24.4 数据的分组 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“数据的分组整理”，核心知识点包括离差平方和、组内与组间离差平方和及分组原则。课堂导入从超市分类、宾馆星级等生活现象切入，通过招聘笔试成绩实例引导学生思考分组意义，逐步过渡到离差平方和的概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活实例培养“用数学的眼光观察现实世界”，通过离差平方和计算与分组原则推导发展“数学思维”，结合城市高温分组、频数分布表等“用数学的语言表达现实世界”。采用步骤化解题与系统小结，学生能提升数据分析能力，教师可依托清晰流程高效教学。

数据的分组整理 八年级数学下册 24.4节 汇报人: 2026-06-03 CONTENTS 课程导入：为何分组 01 核心概念解析 02 分组方法与步骤 03 实例应用与讲解 04 课堂练习与巩固 05 课堂小结与要点 06 课程导入：为何分组 Part 01 课堂导入 在社会生活中，分类现象普遍存在.例如，超市里各种商品按用途不同分类摆放，宾馆根据硬件设施、服务水平等分成不同的星级，等等.在实际问题中，当面临的对象复杂多样时，分类往往可以为我们处理问题带来方便.对于一组取值多样的数据，对其进行合理分组，也会有助于我们解决问题. 课堂导入 分组的意义与目的 控制 简化 组织性 01 03 02 分组的意义与目的 分组不仅仅为了整理信息，它还是一种分析和理解数据的重要手段。通过分组，我们可以简化复杂问题，提高工作效率和准确性。 分组的目的 在金融领域，风险管理依赖于对不同资产的分类。这样的分组有助于评估整个投资组合的风险水平，并采取相应的风险控制措施。 分组的实际应用 核心概念解析 Part 02 新知探究 知识点 数据的分组 问题 一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然后根据笔试成绩确定一部分应聘者进入面试.将10名应聘者的笔试成绩（百分制）按从小到大的顺序排列如下： 58 64 68 75 76 83 85 89 90 92 自然，应当选择笔试成绩好的应聘者进人面试．那么笔试成绩怎样才算好呢？可以有不同的标准．例如，前三名或85分及以上等，不管哪种标准，目的都是把笔试成绩分成好和差两组. 课堂导入 问题 一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然后根据笔试成绩确定一部分应聘者进入面试. 将 10 名应聘者的笔试成绩（百分制）按从小到大的顺序排列如下： 58 64 68 75 76 83 85 89 90 92 哪一部分应聘者应当进入面试？ 把笔试成绩分成好和差两组. 好 差 进入面试 淘汰 课堂导入 58 64 68 75 76 83 85 89 90 92 上面的问题可以理解为把这10名应聘者的笔试成绩分成好和差两组，则共有____种分组方法． 9 那如果要使每组组内的数据差距不大，且组与组之间的数据差别明显，那么你认为应遵循怎样的分组原则？ 在前面的学习中，我们学习了离差平方和，了解到 d2 可以刻画一组数据的离散程度，结合上面的问题，你有什么想法？ 概念引入： ( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2 d2 = 一般地，设有 n 个数据 x1，x2，…，xn，其平均数记为 x，则离差平方和为 如果把这组数据分为两组，前 m（m < n）个数据为一组，后（n－m）个数据为一组. 它们的离差平方和分别为 … … m 个数据 (n－m) 个数据 平均数：x1 平均数：x2 ( x1－ x1 )2 + ( x2－ x1 )2 + … + ( xm－ x1 )2 d12 = ( xm+1－ x2 )2 + ( xm+2－ x2 )2 + … + ( xn－ x2 )2 d22 = ( x1－ x )2 + ( x2－ x )2 + … + ( xn－ x )2 d 2 = = ( x1－x1 + x1－ x )2 + ( x2－x1 + x1－ x )2 +…+ (xm－x1 + x1－x )2 + (xm+1－x2 + x2－x )2 + … + ( xn－x2 + x2－ x )2 = ( x1－x1 )2 + ( x2－x1 )2 +…+ (xm－x1 )2 + (xm+1－x2 )2 + … + ( xn－x2 )2 + m( x1－x )2 + (n－m)( x2－x )2 = d12 + d22 + m( x1－x )2 + (n－m)( x2－x )2 d12 + d22 称为组内离差平方和，表示两个组内数据的离散程度. 这组数据的离差平方和，固定不变. 最小 最大 利用计算器或信息技术工具，可以计算出图24.4-1中的9种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如表24.4-1所示。 观察表24.4-1最后一列“组内离差平方和”可以发现，当按第5个间隔分组时，组内离差平方和最小，为 126.8。 因此，按组内离差平方和最小的分法，应将笔试成绩分为以下两组： ⟨58, 64, 68, 75, 76⟩ 和 ⟨83, 85, 89, 90, 92⟩。 这种分法使得每组内部成绩差异尽可能小，即成绩相近的应聘者被分在同一组，有利于后续分类评价与决策。 例题一：测验成绩分组 城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明 平均高温/℃ 3 3 －3 －11 10 21 22 12 9 17 解: 将表中的数据按从小到大排列，可得 －11　－3　3　3　9　10　12　17　21　22 将它们分成两组共有9种情况，利用计算器或信息技术工具，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如下表所示. 例题一：测验成绩分组 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 584.2 584.2 第2个间隔 32 380.9 412.9 第3个间隔 98.7 285.7 384.4 第4个间隔 132 158.8 290.8 第5个间隔 228.8 113.2 342 第6个间隔 308.8 62 370.8 第7个间隔 397.4 14 411.4 第8个间隔 562 0.5 562.5 第9个间隔 789.6 0 789.6 最小 例题一：测验成绩分组 城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明 平均高温/℃ 3 3 －3 －11 10 21 22 12 9 17 因此，按组内离差平方和最小的分法为 {北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨} 和 {上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明}． 同类型题目解题步骤 ① 将原始数据按大小（或时间、编号等自然顺序）排列； ② 计算全部数据的平均数（用于验证，非必需）； ③ 枚举所有可能的分界点（即前 m个为第1组，其余为第2组）， m从1开始到总数减1； ④ 对每个 m： 　　a. 分别计算第1组、第2组的平均数； 　　b. 分别计算两组各自的离差平方和； 　　c. 相加得该分法的组内离差平方和； ⑤ 比较所有结果，找出最小值对应的那个 m； ⑥ 写出对应分组结果，并说明其实际意义（如“组内成绩最均匀”“差异最小”等）。 例题一：测验成绩分组 将各组范围、频数、以及对应的频率（频数除以总人数50）整理成规范表格，表格第二列显示每组学生人数，第三列显示该组人数占比，这为后续绘制直方图提供了清晰的数据蓝图。 制作频数分布表 我们拥有50名学生的数学测验成绩，原始分数分布在40分到98分之间，我们计划将这些杂乱的数据按每10分一组进行划分，从而清晰地看出成绩的集中区间与分布层次。 数据情况与目标 首先找出最大值98分与最小值40分，计算出全距为58分，结合数据总量，我们决定将组距设定为10分，共划分6组，起始组的下限定为40分，确保所有分数都能被包含。 确定组界范围 按照“左闭右开”原则，我们逐一核对每个成绩落入哪个分数区间，例如，成绩78分属于70～80分组，经过统计，我们发现70～80分这一组的频数高达14人，是人数最集中的核心区间。 统计各频次数 通过频数分布表，我们直观发现全班约有三成学生成绩集中在70～80分之间，优秀层（90分以上）仅有6人，而低分段（低于60分）有4人，这为教师调整教学重点提供了科学依据。 结论与解读 课堂小结 数据的分组 离差平方和 组内离差平方和 组内离差平方和最小 组间离差平方和 分组原则 组间离差平方和最大 课堂小结 课堂小结 数据的分组 按组内离差平方和最小分组 按组间离差平方和最大分组 课堂小结 课堂小结：知识梳理 01. 核心工具：离差平方和 离差平方和是衡量数据变异程度的关键指标。包含三个核心维度：总体离差平方和 d²、组内离差平方和 d₁² + d₂²，以及组间离差平方和 d₁₂²，是方差分析的基础。 02. 核心关系：变异的分解 总变异可以分解为组内变异与组间变异之和，即 d² = d₁² + d₂² + d₁₂²。这一关系揭示了数据差异的来源，是判断分组合理性的重要依据。 03. 分组原则：组内最小，组间最大 最优分组的核心原则是“组内离差平方和最小”，其等价条件为“组间离差平方和最大”。这一原则能确保实现数据的“同类相聚”，使分组结果具有最强的内聚性。 04. 分组步骤：标准化流程 完整的分组实施流程为：首先对数据进行排序，接着枚举可能的分组方式，然后分别计算各组的离差平方和，再比较不同方案的结果，最终选择符合“组内最小”原则的最优解。 THANK YOU! 八年级数学下册 24.4节 $