第6章一元一次方程 期末复习综合练习题 2025-2026学年鲁教版（五四制）六年级数学下册

**基本信息** 以一元一次方程概念为起点，通过分层题型构建“概念辨析-解法训练-实际应用-创新拓展”的完整逻辑链，突出运算能力与模型意识培养。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|4题（1,3,8,10）|等式性质应用、参数方程解的判断|从定义（一元一次方程）到性质（等式变形），构建概念认知框架| |解方程|3题（15,16,19(2)）|去分母/括号步骤规范、错解分析|运算技巧（步骤优化）→解的验证→含参方程求解，形成解法体系| |应用问题|7题（5,6,7,12,13,17,18）|古代问题建模、行程/工程等量关系|实际情境→抽象等量关系→方程求解，体现模型意识| |创新拓展|2题（14,19(3)）|规律探究、新定义迁移|从具体问题到一般化模型，发展创新意识与推理能力|

2025-2026学年鲁教版（五四制）六年级数学下册《第6章一元一次方程》 期末复习综合练习题（附答案） 一、单选题 1．已知，下列运用等式的性质变形错误的是（    ） A． B． C． D． 2．若是方程的解，则k的值是（    ） A． B．3 C．1 D． 3．在关于的一元一次方程中，是正整数．对下面两个说法判断正确的是（    ） 甲：当时，方程的解为； 乙：若方程有正整数解，则 A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 4．已知关于x的方程与方程的解互为相反数，则a的值为（    ） A．2 B． C．7 D． 5．两件商品都卖60元，其中一件亏本，另一件盈利，则两件商品卖后（    ） A．盈利5元 B．亏本5元 C．盈利25元 D．不盈不亏 6．明代数学家程大位的《算法统宗》中有一个数学问题：以绳测井，若将绳三折测井，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长．井深各几何？其大意为：用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等份，井外余绳1尺．问绳长，井深各多少尺？设绳长为x尺，则根据题意可列一元一次方程为（   ） A． B． C． D． 7．《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水小时，箭尺读数为；供水小时，箭尺读数为．若设箭尺每小时上升，则可列方程（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．若关于的方程 是一元一次方程，则 ______． 9．式子与互为相反数，那么_____． 10．已知，为常数，整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解是______． 11．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为_____． 12．甲、乙两人分别从两地同时相向而行，当甲走出千米时，乙恰好走完了两地之间距离的，此时两人相距千米，则两地之间距离为___________千米． 13．如图，在数轴上个单位长度表示，点，分别表示的数为，，点是数轴上的一个动点，从点出发以的速度匀速向右运动，点是的中点，设点的运动时间为秒，当__时，线段． 14．如图是由若干个大小相同的小长方形按照一定规律组合而成的大长方形，当大长方形中竖放1个小长方形，就横放4个小长方形（如图①），当竖放2个小长方形，就横放6个小长方形（如图②），…以此类推，当大长方形中竖放和横放的小长方形共有302个时，其中竖放的小长方形有______个． 三、解答题 15．解方程： (1)； (2)． 16．某同学在解方程去分母时，方程右边的没有乘12，因而求得的方程的解为，试求a的值，并求出原方程的正确解． 17．为迎接校园科技节，需要组装一批智能机器人模型．如果由一名同学单独组装，需要 60 小时才能完成．现在先安排一部分同学组装 1 小时，之后又增加 15 名同学和他们一起组装 2 小时，恰好全部完成．假设每名同学的组装效率相同，求：最先安排了多少名同学组装模型？ 18．茶具是茶文化历史发展长河中最重要的载体，是茶文化不可分割的一部分．已知每套茶具由1个茶壶和8个茶杯组成．某工厂现有120名工人，每个工人一天能做50个茶壶或200个茶杯．该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套？ 19．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：方程和为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，则______；若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为，则______． (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值． (3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，请直接写出关于y的一元一次方程的解． 20．列方程解下列问题：十一晋元中学拟定于年月日举办“智启未来数创无限”主题数学文化节，需要准备九连环、华容道、魔方三种数学玩具共个作为奖励每种玩具都要有，其中华容道的单价比九连环的单价贵元，买个华容道和个九连环共需要元． (1)九连环和华容道的单价分别是多少元？ (2)若某超市的魔方有两种类型，学校只能从中选择一种类型．价格如表： 魔方类型 正阶魔方 异形魔方 单价 元 元 若学校用元去购买这三种数学玩具，且九连环和魔方的数量是相同的，应该选择哪种类型的魔方比较合适？购买方案是什么？请说明理由． 参考答案 1．解：A、∵， ∴，即，原式变形错误，符合题意； B、∵， ∴，原式变形正确，不符合题意； C、∵， ∴，即，原式变形正确，不符合题意； D、∵， ∴，原式变形正确，不符合题意； 故选：A． 2．D 【分析】本题考查了已知方程的解求参数，解一元一次方程，根据方程的解的定义，将代入原方程，得到关于的一元一次方程，解此方程即可求出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴把代入方程，得， ∵， ∴， ∴合并同类项得， ∴系数化为1得， 故选：D． 3．A 【分析】本题考查一元一次方程的求解及正整数解的确定，关键是先将方程变形为用含的代数式表示，再分别对甲、乙的说法进行分析验证． （1）对于甲的说法，将代入的表达式计算，或代入原方程验证解的正确性； （2）对于乙的说法，根据为正整数且为正整数，确定的取值范围，再逐一代入验证，判断是否存在其他值使为正整数． 【详解】解：解方程，得． 验证甲的说法：当时，， 代入左边，右边， 左边=右边，故甲的说法正确； 验证乙的说法：∵方程有正整数解， ∴是正整数，且为正整数， ∴，解得， ∴的可能取值为1，2，3． 当时，，不是正整数； 当时，，是正整数； 当时，，不是正整数； 当时，，不是正整数； ∴只有时方程有正整数解，故乙的说法正确． 综上，甲、乙都正确， 故选：A． 4．C 【分析】本题考查一元一次方程的解、解一元一次方程、相反数的定义，先求解第二个方程，再根据相反数的定义得到第一个方程的解，代入第一个方程即可求出a的值． 【详解】解：， 移项得， 解得，， ∵两个方程的解互为相反数， ∴方程的解为， 把代入， 得， 即， ∴， 故选：C． 5．A 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，先分别设两件商品的成本为未知数，根据盈亏百分比与售价的关系列出方程，求出总成本，再与总售价比较得出盈亏情况． 【详解】解：设亏本的商品成本为元， ∴， 解得， 设盈利的商品成本为元， ∴， 解得， 两件商品总成本为元， ∴总售价为元， ∵元， ∴两件商品卖后盈利5元， 故选：A． 6．A 【分析】解决此类古代数学问题，需准确理解题意，抓住不变量建立等量关系是关键； 以井深为不变量，根据绳长折成不同等份时与井深、余绳的关系，建立等量关系列一元一次方程． 【详解】解：∵设绳长为尺， ∵将绳三折测井，井外余绳4尺， ∴井深可表示为， ∵将绳四折测井，井外余绳1尺， ∴井深可表示为， ∵井深是固定不变的， ∴可列一元一次方程为， 故选：A． 7．C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 设箭尺每小时上升，列出方程即可． 【详解】解：设箭尺每小时上升， 根据题意得：， 故选：C． 8． 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为且系数不能为零，列出条件求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程 是一元一次方程， ∴， 由得，解得或， 又∵，即， ∴， 故答案为：． 9． 【分析】本题考查了相反数，解一元一次方程．根据相反数的定义，两个式子互为相反数，则它们的和为零，由此列出方程求解． 【详解】解：∵式子与互为相反数， ∴， 去括号得， 移项得， 整理得， 解得． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了方程解的定义．将方程变形为，再根据表格中x与的对应关系，找到使成立的x值． 【详解】解：由方程，得． 由表可知，当时，，而， 即， 故方程的解为． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程化为，设，则方程为，再根据题意即可得出，从而求出方程的解． 【详解】解：方程可化为， 设， 则方程为， ∵方程的解为， ∴， ∴， ∴， 即关于y的一元一次方程的解为， 故答案为：． 12．或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．分两人未相遇和相遇后相距千米两种情况，设、两地距离为千米，根据题意列方程求解． 【详解】解：设、两地之间距离为千米． ①当两人未相遇时，甲走的路程与乙走的路程之和加上相距距离等于总距离，即，解得． ②当两人相遇后相距千米时，甲走的路程与乙走的路程之和减去总距离等于相距距离，即，解得． 故、两地之间距离为千米或千米． 故答案为：或． 13．或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，绝对值的意义，线段中点的性质，解一元一次方程．设点的运动时间为秒，则秒后，点表示的数为，根据点是的中点，进而求得点表示的数，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵点，分别表示的数为，， 设点的运动时间为秒，则秒后，点表示的数为， ∵点是的中点， ∴点表示的数为 ∴ ∵， ∴ 解得：或 故答案为：或． 14．100 【分析】本题考查了图形类规律探索，一元一次方程的应用根据图形找出一般规律是解题关键．观察发现，当竖放个小长方形，就横放个小长方形，据此列方程求解即可． 【详解】解：当大长方形中竖放1个小长方形，就横放4个小长方形 当竖放2个小长方形，就横放6个小长方形， … 以此类推，当竖放个小长方形，就横放个小长方形， 当大长方形中竖放和横放的小长方形共有302个时， 则， 解得：，即竖放的小长方形有个， 故答案为：100． 15．(1) (2) 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：． 去分母（两边同时乘以12），得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 16．， 【分析】把代入到去分母后的方程可得，可得原方程为，进一步解方程即可. 【详解】解：， 该同学去分母时得到的错误方程为，， ∵是方程的解， ∴把代入得， ∴， ∴， 得． 把代入到原方程中得， 整理得，， ∴， 解得． 17．10名 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系正确列出一元一次方程是解题的关键．设先安排组装的人员有x名，根据工作效率×工作时间×工作人数=工作总量结合题意，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设先安排组装的人员有x名， 根据题意得：， 解得：． 答：先安排组装的人员有10名． 18．安排40名工人生产茶壶，80名工人生产茶杯，可使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套． 【分析】设安排名工人生产茶壶，根据每套茶具由1个茶壶和8个茶杯组成，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设安排名工人生产茶壶，则安排名工人生产茶杯，由题意，得： ， 解得， ∴； 答：安排40名工人生产茶壶，80名工人生产茶杯，可使每天生产的茶壶和茶杯刚好配套． 19．(1)12，或3 (2) (3) 【分析】（1）根据“友好方程”的定义进行解答，注意分类讨论； （2）利用“友好方程”的定义求解的值即可； （3）根据方程可以改写成，利用“友好方程”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，方程， 解得， 方程的解为， 由于方程与方程是“友好方程”， 则， 解得； 若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为n，另一个解为， ①， 解得， ②， 解得， 则或， 故答案为：12；或3； （2）解：方程，解得， 方程解得， 由题意，得， 解得； （3）解：方程解得， 由于方程和方程是“友好方程”， 则方程的解为， 将方程改写为， 则，即， 因此方程的解为． 20．(1)九连环的单价是元，华容道的单价是元 (2)应该选择购买异形魔方比较合适，购买方案是购买九连环个，华容道个，异形魔方个 ，见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． (1)设九连环的单价是元，则华容道的单价是元，根据买个华容道和个九连环共需要元列方程可解得答案； (2)设购买九连环和魔方的数量都是个，则可购买华容道个，分两种情况列方程可得答案． 【详解】（1）解：设九连环的单价是元，则华容道的单价是元， 买个华容道和个九连环共需要元， ， 解得：， ， 答：九连环的单价是元，华容道的单价是元； （2）解：设购买九连环和魔方的数量都是个，则可购买华容道个， 若购买正阶魔方，则， 解得：， 即购买九连环和魔方个，这与购买九连环、华容道、魔方三种数学玩具共个不符合； 若购买异形魔方，则， 解得：， ， 购买九连环个，华容道个，异形魔方个符合题意； 答：应该选择购买异形魔方比较合适，购买方案是购买九连环个，华容道个，异形魔方40个． 学科网（北京）股份有限公司 $