精品解析：河南周口市沈丘县两校2026年九年级学业水平测试（一）数学试卷

2026年九年级学业水平测试（一） 数学试卷 考生须知： 1．本试卷共23小题，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置． 3．所有答案请书写在答题卡指定区域内，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.6 2. 2026年河南乡村振兴项目投资总额约41.6亿元，数据41.6亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 某几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，如图所示，则该几何体是（ ） A. 六棱柱 B. 长方体 C. 六棱锥 D. 圆柱 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 直线，一块含角的直角三角板按如图放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 从3名男生、1名女生中随机选取2人参加志愿服务，恰好选中一男一女的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 关于一元二次方程，下列说法正确的是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 8. 若点，，都在反比例函数图象上，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形 中，对角线 ， 交于点 ，若，，则 的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知中，，， 是 边上一个动点，过点 作，交其他边于点 ．若设为 ，的面积为 ，则 与 之间的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：|﹣5|﹣=_____． 12. 不等式组的解集是______． 13. 已知一次函数，若y值随x值的增大而减少，则k的取值范围是________． 14. 如图，扇形的圆心角是直角，半径为3， 为 边上一点，将沿 边折叠，圆心 恰好落在弧 上的点 ，则阴影部分面积为________． 15. 如图，在 中， ，，点 在 上， 交 于点 ，交 于点 ，则 ______． 三、解答题（共8小题，75分） 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 某中学为推进“中国传统文化进校园”，在本校组织开展中国传统文化知识竞赛，并随机抽取了部分学生的测试成绩（成绩分为 等， 等， 等， 等）作为样本，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中所给信息，下列问题： （1）请将表示成绩类别为“ 等”的条形统计图补充完整； （2）该校共有2000名学生参加了本次知识竞赛，试估计本次知识竞赛中测试成绩为“ 等”和“ 等”的学生人数之和； （3）学校按照竞赛成绩找出4名同学组成两队（每队两人）参加市知识竞赛，4名同学中有2位男生和2位女生．若学校通过抽签随机组合，请用列举法表示这4名同学的组队情况，并求出性别相同的同学在同一组的概率． 18. 如图， 是 直径，点 在 上， 为 延长线上一点，且 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ， ，求 的长． 19. 如图，山顶上有一个信号塔 ，已知信号塔高米，在山脚下点 处测得塔底 的仰角，塔顶 的仰角．求山高 (点在同一条竖直线上)． (参考数据： ) 20. 某文具店购进A、B两款笔记本，每本A款进价比B款多2元，用1200元购进A款数量与用1000元购进B款数量相同． （1）求A、B两款笔记本每本进价； （2）若计划购进两款共300本，A款不少于80本，A售价16元，B售价18元，如何进货利润最大？最大利润多少？ 21. 如图，一次函数的图像和反比例函数的图像交于，两点，直线 与 轴交于点 ． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）的面积为_________； （3）结合图像，直接写出不等式的解集． 22. 菱形 中，，连接 ，点 是 边上一点，连接 交 于点 ． （1）如图1，若 ，当时，求的长； （2）以 为边向右侧作等边，连接 ， ． ①如图2，点 是 中点，连接 ，求证：； ②如图3，当时，直接写出的值． 23. 如图，抛物线与 轴分别交于点，，与 轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2） 为第一象限内抛物线上一动点，点 在何处时，的面积最大； （3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点 ，使得为直角三角形？若存在，请求出所有可能点 的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级学业水平测试（一） 数学试卷 考生须知： 1．本试卷共23小题，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置． 3．所有答案请书写在答题卡指定区域内，在试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，据此逐一化简判断各选项即可． 【详解】解：选项A：是分数，属于有理数，∴ A不符合要求； 选项B：是无限不循环小数，属于无理数，∴ B符合要求； 选项C：，是整数，属于有理数，∴ C不符合要求； 选项D：0.6是有限小数，可化为分数，属于有理数，∴ D不符合要求． 2. 2026年河南乡村振兴项目投资总额约41.6亿元，数据41.6亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，要求， 为整数，解题关键是确定 和 的值． 【详解】解：∵亿 ，将小数点左移9位得到 ，满足 ， 为9， ∴亿用科学记数法表示为． 3. 某几何体的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，如图所示，则该几何体是（ ） A. 六棱柱 B. 长方体 C. 六棱锥 D. 圆柱 【答案】D 【解析】 【详解】根据三视图可知，该几何体是圆柱，六棱柱、长方体、六棱锥的俯视图均不可能是圆． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂除法、积的乘方、完全平方公式，逐一判断选项正误． 【详解】A、，计算错误； B、，计算错误； C、，计算正确； D、 ，计算错误． 5. 直线，一块含角的直角三角板按如图放置，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过直角三角板的直角顶点作，根据平行线的性质可得的度数，再由周角的定义可得的度数，再证明，由平行线的性质求解的度数即可． 【详解】如图，过直角三角板的直角顶点作， ， ， ， ， ， ， ． 6. 从3名男生、1名女生中随机选取2人参加志愿服务，恰好选中一男一女的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查古典概型的概率计算，用列举法即可求出所有等可能情况数和符合条件的情况数，再代入概率公式计算即可． 【详解】记3名男生为男1、男2、男3，1名女生为女，从4人中随机抽取2人，不区分抽取顺序，所有等可能结果为： (男1，男2)、(男1，男3)、(男1，女)、(男2，男3)、(男2，女)、(男3，女) ∴ 总共有 种等可能结果，且每种结果被抽到的可能性相同． ∵ 其中恰好选中一男一女的结果有 种， ∴ 恰好选中一男一女的概率为． 7. 关于一元二次方程，下列说法正确的是（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【详解】解：中，，，， ， 该方程有两个不相等的实数根． 8. 若点，，都在反比例函数图象上，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将三个点的横坐标代入反比例函数解析式，计算出对应 值后直接比较大小即可得到结果． 【详解】解：代入点到，得， 代入点到，得， 代入点到，得， ∵， ∴． 9. 如图，在矩形 中，对角线 ， 交于点 ，若，，则 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的性质可得 的长，在中，利用勾股定理即可求得 的长． 【详解】 在矩形 中，对角线 ， 交于点 ，， ，， 在中，． 10. 如图，已知中，，， 是 边上一个动点，过点 作，交其他边于点 ．若设为 ，的面积为 ，则 与 之间的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点 作于点 ，可求出，，当 时， ，当时，如图1所示，点 在 上，当时，如图2所示，点 在 上，分别用含 的式子表示出的长，再根据三角形的面积公式表示出 ，结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，过点 作于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当 时，此时点 ，点 和点 重合，则 ， 当时，如图1所示，点 在 上， 在中，， ， ， ； 当时，如图2所示，点 在 上， 同理可得， ； 当 时，此时点 ，点 和点 重合，则 ， 故C选项中的函数图象符合题意． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：|﹣5|﹣=_____． 【答案】2 【解析】 【详解】分析：直接利用二次根式以及绝对值的性质分别化简得出答案． 详解：原式=5-3 =2． 故答案为2. 点睛：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 12. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，再确定两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 因此不等式组的解集为 ． 13. 已知一次函数，若y值随x值的增大而减少，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一次函数的性质得出关于k的不等式，再解不等式即可求出k的取值范围． 【详解】解：∵一次函数y=（k-2）x+3中，函数值y随自变量x的增大而减小， ∴k-2<0，解得k<2． 故答案为：k<2． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 14. 如图，扇形的圆心角是直角，半径为3， 为 边上一点，将沿 边折叠，圆心 恰好落在弧 上的点 ，则阴影部分面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、扇形面积以及特殊角的三角函数值，连接 ，则，由折叠得，则是等边三角形，可求得，则，所以，即可由求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接 ，则， 由折叠得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在 中， ，，点 在 上， 交 于点 ，交 于点 ，则 ______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接 ，由勾股定理得，即得，由等腰三角形的性质得 垂直平分 ，即得，又由可得，设，则，进而利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，连接 ， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴ ， ∴ 垂直平分 ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 三、解答题（共8小题，75分） 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，分母有理化，先通分计算括号内，除法变乘法约分化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式． 当时，原式． 17. 某中学为推进“中国传统文化进校园”，在本校组织开展中国传统文化知识竞赛，并随机抽取了部分学生的测试成绩（成绩分为 等， 等， 等， 等）作为样本，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中所给信息，下列问题： （1）请将表示成绩类别为“ 等”的条形统计图补充完整； （2）该校共有2000名学生参加了本次知识竞赛，试估计本次知识竞赛中测试成绩为“ 等”和“ 等”的学生人数之和； （3）学校按照竞赛成绩找出4名同学组成两队（每队两人）参加市知识竞赛，4名同学中有2位男生和2位女生．若学校通过抽签随机组合，请用列举法表示这4名同学的组队情况，并求出性别相同的同学在同一组的概率． 【答案】（1）补全条形统计图如图所示： （2）本次知识竞赛中测试成绩为“ 等”和“ 等”的学生人数之和为1080人 （3）性别相同的同学在同一组的概率为 【解析】 【分析】（1）先求出抽取学生的总人数，再求出成绩类别为“ 等”的人数，最后补全条形统计图即可； （2）根据进行计算即可得到答案； （3）先列出表格，找出所有可能出现的结果，再找出符合题意的几种情况，最后根据概率公式进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意可得： 抽取学生的总人数为：（人）， 成绩类别为“ 等”的人数为：（人）， 图略； 【小问2详解】 解：根据题意可得： （人）， 答：本次知识竞赛中测试成绩为“ 等”和“ 等”的学生人数之和为1080人； 【小问3详解】 解：根据题意列出表格如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男1男2 男1女1 男1女2 男2 男2男1 男2女1 男2女2 女1 女1男1 女1男2 女1女2 女2 女2男1 女2男2 女2女1 共有12种等可能出现的结果，其中性别相同的同学在同一组的情况有4种情况， 性别相同的同学在同一组的概率为， 答：性别相同的同学在同一组的概率为． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法和画树状图求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 18. 如图， 是 直径，点 在 上， 为 延长线上一点，且 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ， ，求 的长． 【答案】（1）证明：∵ 是直径， ， ∴， 连接 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴，即 ， 又∵ 是半径， ∴ 是 的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接 ，由直径得到，再根据 和 ，得到 ，即可结合 是半径，得到 是 的切线； （2）证明 ，代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ， ， ∴ ， ∴， ∵ ， ， ∴， ∴， 解得（负值舍去）． 19. 如图，山顶上有一个信号塔 ，已知信号塔高米，在山脚下点 处测得塔底 的仰角，塔顶 的仰角．求山高 (点在同一条竖直线上)． (参考数据： ) 【答案】75米 【解析】 【分析】设山高CD=x米，先在Rt△BCD中利用三角函数用含x的代数式表示出BD，再在Rt△ABD中，利用三角函数用含x的代数式表示出AD，然后可得关于x的方程，解方程即得结果． 【详解】解：设山高CD=x米，则在Rt△BCD中，，即， ∴， 在Rt△ABD中，，即， ∴， ∵AD－CD=15， ∴1.2x－x=15，解得：x=75． ∴山高CD=75米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握三角函数的知识是解题的关键． 20. 某文具店购进A、B两款笔记本，每本A款进价比B款多2元，用1200元购进A款数量与用1000元购进B款数量相同． （1）求A、B两款笔记本每本进价； （2）若计划购进两款共300本，A款不少于80本，A售价16元，B售价18元，如何进货利润最大？最大利润多少？ 【答案】（1）A每本进价12元，B每本进价10元 （2）A进80本，B进220本，最大利润元 【解析】 【分析】（1）设B进价 元，A为元．根据“用1200元购进A款数量与用1000元购进B款数量相同”列方程，解方程并检验即可得到答案； （2）设进A款 本，B款本，，设购进的两款笔记本全部售出后获得的总利润为 元，得到一次函数解析式，根据一次函数的性质求出答案． 【小问1详解】 解：设B进价 元，A为元， 由题意得， 解得： ， 经检验， 是所列方程的根． ， ∴B进价 元，A为 元； 【小问2详解】 解：设进A款 本，B款本，，利润 元， 由题意得， ∵， ∴ 随 增大而减小， 时利润最大，此时 A进80本，B进220本，最大利润元． 21. 如图，一次函数的图像和反比例函数的图像交于，两点，直线 与 轴交于点 ． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）的面积为_________； （3）结合图像，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2）2 （3）或 【解析】 【分析】（1）先根据点 的坐标，利用待定系数法可得反比例函数的解析式，从而可得点 的坐标，再利用待定系数法即可得一次函数的解析式； （2）先根据一次函数的解析式可得点 的坐标，再利用三角形的面积公式即可得； （3）结合函数图像，根据点的坐标，找出一次函数的图像位于反比例函数的图像的下方时， 的取值范围即可得． 【小问1详解】 解：把点代入，得：， ∴反比例函数的解析式为， 当 时，， ∴， 把点，代入，得：， 解得， ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：对于一次函数， 当 时，，即， ， 的 边上的高为， 则的面积为， 故答案为：2． 【小问3详解】 解：不等式表示的是一次函数的图像位于反比例函数的图像的下方， 由函数图像可知， 的取值范围是或 ， 故不等式的解集为或 ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法和函数图像法是解题关键． 22. 菱形 中，，连接 ，点 是 边上一点，连接 交 于点 ． （1）如图1，若 ，当时，求的长； （2）以 为边向右侧作等边，连接 ， ． ①如图2，点 是 中点，连接 ，求证：； ②如图3，当时，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）由菱形可知， ， 平分，进而得到，，在中，，在中，，； （2）①延长 至 ，使，即，连接，易通过 证明≌，得到，，进而可得，由平行线的性质可得，由等边三角形的性质可知 ，，于是，易得，则，根据等角加同角相等得，于是可通过 证明≌ ，得到，由可得；②连接 交 于点 ，过点 作于点 ，设，则，，易得为等边三角形， ，利用含 度角的直角三角形性质得，，进而得到，由平行线的性质得到，因此，利用含 度角的直角三角形性质得，根据三角形面积公式求得，等等角加同角相等可得，于是根据证明，得到，，则，根据三角形面积公式求得，再进一步计算即可求解． 【小问1详解】 解： 四边形 是菱形， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， ，， ∴， ∴， ，； 【小问2详解】 ①证明：如图，延长 至 ，使，即，连接， 点 为 的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 在和 中， ， ， ， ， ； ②解：如图，连接 交 于点 ，过点 作于点 ， 设，则， ， 四边形 为菱形，， ，，，，， 为等边三角形， ， 在中，，， ， ， ，即， ， 在中，， ， 为等边三角形， ，， ， ， 在和 中， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、含 度角的直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平行线的性质、三角形的面积，解题关键是熟知菱形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题． 23. 如图，抛物线与 轴分别交于点，，与 轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2） 为第一象限内抛物线上一动点，点 在何处时，的面积最大； （3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点 ，使得为直角三角形？若存在，请求出所有可能点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 坐标为时，的面积最大 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法将和代入，求出即可； （2）设 坐标为，先求得点 的坐标，再求得直线 的解析式，过点 作 轴的垂线，交 于 ，则 的坐标为，根据的面积的面积的面积，再结合二次函数的性质求解即可： （3）分三种情况：①当时；②当时；③当时；讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵与 轴分别交于点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：设 坐标为，其中 ， ∵抛物线与 轴交于点 ， ∴， ∵，， ∴直线 的解析式为， 如图，过点 作 轴的垂线，交 于 ，则 的坐标为， ∴的面积的面积的面积， 当，即 坐标为时，的面积最大，最大面积为8； 【小问3详解】 解：∵抛物线的对称轴为 ，且点， ∴设点， 则，，， ①当时，，即， 解得：， ∴点 的坐标为； ②时，，即， 解得：， ∴点 的坐标为； ③当时，，即， 解得：， ∴点 的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $