精品解析：四川自贡市荣县2025-2026学年度下学期八年级数学半期检测

2025-2026学年度下学期八年级数学半期检测试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ） A. B. C. 1 D. 4. 如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 一个蓄水池有的水，以每分钟的速度向池中注水，蓄水池中的水量与注水时间之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 6. 下列结论中正确的个数是（ ） ①正方形的对角线相等；②平行四边形对角线相等；③菱形对角线互相垂直；④平行四边形对边相等；⑤矩形对角线相互垂直 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，在中，，，；为上一点，连接，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分阴影部分的面积为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 8. 如图，一只蚂蚁要沿长为，宽为，高为的长方体表面从顶点爬到上表面的边上的点处，点离点的距离为，蚂蚁爬行的最短距离是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 10. 一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是________． 11. 若，则ab=________． 12. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别是，的中点，连接EF，若，则的长为______． 13. 如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，，则图中阴影部分的面积为_____． 14. 如图，在四边形ABCD中，，，cm，cm，cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．若运动t s时，则运动时间t的值是______s． 三、解答题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 15. 计算： 16. 如图，在四边形中，已知，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 17. 如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长． 18. 如图，在中，，是对角线上的两点，且．求证：四边形是平行四边形． 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点，按下列要求画图：在图中以格点为顶点画，使得的三边分别为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 20. 如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长． 21. 已知，，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 22. 如图，在中，点E，F分别在，上，且平分．若，连结．求证：四边形是菱形． 五、解答题（本大题共2小题，23题7分，24题8分，共15分） 23. 【阅读材料】对于形如的式子，我们可以通过完全平方公式将其变形为的形式，并进行化简，其中，． 例如：． 或找，满足，，易知，，所以． （1）化简：； （2）计算：； （3）计算：． 24. 综合与探究 问题背景 在学习正方形的性质之后，勤学小组对正方形进行了进一步的研究．如图1，在正方形中，对角线，相交于点O，E为边上一点，连接，过点O作的垂线，交于点F． 探究发现 （1）试判断线段和线段的数量关系，并说明理由． 深入探究 点E是上的一个动点（不与点B，C重合），连接，交于点H． （2）如图2，当点H恰好是的中点时，试判断四边形的形状．并说明理由． （3）若，是否存在与全等的情况？若存在，请直接写出的长度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期八年级数学半期检测试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽的因数（即不含平方因子）且被开方数不含分母，这样的二次根式叫做最简二次根式，据此可得答案． 【详解】解：A、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意； C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意； D、是最简二次根式，该选项符合题意； 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的加减乘除运算法则进行计算即可． 【详解】解：A、不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与数轴的综合应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出图中直角三角形的斜边长度，再结合数轴上的位置确定点表示的数． 【详解】解：根据勾股定理，斜边长度为． ∴， 又∵该线段的一端在数轴上表示的点，另一端为点， ∴点表示的数． 故选：． 4. 如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形的判定逐项分析判断即可． 【详解】解：A． ，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，不符合题意； B． ，，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，不符合题意； C． ，，不能判断四边形是平行四边形，符合题意； D． ，，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，不符合题意． 5. 一个蓄水池有的水，以每分钟的速度向池中注水，蓄水池中的水量与注水时间之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数关系式，根据一个蓄水池有的水，以每分钟的速度向池中注水，可以得到蓄水池中的水量与注水时间t（分）间的函数表达式，本题得以解决． 【详解】解：∵一个蓄水池有的水，以每分钟的速度向池中注水， ∴蓄水池中的水量与注水时间间的函数表达式是：， 故选：D． 6. 下列结论中正确的个数是（ ） ①正方形的对角线相等；②平行四边形对角线相等；③菱形对角线互相垂直；④平行四边形对边相等；⑤矩形对角线相互垂直 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形、平行四边形、菱形、矩形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据正方形、平行四边形、菱形、矩形的性质逐一判断各结论是否正确即可得出答案． 【详解】解：正方形的对角线相等，故①正确； 平行四边形对角线互相平分，不一定相等，故②错误； 菱形对角线互相垂直，故③正确； 平行四边形对边相等，故④正确； 矩形对角线相互平分，不一定垂直，故⑤错误； 综上，正确的结论为①③④，共3个． 故选：C． 7. 如图，在中，，，；为上一点，连接，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分阴影部分的面积为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、折叠的性质，熟练掌握折叠前后对应边相等、对应角相等，并利用勾股定理列方程求解是解题的关键． 先利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，再根据折叠性质得到对应边相等，设未知数表示线段长度，在中用勾股定理列方程求解，最后计算重叠部分（）的面积． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 由折叠性质可知：，， ∴， 设，则，． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故选：B． 8. 如图，一只蚂蚁要沿长为，宽为，高为的长方体表面从顶点爬到上表面的边上的点处，点离点的距离为，蚂蚁爬行的最短距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把长方体的侧面展开，分三种情况求出线段的长，进而比较即可求解． 【详解】解：∵两点之间，线段最短， ∴蚂蚁沿着线段爬行时，路径最短， 把长方体的侧面展开，有三种情况： 如图①， ∵ ，， ∴； 如图②， ∵ ，， ∴； 如图③， ∵ ，， ∴； ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离是． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 10. 一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是________． 【答案】十边形 【解析】 【分析】明确任意多边形的外角和为固定值，多边形内角和公式为，其中为多边形的边数，根据题目给出的倍数关系列方程求解边数即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 任意多边形的外角和为，边形内角和公式为， 根据题意列方程得， 解得， 故这个多边形是十边形． 11. 若，则ab=________． 【答案】-4 【解析】 【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后计算即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴a−2=0，a+b=0， 解得a=2，b=-2， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了两个非负数之和为零的性质，绝对值与算术平方根的非负性，负整数指数幂的运算，掌握以上知识是解题的关键． 12. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别是，的中点，连接EF，若，则的长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质可得，再根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：∵点E，F分别是，的中点，若， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线和平行四边形的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半，平行四边形对角线互相平分． 13. 如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半． 根据矩形性质得出，，，推出，证出和的面积相等，同理可证：和的面积相等，和的面积相等，即可得出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即和的面积相等， 同理可证：和的面积相等，和的面积相等， 即阴影部分的面积等于矩形的面积的一半， ∵矩形面积是， ∴阴影部分的面积是4， 故答案为：4． 14. 如图，在四边形ABCD中，，，cm，cm，cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．若运动t s时，则运动时间t的值是______s． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：①时，则四边形为平行四边形；②时，过点P作交于S，于M，则四边形为平行四边形，四边形为矩形；分别计算即可． 【详解】解：由题意可知，， 若，分两种情况： ①时， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得：， ②时， 过点P作交于S，于M，则四边形为平行四边形，四边形为矩形； ∴， ∴（cm）， ∴（cm）， ∴， 解得：， 综上所述，当t的值为或时，． 故答案为：或 【点睛】本题考查了直角梯形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、分类讨论等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的乘除运算法则先进行乘除运算，再利用二次根式的性质化简后进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 16. 如图，在四边形中，已知，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键． （1）利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再由即可得出结论； （2）由三角形的面积公式即可得出结果． 【小问1详解】 解：连接， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：四边形的面积的面积的面积 ． 17. 如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长． 【答案】的长为 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，比较简单，需要熟练掌握勾股定理的基础知识． 先设，则，再根据勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得： 在中，， 在中，， 由题意可知：， 所以， 解得： 即的长为． 18. 如图，在中，，是对角线上的两点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：如图，连接交于点， 四边形是平行四边形， ，， ， ，即， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，连接交于点，由平行四边形的性质得到，，再证明，即可证明结论． 【详解】略 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点，按下列要求画图：在图中以格点为顶点画，使得的三边分别为． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图，由勾股定理得，，，画图略． 四、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 20. 如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长． 【答案】3cm． 【解析】 【分析】根据矩形的性质得AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC﹣BF=4，设CE=x，则DE=EF=8﹣x，在Rt△CEF中利用勾股定理得到42+x2=（8﹣x）2，然后解方程即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°. ∵长方形纸片ABCD折纸，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）， ∴AF=AD=10，DE=EF， 在Rt△ABF中，AB=8，AF=10， ∴BF= ∴CF=BC﹣BF=4. 设CE=x，则DE=EF=8﹣x， 在Rt△CEF中， ∵CF2+CE2=EF2， ∴42+x2=（8﹣x）2， 解得x=3 ∴EC的长为3cm． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；勾股定理；方程思想的应用． 21. 已知，，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）由已知可得，，再利用平方差公式计算即可； （）由已知可得，，再把原式转化为，进而代入计算即可求解； 本题考查了二次根式的求值，平方差公式的应用，完全平方公式的应用，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴ ． 22. 如图，在中，点E，F分别在，上，且平分．若，连结．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ， 又， ， ∴四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， ， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、角平分线的定义、等角对等边，由平行四边形的性质可得，证明四边形是平行四边形，由角平分线的定义结合平行线的性质得出，推出，即可得证． 【详解】略 五、解答题（本大题共2小题，23题7分，24题8分，共15分） 23. 【阅读材料】对于形如的式子，我们可以通过完全平方公式将其变形为的形式，并进行化简，其中，． 例如：． 或找，满足，，易知，，所以． （1）化简：； （2）计算：； （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，利用完全平方公式将形如的式子化为的形式； （1）直接应用例题的方法求解； （2）分别化简后求和； （3）先把各项中分母的无理式变成的形式，再进行分母有理化后，进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：设，，得，或，． ． 【小问2详解】 解：对于，设，，得，或，． ． 对于，同理，（）． 原式． 【小问3详解】 解： ． 24. 综合与探究 问题背景 在学习正方形的性质之后，勤学小组对正方形进行了进一步的研究．如图1，在正方形中，对角线，相交于点O，E为边上一点，连接，过点O作的垂线，交于点F． 探究发现 （1）试判断线段和线段的数量关系，并说明理由． 深入探究 点E是上的一个动点（不与点B，C重合），连接，交于点H． （2）如图2，当点H恰好是的中点时，试判断四边形的形状．并说明理由． （3）若，是否存在与全等的情况？若存在，请直接写出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）．理由见解析；（2）四边形是正方形．理由见解析；（3）存在与全等的情况，此时的长度为． 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，继而推导出，再证明，即可解答； （2）由，得，证明是的垂直平分线，则可推导出，即可解答； （3）判断出在与全等时，只满足当，则， 在中，由勾股定理，得到，求出，即可解答． 【详解】解：（1），理由如下： 在正方形中，有 ， ∴ ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴． （2）四边形是正方形，理由如下： 由（1），同理可得， ∴， ∵点H恰好是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴ ∴， ∴， ， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． (3) 存在与全等的情况，此时的长度为． 由与可得 在与全等时，只满足当，如图， 有， 在正方形中，有 ， ∴ 即， 解得或（不符合题意，舍去）． ∴， ∴． 故存在与全等的情况，此时的长度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $