精品解析：广东佛山市南海区桂城街道桂江第二初级中学2025—2026学年初一第二学期中段测试（数学）

桂江二中2025—2026学年初一第二学期中段测试（数学） 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国自主研发的北斗导航芯片广泛应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，目前该芯片工艺已达22纳米（即0.000000022米），则数据0.000000022用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若可以用平方差公式进行计算，则横线上的代数式可能是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线a，b被直线c所截，则的内错角是（ ） A. B. C. D. 5. 下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，如果按角的大小来进行分类，其中不能判断三角形类型的是（ ） A. B. C. D. 6. 下面四个图中，线段是的高线的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. 1，3，4 B. 2，2，7 C. 4，5，7 D. 3，3，6 8. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 手可摘星辰 B. 黄河入海流 C. 大漠孤烟直 D. 鱼戏莲叶东 9. 如图，的一边为平面镜，一束光线（与水平线平行）从点射入，经平面镜上的点后，反射光线落在上的点处，且，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，把一张长方形纸片ABCD折叠后，点C、点D的对应点分别为点C′和点D′，若∠1=48°，则∠2的度数为（ ） A. 138° B. 132° C. 121° D. 111° 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 已知，则的补角为______． 12. 从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下： 种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000 发芽种子粒数 85 318 652 793 1604 4005 发芽频率 0.850 0.795 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为 ________（精确到0.1）． 13. 若一个等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长是_____． 14. 若是一个完全平方式，则的值是___________． 15. 如图，中，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 __________． 三、解答题（共8题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）； （3）． 17. 先化简，再求值：其中 18. 我们规定：．例如：． （1）计算的值为______； （2）若，求的值． 19. 如图，中． （1）用尺规作图：以点C为顶点，求作，使；（要求：保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，若，证明：． 20. 如图，已知，，．求证：． 证明：， __________，（ ） 即__________． ，且， ． __________，（ ） ∴．（ ） 21. （精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a （1）表中的______， ______． （2）“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； （3）商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 22. 我们定义：一个整数能表示成(a，b是整数)的形式，则称这个整数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成(a，b是整数)的形式：___________； （2）若可配方成(m，n为常数)，则___________； 【探究问题】 （3）已知，则___________； （4）已知(x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的k的值． 23. 小明在学习过程中，对一个问题做如下探究． 如图，在中，射线交于点D，点E是线段上的任意一点，过点E作交直线于点F，直线与射线交于点G． （1）如图1，若，，，，则______°； （2）如图2，若，，，则______°； （3）如图3，若，，则探索与之间的数量关系，并说明理由． （4）如图4，在（3）的条件下，若点E在线段上运动（此时G在外部），或在线段的延长线运动（此时G在内部），请在备用图中选择其中的一种情况画出示意图，探索与之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桂江二中2025—2026学年初一第二学期中段测试（数学） 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算，需根据合并同类项法则，单项式乘单项式法则，完全平方公式，积的乘方法则逐一判断选项，得到正确结果. 【详解】解：A、，故A错误，不符合题意； B、，故B错误，不符合题意； C、，故C错误，不符合题意； D、，故D正确，符合题意． 2. 我国自主研发的北斗导航芯片广泛应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，目前该芯片工艺已达22纳米（即0.000000022米），则数据0.000000022用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前零的个数（含整数位的零）． 【详解】解：数据0.000000022用科学记数法表示为． 3. 若可以用平方差公式进行计算，则横线上的代数式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】平方差公式为，据此判断各选项即可． 【详解】解：A、，是完全平方形式，不符合平方差公式结构， ∴该选项错误； B、，符合平方差公式结构， ∴该选项正确； C、，不存在完全相同的项，也不存在互为相反数的对应项，不符合平方差公式结构， ∴该选项错误； D、，是完全平方形式， ∴该选项错误． 4. 如图，直线a，b被直线c所截，则的内错角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据内错角的定义判断即可． 【详解】解：由图得，和是内错角的是， 5. 下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，如果按角的大小来进行分类，其中不能判断三角形类型的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形按角分类的方法一一判断即可． 【详解】解：观察图形可知： A、露出的角是直角，因此是直角三角形； B、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型； C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型； D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的分类，解题的关键是仔细观察图形，熟练掌握基本知识． 6. 下面四个图中，线段是的高线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】三角形高的定义：过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 【详解】解：根据三角形高的定义可知，选项A中线段是的高线． 7. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. 1，3，4 B. 2，2，7 C. 4，5，7 D. 3，3，6 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系分别判断即可． 【详解】解：， ∴1，3，4不能组成三角形， 故A选项不符合题意； ， ∴2，2，7不能组成三角形， 故B不符合题意； ， ∴4，5，7能组成三角形， 故C符合题意； ， ∴3，3，6不能组成三角形， 故D不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 8. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ） A. 手可摘星辰 B. 黄河入海流 C. 大漠孤烟直 D. 鱼戏莲叶东 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了事件发生的可能性大小．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、手可摘星辰是不可能事件，故本选项符合题意； B、黄河入海流是必然事件，故本选项不符合题意； C、大漠孤烟直是随机事件，故本选项符合题意； D、鱼戏莲叶东是随机事件，故本选项不符合题意； 故选：A 9. 如图，的一边为平面镜，一束光线（与水平线平行）从点射入，经平面镜上的点后，反射光线落在上的点处，且，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行，同位角相等、同旁内角互补得出，，根据平角的定义求出，即可求解． 【详解】根据题意可得， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即． 10. 如图，把一张长方形纸片ABCD折叠后，点C、点D的对应点分别为点C′和点D′，若∠1=48°，则∠2的度数为（ ） A. 138° B. 132° C. 121° D. 111° 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得：AD∥BC，∠3=∠4，∠D==90°，可得到∠4=∠6，再由邻补角的性质可得∠5=132°，再根据四边形的内角和等于360°，可得∠4+∠6=138°，从而得到∠6=69°，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：AD∥BC，∠3=∠4，∠D==90°， ∴∠3=∠6， ∴∠4=∠6， ∵∠1=48°， ∴∠5=132°， ∴∠4+∠6=360°--∠4=360°-90°-132°=138°， ∴∠6=69°， ∴∠2=180°-∠6=111° 故选：D 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，四边形的内角和定理，邻补角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 已知，则的补角为______． 【答案】##143度 【解析】 【分析】根据补角的定义，和为180°的两个角互为补角． 【详解】解：，则的补角为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一个角的补角，掌握补角的定义是解题的关键． 12. 从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下： 种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000 发芽种子粒数 85 318 652 793 1604 4005 发芽频率 0.850 0.795 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为 ________（精确到0.1）． 【答案】0.8 【解析】 【分析】本题考查频率估计概率，观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近，即可估计出这种玉米种子发芽的概率． 【详解】解：观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近， 0.801≈0.8， 则这种玉米种子发芽的概率是0.8， 故答案为：0.8． 13. 若一个等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形定义、构成三角形的三边关系等知识，熟记等腰三角形的定义及三角形三边关系是解决问题的关键． 先由等腰三角形的定义分类：和，再根据三角形三边关系判断是否构成三角形即可得到答案． 【详解】解：一个等腰三角形的两边长分别是和， 等腰三角形三边长分两类：和， 当等腰三角形三边长为时，，不满足三角形三边关系，故不能构成三角形，舍去； 当等腰三角形三边长为时，满足三角形三边关系，能构成三角形， 则其周长为； 故答案为：． 14. 若是一个完全平方式，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方式的结构特征列式计算，即可确定出的值． 【详解】解：是一个完全平方式，且， 或 ， 解得或， 15. 如图，中，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】当时，线段的长度最小，此时为斜边上的高，利用等积法即可求解. 【详解】解：，，，， 根据垂线段最短可知，当时，线段的长度最小， ∴， ， 解得：，  线段的最小值是. 三、解答题（共8题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 17. 先化简，再求值：其中 【答案】，0 【解析】 【详解】解：原式 ； 当时，则原式． 18. 我们规定：．例如：． （1）计算的值为______； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则以及一元一次方程的求解： （1）根据新定义直接计算即可； （2）根据新定义计算，结合指数的性质求解方程． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解： ，， ． 解得：． 19. 如图，中． （1）用尺规作图：以点C为顶点，求作，使；（要求：保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，若，证明：． 【答案】（1）即为所求作； （2）证明：∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法解题即可； （2）根据平行线的判定定理证明． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 证明：略． 20. 如图，已知，，．求证：． 证明：， __________，（ ） 即__________． ，且， ． __________，（ ） ∴．（ ） 【答案】；垂直的定义；；；同角的余角相等；同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理求解即可．． 【详解】证明：， ，（垂直的定义） 即． ，且， ． ，（同角的余角相等） ．（同位角相等，两直线平行） 故答案为：；垂直的定义；；；同角的余角相等；同位角相等，两直线平行． 【点睛】此题考查了平行线的判定、垂直定义，熟记“同位角相等，两直线平行”是解题的关键． 21. （精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a （1）表中的______， ______． （2）“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； （3）商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 【答案】（1），33 （2） （3）560个 【解析】 【分析】本题主要考查了频率估计概率，熟练掌握频率和概率的关系，是解题的关键． （1）根据表格中数据求出a、b的值即可； （2）根据频率估计概率即可； （3）根据抽到”的概率得出2000个盲盒中的个数，然后求出其他三种角色的个数之和，再根据抽到其他三种角色的概率相同，得出抽到的次数即可． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解：根据表格中数据可知：抽到的频率稳定在附件，所以抽到的概率的估计值是． 【小问3详解】 解： （个）， 答：抽到的次数是560个． 22. 我们定义：一个整数能表示成(a，b是整数)的形式，则称这个整数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成(a，b是整数)的形式：___________； （2）若可配方成(m，n为常数)，则___________； 【探究问题】 （3）已知，则___________； （4）已知(x，y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的k的值． 【答案】（1），（2），（3），（4） 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，完全平方公式的应用，利用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的特点是解本题的关键． （1）根据“完美数”可得答案； （2）利用完全平方公式可得，从而可得答案； （3）利用完全平方公式把左边分解因式，再利用非负数的性质可得答案； （4）利用完全平方公式可得，再利用新定义可得答案． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）； ∴，， ∴； 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴， ∴，， 解得：，， ∴； 故答案为：； （4）当时，为“完美数”，理由如下： ， 当时，，则，为完美数． 23. 小明在学习过程中，对一个问题做如下探究． 如图，在中，射线交于点D，点E是线段上的任意一点，过点E作交直线于点F，直线与射线交于点G． （1）如图1，若，，，，则______°； （2）如图2，若，，，则______°； （3）如图3，若，，则探索与之间的数量关系，并说明理由． （4）如图4，在（3）的条件下，若点E在线段上运动（此时G在外部），或在线段的延长线运动（此时G在内部），请在备用图中选择其中的一种情况画出示意图，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） （4）(点E在线段上运动)；(点E在线段的延长线上运动)（选一种作答即可） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质以及三角形的外角的定义与性质即可作答； （2）根据平行线的性质以及三角形内角和，三角形的外角的定义即可作答； （3）由，，可得，，根据平行线的性质以及三角形内角和，三角形的外角的定义即可作答； （4）分别将点E在线段上运动（此时G在外部）的图形画出，再根据根据平行线的性质以及三角形内角和，三角形的外角的定义即可作答． 【小问1详解】 ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； 【小问4详解】 点E在线段上运动（此时G在外部），如图， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 点E在线段的延长线运动（此时G在内部），如图， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和，三角形的外角的定义与性质等知识，由，，得到，，是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $