湖北随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高一下学期数学期末复习专题13

**基本信息** 聚焦空间图形距离计算，以等体积法、展开图法、球截面性质为核心方法体系，构建从几何体性质到距离求解的逻辑链条，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |点面距离|第1C、3、6(1)、7(2)|等体积法|由线面垂直/翻折性质推导体积关系，转化距离计算| |几何体度量|第2A、B|体积表面积公式|基于轴截面/母线长分析圆台结构特征，应用度量公式| |最短路径|第1D、2D、4|展开图+余弦定理|将空间路径转化为平面展开图，利用几何图形性质求最值| |外接球问题|第1A、2C|球心位置判定|结合直角三角形性质确定球心，通过勾股定理求半径|

湖北曾都一中2025至2026学年高一下数学期末复习专题复习13 （空间图形中的距离等的计算） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、多选题 1．如图，在三棱锥中，平面，，且，，过点的平面分别与棱，交于点M，N，则下列说法正确的是（    ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．若平面，则 C．若M，N分别为，的中点，则点到平面的距离为 D．周长的最小值为3 2．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（    ）   A．该圆台轴截面面积为 B．该圆台的体积为 C．该圆台的外接球体积为 D．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为5cm 二、填空题 3．在直三棱柱中，，则点到平面的距离为_______. 4．在已知长方体中，，点为棱上一点且，点为线段上的动点，则的最小值为_________． 5．已知为空间五个点，若两两垂直，且，，则点到平面的距离的最大值为______． （第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图） 三、解答题 6．如图，将边长为的正方形沿对角线折起使得点到点的位置，连接，为的中点.(1)若平面平面，求点到平面的距离； (2)不考虑点与点重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度. 7．如图，在边长为的菱形中，，点分别是边的中点，，.沿将翻折到的位置，连接，得到如图所示的五棱锥． (1)在翻折过程中是否总有平面平面?证明你的结论； (2)在翻折过程中当四棱锥的体积最大时，求此时点到平面的距离； 湖北曾都一中2025至2026学年高一下数学期末复习专题复习13 （空间图形中的距离等的计算）参考答案 题号 1 2 答案 BCD ACD 1．BCD 【分析】根据垂直关系结合直角三角形的性质即可判断球心位置，进而可求解A,根据垂直以及相似即可求解B，根据等体积法即可求解C，根据展开图结合余弦定理即可求解D. 【详解】取中点为，连接, 因为平面，平面，所以,故, ,所以,又，且，，所以 因此,所以三棱锥外接球的半径， 表面积，A不正确. 若平面，平面,则，. 平面，平面，所以, 又,,平面，所以平面， 平面，故，所以.由于, 又，所以，，解得，B正确. 因为M，N分别为，的中点，所以， 由于平面,则平面，又平面，平面，故平面， 则点到平面的距离等于点到平面的距离. 设点到平面的距离为，易知，，， 由，得，解得，C正确. 如图，将，翻折至平面内，连接，易知即周长的最小值， ，周长的最小值为3，D正确.故选:BCD 2．ACD 【分析】利用梯形面积公式求解判断A，利用圆台体积公式求解判断B，利用球的截面性质列出方程组求解球的半径，进而求出体积判断C，利用侧面展开图，结合勾股定理求解判断D. 【详解】对于A，由，且，可得， 高， 则圆台轴截面的面积为，正确； 对于B，圆台的体积为，错误； 对于C，设圆台的外接球的球心为，半径为，如图，连接，，    设，在直角中，可得， 在直角中，可得，即， 解得，即与重合，所以，所以外接球的体积为，正确； 对于D，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm，底面半径为2cm， 侧面展开图的圆心角.设的中点为，连接，如图，    可得，，，则， 所以沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为5cm，正确.故选：ACD. 3． 【分析】证明平面，再利用等体积法求解 【详解】因为，所以，又三棱柱为直棱柱，所以平面，又平面， 所以平面平面，又平面平面 平面，所以平面， 易得, 在△中由余弦定理：得，故，于是， 由棱柱性质得，平面，平面，所以平面，点到平面的距离即点到平面的距离，设为d 因为，所以,解得故答案为： 4． 【分析】将矩形 和三角形 沿 翻折成平面图形，连接， 的长就是的最小值，利用余弦定理即可得出答案． 【详解】如图，将矩形和三角形沿翻折成平面图形， 连接交于点，可知最短， ，， ，， ．故答案为： 5． 【分析】根据等体积法可得到平面的距离，即可根据的轨迹求解. 【详解】由于，故点在以为球心，半径为的球面上， 设到平面的距离为，则由等体积法可得, 而,所以,故， 因此点到平面的距离的最大值为，故答案为： 6．(1)；(2) 【分析】（1）利用等体积法求解点到平面的距离； （2）根据二面角的定义找出二面角的平面角，结合余弦值得出，利用勾股定理可得答案. 【详解】（1）连接，则， 平面平面，平面平面＝AC，平面， 平面，又平面， ，又正方形的边长为， ，，设点到平面的距离为，则， ， ，即点到平面的距离； （2）取的中点，连接，， ， ，， 为二面角的平面角，， 由题可知与全等， 在中，，， ，， ，. 7．(1)总有平面平面，证明见解析 (2) 【分析】（1）由菱形中，，是等边三角形，易得，再由，利用线面垂直的判定定理得到平面，再由，利用面面垂直的判定定理证明； （2）要使得四棱锥体积最大，只要点到平面的距离最大即可，然后利用等体积法，由求解. 【详解】（1）证明：在翻折过程中总有平面平面； 证明如下：点分别是边的中点，， 菱形中，，是等边三角形， 是的中点，，； 菱形的对角线互相垂直，，； ，平面，平面， 平面， 平面， 平面平面. （2）要使得四棱锥体积最大，只要点到平面的距离最大即可， 当平面时，点到平面的距离最大为， 又， ； ， ， 设点到平面的距离为， ，解得：， 即点到平面的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $