精品解析：四川省自贡市荣县中学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2024-2025学年度下学期八年级半期检测试题 数学 一、选择题（本题有8个小题，每小题3分，满分24分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，6 B. 7，8，10 C. 3，4，5 D. 1，1，2 3. 下列性质中，矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对边平行且相等 B. 对角线互相平分 C. 任意两个邻角互补 D. 对角互补 4. 下列各图中，能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 7. 我们在学习四边形时．先学习了平行四边形．再通过平行四边形的边角特殊化获得矩形、菱形、正方形，得到了这些特殊四边形的性质定理和判定定理，这种研究方法主要体现的数学思想是（ ） A. 转化 B. 归纳 C. 由一般到特殊 D. 数形结合 8. 如图，E、F分别是正方形的边上的点，且，相交于点O，下列结论： ①；②；③；④，其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 二．填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 9. 计算____________． 10. 如图，在平行四边形中，的平分线交于，，，则的长等于________． 11. 若是关于x的正比例函数，则的值为_______． 12. 已知，则___________ 13. 如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是________． 14. 如图，在中，，，，若P为上一个动点，则的最小值为______． 三．解答题（本大题有5个小题，每小题5分，共25分） 15. 计算：． 16. 已知：四边形中，，，，，： （1）求的长； （2）求四边形的面积． 17. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 18. 已知，是实数，且，求． 19. 如图将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，已知，，求的长． 四．解答题（本大题有3个小题，每小题6分，共18分） 20. 已知小乐家、书店、学校在同一直线上，图中的信息反映的过程是：小乐从家跑步去书店，在书店购买资料书后，又步行去学校取东西，然后再步行回家，图中表示时间，表示小乐离家的距离，根据图中信息回答问题： （1）书店离小乐家______；小乐在书店购买资料用了______． （2）计算小乐从学校回家的平均速度是多少？ （3）小乐从家出发时，离家的距离是多少千米？ 21. 数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： （1）的整数部分是______． （2）a为的小数部分，b为的整数部分，求的值． 22. 如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 五．解答题（本题共有2个小题，23题7分，14题8分，共15分） 23. 探索下列等式规律，并解决下列问题： 【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【规律探索】 （1）第5个等式：_______； （2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述第n个等式为_______； 【规律应用】 （3）计算： 24. 如图1，在正方形内作 交于点交于点，连接，将绕点顺时针旋转得到． （1）求证：； （2）若，求的面积； （3）如图2，连接交于点，交于点．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期八年级半期检测试题 数学 一、选择题（本题有8个小题，每小题3分，满分24分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握最简二次根式的判定条件是解此题的关键． 【详解】解：A、，故选项不是最简二次根式，不符合题意； B、，故选项不是最简二次根式，不符合题意； C、，故不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 2. 在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，6 B. 7，8，10 C. 3，4，5 D. 1，1，2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理逆定理的内容是解题的关键．先计算较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方，若等于，则是直角三角形，否则就不能围成直角三角形． 【详解】解：A、，故不能围成直角三角形，此选项错误； B、，故不能围成直角三角形，此选项错误； C、，能围成直角三角形，此选项正确； D、，故不能围成直角三角形，此选项错误． 故选：C． 3. 下列性质中，矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对边平行且相等 B. 对角线互相平分 C. 任意两个邻角互补 D. 对角互补 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形和平行四边形的性质，根据矩形和平行四边形的性质逐一判断即可． 【详解】解；A、矩形和平行四边形的对边都互相平行且相等，故此选项不符合题意； B、矩形和平行四边形的对角线都互相平分，故此选项不符合题意； C、矩形和平行四边形的任意两个邻角互补，故此选项不符合题意； D、矩形的对角互补，平行四边形的对角不一定互补，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 下列各图中，能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的定义，函数的意义反映在图像上简单的判断方法是：x的取值范围内做垂直x轴的直线与函数图像只会有一个交点． 在坐标系中，对于x的取值范围内的任意一点，通过这点作x轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点．根据定义即可判断． 【详解】A选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y不唯一，不符合题意； B选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y不唯一，不符合题意； C选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y唯一确定，符合题意； D选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y不唯一，不符合题意． 故选：C． 5. 如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，据此作答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵D为的中点，， ∴， 故选：A． 6. 如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，中位线的性质，由相关定理确定线段间的数量关系是解题的关键． 由菱形性质，结合勾股定理求得，根据中位线定理求． 【详解】解：由菱形知， ∴，，， ∴， ∵点M为的中点，O为的中点， ∴； 故选：A． 7. 我们在学习四边形时．先学习了平行四边形．再通过平行四边形的边角特殊化获得矩形、菱形、正方形，得到了这些特殊四边形的性质定理和判定定理，这种研究方法主要体现的数学思想是（ ） A. 转化 B. 归纳 C. 由一般到特殊 D. 数形结合 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，读懂题意是解题的关键．依据探究过程并结合选项可作出判断． 【详解】解：这种研究方法主要体现的数学思想是由一般到特殊． 故选：C． 8. 如图，E、F分别是正方形的边上的点，且，相交于点O，下列结论： ①；②；③；④，其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而判定出①正确；再根据全等三角形对应角相等可得，然后证明，再得到，从而得出，判断②正确；假设，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得，再根据直角三角形斜边大于直角边可得，即，从而判断③错误；根据全等三角形的面积相等可得，然后都减去的面积，即可得解，从而判断④正确． 【详解】解：在正方形中，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 在中，， ∴，故②正确； 假设， ∵（已证）， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）， ∵在中，， ∴，这与正方形的边长相矛盾， 所以，假设不成立，，故③错误； ∵， ∴， ∴， 即，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，求出全等是解题的关键，也是本题的突破口． 二．填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 9. 计算____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质解题即可． 【详解】解：． 10. 如图，在平行四边形中，的平分线交于，，，则的长等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握这些性质和判定是解题的关键．利用平行四边形性质得出，，，利用平行结合角平分线可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 若是关于x的正比例函数，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，注意正比例函数的未知数系数不能为零是解题关键． 利用正比例函数的定义列方程和不等式可求得a的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵是关于x的正比例函数， ∴且， 解得：， ∴． 故答案为：． 12. 已知，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． 先求出，，然后由，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的证明，解决本题的关键是把阴影部分进行合理转换．根据题意作图，连接、，可得，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案． 【详解】解：连接、，如图： 根据题意得每个正方形的面积为， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形，为正方形的中心， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理得，， ∴． 故答案为：2． 14. 如图，在中，，，，若P为上一个动点，则的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】过点P作于D，求得，作点C关于的对称点E，连接交于F，连接，得到，再根据，则当P、D、E三点共线时，值最小，最小值等于，然后求出的长即可求解． 【详解】解：过点P作于D， 在中，，， ∴， ∵ ∴ ∴， 作点C关于的对称点E，连接交于F，连接， ∴，， ∴ ∵ ∴当P、D、E三点共线时，值最小，最小值等于， ∵点C关于的对称点E，连接交于F， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查利用轴对称求最短路径问题，两点间线段最短，直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握利用轴对称求最短路径方法以是解题的关键． 三．解答题（本大题有5个小题，每小题5分，共25分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．先计算乘法和除法，再合并即可得． 【详解】解：， ， ． 16. 已知：四边形中，，，，，： （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）5 （2）36 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练准确掌握两个定理的应用． （1）利用勾股定理即可求出的长； （2）利用勾股定理的逆定理判定出是直角三角形，再分别求出两个直角三角形的面积，面积和即为四边形的面积． 【小问1详解】 解：在中， ，， ， 根据勾股定理得，． ∴的长为5． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， ， 是直角三角形，且， ． ∴四边形的面积为36． 17. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴AF∥EC， ∵BE=FD， ∴BC-BE=AD-FD， ∴AF=EC， ∴四边形AECF是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得AF∥EC．AF=EC，然后根据平行四边形的定义即可证得． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=EC是解决问题的关键． 18. 已知，是实数，且，求． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意可以求得x、y的值，从而可以解答本题； 本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法． 【详解】解：由题意，得， ， 解得， ∴， ∴ 19. 如图将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，已知，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠，矩形与折叠问题，根据勾股定理列方程是解题的关键．在矩形中，，，设，则， 由折叠的性质知：，中，由勾股定理列方程即可求出的长． 【详解】解：在矩形中，，， 设，则， 由折叠的性质知：， 在中，，， ∴ 解得， 即的长为． 四．解答题（本大题有3个小题，每小题6分，共18分） 20. 已知小乐家、书店、学校在同一直线上，图中的信息反映的过程是：小乐从家跑步去书店，在书店购买资料书后，又步行去学校取东西，然后再步行回家，图中表示时间，表示小乐离家的距离，根据图中信息回答问题： （1）书店离小乐家______；小乐在书店购买资料用了______． （2）计算小乐从学校回家的平均速度是多少？ （3）小乐从家出发时，离家的距离是多少千米？ 【答案】（1）2.5；1.5 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查函数函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息． （1）由图象直接可得答案； （2）用路程除以时间可得乐乐从学校回家的平均速度； （3）用1.5减去离开学校的路程即为离家的距离，列式计算即可． 【小问1详解】 解：由图象可得，书店离乐乐家，小乐在书店购买资料用了 故答案为：2.5；15； 【小问2详解】 解：小乐从学校回家的平均速度是， 答：小乐从学校回家的平均速度是； 【小问3详解】 解：小乐从家出发时，离家的距离是， 答：小乐从家出发时，离家的距离是． 21. 数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答： （1）的整数部分是______． （2）a为的小数部分，b为的整数部分，求的值． 【答案】（1）3 （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算及求代数式的值，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． （1）根据无理数的估算方法求解即可； （2）根据题意得出，，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：， 的整数部分为3； 【小问2详解】 解：为的小数部分，为的整数部分， ，， ． 22. 如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【答案】蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是 【解析】 【分析】本题主要考查利用勾股定理求最短路径，熟练掌握利用勾股定理求最短路径是解题的关键．把圆柱体展开，连接，然后可知和，进而可由两点之间，线段最短可知即为所求 【详解】解：如解图，圆柱体的展开图为长方形， 所以， 由题意可知，， 所以在 中， 由勾股定理得，， 所以 ， 则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是 五．解答题（本题共有2个小题，23题7分，14题8分，共15分） 23. 探索下列等式规律，并解决下列问题： 【规律发现】 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 【规律探索】 （1）第5个等式：_______； （2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述第n个等式为_______； 【规律应用】 （3）计算： 【答案】（1） （2） （3）44 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据所给的式子的形式进行求解即可； （2）分析所给的式子的形式即可得出规律； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意可得：第5个等式： （2）由（1）归纳可得：； （3） ． 24. 如图1，在正方形内作交于点交于点，连接，将绕点顺时针旋转得到． （1）求证：； （2）若，求的面积； （3）如图2，连接交于点，交于点．求证：． 【答案】（1） 证明：由旋转的性质可知：，， 四边形为正方形， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ； （2）15 （3） 证明：如图2所示：将逆时针旋转得， 四边形为正方形， ， 由旋转的性质可知：，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可知：，，接下来在证明，然后依据证明即可； （2）由全等三角形的性质可知：， ．设正方形的边长为，在中，依据勾股定理列方程求得，进而解得的面积； （2）将逆时针旋转得．在中依据勾股定理可证明，接下来证明，于是得到，最后再由证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作，垂足为．如图1， ，，， ， ， 设正方形的边长为，则，， 在中，由勾股定理得：，即 ， 解得：， ， ， ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，正方形的性质，依据旋转的性质构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $