精品解析：河南省周口市沈丘县学业水平测试2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年度第二学期期中考试卷 九年级数学 注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．请用蓝、黑色水笔或圆珠笔直接答在答题卡上． 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题(每小题3分，共30分) 下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内． 1. 下列各数中最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 根据对全国31个省(区、市)的调查，2024年全国粮食总产量约为70 650万吨，比2023 年增加1 109万吨，增长1.6%．数据70650万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 光线从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的a，b两面，且，现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成，F为射线延长线上的一点．已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若点在第二象限，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的外接圆，已知，则的半径的长度为（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 定义运算：．例如：．方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 8. 中国数学家祖冲之、刘徽、张衡、刘歆等都对π有过深入研究．某学校准备从以上4位数学家介绍图展中随机选2幅进行文化墙的布置，请你推算一下选中祖冲之和刘徽这两位数学家的概率是（ ） A. B. C. D. 1 9. 纯电动汽车续行里程取决于车载动力电池容量的大小．某品牌汽车采用智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低并保持匀速充电模式．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y随充电时间变化的函数图象，据图下列说法错误的是（ ）． A. 本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量 B. 汽车电池含电率达到时充电用时 C. 本次充电持续时间 D. 若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电80千瓦时，则本次充电耗电70千瓦时 10. 如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为（ ） A B. C. D. 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 计算: _________ 12. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，又满足 那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129 是“递减数”．又如:四位数5324，∵，∴5324 不是“递减数”．若一个“递减数”为 ，则实数a的值为________． 13. 新高考实行“3+3”模式．为了解学生选报科目的选择情况，随机抽取部分高中学生进行调查，A：政、史、生；B：物、化、政；C：物、化、生；D：政、史、地，并将调查结果绘制成了如图所示的统计图．则在被调查的学生中选择物、化、生的人数是________． 14. 如图，在中，，，以的中点O为圆心，为半径画圆交于点 D，过点 D 作圆的切线交于点 E，则的长度为_______． 15. 在矩形中，，为的中点，连接并取的中点，连接，当为直角三角形时，的长为______． 三、解答题(本大题8个小题，共75分) 16. （1）化简∶ （2）化简∶ 17. 新课改下为了提升教学实效，王老师选择两个班进行不同方式的教学，在甲班采用原来的教学方法，在乙班实施新的教学方法．在实验开始前，进行一次学情能力评估（总分50分），经过一段时间的教学后，又进行了学情能力评估（总分50分）． 收集数据： 甲班成绩x/分 实验前评估 12 20 12 5 1 实验后评估 13 16 12 7 2 收集数据： 乙班成绩x/分 实验前评估 15 15 11 4 1 实验后评估 6 8 13 16 3 分析数据： （1）甲，乙两班的学生人数各是多少？ （2）根据两次学情评估，乙班的学生能力 （填“明显提升”或“变化不大”），你的理由是 ． （3）根据以上信息，请对王老师的教学实验效果进行评价（写出两条即可）． 18. 如图，已知． （1）用无刻度的直尺和圆规作菱形，使得点 E、D、F分别落在的边上．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，，求所作菱形的边长． 19. 放风筝是人们非常喜欢一种传统游戏活动，它最早是用来祈福和观测气象变化的．数学中有一种四边形，酷似风筝形状，故名“筝形”．“筝形”的特点是有一组对角相等，有两组邻边分别相等，一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线．小明同学在平面直角坐标系中做了一个“筝形”，其中，直线与反比例函数 的图象交于点，，点C在反比例函数第三象限的图象上，连接交y轴于点 H． （1）求a、b、k、m的值； （2）求点H的坐标； （3）以点A 为圆心，的长为半径作，直接写出图中阴影部分的面积． 20. 在社会实践活动中，学生们研究某种植大棚的采光情况．他们发现在太阳光照射下，大棚最高处的点A的影子刚好落在半圆形门的最高处点G，而半圆形门的影子刚好落在地面上点E，通过测量得到 米， 米，并测得光线与水平地面的夹角．请计算大棚 的高度．(结果保留整数) 21. 某电器商城销售智能型与节能型两种型号的空调，价格如下表： 型号 进价 售价 智能型 元/台 元/台 节能型 元/台 元/台 （1）若商城用不多于万元的金额购进这两种型号的空调共台，则智能型空调最多能购进多少台? （2）商城销售完这台空调能否实现利润超过万元的目标?若能，请给出购买方案；若不能，请说明理由． 22. 如图，某景区建设规划中想将大门设计为带有雕花和复古图案的一个抛物线型铁艺大门．在兼顾美观、通畅等因素下，铁艺大门的高为3m，其面积越大越好(框架的粗细忽略不计)．设计组按要求给出了两个设计方案，分别如图所示． 方案一：抛物线型拱门的跨度为10m，拱高为5m． 方案二：抛物线型拱门的跨度 为6m，拱高为6m． 请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： （1）建立适当平面直角坐标系求抛物线的函数表达式； （2）求铁艺大门框架的面积和的面积 并比较 与 的大小． 23. 如图1，点D 为等边三角形的边上的一点，将线段绕点A 逆时针旋转 得到线段，连接．易知： （1）【探究应用】如图2，点D 为等边三角形内一点，将线段 绕点A 逆时针旋转 得到线段，连接，若B、D、E三点共线，试判断和的数量关系并说明理由． （2）【拓展提升】如图3，若 是边长为6的等边三角形，点D 是线段上的动点(不与B、C重合)，将线段绕点 D 顺时针旋转 得到线段，连接．点D在运动过程中， 的周长的最小值为 (直接写出结果)． （3）【方法迁移】如图4，在 中，P为边上的一点，将绕点 P 逆时针旋转 得到线段 连接 且 ①连接 判断 的形状并说明理由； ②若 ，，，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期中考试卷 九年级数学 注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．请用蓝、黑色水笔或圆珠笔直接答在答题卡上． 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题(每小题3分，共30分) 下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内． 1. 下列各数中最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比较实数的大小，根据所有的负数都小于，所以排除D选项，因为，所以，根据绝对值大的负数反而小，可得：，所以最小的数是． 【详解】解：所有的负数都小于， 是四个选项中最大的数， ，， ， 绝对值大的负数反而小， ， 最小的数是．   故选：B． 2. 如图所示的几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体三视图，根据俯视图是几何体的上面看到的图形进行作答即可． 【详解】解：依题意，的俯视图为， 故选：B 3. 根据对全国31个省(区、市)的调查，2024年全国粮食总产量约为70 650万吨，比2023 年增加1 109万吨，增长1.6%．数据70650万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将70650万写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：70650万． 故选D． 4. 光线从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的a，b两面，且，现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成，F为射线延长线上的一点．已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质、对顶角相等、角的和差等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由平行线的性质可得，再由对顶角相等可得，从而可求即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5. 若点在第二象限，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了象限内点的坐标符号问题，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键． 根据第二象限点的坐标特征，得到横坐标为负，纵坐标为正，建立不等式组求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得， 故选：A． 6. 如图，是的外接圆，已知，则的半径的长度为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、解直角三角形等知识点，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键． 如图：连接，根据圆周角定理得出，则，最后根据即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7. 定义运算：．例如：．方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查新定义及一元二次方程根的判别式，根据定义运算将方程转化为一元二次方程的一般形式，然后计算判别式判断根的情况．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】解：由定义运算得：， ∴方程可化为： 整理得：， ∵， ∴方程无实数根． 故选：C． 8. 中国数学家祖冲之、刘徽、张衡、刘歆等都对π有过深入研究．某学校准备从以上4位数学家的介绍图展中随机选2幅进行文化墙的布置，请你推算一下选中祖冲之和刘徽这两位数学家的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率，需先确定所有可能的选法总数，再计算符合条件的情况数，最后求概率． 【详解】解：将祖冲之、刘徽、张衡、刘歆4位数学家分别记为A，B，C，D，列表如下： 可知共有12种等可能的情况，选中祖冲之和刘徽这两位数学家的情况有2种，概率为：， 故选A． 9. 纯电动汽车续行里程取决于车载动力电池容量的大小．某品牌汽车采用智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低并保持匀速充电模式．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y随充电时间变化的函数图象，据图下列说法错误的是（ ）． A. 本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量 B. 汽车电池含电率达到时充电用时 C. 本次充电持续时间是 D. 若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电80千瓦时，则本次充电耗电70千瓦时 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由函数图像读取信息，从函数图像上获取所需信息成为解题的关键． 根据函数图像反映的信息逐项判断即可． 【详解】解：A、由函数图像可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量，正确，不符合题意； B、由函数图像可知，本次充电40分钟，汽车电池含电率达到，正确，不符合题意； C、由函数图像可知，本次充电持续时间是120分钟，正确，不符合题意； D、若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电80千瓦时，那么从到的电量变化对应的耗电量是80千瓦时，所以到的电量变化对应的耗电量为：（千瓦），则原说法错误，该选项符合题意． 故选：D． 10. 如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的折叠、勾股定理等知识点，搞清楚折叠中线段的数量关系是解的题的关键． 先判断出，进而判断出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠补全图形如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， 由第一次折叠得：， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， 由第二次折叠可知，， ∴． 故选：A． 二、填空题(每小题3分，共15分) 11. 计算: _________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂运算和二次根式性质，根据零指数幂运算法则，二次根式性质，解题的关键是熟练掌握运算法则． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，又满足 那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129 是“递减数”．又如:四位数5324，∵，∴5324 不是“递减数”．若一个“递减数”为 ，则实数a的值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查新定义，一元一次方程解决实际问题，理解新定义概念，正确计算是解题关键． 根据“递减数”的概念列方程求a的值，即可求解． 【详解】解：由题意可得，， 解得：， 故答案为：8． 13. 新高考实行“3+3”模式．为了解学生选报科目的选择情况，随机抽取部分高中学生进行调查，A：政、史、生；B：物、化、政；C：物、化、生；D：政、史、地，并将调查结果绘制成了如图所示的统计图．则在被调查的学生中选择物、化、生的人数是________． 【答案】100 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图的结合，求总数和部分数等知识点，解题的关键是掌握求总数的公式． 先根据部分的实际数除以其所占比值求出总数，再利用总数减去其他部分数即可得出答案． 【详解】解：本次调查的人数为（人）， ∴选择物、化、生的人数为（人）， 故答案为：100． 14. 如图，在中，，，以的中点O为圆心，为半径画圆交于点 D，过点 D 作圆的切线交于点 E，则的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质．根据圆周角定理结合等腰三角形的性质得到，，利用求得，证明是的中位线，推出，利用切线的性质求得，再证明，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为： 15. 在矩形中，，为的中点，连接并取的中点，连接，当为直角三角形时，的长为______． 【答案】8或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质．先证明，可得，，再分和两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴，，， 当时，如图，则， ∴和都为等腰直角三角形， ∴， ∴； ②当时，如图，则， ∵点为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， 设， ∴， ∴， 由勾股定理得，即， 解得， ∴； 综上，的长为8或， 故答案为：8或． 三、解答题(本大题8个小题，共75分) 16. （1）化简∶ （2）化简∶ 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要查了整式的混合运算，分式的混合运算： （1）先计算乘法，再合并，即可求解； （2）先计算括号内的，再计算除法，即可求解． 【详解】解：原式 ； 原式 17. 新课改下为了提升教学实效，王老师选择两个班进行不同方式的教学，在甲班采用原来的教学方法，在乙班实施新的教学方法．在实验开始前，进行一次学情能力评估（总分50分），经过一段时间的教学后，又进行了学情能力评估（总分50分）． 收集数据： 甲班成绩x/分 实验前评估 12 20 12 5 1 实验后评估 13 16 12 7 2 收集数据： 乙班成绩x/分 实验前评估 15 15 11 4 1 实验后评估 6 8 13 16 3 分析数据： （1）甲，乙两班的学生人数各是多少？ （2）根据两次学情评估，乙班的学生能力 （填“明显提升”或“变化不大”），你的理由是 ． （3）根据以上信息，请对王老师的教学实验效果进行评价（写出两条即可）． 【答案】（1）甲、乙两班分别是50人，46人 （2）明显提升，20分以上人数明显增多，20分以下人数明显减少 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查频数分布表，解题的关键是理解题意． （1）根据各组频数之和等于总数即可求解； （2）根据乙班的学生实验前后评估分数即可求解； （3）从提升情况进行分析即可． 【小问1详解】 甲班：（人）， 乙班：（人）， 答：甲、乙两班分别是50人，46人． 【小问2详解】 明显提升，20分以上人数明显增多，20分以下人数明显减少． 【小问3详解】 甲班实验前的平均成绩为 （分）； 甲班实验后的平均成绩为 （分）； 乙班实验前的平均成绩为 （分）； 乙班实验后的平均成绩为 （分）． 从平均数看，两班成绩较实验前评估都有上升，但乙班提升得更明显，因此王老师新的教学方法效果较好． 从中位数看，两班前测中位数均在这一范围，后测甲班中位数在这一范围，乙班中位数在这一范围，两班成绩较前测都有上升，但实验班乙班提升得更明显，因此张老师新的教学方法效果较好． 从百分率看，20分以上人数明显增多，20分以下人数明显减少，因此王老师新的教学方法效果较好． 18. 如图，已知． （1）用无刻度的直尺和圆规作菱形，使得点 E、D、F分别落在的边上．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，，求所作菱形的边长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． （1）结合菱形的判定与性质，先作的平分线，交于点D，再作线段的垂直平分线，分别交，于点E，F，连接，即可． （2）设菱形的边长为x，则，，根据题意证明，可得，即，求出x的值即可． 【小问1详解】 所作菱形如图所示． 【小问2详解】 ∵四边形为菱形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 设菱形的边长为x， 则，， ∴， 解得， ∴所作菱形的边长为． 19. 放风筝是人们非常喜欢的一种传统游戏活动，它最早是用来祈福和观测气象变化的．数学中有一种四边形，酷似风筝形状，故名“筝形”．“筝形”的特点是有一组对角相等，有两组邻边分别相等，一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线．小明同学在平面直角坐标系中做了一个“筝形”，其中，直线与反比例函数 的图象交于点，，点C在反比例函数第三象限的图象上，连接交y轴于点 H． （1）求a、b、k、m的值； （2）求点H的坐标； （3）以点A 为圆心，的长为半径作，直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】（1），，， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将，的坐标分别代入，可求得a、m的值，得到，再将，的坐标分别代入求解即可； （2）过点A作轴，过点D作于点E，过点B作于点F，先证明，进一步求得，再求出直线的解析式，即可得到答案； （3）连结，证明点H是的中点，且在上，然后求出直线的解析式，联立方程组求得点C的坐标，再求出，，的长，即可根据求解答案． 小问1详解】 解：直线与反比例函数 的图象交于点，， ，， 解得，， ， ， 解得； 【小问2详解】 解：过点A作轴，过点D作于点E，过点B作于点F， ，， ，， 四边形是“筝形”， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 点H的坐标为； 【小问3详解】 解：图中阴影部分的面积为． 理由：，， 点H是的中点， 连结， 四边形是“筝形”， 则垂直平分， 点H在上， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 联立方程组， 解得或， ， ， ，， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合性问题，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的图象与性质，求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，求扇形的面积等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数的交点问题是解题的关键． 20. 在社会实践活动中，学生们研究某种植大棚的采光情况．他们发现在太阳光照射下，大棚最高处的点A的影子刚好落在半圆形门的最高处点G，而半圆形门的影子刚好落在地面上点E，通过测量得到 米， 米，并测得光线与水平地面的夹角．请计算大棚 的高度．(结果保留整数) 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的性质，切线定理，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据圆的切线的性质定理和直角三角形的性质得出圆的半径和相关线段的长度，根据勾股定理得出，根据平行线的性质得出，然后根据相似三角形的性质可求出线段的长度． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 为的切线， ， ，， ， ，， ， ， 由勾股定理得 . ， ， ， ， ， ， . 21. 某电器商城销售智能型与节能型两种型号的空调，价格如下表： 型号 进价 售价 智能型 元/台 元/台 节能型 元/台 元/台 （1）若商城用不多于万元的金额购进这两种型号的空调共台，则智能型空调最多能购进多少台? （2）商城销售完这台空调能否实现利润超过万元的目标?若能，请给出购买方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）购进智能型空调台； （2）不能，理由见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一次函数的应用． 设购进智能型空调台，根据费用不超过元，可得不等式：，解不等式可得：，所以最多购进智能型空调台； 根据利润单件利润销量，可得：，又因为，根据一次函数的性质可知利润不会超过万元． 【小问1详解】 解：设购进智能型空调台， 根据题意得：， 解得：， 答：最多购进智能型空调台； 【小问2详解】 解：不能， ， ， ， 利润不会超过万元． 22. 如图，某景区建设规划中想将大门设计为带有雕花和复古图案的一个抛物线型铁艺大门．在兼顾美观、通畅等因素下，铁艺大门的高为3m，其面积越大越好(框架的粗细忽略不计)．设计组按要求给出了两个设计方案，分别如图所示． 方案一：抛物线型拱门的跨度为10m，拱高为5m． 方案二：抛物线型拱门的跨度 为6m，拱高为6m． 请你根据以上提供相关信息，解答下列问题： （1）建立适当平面直角坐标系求抛物线的函数表达式； （2）求铁艺大门框架面积和的面积 并比较 与 的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式． （1）由题意知方案一中抛物线的顶点，方案二中抛物线的顶点，分别设顶点式用待定系数法，即可求出抛物线的函数表达式； （2）令可得，，可求出故，再比较的大小即可． 【小问1详解】 解：如图1，方案一中抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为 把代入得∶ 解得： ∴方案一中抛物线的函数表达式为 ． 如图2，方案二中抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为 把代入得∶ 解得： ∴方案二中抛物线的函数表达式为 【小问2详解】 在 中，令，得∶ 解得 或 在 中，令，得∶ 解得 或 23. 如图1，点D 为等边三角形的边上的一点，将线段绕点A 逆时针旋转 得到线段，连接．易知： （1）【探究应用】如图2，点D 为等边三角形内一点，将线段 绕点A 逆时针旋转 得到线段，连接，若B、D、E三点共线，试判断和的数量关系并说明理由． （2）【拓展提升】如图3，若 是边长为6的等边三角形，点D 是线段上的动点(不与B、C重合)，将线段绕点 D 顺时针旋转 得到线段，连接．点D在运动过程中， 的周长的最小值为 (直接写出结果)． （3）【方法迁移】如图4，在 中，P为边上的一点，将绕点 P 逆时针旋转 得到线段 连接 且 ①连接 判断 的形状并说明理由； ②若 ，，，请直接写出的长度． 【答案】（1），理由见解析 （2） （3）①等腰三角形，理由见解析；② 【解析】 【分析】（1）由旋转可得是等边三角形，得出，，结合是等边三角形，可证明，即可得出结论； （2）连接，由旋转可得是等边三角形，结合是边长为6的等边三角形，可证明，得，可得的周长，知的最小时，的周长最小，此时，即可求得答案； （3）①根据旋转得出，根据等边对等角得出，结合已知可得出，最后根据等角对等边即可得出结论； ②连接，过B作于D，证明，得出，结合周角定义可求出，进而求出，根据等角对等边得出，设，则，在中，根据勾股定理得，求出，，根据，结合正切的性质可得出，则可求，，最后在中根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：， 理由：将线段绕点逆时针旋转得到， ，， ∴是等边三角形， ， ∵B、D、E三点共线， ， ∵是等边三角形， ，， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵将线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是边长为6的等边三角形， ，， ， ∴， ； ∴的周长， 当时，长最小，此时的周长最小， 此时 ∴，， ∴的周长的最小值为． 故答案为：． 【小问3详解】 ①等腰三角形． 证明∶由旋转得， ∴ ∵， ∴， ∴是等腰三角形． ②连接，过B作于D， ∵，，， ∴， ∴， 又，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理得， 解得，， ∵， ∴，即， ∴， 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意，舍去； ∴． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，解直角三角形等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$