精品解析：宁夏回族自治区吴忠市同心县第四中学2025-2026学年度第一学期期末试卷 九年级数学

同心县第四中学2025－2026学年度第一学期期末试卷 九年级数学 满分：120分 时间：120分钟 一．选择题（每题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是 C. 顶点坐标是 D. 最高点的纵坐标是2 3. 方程的根的情况为（      ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 4. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 下列事件中是不可能事件的是(　　　) A. 守株待兔 B. 瓮中捉鳖 C. 水中捞月 D. 百步穿杨 6. 三角形内切圆的圆心为（ ） A. 三条高的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条中线的交点 7. 如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点O顺时针旋转 得到，则扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，可得π的估计值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题3分，共24分） 9. 从，0，，π，3.5这个数中随机抽取一个，则抽到无理数的概率是___________． 10. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一个根为______． 11. 已知点，在二次函数的图象上，则__________．（填“ ”，“ ”或“ ”） 12. 如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形，则地基的面积为________ ． 13. 有这样一个古算题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，若设诸侯有 个人，则根据题意可列方程为___________． 14. 如图所示， 的内切圆 与 、 、 分别相切于点D、E、F，若，则 的度数是________． 15. 已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是________． 16. 已知 及 外一点P，求作直线 ， ，使 ， 与 相切于点D，E【操作步骤】小威与小组同学们经过思考与探索，想出了如下作法（图2）： ①连接 ，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点A，C； ②作直线 ，交 于点B； ③以点B为圆心， 长为半径画弧， 交 于点D，E； ④作直线 ， ，则直线 ， 即为所求．请给出 ， 为切线的理论依据：________请写出定理的内容） 三．解答题（共72分） 17. 解方程 （1） （2） 18. 二次函数（， ， ， 是常数）中，自变量 与函数 的对应值如下表： 1 1 1 （1）写出二次函数图象的顶点坐标 ．开口方向 ． （2）一元二次方程 （是常数）的两个根的取值范围是下列选项中的哪一个 ． ① ；② ③；④ 19. 如图所示， 与点O在的网格中的位置如图所示，设每个小正方形的边长为1 （1）画出 绕点O逆时针旋转 后的图形； （2）画出 的外接圆，圆心为点M； （3）若，求长度． 20. 某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放（发放的食品价格一样），食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品． （1）按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是 事件；（可能，必然，不可能） （2）请用列表或树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率． 21. 如图，已知圆锥的底面半径，母线长 （1）圆锥的高 cm．侧面展开扇形 的圆心角 ° （2）求圆锥的全面积． 22. 如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽． 23. 如图所示，， ，， 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 ． （1）求证：； （2）连接 ，求 的长． 24. 如图，在 中， ，以 为直径作 ，交 于点D，交 于点F，连接 ，过点D作，交 于点E． （1）求证： 是 的切线； （2）若 的半径为2，，求阴影部分的面积．（结果保留π） 25. 甘肃临夏回族自治州，旧称河州，位于黄河中上游，它不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图①所示的投石机是古代战争中的攻城武器．已知投石机投出的石块运动轨迹可近似看作抛物线，如图②，石块从距离地面 的点A处投出，其运动过程中的最高点距离地面 ，此时到点A的水平距离为 ． （1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线对应的函数解析式； （2）若高为 的城墙 离 的水平距离为 ，请判断（1）中的石块能否越过城墙，若能越过请说明理由，若不能越过，问为了抵御外敌，城墙应至少加高几米？ 26. 如图，对称轴为直线 的抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为． （1）求点B的坐标； （2）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； （3）设点Q是线段 上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同心县第四中学2025－2026学年度第一学期期末试卷 九年级数学 满分：120分 时间：120分钟 一．选择题（每题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项是轴对称图形而不是中心对称图形； B选项是中心对称图形不是轴对称图形； C选项是轴对称图形也是中心对称图形； D选项是轴对称图形不是中心对称图形． 2. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是 C. 顶点坐标是 D. 最高点的纵坐标是2 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式 的性质，依次判断开口方向，对称轴，顶点坐标和最值即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为，属于顶点式，其中， ， ， ∴，开口向上，A选项说法正确； 对称轴为直线，B选项说法正确； 顶点坐标为 ，C选项说法正确； ∵，抛物线开口向上，∴顶点是图象的最低点，最低点的纵坐标为 ，函数有最小值 ，不存在最高点，因此D选项说法错误． 3. 方程的根的情况为（      ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式 ．当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解． 【详解】解：∵ 方程 中， ， ， ， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程有两个不等的实数根，故 ＞0，得不等式解答即可． 【详解】试题分析：由已知得 ＞0，即（﹣3）2﹣4m＞0， 解得m＜． 故选B． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题型． 5. 下列事件中是不可能事件的是(　　　) A. 守株待兔 B. 瓮中捉鳖 C. 水中捞月 D. 百步穿杨 【答案】C 【解析】 【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，依据定义即可判断． 【详解】解：A、守株待兔，不一定就能达到，是随机事件，故选项不符合； B、瓮中捉鳖是必然事件，故选项不符合； C、水中捞月，一定不能达到，是不可能事件，选项不符合； D、百步穿杨，未必达到，是随机事件，故选项不符合； 故选C. 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 6. 三角形内切圆的圆心为（ ） A. 三条高的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条中线的交点 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵三角形内切圆的圆心到三角形三条边的距离相等， 又∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点． 7. 如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点O顺时针旋转 得到，则扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由扫过的部分为：扇形与 ，再进一步求解即可. 【详解】解：将绕点O顺时针旋转 得到，则扫过的部分为：扇形与 ， ∴扫过的面积为：. 8. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，可得π的估计值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质， 的直角三角形的特点，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正八边形的面积是解题的关键．根据圆内接正多边形的性质与 的直角三角形的特点可得 的长，根据三角形的面积公式即可求得正八边形的面积，即可求解． 【详解】解：圆的内接正八边形的面积可以看成8个全等的等腰三角形组成， ∴等腰三角形的顶角为 ， 设圆的半径为1， 如图为其中一个等腰三角形， 过点 作交 于点 ， ∵， ∴， 则中，， ∵， ∴， 即， ∴ 故正八边形的面积为， 圆的面积为， 用圆内接正八边形面积近似估计的面积可得的估计值为． 故选：A． 二．填空题（每题3分，共24分） 9. 从，0，，π，3.5这个数中随机抽取一个，则抽到无理数的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用无理数的定义得出无理数的个数，再利用概率公式求出答案． 【详解】∵、π是无理数， ∴从，0，，π，3.5这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率是：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义以及概率公式的应用，正确把握概率公式是解题关键． 10. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一个根为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此设出方程的另一个根，再利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴方程的另一个根为4， 故答案为；4． 11. 已知点，在二次函数的图象上，则__________．（填“ ”，“ ”或“ ”） 【答案】 < 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的函数值，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．将两个点分别代入二次函数的解析式求出，的值，比较大小即可得． 【详解】解：将点代入得：， 将点代入得：， ∵， ∴． 故答案为： ． 12. 如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形，则地基的面积为________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形的性质，把面积转化为6个等边三角形的面积和计算即可． 【详解】解：正六边形的每个中心角为， 则正六边形分成6个全等的正三角形，则每个正三角形的边长为， 如图， 是其中一个正三角形，其中， 过点A作 于点D，则， 由勾股定理得， ∴正六边形的面积为． 13. 有这样一个古算题：“今有诸侯会盟，相见两两揖让．礼毕，共揖十五次．问诸侯几何？”译文：诸侯会盟，每两人相互行礼一次，行礼总次数为15次，若设诸侯有 个人，则根据题意可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用（握手问题），解题的关键是理解每两人相互行礼一次的总次数为握手数． 通过分析诸侯人数与行礼次数的握手关系，列出对应的方程． 【详解】解：设有 个诸侯，每个诸侯需与其余个诸侯行礼，但每两人之间的行礼会被重复计算一次，因此实际总行礼次数为， 已知总行礼次数为15次，所以可列方程：． 故答案为：． 14. 如图所示， 的内切圆 与 、 、 分别相切于点D、E、F，若，则 的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得 ， ，则，然后根据四边形内角和计算 的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵ 是 的内切圆 与 、 、 分别相切于点D、E、F， ∴ ， ， ∴， ∴， ∴． 15. 已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式．根据函数图象找到二次函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数与一次函数的交点横坐标分别为， ∴使成立的 的取值范围为或 ， 故答案为：或 ． 16. 已知 及 外一点P，求作直线 ， ，使 ， 与 相切于点D，E【操作步骤】小威与小组同学们经过思考与探索，想出了如下作法（图2）： ①连接 ，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点A，C； ②作直线 ，交 于点B； ③以点B为圆心， 长为半径画弧， 交 于点D，E； ④作直线 ， ，则直线 ， 即为所求．请给出 ， 为切线的理论依据：________请写出定理的内容） 【答案】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【解析】 【分析】首先根据作图过程已知 垂直平分 ， ，进而得到两个等腰三角形和，利用等边对等角，以及三角形内角和定理，得到，即可证明 与 相切，从而可得理论依据. 【详解】证明：如图，连接 ， ， 根据题意，得 垂直平分 ， ， ∴， ∴，，  又∵， ∴， ∴，  又∵ 为 的半径， ∴ 与 相切； 同理： 与 相切； ∴ ， 为切线的理论依据为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 三．解答题（共72分） 17. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） ， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得： ，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 18. 二次函数（， ， ， 是常数）中，自变量 与函数 的对应值如下表： 1 1 1 （1）写出二次函数图象的顶点坐标 ．开口方向 ． （2）一元二次方程 （是常数）的两个根的取值范围是下列选项中的哪一个 ． ① ；② ③；④ 【答案】（1）顶点坐标为，开口向下 （2）③ 【解析】 【分析】（1）观察表格中函数值随自变量的变化规律，找到函数最大值对应的x和y，即可得到顶点坐标，进而判断开口方向． （2）根据二次函数与一元二次方程的关系，方程的根是二次函数中 对应的x值，根据y的正负变化确定根所在区间，即可选出正确选项． 【小问1详解】 解：由表格数据可知， 随 的增大先增大后减小，当 时， 取得最大值 ， 因此二次函数的顶点坐标为． 因为二次函数有最大值，所以二次函数图象开口向下． 【小问2详解】 解：一元二次方程的根对应二次函数中 时 的取值． 由表格可知，当时， ， 当 时，， 因此一个根满足 ． 当 时，，当时， ， 因此另一个根满足．符合该范围的是选项③． 19. 如图所示， 与点O在的网格中的位置如图所示，设每个小正方形的边长为1 （1）画出 绕点O逆时针旋转 后的图形； （2）画出 的外接圆，圆心为点M； （3）若，求长度． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转画图即可； （2）先利用网格作的垂直平分线，得到圆心 ，再画圆即可； （3）由圆周角定理得到，再由弧长公式计算即可． 【小问1详解】 如图：即为所求， 【小问2详解】 如图：圆 即为所求， 【小问3详解】 解： ， ，又， ． 20. 某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放（发放的食品价格一样），食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品． （1）按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是 事件；（可能，必然，不可能） （2）请用列表或树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率． 【答案】（1）不可能事件；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据随机事件的概念即可得“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件； （2）根据题意画出树状图，再由概率公式求解即可． 【详解】解：（1）“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件； （2）树状图法 即小张同学得到猪肉包和油饼的概率为． 【点睛】本题考查了可能和不可能事件的概念，列表法与树状图法求概率，解决此题的关键是正确的理解题意． 21. 如图，已知圆锥的底面半径，母线长 （1）圆锥的高 cm．侧面展开扇形 的圆心角 ° （2）求圆锥的全面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求高；设侧面展开扇形 的圆心角为，再根据扇形弧长等于底面周长列式求解； （2）分别求出圆锥底面面积和侧面积，再求和即可． 【小问1详解】 解：由题可知， ， ； 设侧面展开扇形 的圆心角为，则， 又底面周长为， ，解得， 则侧面展开扇形 的圆心角为； 【小问2详解】 解：圆锥底面积为， 圆锥的侧面积为， 所以圆锥的全面积为． 22. 如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽． 【答案】道路的宽为2米 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设道路的宽为，利用平移得到草坪为一个长为，宽为的一个矩形，利用矩形的面积公式列出方程，进行求解即可． 【详解】解：设道路的宽为，由题意，得：， 解得： （舍去）， ； 答：道路的宽为2米． 23. 如图所示，， ，， 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 ． （1）求证：； （2）连接 ，求 的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到，， ，再证明 ，然后根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）连接 ，根据旋转的性质得到，，根据全等三角形的性质得到 ，，求出，，然后根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵ 绕点B逆时针旋转 得到 ， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 在 与 中， ， ∴； 【小问2详解】 解：连接 ， ∵ 绕点B逆时针旋转 得到 ， ∴，， ∵， ∴ ，， ∵ ， ∴， ∴，， ∴． 24. 如图，在 中， ，以 为直径作 ，交 于点D，交 于点F，连接 ，过点D作，交 于点E． （1）求证： 是 的切线； （2）若 的半径为2，，求阴影部分的面积．（结果保留π） 【答案】（1）证明：连接 ，记 与 交于点I，如图， ∵ ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵ 为 的半径， ∴ 是 的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接 ，由等边对等角得出，进而得出，由平行线的性质得出，进一步即可证明 是 的切线． （2）连接 ，先求出，再求出，证明，最后根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接 ， ∵， ， ∴， ∴， ∵ 是直径， ∴ ， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， 在中， ， ， 则， ∴， ∴． 25. 甘肃临夏回族自治州，旧称河州，位于黄河中上游，它不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图①所示的投石机是古代战争中的攻城武器．已知投石机投出的石块运动轨迹可近似看作抛物线，如图②，石块从距离地面 的点A处投出，其运动过程中的最高点距离地面 ，此时到点A的水平距离为 ． （1）建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线对应的函数解析式； （2）若高为 的城墙 离 的水平距离为 ，请判断（1）中的石块能否越过城墙，若能越过请说明理由，若不能越过，问为了抵御外敌，城墙应至少加高几米？ 【答案】（1）坐标系见解析， （2）能，理由如下： 当 时， ， ， ∴石块能越过城墙； 为了抵御外敌，城墙应至少加高 米 【解析】 【分析】（1）以地面 所在直线为x轴， 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点O为坐标原点，写出A的坐标及顶点坐标，设二次函数的解析式为顶点式，将点A的坐标代入即可求得答案； （2）求出 时的y值，比较这个值与城墙 的高度即可做出判断． 【小问1详解】 解：如图，以地面 所在直线为x轴， 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点O为坐标原点（答案不唯一）， 根据题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设石块运动轨迹的抛物线对应的函数解析式为， 将代入解析式，得 ， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为 ； 【小问2详解】 解：能， 为了抵御外敌，城墙应至少加高 米． 26. 如图，对称轴为直线 的抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为． （1）求点B的坐标； （2）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； （3）设点Q是线段 上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴及点A的坐标，利用二次函数的对称性即可求出点B的坐标； （2）由a的值及点A、B的坐标，即可求出二次函数的解析式，再利用二次函数的性质可求出点C的坐标，设点P的坐标为，根据三角形的面积公式结合，即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）利用待定系数法得到直线 的解析式，设，则，表示出，再结合二次函数的性质求最大值即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线 ，点A的坐标为， ∴点B的坐标为，即； 【小问2详解】 解：∵ ，点A的坐标为，点B的坐标为， ∴抛物线的解析式为， 又∵点C为抛物线与y轴的交点， ∴点C的坐标为， 设点P的坐标为， ∵， ∴，即， ∴， ∴点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：， 设直线 的解析式为 ， ，解得， 则直线 的解析式为， 设，则， ， 时，线段取得最大值，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $