精品解析：湖南省张家界市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

张家界市2024年普通高中一年级第二学期期末联考 数学试题卷 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数，则对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义求解即可. 【详解】解：由复数的几何意义得复数，在复平面内对应的点，是第四象限. 故选：D 2. 已知向量，向量，若，则m等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标表示列式求解. 【详解】根据题意，，，， 所以，解得. 故选：C. 3. 某学校有高中学生3 000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为1 050，1 000，950．为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为 （ ） A. 195 B. 105 C. 100 D. 95 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比总体容量，按此比例求出抽取高一年级学生的人数即可. 【详解】根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为， 则高一年级抽取的人数是人， 故选：B． 4. 已知边长为2的正方形中，为的中点，连接,则 A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，标出各个对应点坐标，计算 得到答案. 【详解】以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系 则， 故答案选B 【点睛】本题考查了向量的乘积，建立坐标系可以简化运算. 5. 甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先列表得到所有的基本事件的个数及平局对应的基本事件的个数，根据公式可得所求的概率． 【详解】甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”游戏，所有可能出现的结果列表如下： 甲 乙　 锤 剪子 包袱 锤 (锤，锤) (锤，剪子) (锤，包袱) 剪子 (剪子，锤) (剪刀，剪子) (剪子，包袱) 包袱 (包袱，锤) (包袱，剪子) (包袱，包袱) 因为由表格可知，共有9种等可能情况． 其中平局的有3种：(锤，锤)、(剪子，剪子)、(包袱，包袱)． 设为“甲和乙平局”，则，故选A． 【点睛】古典概型的概率计算，如果基本事件的总数计算较为繁琐时，那么应该用枚举法或列表法得到所有的基本事件及随机事件中含有的基本事件． 6. 对于两个平面和两条直线，下列命题中真命题是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行垂直的位置关系判断． 【详解】A中可能在内，A错；B中也可能在内，B错；与可能平行，C错；，则或，若，则由得，若，则内有直线，而易知，从而，D正确． 故选D． 【点睛】本题考查线面平行与垂直的关系，在说明一个命题是错误时可举一反例．说明命题是正确时必须证明． 7. 科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功升至9 032米高空，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，如图2所示，是该浮空艇的轴截面图，则它的体积约为（ ） （参考数据：，，，） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由题意得半球的半径、圆柱的底面半径和母线长以及圆台的两底面半径和高，再分别利用球、圆柱、圆台的体积公式即可求出结果. 【详解】根据题意，该组合体的直观图如图所示： 因为半球的半径为，圆柱的底面半径为，母线长为，圆台的两底面半径分别为和，高为， 所以， ， ， 所以浮空艇的体积为： ， 故选：A. 8. 随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升.某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程.甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件“甲乙两人所选课程恰有一门相同”，事件“甲乙两人所选课程完全不同”，事件“甲乙两人均未选择陆地冰壶课程”，则（ ） A. A与B为对立事件 B. A与C互斥 C. A与C相互独立 D. B与C相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件的概念即可判断A、B，再根据古典概型的概率公式求出、、、、，根据相互独立事件的定义判断C、D； 【详解】解：依题意甲、乙两人所选课程有如下情形①有一门相同，②两门都相同，③两门都不相同； 故与互斥不对立，与不互斥， 所以，， 且，， 所以，， 即与相互独立，与不相互独立. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校1000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.分数不低于X即为优秀，已知优秀学生有80人，则（ ） A. B. C. 70分以下的人数约为6人 D. 本次考试的平均分约为93.6 【答案】AD 【解析】 【分析】根据频率分布图的求解频率、频数、平均数即可求解. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，因为第六组有40人，第五组有160人， 所以，B错误； 对于C，70分以下的人数为人，C错误； 对于D，平均成绩，D正确， 故选:AD. 10. 如图所示，为了测量两岛距离，小明在D处观测，分别在D处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则下列结论正确的是（ ） A. B. 之间的距离为海里 C. 之间的距离为海里 D. 两岛间的距离为海里 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角形的内角求得判定A；利用正弦定理求得判定B；利用等腰直角三角形性质求得判定C；利用余弦定理求得AB判定D. 【详解】由题意可知，，，，， 所以，故A正确； 在中，由正弦定理得，得 (海里)，故B正确； 在中，因为，，所以 (海里)，故C错误； 在中，， 由余弦定理 (海里)，故D正确. 故选：ABD 11. 正三棱柱的各棱长均相等，是的中点，、是线段、上的动点（含端点），且，当、运动时，下列结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 可能为直角三角形 D. 平面与平面所成的锐二面角的范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】取、的中点、，连接、、，证明平面，结合面面垂直的判定定理可判断A；由为定值，结合锥体的体积公式可判断B；利用反证法可判断C，平面与平面平行时所成角为，当与重合，与重合，平面与平面所成的锐二面角最大，即可判断D. 【详解】对于A，取、的中点、，连接、、. 因为、分别为、的中点，所以，则， 且， 所以四边形为平行四边形，， 为等边三角形，为的中点，则， 平面，平面，， ，平面，平面，，平面， 平面，因此平面平面，故A正确； 对于B，因为的面积为定值， ，平面，平面，所以平面， 因为，所以点到平面的距离为定值，进而可知，三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C，平面，平面，， 为的中点，则， 若为直角三角形，则为等腰直角三角形，则， 设正三棱柱的棱长为，则，则， 因为，故，所以不可能为直角三角形，故C错误. 当、分别为，中点时，平面与平面所成的角为， 当与重合，与重合，平面与平面所成锐二面角最大； 延长交于，连接，则平面平面， 由于为的中点，，所以且， 故在中，为中点，为中点， 在中，为中点，为中点，故，由于平面， 所以平面，平面，所以，， 所以平面与平面所成锐二面角最大， 平面与平面所成的锐二面角范围为，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：证明面面垂直常用方法： （1）面面垂直的定义； （2）面面垂直的判定定理. 在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在9，10，11，13，15，16这六个数中，第50百分位数是__________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解. 【详解】根据题意，， 所以第50百分位数是. 故答案为：12 13. 已知复数为纯虚数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】化简复数，由纯虚数的定义求出的值，再求和，从而得解. 【详解】根据题意，， 由于复数为纯虚数，所以，即， 所以，则. 故答案为： 14. 已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，，，，，则球O的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明线面垂直，再设外接圆的半径再求出外接球的半径，最后应用表面积公式计算即可. 【详解】因为，所以, 又因为，所以, 平面,平面，所以平面, 由题意，设球O的半径为， 在中，， 的外接圆直径， 根据线面垂直模型知： 球O的表面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数． ①； ②； ③（i是虚数单位）. （1）从三个式子中选择一个，求出这个常数； （2）根据三个式子的结构特征及（1）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用复数除法进行运算； （2）归纳得，运用综合法证明. 【小问1详解】 选①：， 选②：， 选③： ． 【小问2详解】 根据三个式子的结构特征及（1）的计算结果，可以得到： （且不同时为零）， 下面进行证明： 要证：， 只需证：， ∵ ，∴ 成立 . 16. 全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号.为普及相关知识，争创全国文明城市，某市组织了文明城市知识竞赛，现随机抽取了甲、乙两个单位各5名职工的成绩（单位：分）如下表： 甲单位 87 88 91 91 93 乙单位 85 89 91 92 93 （1）根据上表中的数据，分别求出甲、乙两个单位5名职工的成绩的平均数和方差，并比较哪个单位的职工对文明城市知识掌握得更好； （2）用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2人，求抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4的概率. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【详解】分析：（1）根据表格数据求出根据均值、方差的实际意义作出判断； （2）利用古典概型公式即可求出抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4的概率 详解：（1）， ， ， ， 显然，可知，甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位的职工比乙单位的职工对环保知识掌握得更好. （2）从乙单位5名职工中随机抽取2名，他们的成绩组成的所有基本事件（用数对表示）为，，，，，，，，，，共10个.记“抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4”为事件，则事件包含的基本事件为，，，，，共5个. 由古典概型计算公式可知. 点睛：(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题. 17. 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，，O为的中点，平面，，M为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）连接交AC于O，连接，由可证； （2）取中点，连接，可得即为直线与平面所成角，求出和即可. 【详解】（1）底面为平行四边形，O为的中点， 连接交AC于O，连接， 分别是中点，， 平面，平面， 平面； （2）取中点，连接， 是中点，，且， 平面，即为直线与平面所成角， ， 是等腰直角三角形，， 则在直角三角形中，， ， . 18. 乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分. 如图，甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域．某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为. 假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响. 求： （1）小明对落点在上的来球回球的得分为0分的概率； （2）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （3）两次回球结束后，小明得分之和的所有可能取值及对应的概率. 【答案】（1）点来球0得分概率依次为，； （2）； （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用互斥事件的加法公式列式计算. （2）把所求概率的事件分拆成相互独立事件的积、彼此互斥事件的积，再利用乘法公式及加法公式计算得解. （3）求出的可能值，再利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算即可. 【小问1详解】 记为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”（）， 则，，； 记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”（）， 则，，. 【小问2详解】 记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”， 依题意，，由事件的独立性和互斥性， 得， 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为 ． 【小问3详解】 依题意，可能的取值为0，1，2，3，4，6， 由事件的独立性和互斥性，得： ，， ，， ，. 【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键. 19. 已知G点为重心，内角的对边分别为． （1）若，求实数的值； （2）若，且 （i），求实数的值； （ii），求实数的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据向量的运算法则，结合三角形重心性质得出，即可求出； （2）（i）结合三角形重心性质和余弦定理即可求出； （ii）先用同角基本关系式统一成正余弦后，结合正余弦定理以及两角和差的正弦公式化简可求得结果. 【小问1详解】 由，即， 得， ∵点为的重心， ∴ ，， ∴ ，解得： ． 【小问2详解】 如图，连接，并延长交AB于点，G点为的重心， 则D为AB的中点， 由得 ， （i）由重心的性质得，在，中， 由余弦定理得， ， ∵ ，， ∴ ，， 即，∴ ； （ii）又，∴ ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 张家界市2024年普通高中一年级第二学期期末联考 数学试题卷 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数，则对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，向量，若，则m等于（ ） A. B. C. D. 3. 某学校有高中学生3 000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为1 050，1 000，950．为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为 （ ） A. 195 B. 105 C. 100 D. 95 4. 已知边长为2的正方形中，为的中点，连接,则 A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 5. 甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为 A B. C. D. 6. 对于两个平面和两条直线，下列命题中真命题是 A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 7. 科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功升至9 032米高空，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，如图2所示，是该浮空艇的轴截面图，则它的体积约为（ ） （参考数据：，，，） A. B. C. D. 8. 随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升.某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程.甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件“甲乙两人所选课程恰有一门相同”，事件“甲乙两人所选课程完全不同”，事件“甲乙两人均未选择陆地冰壶课程”，则（ ） A. A与B为对立事件 B. A与C互斥 C. A与C相互独立 D. B与C相互独立 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校1000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.分数不低于X即为优秀，已知优秀学生有80人，则（ ） A. B. C. 70分以下的人数约为6人 D. 本次考试的平均分约为93.6 10. 如图所示，为了测量两岛的距离，小明在D处观测，分别在D处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则下列结论正确的是（ ） A. B. 之间的距离为海里 C. 之间的距离为海里 D. 两岛间的距离为海里 11. 正三棱柱的各棱长均相等，是的中点，、是线段、上的动点（含端点），且，当、运动时，下列结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 可能为直角三角形 D. 平面与平面所成的锐二面角的范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在9，10，11，13，15，16这六个数中，第50百分位数是__________． 13. 已知复数为纯虚数，则__________． 14. 已知三棱锥四个顶点都在球O的球面上，，，，，则球O的表面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数． ①； ②； ③（i是虚数单位）. （1）从三个式子中选择一个，求出这个常数； （2）根据三个式子的结构特征及（1）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论． 16. 全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号.为普及相关知识，争创全国文明城市，某市组织了文明城市知识竞赛，现随机抽取了甲、乙两个单位各5名职工的成绩（单位：分）如下表： 甲单位 87 88 91 91 93 乙单位 85 89 91 92 93 （1）根据上表中的数据，分别求出甲、乙两个单位5名职工的成绩的平均数和方差，并比较哪个单位的职工对文明城市知识掌握得更好； （2）用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2人，求抽取2名职工的成绩差的绝对值不小于4的概率. 17. 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，，O为的中点，平面，，M为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正切值． 18. 乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分. 如图，甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域．某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为. 假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响. 求： （1）小明对落点在上的来球回球的得分为0分的概率； （2）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （3）两次回球结束后，小明得分之和的所有可能取值及对应的概率. 19. 已知G点为的重心，内角的对边分别为． （1）若，求实数的值； （2）若，且 （i），求实数的值； （ii），求实数值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$