款弹射器完成一次弹射的时间比B款弹射器少1秒，求A，B两款弹射器每秒消耗的能量各是多少？ 20. 隰县小西天，享有中国悬塑艺术之“绝唱”的美誉，寺庙中的大雄宝殿内有1900余尊明代悬塑，佛像最小仅拇指大小，最大达3米，按照33重天宫楼阁布局，殿内的立式木雕佛像为国家级文物．某综合与实践小组开展测量大雄宝殿高度的活动，记录如下． 活动主题 测量大雄宝殿的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，在大雄宝殿的水平地面上点，用测角仪测得，台阶的坡度，在台阶的顶端点处测得宝殿的顶端的仰角为，点，，在一条直线上， 测量仪器 测角仪，卷尺 备注 ，，，结果保留整数 根据以上信息，求大雄宝殿的高度． 21. 在数学的学习过程中，小明积累了许多解决问题的策略，其中特殊化的策略尤为重要．特殊化指的是当面对一个一般性问题时，可以先考虑其特殊情况（如特殊数值、特殊位置、特殊图形等），从中发现规律、性质或解题思路，再将结论或方法推广到一般情况．下面数学活动小组将利用特殊化策略解决平面图形的最小覆盖圆． 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆，其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． （1）【探究一】最简单的图形——线段的最小覆盖圆 线段的覆盖圆有无数个，其中，以为直径的圆是其最小覆盖圆． 理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点，点．如图1，以为直径作，再过，两点作（与不重合），连结，． 在中，有（▲）． ， ，即的直径大于的直径． 是线段的最小覆盖圆． “▲”处应填写的推理依据为_________________． （2）【探究二】特殊的三角形——直角三角形的最小覆盖圆 要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为线段的最小覆盖圆问题，这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆． 如图2，在中，，是以为直径的圆．请你判断点与的位置关系，并说明理由． （3）由【探究一】可知，是最长边的最小覆盖圆，所以，是的最小覆盖圆． 【拓展应用】一般的图形——矩形的最小覆盖圆 如图3，在矩形中，，．用无刻度的直尺在图3中作出矩形的最小覆盖圆的圆心；（不写作法，保留作图痕迹） （4）该矩形的最小覆盖圆的直径为_____． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 羽毛球发球机的运动路线 素材一 如图1，某羽毛球场地的中线长为，球网设置在中线中点处，球网高度为．羽毛球训练机的出球口在中线端点正上方的点处，以为原点、中线所在直线为轴建立平面直角坐标系． 素材二 假设发出的羽毛球沿中线飞行，其运动高度关于水平距离的函数图象为抛物线，该抛物线在与水平距离为的点处达到最高，此时距地面高度为，羽毛球最终落在地面的点处． 素材三 如图3，若羽毛球落地弹起后，且在与水平距离为的点处达到最高，弹起后最高高度为． 问题解决： （1）任务一：求训练机发球后到落地前，羽毛球运动轨迹的函数表达式（不要求写自变量取值范围） （2）任务二：小明在球网的另一侧接球，若羽毛球在离地面距离不少于时为最佳击球高度，求最佳击球点与训练机的水平距离的取值范围 （3）任务三：当时，运动员在点处沿直线击球，想让球从网下穿过后落到点右侧的点，且球网下端离地面高度不低于，该操作能否实现？请说明理由． 23. 在中，，点是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，，，求的度数； （2）如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）如图3，，，，连接，．点从点移动到点过程中，将绕点顺时针旋转得线段，连接，作交的延长线于点．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年怀仁市第二中学校九年级学业水平调研卷（三）数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 2025年我国新能源汽车制造业保持稳健增长，电动化技术快速普及，智能化生产线不断升级，下列四个新能源汽车企业的品牌图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A．是轴对称图形，符合题意； B．不是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用合并同类项、单项式除法、同底数幂乘法、积的乘方的运算法则，逐一计算判断即可． 【详解】解：选项A：∵ ，∴ A错误； 选项B：∵ ， ∴ B错误； 选项C：∵ ∴ C错误； 选项D：∵ ， ∴ D正确． 4. 党的二十大以来，我国的绿色能源产业得到飞速发展．根据国家能源局报道，2025年前三季度全国可再生能源发电量达到28900亿千瓦时．将28900亿用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：28900亿． 5. 下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项方程的判别式，选出判别式等于0的选项即可． 【详解】解：A、 ，，，， ， 方程没有实数根，不符合题意； B、 ，，，， ， 方程有两个相等的实数根，符合题意； C、 ，，，， ， 方程没有实数根，不符合题意； D、 ，，，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 综上，有两个相等的实数根的是B． 6. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 7. 随着智慧城市的发展，智能路灯系统通过实时感知环境光照强度自动调节亮度，既能保障夜间交通安全，又能节约能源．某科技公司研发了一款智能路灯，其亮度调节模块可根据环境光照强度调节输出功率．如表是一组实验数据，记录不同环境光照强度（单位：）下路灯的功率（单位：），根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ） 环境光照强度 100 150 200 250 300 路灯功率 60 50 40 30 20 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由表格数据变化规律可知y与x成一次函数关系，用待定系数法即可求出函数关系式． 【详解】解：∵观察表格数据得，x每增加，y减少， ∴y与x是一次函数关系， 设函数解析式为， 根据表格得， 解得， ∴函数关系式为． 8. 如图，，，，是上的四个点，，，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由半径相等得到，则是等边三角形，，最后根据圆周角定理得到． 【详解】解：连接， ∵，，，是上的四个点，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 9. 电影《哪吒之魔童闹海》讲述了哪吒突破“灵珠为善、魔丸为恶”的天命枷锁，以“若天地不容，我便扭转乾坤”的信念反抗仙界虚伪秩序，实现自我救赎与群体觉醒的故事．该影片登顶中国影史票房榜和全球动画电影票房榜，同时位居全球影史票房榜第5名．某商家推出了《哪吒之魔童闹海》角色盲盒，深受喜爱．已知一套盲盒包含哪吒、敖丙、龙王、太乙真人四种角色，且每个角色出现的可能性相同．小明购买了两个盲盒，则小明开出的两个盲盒角色恰好是“哪吒和敖丙”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列出所有等可能的结果，再找出符合条件的结果，根据概率公式计算即可． 【详解】解：设哪吒、敖丙、龙王、太乙真人分别为A、B、C、D， 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中选中“哪吒”和“敖丙”的有2种， ∴小明选中“哪吒”和“敖丙”的概率是． 10. 将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标是 B. 当时，函数取得最大值 C. 图象与轴两个交点之间的距离为4 D. 当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，即可判断选项；根据图象可知函数没有最大值，即可判断选项；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离即可判断选项；根据函数图象即可判断选项． 【详解】解：选项，对于二次函数，令，解得，原二次函数与轴的交点坐标为，翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，故选项错误； 选项，结合图象可知，函数没有最大值，故选项错误； C选项，二次函数，令，则有，即，解得，，所以原二次函数与轴的交点坐标为，，翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，，图象与轴两个交点之间的距离为，故选项正确； 选项，二次函数，对称轴为，翻折后新函数图象的对称轴不变，为，由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，故选项错误． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：＝_____． 【答案】-5 【解析】 【分析】利用平方差公式化简计算即可. 【详解】解：原式= =3-8 =-5 故答案为：-5. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和平方差公式的应用，平方差公式为（a+b）（a-b）=a2-b2． 12. 2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大阅兵在天安门广场盛大举行．人民解放军此次受阅的新装备比例达到历史高点，各类先进装备在阳光下熠熠生辉．歼击机梯队如钢铁雄鹰般在苍穹中震撼亮相．如图，表示歼的点的坐标为，则表示歼的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据点的坐标为，如图建立平面直角坐标系， 由图可得，点的坐标为． 13. 已知点与点在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查的是反比例函数的图象和性质，由于反比例函数的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出结论即可求解． 【详解】解：∵反比例函数， ∴图象位于一、三象限，在每个象限，y随x的增大而减小． ∵点，在反比例函数的图象上，且， ∴点，在第一象限， ∴， 故答案为：． 14. 下面三幅图分别表示甲、乙、丙三名队员的射击成绩，你认为_____（填“甲”“乙”或“丙”）的发挥最稳定． 【答案】乙 【解析】 【分析】先求出甲、乙、丙射击成绩的平均数，然后求出各自的方差，最后根据方差的意义进行判断即可． 【详解】解：， ， ， 则， ， 乙的发挥更稳定． 15. 如图，在矩形中，，，点在边上，且，为的三等分点，为的中点，为上一点，若，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形和，为的三等分点，得到，，即可证明，，，推出，，再由中点得到，最后根据，得到，过作于，即可得到，，据此求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，， ∵，为的三等分点， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， 过作于， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求完成下列各题． （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算负整数指数幂、有理数加法、绝对值、再进行加减运算； （2）先根据分式的混合运算法则进行化简，再代入计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ， 当时， 原式． 17. 如图，在中，，点是斜边的中点． （1）实践与操作：过点作，在直线上（且在点的左边）截取，连接；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法） （2）猜想与证明：在（1）的条件下，连接，猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） ，理由如下： 在中，，点是斜边的中点 ， ，， 四边形是平行四边形 平行四边形是菱形 【解析】 【分析】（1）根据题意作出图形，即可求解； （2）证明四边形是菱形即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 为推进“阳光体育”活动，某校大课间共开展6项体育活动，每名学生均参加其中一项活动．为了解该校学生参与大课间体育活动情况，随机抽取了该校60名学生进行调查，得到如下未完成的统计表． 体育活动 足球 篮球 排球 乒乓球 跳绳 羽毛球 人数 11 10 8 15 6 两名同学近八周定点投篮测试成绩折线图 （1）表格中的值为______； （2）若该校有1200名学生，请估计该校参加跳绳活动的学生人数； （3）为备战校际篮球联赛，学校计划从参加篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人加入校篮球队．已知甲、乙两名同学近八周定点投篮测试成绩（每次测试共有12次投篮机会，以命中次数作为测试成绩）如图所示．你建议选拔哪名同学，请说明理由． 【答案】（1）10 （2）该校参加跳绳活动的学生300人 （3）建议选拔甲同学，理由： （次） （次） ， 从平均数的角度看，甲，乙两位同学的平均数都是8次，说明两位同学的平均水平相当；从方差的角度看，甲同学的方差小于乙同学的方差，说明甲的稳定性好，所以建议选拔甲同学 【解析】 【分析】（1）用总人数减去其他体育活动的人数即可； （2）用全校人数乘以参加跳绳活动的学生的占比即可； （3）先分别算出甲、乙两名同学的平均成绩以及方差，然后进行决策即可． 【小问1详解】 解：， 故的值为； 【小问2详解】 解：（人） 答：该校参加跳绳活动的学生300人． 【小问3详解】 略 19. 2025年11月5日，我国第一艘电磁弹射型航空母舰——福建舰正式入列，不仅标志着中国海军进入“三航母时代”，更是一次战斗力的质的飞跃，深刻影响着中国海军的战略运用和未来发展．福建舰的电磁弹射系统包含A，B两款适配歼舰载机的弹射器，单次弹射歼的总耗能约为120兆焦耳，已知A款弹射器每秒消耗的能量是B款弹射器的1.5倍，且A款弹射器完成一次弹射的时间比B款弹射器少1秒，求A，B两款弹射器每秒消耗的能量各是多少？ 【答案】A款弹射器每秒消耗的能量是60兆焦耳，B款弹射器每秒消耗的能量是40兆焦耳 【解析】 【分析】设B款弹射器每秒消耗的能量是兆焦耳，则A款弹射器每秒消耗的能量是兆焦耳，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设B款弹射器每秒消耗的能量是兆焦耳，则A款弹射器每秒消耗的能量是兆焦耳， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：A款弹射器每秒消耗的能量是60兆焦耳，B款弹射器每秒消耗的能量是40兆焦耳． 20. 隰县小西天，享有中国悬塑艺术之“绝唱”的美誉，寺庙中的大雄宝殿内有1900余尊明代悬塑，佛像最小仅拇指大小，最大达3米，按照33重天宫楼阁布局，殿内的立式木雕佛像为国家级文物．某综合与实践小组开展测量大雄宝殿高度的活动，记录如下． 活动主题 测量大雄宝殿的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，在大雄宝殿的水平地面上点，用测角仪测得，台阶的坡度，在台阶的顶端点处测得宝殿的顶端的仰角为，点，，在一条直线上， 测量仪器 测角仪，卷尺 备注 ，，，结果保留整数 根据以上信息，求大雄宝殿的高度． 【答案】大雄宝殿的高度 【解析】 【分析】解：由题意可得，过点作于点，证明四边形是矩形，得到，，再根据台阶的坡度，得到，即可求出，．设，则，在中，由得到．在中，由，得到，再根据列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得， 过点作于点，则， ，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，台阶的坡度， ， ， ， ，． ， 设，则， 在中，，，， 则． 在中，，，， 则， ， ． 解得：， ∴， 答：大雄宝殿的高度． 21. 在数学的学习过程中，小明积累了许多解决问题的策略，其中特殊化的策略尤为重要．特殊化指的是当面对一个一般性问题时，可以先考虑其特殊情况（如特殊数值、特殊位置、特殊图形等），从中发现规律、性质或解题思路，再将结论或方法推广到一般情况．下面数学活动小组将利用特殊化策略解决平面图形的最小覆盖圆． 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆，其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． （1）【探究一】最简单的图形——线段的最小覆盖圆 线段的覆盖圆有无数个，其中，以为直径的圆是其最小覆盖圆． 理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点，点．如图1，以为直径作，再过，两点作（与不重合），连结，． 在中，有（▲）． ， ，即的直径大于的直径． 是线段的最小覆盖圆． “▲”处应填写的推理依据为_________________． （2）【探究二】特殊的三角形——直角三角形的最小覆盖圆 要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为线段的最小覆盖圆问题，这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆． 如图2，在中，，是以为直径的圆．请你判断点与的位置关系，并说明理由． （3）由【探究一】可知，是最长边的最小覆盖圆，所以，是的最小覆盖圆． 【拓展应用】一般的图形——矩形的最小覆盖圆 如图3，在矩形中，，．用无刻度的直尺在图3中作出矩形的最小覆盖圆的圆心；（不写作法，保留作图痕迹） （4）该矩形的最小覆盖圆的直径为_____． 【答案】（1）三角形的任意两边之和大于第三边 （2）点在上， 理由如下：连接， ，点为线段的中点， ， 点在上． （3）如图所示： （4） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得答案； （2）利用直角三角形斜边上的中线的性质证明即可得到答案； （3）根据矩形对角线相等且互相平分的性质可得矩形对角线的交点即是圆心； （4）在中，利用勾股定理求出矩形的最小覆盖圆的直径即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接交于点，点即为所求圆心， 理由：是矩形的最小覆盖圆， 点都在上， ， 点是矩形的对角线的交点 ； 【小问4详解】 解：如图， 在中， ，， ． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 羽毛球发球机的运动路线 素材一 如图1，某羽毛球场地的中线长为，球网设置在中线中点处，球网高度为．羽毛球训练机的出球口在中线端点正上方的点处，以为原点、中线所在直线为轴建立平面直角坐标系． 素材二 假设发出的羽毛球沿中线飞行，其运动高度关于水平距离的函数图象为抛物线，该抛物线在与水平距离为的点处达到最高，此时距地面高度为，羽毛球最终落在地面的点处． 素材三 如图3，若羽毛球落地弹起后，且在与水平距离为的点处达到最高，弹起后最高高度为． 问题解决： （1）任务一：求训练机发球后到落地前，羽毛球运动轨迹的函数表达式（不要求写自变量取值范围） （2）任务二：小明在球网的另一侧接球，若羽毛球在离地面距离不少于时为最佳击球高度，求最佳击球点与训练机的水平距离的取值范围 （3）任务三：当时，运动员在点处沿直线击球，想让球从网下穿过后落到点右侧的点，且球网下端离地面高度不低于，该操作能否实现？请说明理由． 【答案】（1）羽毛球运动轨迹的函数表达式 （2） （3）该操作能实现，理由： 如图，若羽毛球落地弹起后，且在与水平距离为的点处达到最高，弹起后最高高度为， 则点的坐标为， 设直线函数表达式， 将点，代入中，得 ， 解得， 则直线函数表达式， 当时，， ， 故该操作能实现． 【解析】 【分析】（1）根据题意可知抛物线顶点，然后设顶点式，代入求出，得到函数解析式； （2）令解方程得到两个临界，结合球网在处和抛物线图象的性质，确定的范围； （3）由、两点坐标求直线解析式，然后把代入算高度，对比判断能否实现． 【小问1详解】 解：根据题意可知，顶点的坐标为， 设羽毛球运动轨迹的函数表达式， 将点代入中，得， 则， 故羽毛球运动轨迹的函数表达式． 【小问2详解】 解：由题意可得， 解得，， ， 当时，的值随值的增大而减小， 需要， ， 小明在球网的另一侧接球，且球网的位置位于中线中点，即距离点处， 最佳击球点与训练机的水平距离的取值范围为． 【小问3详解】 略 23. 在中，，点是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，，，求的度数； （2）如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）如图3，，，，连接，．点从点移动到点过程中，将绕点顺时针旋转得线段，连接，作交的延长线于点．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）．证明如下： 如图，连接，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由旋转的性质可得，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，． （3） 【解析】 【分析】（1）容易判断是等边三角形，，结合旋转的性质容易计算出，根据三角形的内角和定理求出即可； （2）连接，，容易判断是等腰直角三角形，则，结合旋转的性质容易证明，则，，从而得到．由和可判断是等腰直角三角形，则， 进而证明，则，．由直角三角形的性质可得，，因此，结合等量代换容易判断，最后使用勾股定理求出线段与的数量关系； （3）先分析最小的情况，将点绕点顺时针旋转得到点，连接、、，连接并延长交于点，由旋转容易判断、和都是等边三角形，进而可得也是等边三角形，进一步可证明，则，因此点在过点，且垂直的定直线上，结合垂线段最短可知，当点在边上时，最小．再分析最大的情况，由等边三角形的性质和勾股定理容易计算出，，，由折叠可得，根据线段公理可得，，因此当点在线段上时，取得最大值．最后计算的面积，作于点，连接，作交的延长线于点，利用三角函数容易计算出，，，由等边三角形的性质容易证明，则，，由平行容易证明，计算得，，由等积变形可得． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，将点绕点顺时针旋转得到点，连接、、，连接并延长交于点， 由旋转的性质可得，，，，， ∴、和都是等边三角形， ∴，，，， ∵，， ∴，，， ∴也是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴点在过点，且垂直的定直线上， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴当点与点重合时，最小， 当点在边上时，如图， ∵是等边三角形，， ∴， 在中，， 在中，， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴当点在线段上时，取得最大值， 当点在线段上时，如图，作于点，连接，作交的延长线于点， ∵， 又∵， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $