专题07分式的加减、乘除及分式方程期末复习讲义（25大核心题型精讲+重点知识全归纳）-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期.

专题07分式的加减、乘除及分式方程期末复习讲义 期末复习◆重点 掌握分式定义与基本性质，依托性质完成约分、通分；牢记分式乘除、同分母及异分母加减运算法则，遵循运算顺序完成混合运算， 掌握化简求值解题方法；运算中规避符号出错、漏添括号、未化简、随意去分母、忽略自变量取值范围等易错问题。 掌握分式方程定义与标准求解步骤，理解增根成因，辨析分式方程有增根、无解两类题型差异； 熟练求解含参数分式方程，掌握工程、行程、销售三大实际应用题型；牢记解方程必须检验、应用题双重验根核心要求，区分分式化简与分式方程解题核心差异。 核心题型◆归纳 题型1.同分母分式加减法 题型2.异分母分式加减法 题型3.整式与分式相加减 题型4.分式加减混合运算 题型5.已知分式恒等式，确定分子或分母 题型6.分式加减的实际应用 题型7.分式乘法 题型8.分式除法 题型9.分式乘除混合运算 题型10.分式乘方 题型11.含乘方的分式乘除混合运算 题型12.分式加减乘除混合运算 题型13.分式化简求值 题型14.分式最值 题型15.分式方程的定义 题型16.解分式方程（化为一元一次） 题型17.根据分式方程解的情况求值 题型18.分式方程无解问题 题型19.列分式方程 题型20.分式方程的行程问题 题型21.分式方程的工程问题 题型22.分式方程的经济问题 题型23.分式方程和差倍分问题 题型24.分式方程的其它实际问题 题型25.分式方程的规律性问题 重点知识◆梳理 【知识点一、分式基础概念】（基础知识点回顾) 1.分式定义：形如 （A、B为整式，B中含有字母且B≠0）的式子叫做分式。 ✅ 辨析：是分式，是整式；π为常数，含π不是分式。 2.分式取值条件（填空必考） 分式有意义：分母B≠0 分式无意义：分母B=0 分式值为0：分子A=0 且 分母B≠0（双重条件，缺一不可） 3.分式基本性质 =  ，=（C是不为0的整式） 核心用途：约分（化简分式）、通分（分式加减）、 符号变形：==-, = 4.核心名词归纳 最简分式：分子、分母无公因式，运算最终必须化成最简分式 约分：分子分母因式分解后，约去公因式 最简公分母：系数取最小公倍数、字母取最高次幂；多项式分母先因式分解再找公分母 【知识点二、分式四则运算与乘方运算】 运算类型 运算法则 数学公式 标准解题步骤&核心易错点 分式乘法 分子相乘作分子，分母相乘作分母 ×==.(B≠0,D≠0) 步骤：因式分解→交叉约分→相乘化简；易错：不约分直接计算、符号错误 分式除法 除以分式，乘除式倒数 ÷=×=.(B≠0，C≠0，D≠0) 步骤：除法转乘法→颠倒除式→约分计算；易错：颠倒被除式、漏因式分解 分式乘方 分子分母分别乘方，符号遵循幂运算规则 =. (B≠0, n为正整数） 步骤：整体乘方→底数符号判定→化简；易错：负指数、偶数次幂符号判断失误 同分母加减 分母不变，分子直接相加减 = (B≠0) 易错：多项式分子加减不加括号、合并同类项出错 异分母加减 先通分化为同分母，再运算 ±= .(B≠0，D≠0) 步骤：因式分解分母→找最简公分母→通分合并→约分；严禁直接去分母 【知识点三、分式混合运算】 1. 运算顺序 算乘方 → 再算乘除 → 最后算加减；有括号先算括号内部 2.解题技巧：（1）优先因式分解，全程边运算边约分，简化计算； （2）巧用乘法分配律简化括号外乘法运算； （3）严禁去分母！（混合运算是化简，分式方程才去分母）★★★ 【知识点四、分式方程】 1.分式方程定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。 2.分式方程标准解法： 去分母：两边同乘最简公分母，化为整式方程； 解整式方程：解一元一次方程； 检验（必写步骤，不写扣分）：把解代入最简公分母； 得出结论：公分母≠0，是原方程的解；公分母=0，为增根，原方程无解。 3.增根 增根的定义：在求解分式方程的过程中，通过去分母将分式方程转化为整式方程，所得的整式方程的解若使得原分式方程的最简公分母的值为0，导致原分式方程无意义，则该解称为分式方程的增根。 核心本质：增根是转化后整式方程的根，但不是原分式方程的根，属于无效解。 增根的产生原因：（1）原方程存在隐含限制条件，分式方程的分母不为0，因此未知数的取值存在固有范围限制，这是分式方程成立的前提条件。 （2）方程变形扩大未知数取值范围，解分式方程的核心步骤为去分母，即方程两边同时乘以含未知数的最简公分母。此运算会消除分母不为0的限制，扩大未知数的允许取值范围。 （3）产生无效解，整式方程的解可以取原分式方程中被限制的、使分母为0的数值，该数值不符合原方程的成立条件，最终形成增根。 因此：增根并非计算失误导致，而是分式方程整式化变形后，取值范围改变所产生的必然现象。 4.增根与无解的区别与联系 （1） 概念本质不同 增根：整式方程有解，但该解为无效解，不符合原分式方程要求。 无解：原分式方程不存在任何符合条件的有效解。 （2）分式方程无解的两种情况 ① 整式方程有解，但所有解均为增根，原方程无有效解； ② 整式方程本身无实数解（化简后出现矛盾等式）。 关键结论：方程有增根不一定等价于无解；但若分式方程所有整式解都是增根，则方程无解。 ★易错重难点总结（1）解分式方程必须进行检验，检验的本质是排除增根，验证解的有效性；（2）题目条件为“方程有增根”时，只需根据候选增根代入求解参数；题目条件为“方程无解”时，必须分整式无解、整式解全为增根两种情况讨论； （3）增根是方程变形带来的结构性问题，不属于运算错误，无需修改计算过程，只需检验舍去； （4）所有增根均满足最简公分母为0，不满足该条件的解一定不是增根。 知识点五、分式方程实际应用 核心解题流程： 审题找等量关系→设未知数（优先设基础量）→列分式方程→解方程→双重检验（①检验方程解是否为增根 ②检验解是否符合实际生活题意）→规范作答；、☘三大常考题型 工程问题：核心公式：工作总量=工作效率×工作时间， 常设工作总量为单位1；基础等量：合作效率=各队效率之和；变式考点：工期提前延后、中途停工、多人轮换施工、效率提升百分比问题； 行程问题（难点变式）核心公式：路程=速度×时间；细分顺水逆水、相向行驶、变速行驶、同地不同时出发四类变式；顺水速度=船速+水速，逆水速度=船速-水速； 销售利润方案问题核心公式：单价=总价÷数量、利润=单件利润×销量；变式考点：单价调价、采购数量差值、两种方案择优选择、成本限额问题；难点：双未知数梳理、两组分式方程联立、方案取舍答题。 ★易错总结：①切勿漏实际意义检验，人数、速度、工程量均为正数； ②题干差值条件（多/少、提前/延后）极容易列反方程； ③方案类应用题需分类作答，对比最优方案，贴合考试答题得分标准。 题型解析◆精准备考 题型1.同分母分式加减法 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算：________． 3．计算： (1)； (2)． 题型2.异分母分式加减法 1．计算的结果是（     ） A． B． C．1 D． 2．计算：_____． 3．已知，，是的三边，试比较和的大小． 题型3.整式与分式相加减 1．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 2．化简：_______________. 3．计算： (1) (2) 题型4.分式加减混合运算 1．若代数式，都有意义，比较二者的数量关系，下列说法正确的为（   ） A．不相等 B．相等 C．前者较大 D．后者较大 2．已知非零实数x，y满足，则的值等于______． 3．阅读与思考 请认真阅读，并完成相应任务． 通过小学的学习，我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数． 例如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式． 类似地，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）． 如：． 再如： 任务： (1)分式是_________分式（填“真”或“假”）． (2)将假分式化为带分式的形式． (3)已知的值为正整数，直接写出x的整数值． 题型5.已知分式恒等式，确定分子或分母 1．对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知，则______；______． 3．已知其中，为常数，求的值． 题型6.分式加减的实际应用 1．有两条长度相同的路：①为一条平坦的道路；②前一半路程为上坡，后一半路程为下坡，已知小明上坡平均速度为，下坡平均速度为，在平坦的道路上的平均速度为，则这两条路用时较少的是（   ） A．①路 B．②路 C．用时一样 D．无法判断 2．甲厂决定包租一辆车送员工返乡过年，租金为3000元．出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到名，如果包车租金不变，那么甲厂为每位员工平均每人支付车费可比原来少多少钱___________． 3．甲、乙两地之间的航行距离为，一艘轮船先从甲地顺流航行至乙地，再从乙地逆流航行返回甲地．已知水流速度为，如果这艘轮船在静水中的速度为，那么它从甲地到乙地所需的航行时间比从乙地到甲地所需的航行时间少多少？ 题型7.分式乘法 1．若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．一艘轮船顺流航行用了，如果逆流航速是顺流航速的，那么这艘轮船逆流航行可以走________． 3．计算： 题型8.分式除法 1．若运算的结果不是分式，则括号内的式子可能是（   ） A． B．b C． D．a 2．有一大捆粗细均匀的电线，现要确定其长度的值，从中先取出1米长的电线，称它的质量为，再称其余电线的总质量为，则这捆电线的总长度是________． 3．按要求解答问题： (1)计算； (2)先化简，再求值：，其中． 题型9.分式乘除混合运算 1．一艘船往返于相距50千米的两个码头．已知水的流速为2千米/时，船在静水中的速度为千米/时，那么船往返一次，顺水航行的时间与逆水航行的时间的比值是（    ） A． B． C． D． 2．___________． 3．计算： (1)． (2)． 题型10.分式乘方 1．计算与，其结果（   ） A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．以上都不对 2．计算：________（结果不含负指数幂）． 3．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据以上规律，解决下列问题． (1)直接写出第5个等式：________________； (2)写出你猜想的第n个等式：________________（用含n的等式表示），并证明． 题型11.含乘方的分式乘除混合运算 1．下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算（﹣）3÷（﹣）2的结果是__． 3．计算： (1)． (2)． (3)． 题型12.分式加减乘除混合运算 1．小蕊在作业本上写完一个题的正确计算过程，不小心墨水洒了，遮住了原题的一部分（被墨水遮住的部分用⊕代替），其计算过程为，则被墨水遮住部分⊕所表示的代数式可能是（     ） A． B． C． D． 2．已知，计算：______． 3．计算 (1)． (2)（且）． 题型13.分式化简求值 1．若为负整数，且，则的值所对应的点落在图中数轴上的部分为（   ） A． B． C．或 D．或 2．设x为实数，已知实数x满足．则的值为________． 3．先化简，，再从，，中选取一个适当的数代入求值． 题型14.分式最值 1．已知，为实数，且，，则下列关于的说法正确的是（   ）． A．有最大值，且最大值为 B．有最小值，且最小值为 C．有最大值，且最大值为 D．有最小值，且最小值为 2．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 3．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝． (3)和谐分式的最大值为． (4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 题型15.分式方程的定义 1．岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 2．阅读下列材料：①的解为x＝1，②的解为x＝2，③的解为x＝3．请你观察上述方程与解得特征，写出能反映上述方程一般规律的方程 ___，这个方程的解为 ___． 3．下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？ （1） （2） （3） （4） 题型16.解分式方程（化为一元一次） 1．随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，匀速行驶到达甲快递点卸完包裹后，立即以相同的速度前往乙快递点．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点包裹的时间相同，快递车离公司的路程与时间的函数关系如图所示，根据图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为（     ） A． B． C． D． 2．若分式与的值相等，则x=__________． 3．解分式方程：． 题型17.根据分式方程解的情况求值 1．若方程有增根，则a的值为（   ） A． B．4 C．3 D．2 2．如果方程有增根，那么增根为________． 3．已知关于的分式方程． (1)若该分式方程的根是，求的值； (2)若该分式方程无解，求的值． 题型18.分式方程无解问题 1．关于的分式方程无解，则的值为（） A．或 B．或 C．或 D． 2．若分式方程 有增根，则a的值是________． 3．已知关于的方程． (1)当此方程的解为时，求的值； (2)当此方程会产生增根时，求的值． 题型19.列分式方程 1．古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.6千克．已知用36千克木材制作榫的数量与用30千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为千克，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为________． 3．某水果店积极参与助农惠农活动，从果农处采购优质苹果助力乡村振兴．该水果店第一次花费500元购进一批苹果，由于销售状况良好，又花费1000元以相同的价格购进该品种苹果，所购质量比第一次购进质量多100千克． (1)求这种苹果的进价是多少元每千克？ (2)已知该水果店内苹果和香蕉的单价分别为元每千克和元每千克，甲共购买了千克水果，其中苹果千克，香蕉千克；乙共花费了元，其中买苹果元，买香蕉元．若甲和乙的花费相同，通过计算说明甲、乙两人谁购买水果的总质量更大． 题型20.分式方程的行程问题 1．随着旧城改造项目的加速推进，翻新过后的南宁中山路夜市迅速成了热门打卡地．某校八年级学生小苏和小霞相约前往距离学校的中山路夜市，小苏骑自行车先走20分钟，小霞乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑行速度的2倍，设小苏骑行的速度为，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 2．小丽和小颖相约周末到影院看电影，她们的家分别距离影院和．两人各自从家中同时出发，已知小丽和小颖的速度之比是，结果小丽比小颖晚到达影院，则小丽的速度是________． 3．某校学生乘车去距学校的景区游玩，一部分学生乘慢车，另一部分学生乘快车，他们同时出发，结果乘慢车的同学晚到，已知快车速度是慢车速度的倍，求慢车的速度． 题型21.分式方程的工程问题 1．某车间加工个零件后，采用了新工艺，工效提升了，这样加工同样多的零件就少用了．为了求采用新工艺前每小时加工多少个零件，设采用新工艺前每小时加工个零件，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．某工人原计划在规定时间内加工300个零件，因改进了工具和操作方法，现在每小时比原来多加工10个零件，结果现在加工300个零件的时间和原来加工240个零件的时间相同．原计划每小时加工______个零件． 3．为了助力乡村振兴，某村合作社计划将本地特色农产品运往市场销售，两支农户志愿小队负责对农产品进行分拣打包．已知甲队每小时分拣的箱数比乙队多4箱，甲队分拣100箱的时间与乙队分拣80箱的时间相等，求甲队每小时分拣的箱数． 题型22.分式方程的经济问题 1．《算经》中有分钱问题为：第一次由一组人平分元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同．依题意，乐乐所列方程为，则表示（    ） A．第一次分钱的人数 B．第二次分钱的人数 C．第二次每人分得的钱数 D．两次分钱的总人数 2．在“母亲节”前夕，某花店用16000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一空．根据市场需求情况，该花店又用7500元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．则第二批鲜花每盒的进价是______元． 3．一家文具店准备购进两种款式的书桌售卖，甲款书桌单价比乙款书桌贵40元．店主用1200元购进甲款书桌的数量，与用800元购进乙款书桌的数量相同． (1)求甲、乙两款书桌的单价（列分式方程求解）． (2)店主计划一共购进两款书桌共60张，且乙款书桌的进货数量不超过甲款书桌数量的2倍．若进货总费用不超过5880元，请问共有多少种进货方案？（不需要写出具体方案） 题型23.分式方程和差倍分问题 1．在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳100次，小颖比小林多跳20次，已知小颖每分钟比小林多跳30次，求小颖每分钟跳多少次？设小颖每分钟跳次，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一．某莜麦标准化种植基地在改良前总产量为，改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩，平均亩产量为原来的1.5倍，则改良前的平均亩产量为_______ 3．师徒两人加工同一种“非遗文化”工艺品，师傅比徒弟每天多加工10个这种工艺品，师傅加工300个这种工艺品所用的时间是徒弟加工120个这种工艺品所用时间的2倍，求师傅和徒弟每天各加工多少个这种工艺品． 题型24.分式方程的其它实际问题 1．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文如下：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别售出后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？ 若设某个量为x，根据题意可列方程，则x（   ） A．只能表示绫布的长度 B．只能表示罗布每尺的价格 C．既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度 D．既可以表示绫布每尺的价格，又可以表示罗布每尺的价格 2．河水是流动的，在点流入一个静止的湖中．游泳健将朱泳在河中顺流从到，再穿过湖游到，共用1小时；而由到再到，共用2小时．如果湖水是流动的，从流向，速度与河水速度相同，那么朱泳从到再到，共用50分钟．这时，他从到再到，共用_____小时． 3．分拣机器人是一种应用于物流、快递、制造业等领域的智能工业设备，核心配置包括传感器、物镜和电子光学系统，为企业带来了勃勃生机．某公司仓库选用了甲、乙两种型号的分拣机器人，已知甲型机器人比乙型机器人每小时多分拣快递200件，且甲型机器人分拣9000件快递所用时间与乙型机器人分拣8000件所用时间相等．求甲、乙两种型号的分拣机器人每小时分拣快递的数量． 题型25.分式方程的规律性问题 1．对任意非负数，若记，给出下列说法，其中正确的个数为（    ） ①； ②，则； ③； ④对任意大于3的正整数，有． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．现有一列数：，，，，，，（为正整数），规定，，，，，若，则的值为______. 3．阅读以下材料，并解答相关问题． 【背景材料】一个容器装有水，按照以下规则倒水：第1次倒出水；第2次倒出的水量是的，即；第3次倒出的水量是的，即；第4次倒出的水量是的，即；；第次倒出的水量是的，即；按照这种倒水的方法，这水经过多少次可以倒完?为什么? 数学兴趣小组的同学们将上面的问题抽象成数学问题加以解决． 【规律探究】探索发现： （1）填空：；（n为正整数）； 【解决问题】 （2）按照背景材料中的方案，倒出10次后，总共倒出的水量是多少？ （3）若倒出次后，总共倒出的水量是多少？容器中的水能否被倒完？请说明理由； 【拓展运用】 （4）运用（1）中得到的规律解方程： 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07分式的加减、乘除及分式方程期末复习讲义 期末复习◆重点 掌握分式定义与基本性质，依托性质完成约分、通分；牢记分式乘除、同分母及异分母加减运算法则，遵循运算顺序完成混合运算， 掌握化简求值解题方法；运算中规避符号出错、漏添括号、未化简、随意去分母、忽略自变量取值范围等易错问题。 掌握分式方程定义与标准求解步骤，理解增根成因，辨析分式方程有增根、无解两类题型差异； 熟练求解含参数分式方程，掌握工程、行程、销售三大实际应用题型；牢记解方程必须检验、应用题双重验根核心要求，区分分式化简与分式方程解题核心差异。 核心题型◆归纳 题型1.同分母分式加减法 题型2.异分母分式加减法 题型3.整式与分式相加减 题型4.分式加减混合运算 题型5.已知分式恒等式，确定分子或分母 题型6.分式加减的实际应用 题型7.分式乘法 题型8.分式除法 题型9.分式乘除混合运算 题型10.分式乘方 题型11.含乘方的分式乘除混合运算 题型12.分式加减乘除混合运算 题型13.分式化简求值 题型14.分式最值 题型15.分式方程的定义 题型16.解分式方程（化为一元一次） 题型17.根据分式方程解的情况求值 题型18.分式方程无解问题 题型19.列分式方程 题型20.分式方程的行程问题 题型21.分式方程的工程问题 题型22.分式方程的经济问题 题型23.分式方程和差倍分问题 题型24.分式方程的其它实际问题 题型25.分式方程的规律性问题 重点知识◆梳理 【知识点一、分式基础概念】（基础知识点回顾) 1.分式定义：形如（A、B为整式，B中含有字母且B≠0）的式子叫做分式。 ✅ 辨析：是分式，是整式；π为常数，含π不是分式。 2.分式取值条件 分式有意义：分母B≠0 分式无意义：分母B=0 分式值为0：分子A=0 且 分母B≠0（双重条件，缺一不可） 3.分式基本性质 =  ，=（C是不为0的整式） 核心用途：约分（化简分式）、通分（分式加减）、 符号变形：==-, = 4.核心名词归纳 最简分式：分子、分母无公因式，运算最终必须化成最简分式 约分：分子分母因式分解后，约去公因式 最简公分母：系数取最小公倍数、字母取最高次幂；多项式分母先因式分解再找公分母 【知识点二、分式四则运算与乘方运算】 运算类型 运算法则 数学公式 标准解题步骤&核心易错点 分式乘法 分子相乘作分子，分母相乘作分母 ×==.(B≠0,D≠0) 步骤：因式分解→交叉约分→相乘化简；易错：不约分直接计算、符号错误 分式除法 除以分式，乘除式倒数 ÷=×=.(B≠0，C≠0，D≠0) 步骤：除法转乘法→颠倒除式→约分计算；易错：颠倒被除式、漏因式分解 分式乘方 分子分母分别乘方，符号遵循幂运算规则 =. (B≠0, n为正整数） 步骤：整体乘方→底数符号判定→化简；易错：负指数、偶数次幂符号判断失误 同分母加减 分母不变，分子直接相加减 = (B≠0) 易错：多项式分子加减不加括号、合并同类项出错 异分母加减 先通分化为同分母，再运算 ±= .(B≠0，D≠0) 步骤：因式分解分母→找最简公分母→通分合并→约分；严禁直接去分母 【知识点三、分式混合运算】 1.运算顺序 先算乘方 → 再算乘除 → 最后算加减；有括号先算括号内部 2.解题技巧：（1）优先因式分解，全程边运算边约分，简化计算； （2）巧用乘法分配律简化括号外乘法运算； （3）严禁去分母！（混合运算是化简，分式方程才去分母）★★★ 【知识点四、分式方程】 1.分式方程定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。 2.分式方程标准解法： 去分母：两边同乘最简公分母，化为整式方程； 解整式方程：解一元一次方程； 检验（必写步骤，不写扣分）：把解代入最简公分母； 得出结论：公分母≠0，是原方程的解；公分母=0，为增根，原方程无解。 3.增根 增根的定义：在求解分式方程的过程中，通过去分母将分式方程转化为整式方程，所得的整式方程的解若使得原分式方程的最简公分母的值为0，导致原分式方程无意义，则该解称为分式方程的增根。 核心本质：增根是转化后整式方程的根，但不是原分式方程的根，属于无效解。 增根的产生原因：（1）原方程存在隐含限制条件，分式方程的分母不为0，因此未知数的取值存在固有范围限制，这是分式方程成立的前提条件。 （2）方程变形扩大未知数取值范围，解分式方程的核心步骤为去分母，即方程两边同时乘以含未知数的最简公分母。此运算会消除分母不为0的限制，扩大未知数的允许取值范围。 （3）产生无效解，整式方程的解可以取原分式方程中被限制的、使分母为0的数值，该数值不符合原方程的成立条件，最终形成增根。 因此：增根并非计算失误导致，而是分式方程整式化变形后，取值范围改变所产生的必然现象。 4.增根与无解的区别与联系 （1） 概念本质不同 增根：整式方程有解，但该解为无效解，不符合原分式方程要求。 无解：原分式方程不存在任何符合条件的有效解。 （2）分式方程无解的两种情况 ① 整式方程有解，但所有解均为增根，原方程无有效解； ② 整式方程本身无实数解（化简后出现矛盾等式）。 关键结论：方程有增根不一定等价于无解；但若分式方程所有整式解都是增根，则方程无解。 ★易错重难点总结（1）解分式方程必须进行检验，检验的本质是排除增根，验证解的有效性；（2）题目条件为“方程有增根”时，只需根据候选增根代入求解参数；题目条件为“方程无解”时，必须分整式无解、整式解全为增根两种情况讨论； （3）增根是方程变形带来的结构性问题，不属于运算错误，无需修改计算过程，只需检验舍去； （4）所有增根均满足最简公分母为0，不满足该条件的解一定不是增根。 知识点五、分式方程实际应用 核心解题流程： 审题找等量关系→设未知数（优先设基础量）→列分式方程→解方程→双重检验（①检验方程解是否为增根 ②检验解是否符合实际生活题意）→规范作答；、☘三大常考题型 工程问题：核心公式：工作总量=工作效率×工作时间， 常设工作总量为单位1；基础等量：合作效率=各队效率之和；变式考点：工期提前延后、中途停工、多人轮换施工、效率提升百分比问题； 行程问题（难点变式）核心公式：路程=速度×时间；细分顺水逆水、相向行驶、变速行驶、同地不同时出发四类变式；顺水速度=船速+水速，逆水速度=船速-水速； 销售利润方案问题核心公式：单价=总价÷数量、利润=单件利润×销量；变式考点：单价调价、采购数量差值、两种方案择优选择、成本限额问题；难点：双未知数梳理、两组分式方程联立、方案取舍答题。 ★易错总结：①切勿漏实际意义检验，人数、速度、工程量均为正数； ②题干差值条件（多/少、提前/延后）极容易列反方程； ③方案类应用题需分类作答，对比最优方案，贴合考试答题得分标准。 题型解析◆精准备考 题型1.同分母分式加减法 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式乘方、分式运算和负整数指数幂等基本运算规则，熟练掌握幂的运算性质、分式加减法则和负整数指数幂的定义是解题关键，根据运算法则逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A、，故 A错误； B、， 故B正确； C、，故C错误； D、，仅当或时成立，一般情况不相等，故D错误． 故选：B． 2．计算：________． 【答案】2 【分析】先将异分母分式通过变形转化为同分母分式，再依据同分母分式的加减运算法则进行计算，最后对结果约分得到最简形式． 【详解】解： ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：原式； （2） 解：原式 题型2.异分母分式加减法 1．计算的结果是（     ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】变形转化为同分母的加法计算即可． 【详解】解：． 2．计算：_____． 【答案】2 【详解】解：． 3．已知，，是的三边，试比较和的大小． 【答案】 【详解】解：∵，，是的三条边， ∴有，，，且． ∴， ∴． ． 题型3.整式与分式相加减 1．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：原式 2．化简：_______________. 【答案】 【分析】利用分式的通分原则计算即可 【详解】解： = =， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，熟练进行分式的通分是解题的关键． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】将分式通分进而利用分式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：； （3） 解：． 题型4.分式加减混合运算 1．若代数式，都有意义，比较二者的数量关系，下列说法正确的为（   ） A．不相等 B．相等 C．前者较大 D．后者较大 【答案】A 【分析】通过作差法比较即可． 【详解】解： ， 故二者不相等； 当时，，前者较大； 当时，，后者较大． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式运算，掌握作差法，分式的加减运算是解题的关键． 2．已知非零实数x，y满足，则的值等于______． 【答案】6 【分析】本题考查的是分式的加减法和求值，根据分式的加减法运算法则计算并代入求值即可． 【详解】解：∵非零实数x，y满足， ∴ ， 故答案为：6． 3．阅读与思考 请认真阅读，并完成相应任务． 通过小学的学习，我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数． 例如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式． 类似地，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）． 如：． 再如： 任务： (1)分式是_________分式（填“真”或“假”）． (2)将假分式化为带分式的形式． (3)已知的值为正整数，直接写出x的整数值． 【答案】(1)真 (2) (3)2，6， 【分析】本题考查了分式加减的实际应用，理解题意，利用题中的运算方法是解题的关键． （1）根据“真分式”和“假分式”的定义即可做出判断； （2）根据题中的运算方法即可将假分式化为带分式； （3）先将假分式化为带分式，根据分式的值为整数即可得到x的整数值． 【详解】（1）解：∵分式中，分子的次数为0，分母的次数为1，即分子的次数小于分母的次数， ∴分式为真分式， 故答案为：真； （2）解： ； （3）解： ， ∵的值为正整数， ∴的值为正整数， 则必须是5的整数因数， ∴或或， 解得或或． 题型5.已知分式恒等式，确定分子或分母 1．对于任意的值都有，则，值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 2．已知，则______；______． 【答案】 【分析】先对等式右边通分，再根据分式相等时分母相同则分子相等，对应系数相等列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：， ， ∴， 解得． 3．已知其中，为常数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减，解二元一次方程组，熟练掌握异分母的分式相减的法则是解决此题的关键．根据分式的加减，先通分，转化为同分母的分式相减，将其相减后，与等号的右边对比，列出关于、的二元一次方程组，求出、的值，将其代入计算即可． 【详解】解：将等式的左边相减，得：， 根据左右两边相等，可得：， 解得： ． 题型6.分式加减的实际应用 1．有两条长度相同的路：①为一条平坦的道路；②前一半路程为上坡，后一半路程为下坡，已知小明上坡平均速度为，下坡平均速度为，在平坦的道路上的平均速度为，则这两条路用时较少的是（   ） A．①路 B．②路 C．用时一样 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了分式运算的实际应用，分别表示出这两条路的时间，再利用作差法比较分式大小即可． 【详解】解：设两条路的长度为S， 在①路用时为， 在②路用时为， ， ∵， ∴， 由题意可知S、x、y都大于0， ∴，即， ∴， ∴①路用时较小． 故选：A． 2．甲厂决定包租一辆车送员工返乡过年，租金为3000元．出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到名，如果包车租金不变，那么甲厂为每位员工平均每人支付车费可比原来少多少钱___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式减法的应用，掌握异分母减法法则是解题关键．由题意可知，原来人均车费为元，实际人均车费为元．作差求解即可． 【详解】解：由题意可知，原来人均车费为元，实际人均车费为元． 则， 答：甲厂为员工支付的人均车费可比原来少元， 故答案为：． 3．甲、乙两地之间的航行距离为，一艘轮船先从甲地顺流航行至乙地，再从乙地逆流航行返回甲地．已知水流速度为，如果这艘轮船在静水中的速度为，那么它从甲地到乙地所需的航行时间比从乙地到甲地所需的航行时间少多少？ 【答案】 【分析】根据题意，得到轮船顺水、逆水所行驶的时间，再作差即可． 【详解】解：轮船在静水中的速度为， 则轮船顺水速度为，轮船逆水速度为， 故轮船甲地到乙地的时间为，乙地到甲地的时间为， 又 ， 它从甲地到乙地所需的航行时间比从乙地到甲地所需的航行时间少 题型7.分式乘法 1．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘法，先根据分式的乘法法则进行计算，然后利用整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴； 故选C． 2．一艘轮船顺流航行用了，如果逆流航速是顺流航速的，那么这艘轮船逆流航行可以走________． 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式，分式的乘法，解题的关键是掌握相关知识．先表示出顺流航速，即可得出逆流航速，从而得出逆流航行的千米数． 【详解】解：一艘轮船顺流航行用了， 顺流航速是， 逆流航速是顺流航速的， 逆流航速是， 这艘轮船逆流航行可以走， 故答案为：． 3．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘法，首先把分式的分子、分母分别分解因式，再约去分子、分母的公因式化为最简分式即可． 【详解】解： ． 题型8.分式除法 1．若运算的结果不是分式，则括号内的式子可能是（   ） A． B．b C． D．a 【答案】D 【分析】先设括号内的式子为，根据分式除法法则化简原式，分解因式后约分得到结果，再根据结果不是分式即可判断正确选项． 【详解】解：设括号内的式子为， 原式 ， 当时，原式，是分式，故A不符合题意； 当时，原式，是分式，故B不符合题意； 当时，原式，是分式，故C不符合题意； 当时，原式，不是分式，故D符合题意． 2．有一大捆粗细均匀的电线，现要确定其长度的值，从中先取出1米长的电线，称它的质量为，再称其余电线的总质量为，则这捆电线的总长度是________． 【答案】米 【详解】解：电线粗细均匀，米长电线的质量为，其余电线的总质量为， 其余电线的长度为米， 这捆电线的总长度为米． 3．按要求解答问题： (1)计算； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) ， 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； 当时，原式． 题型9.分式乘除混合运算 1．一艘船往返于相距50千米的两个码头．已知水的流速为2千米/时，船在静水中的速度为千米/时，那么船往返一次，顺水航行的时间与逆水航行的时间的比值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分析，用静水速度减去水流速度表示出逆水速度，用静水速度加上水流速度表示出顺水速度，然后用路程除以速度分别表示出逆水行驶的时间和顺水行驶的时间，最后用顺水行驶的时间除以逆水行驶的时间即可解答． 【详解】解：由题意得：船在顺水中的速度是千米/时，船在逆水中的速度是千米/时， 则， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的乘除应用，解题的关键是表示出顺水行驶的时间和逆水行驶的时间． 2．___________． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算乘方，再化除法为乘法，进行约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 3．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式化简，熟练掌握分式化简的技巧是解题的关键； （1）先将除法化成乘法，然后进行约分化简即可； （2）先将括号内的部分进行变形约分，然后与括号外的部分约分化简． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 题型10.分式乘方 1．计算与，其结果（   ） A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．以上都不对 【答案】A 【分析】此题考查了分式的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分别根据分式的乘方法则计算出结果，再判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 2．计算：________（结果不含负指数幂）． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂，分式的乘方运算． 先利用负指数幂法则转化为正指数，再计算乘方即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据以上规律，解决下列问题． (1)直接写出第5个等式：________________； (2)写出你猜想的第n个等式：________________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】此题考查的是归纳总结能力，分式的运算法则等知识，抓住题目中的相似点找到其中的规律是解题的关键． （1）观察前几个式子，然后进行仿写，即可得到答案； （2）对题目中给的等式进行比较、归纳，可以发现规律为，再利用分式的减法和乘方运算进行计算，得到左边等于右边，即可得到验证． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 则第5个等式为 故答案为： （2），证明如下： ∵左边， 右边， ∴左边=右边． 故原等式成立． 题型11.含乘方的分式乘除混合运算 1．下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据分式的乘法和分式的乘方计算法则逐项计算即可． 【详解】解：A．，原式计算正确，故本选项符合题意； B． ，原式计算错误，故本选项不符合题意； C．，原式计算错误，故本选项不符合题意； D．，原式计算错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．计算（﹣）3÷（﹣）2的结果是__． 【答案】﹣ 【分析】原式先计算乘方运算，再计算除法运算即可得到结果． 【详解】解：原式＝ = =． 故答案为：﹣． 【点睛】本题考查含乘方的分式乘除混合运算，熟练掌握含乘方的分式乘除混合运算的法则和顺序是解题关键． 3．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （1）先算乘方，然后把除法转化为乘法，分子、分母约分即可； （2）先算乘方，然后把除法转化为乘法，分子、分母约分即可； （3）先算乘方，然后把除法转化为乘法，分子、分母约分即可； 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： 题型12.分式加减乘除混合运算 1．小蕊在作业本上写完一个题的正确计算过程，不小心墨水洒了，遮住了原题的一部分（被墨水遮住的部分用⊕代替），其计算过程为，则被墨水遮住部分⊕所表示的代数式可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将⊕单独整理到等式一侧，利用分式运算法则计算即可，注意符号的处理和约分． 【详解】解：由题意得： ， ， ， 即⊕表示的代数式为． 2．已知，计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，准确的计算是解题的关键． 先算括号里的，然后用分式的除法法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．计算 (1)． (2)（且）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， 通分得，， ， ； （2）解：， 通分得，， ， ， 化简得，， ． 题型13.分式化简求值 1．若为负整数，且，则的值所对应的点落在图中数轴上的部分为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据题意先将分式除法进行化简计算，继而得到本题答案． 【详解】解：, 是负整数，且， 则， ， 则， ， 则在第③段． 2．设x为实数，已知实数x满足．则的值为________． 【答案】 【分析】根据已知式子得出，进而利用完全平方公式求出的值，即可求解； 【详解】解：∵， ， ， ， ， ． 3．先化简，，再从，，中选取一个适当的数代入求值． 【答案】， 【分析】先根据分式混合运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件，即分母不为0，确定可选取的的值，最后代入计算得到结果． 【详解】解：原式 ． ，， 解得，， 因此只能选取． 当时，原式． 题型14.分式最值 1．已知，为实数，且，，则下列关于的说法正确的是（   ）． A．有最大值，且最大值为 B．有最小值，且最小值为 C．有最大值，且最大值为 D．有最小值，且最小值为 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质、代数式的消元变形，通过消元将二元问题转化为一元问题，再结合不等式范围推导最值，是解题的关键． 由得，代入得，进而将表示为，分析其取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 代入，得， 即， 整理得， ∴解得， ∵， 又∵， ∴， ∴， 当时，等号成立，即取得最小值， ∴有最小值． 故选：． 2．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如，，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：______； （2）分式的最小值为______． 【答案】 3+ 3 【分析】此题考查分式的变形计算，分式的四则混合运算，同分母分式加法逆运算． （1）将分子化为分母的倍数与常数的和，然后拆分分式； （2）先将分式化为整式与常数分子的分式的和，再利用分母求最小值． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，分式取得最小值3． 3．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝． (3)和谐分式的最大值为． (4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 【答案】(1)①③ (2)； (3)3 (4)2或8 【分析】本题考查了分式的化简、分式有意义的条件及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“和谐分式”的定义． （1）根据“和谐分式”的定义可判定求解； （2）根据分式的性质，结合“和谐分式”的定义进行化简求解； （3）先对变形，配凑出，依据得范围，进而确定范围，求出最大值． （4）把变形为，因值为整数，故是的因数，据此找正整数． 【详解】（1）解：①，是“和谐分式”． ②，不是“和谐分式”（分子不是常数）． ③，是“和谐分式”． ④，不是“和谐分式”（分子不是常数）． 故答案为①③． （2）解：． ． （3）解：． 因为， 则，， 所以， 最大值为． （4）解：． 因为值为整数， 所以是的因数， 或（正整数）， 解得或． 题型15.分式方程的定义 1．岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题目的意思，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是．由于种植红薯地的面积=这块地的总产量÷平均每亩产量，根据改良红薯品种前后种植红薯地的面积不变列方程求解，用含a、m的代数式表示出x即可． 【详解】解：设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是． ∵总产量增加了， ∴， 解得：， 经检验符合题意， 所以现在平均每亩红薯的产量是． 故选：B． 2．阅读下列材料：①的解为x＝1，②的解为x＝2，③的解为x＝3．请你观察上述方程与解得特征，写出能反映上述方程一般规律的方程 ___，这个方程的解为 ___． 【答案】 【分析】根据观察发现规律：方程的解是方程的最简公分母为零时x值的平均数，可得答案． 【详解】解：方程为：，解为， 故填：，． 【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键． 3．下列哪些是分式方程？哪些是可化为一元二次方程的分式方程？ （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程． 【分析】按照分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．逐一判断，去分母后再来判断是否能化成一元二次方程． 【详解】（1）是分式方程，去分母可转化为3x+3=2，不是一元二次方程， （2）是分式方程，去分母可转化为3x=x-1，不是一元二次方程， （3）是分式，不是分式方程， （4）是分式方程，去分母可转化为x2+x=2，是可化为一元二次方程的分式方程， ∴（1）、（2）、（4）是分式方程，（4）是可化为一元二次方程的分式方程． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程；熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 题型16.解分式方程（化为一元一次） 1．随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，匀速行驶到达甲快递点卸完包裹后，立即以相同的速度前往乙快递点．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点包裹的时间相同，快递车离公司的路程与时间的函数关系如图所示，根据图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设快递车在每个快递点卸包裹的时间为x，根据快递车的速度不变列方程求解即可． 【详解】解：设快递车在每个快递点卸包裹的时间为x， ∵快递车的速度不变， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴快递车在每个快递点卸包裹的时间为． 2．若分式与的值相等，则x=__________． 【答案】3 【分析】根据题意列出分式方程，将分式方程转化为整式方程求解，检验后得到x的值． 【详解】解：根据题意得： 方程两边同乘最简公分母，得 去括号，得 移项及合并同类项，得 检验：当时， 所以是原分式方程的解． 3．解分式方程：． 【答案】 【分析】先确定方程中分母的最简公分母，再方程两边同时乘以最简公分母，求解得到的整式方程，得到未知数的解．对所得的解进行检验，因为去分母时可能产生增根，所以需要将解代入最简公分母验证是否为原方程的解． 【详解】方程两边同时乘得： ， 整理： ， ， 解得， 检验： 把 代入最简公分母 ， ∴是原方程的根． 题型17.根据分式方程解的情况求值 1．若方程有增根，则a的值为（   ） A． B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据增根定义确定增根的值，代入增根计算得到a的值． 【详解】解：， 方程两边同乘去分母，得， 去括号得， 则， ∵原分式方程分母为，方程有增根， ∴增根满足，即， 将代入整式方程，得， 解得：． 2．如果方程有增根，那么增根为________． 【答案】 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，只需确定增根的可能值，令最简公分母为即可．本题中分母和互为相反数，最简公分母是． 【详解】解：原方程有增根， 最简公分母， 解得， 方程的增根为． 检验：当 时，最简公分母 ，所以原分式方程无解，其增根为． 3．已知关于的分式方程． (1)若该分式方程的根是，求的值； (2)若该分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将已知的方程根代入原方程，即可计算出的值； （2）先将分式方程化为整式方程，再分整式方程本身无解、整式方程的解为分式方程增根两种情况讨论，即可得到的值． 【详解】（1）解：∵分式方程的根是， ∴将代入方程得， 化简得， 解得． （2）解： 方程两边同乘去分母， 得， 展开整理得， 当，即时， 方程变为，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解， 当，即时， ∵原分式方程无解， ∴方程的解为原分式方程的增根，满足， 解得或， 把代入，得，等式不成立，舍去， 把代入，得， 解得， 综上，分式方程无解时，的值为或． 题型18.分式方程无解问题 1．关于的分式方程无解，则的值为（） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，据此分情况计算的值即可． 【详解】解： ， 分两种情况讨论： 当整式方程无解时，， 解得：； 当整式方程的解为原分式方程的增根时，即， 代入得：， 解得， 综上，的值为或． 2．若分式方程 有增根，则a的值是________． 【答案】 【分析】先确定分式方程的增根，再将分式方程转化为整式方程，将增根代入整式方程即可求出的值. 【详解】解：， 方程两边乘得：， ∵分式方程有增根， ∴分母，解得， 把代入整式方程得：， 解得. 3．已知关于的方程． (1)当此方程的解为时，求的值； (2)当此方程会产生增根时，求的值． 【答案】(1) (2)0或4 【分析】本题考查分式方程的解与增根的概念．特别注意增根是使原方程分母为零的根，但在解方程过程中可能引入的无效解，需代入化简后的方程求出对应的值． （1）把代入方程计算即可求出k的值； （2）由分式方程有增根求出的值，分式方程去分母后代入计算即可求出的值． 【详解】（1）解：（1）∵方程的解为， ∴， 解得； （2）由分式方程有增根，得到或，解得， 分式方程去分母得：， 把代入方程得：，解得：， 把代入方程得：， 故的值为0或4． 题型19.列分式方程 1．古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.6千克．已知用36千克木材制作榫的数量与用30千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为千克，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设制作1个榫需要的木材为千克，则制作1个卯需要的木材为千克， 用36千克木材制作榫的数量与用30千克木材制作卯的数量相同， 可列方程为． 2．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为________． 【答案】 【分析】设规定时间为天，分别表示出慢马和快马的速度，再根据两者速度的倍数关系列方程即可． 【详解】解：设规定时间为天， 根据题意可得，慢马所需时间为天、快马所需时间为天，则慢马的速度为里/天、快马的速度为里/天， 由快马的速度是慢马的倍，得． 3．某水果店积极参与助农惠农活动，从果农处采购优质苹果助力乡村振兴．该水果店第一次花费500元购进一批苹果，由于销售状况良好，又花费1000元以相同的价格购进该品种苹果，所购质量比第一次购进质量多100千克． (1)求这种苹果的进价是多少元每千克？ (2)已知该水果店内苹果和香蕉的单价分别为元每千克和元每千克，甲共购买了千克水果，其中苹果千克，香蕉千克；乙共花费了元，其中买苹果元，买香蕉元．若甲和乙的花费相同，通过计算说明甲、乙两人谁购买水果的总质量更大． 【答案】(1)这种苹果的进价是元每千克 (2)乙购买水果的总质量更大 【分析】（1）通过设单价是x元每千克，列出分式方程，解分式方程即可； （2）通过作差法计算两个代数式的差，化简后根据已知条件判断正负，从而比较大小． 【详解】（1）解：设这种苹果的进价是x元每千克，根据题意可得： ， ， ， ， 经检验，是原分式方程的根， 所以，这种苹果的进价为5元每千克； （2）由题意可知，甲共购买了千克水果，花费元， 甲和乙的花费相同，所以乙花费元，则，所以， 乙共购买了千克水果， ， 因为， 所以乙购买水果的总质量更大． 【点睛】解分式方程一定要进行检验，且分式方程的分母不为0，异分母分式进行相加减，先通分，化为同分母的分式进行计算． 题型20.分式方程的行程问题 1．随着旧城改造项目的加速推进，翻新过后的南宁中山路夜市迅速成了热门打卡地．某校八年级学生小苏和小霞相约前往距离学校的中山路夜市，小苏骑自行车先走20分钟，小霞乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑行速度的2倍，设小苏骑行的速度为，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的分式方程，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由题意可得， ， 即． 2．小丽和小颖相约周末到影院看电影，她们的家分别距离影院和．两人各自从家中同时出发，已知小丽和小颖的速度之比是，结果小丽比小颖晚到达影院，则小丽的速度是________． 【答案】 【分析】本题利用路程、速度、时间的关系，根据已知速度比设未知数，由小丽比小颖晚到达得到时间差的等量关系，列分式方程求解即可，找到正确的等量关系是解题关键． 【详解】解：设小丽的速度为，则小颖的速度为 根据题意得： 解得 经检验是原分式方程的解，符合题意 则小丽的速度为 3．某校学生乘车去距学校的景区游玩，一部分学生乘慢车，另一部分学生乘快车，他们同时出发，结果乘慢车的同学晚到，已知快车速度是慢车速度的倍，求慢车的速度． 【答案】慢车的速度为 【分析】设慢车速度为未知数，因为快车速度是慢车的1.5倍，所以可以用该未知数表示出快车速度，根据“时间路程速度”，分别写出慢车和快车行驶全程的时间，因为慢车比快车多用，所以可以根据两车的时间差建立分式方程，求解分式方程即可求解． 【详解】解：设慢车的速度为，依题意，得：， 解得：， 经检验是原题的解， 答：慢车的速度为． 题型21.分式方程的工程问题 1．某车间加工个零件后，采用了新工艺，工效提升了，这样加工同样多的零件就少用了．为了求采用新工艺前每小时加工多少个零件，设采用新工艺前每小时加工个零件，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据工效提升比例得到新工艺后的工作效率，再根据“加工同样多零件少用小时”找到等量关系，即可列出方程. 【详解】解：设新工艺前每小时加工个零件，已知工效提升，因此新工艺的工作效率为个/小时， 加工个零件，新工艺前用时为小时，新工艺后用时为小时， 由“新工艺加工同样多的零件少用小时”， 可得：． 2．某工人原计划在规定时间内加工300个零件，因改进了工具和操作方法，现在每小时比原来多加工10个零件，结果现在加工300个零件的时间和原来加工240个零件的时间相同．原计划每小时加工______个零件． 【答案】40 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设原计划每小时加工个零件，则现在每小时加工个零件，由题意：现在加工个零件的时间和原来加工个零件的时间相同．列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设原计划每小时加工个零件，则现在每小时加工个零件， 根据题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 即原计划每小时加工个零件， 故答案为：． 3．为了助力乡村振兴，某村合作社计划将本地特色农产品运往市场销售，两支农户志愿小队负责对农产品进行分拣打包．已知甲队每小时分拣的箱数比乙队多4箱，甲队分拣100箱的时间与乙队分拣80箱的时间相等，求甲队每小时分拣的箱数． 【答案】甲队每小时分拣20箱． 【分析】设甲队每小时分拣箱，则乙队每小时分拣箱．甲队分拣100箱的时间与乙队分拣80箱的时间相等，据此列出分式方程并解分式方程，检验即可． 【详解】解：设甲队每小时分拣箱，则乙队每小时分拣箱． 依题意可得：， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：甲队每小时分拣20箱． 题型22.分式方程的经济问题 1．《算经》中有分钱问题为：第一次由一组人平分元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同．依题意，乐乐所列方程为，则表示（    ） A．第一次分钱的人数 B．第二次分钱的人数 C．第二次每人分得的钱数 D．两次分钱的总人数 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程．找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．根据题意，方程 表示两次每人分得的钱数相等．通过比较标准设未知数方式，推导出x的含义． 【详解】解：设第一次分钱的人数为 ，则第二次分钱的人数为． 第一次每人分得，第二次每人分得，且两次每人分得的钱数相等， ． 对比乐乐所列方程 ， 可得 ，即 ， 表示第二次分钱的人数． 故选：B． 2．在“母亲节”前夕，某花店用16000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一空．根据市场需求情况，该花店又用7500元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．则第二批鲜花每盒的进价是______元． 【答案】150 【分析】本题考查了分式方程的应用． 设第二批鲜花每盒的进价为x元，则第一批每盒进价为元，根据第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，列出方程求解即可． 【详解】解：设第二批鲜花每盒的进价是x元，则第一批每盒进价为元， ∴第一批购进的盒数为盒，第二批购进的盒数为盒． ∵第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故第二批鲜花每盒的进价是150元． 故答案为：150． 3．一家文具店准备购进两种款式的书桌售卖，甲款书桌单价比乙款书桌贵40元．店主用1200元购进甲款书桌的数量，与用800元购进乙款书桌的数量相同． (1)求甲、乙两款书桌的单价（列分式方程求解）． (2)店主计划一共购进两款书桌共60张，且乙款书桌的进货数量不超过甲款书桌数量的2倍．若进货总费用不超过5880元，请问共有多少种进货方案？（不需要写出具体方案） 【答案】(1)甲款书桌单价为120元，乙款书桌单价为80元 (2)共有8种进货方案 【分析】（1）设乙款书桌的单价为元，则甲款书桌的单价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）根据题目的两个限制条件列一元一次不等式组，求出甲款数量的取值范围，统计范围内正整数的个数即可得到进货方案的种数． 【详解】（1）解：设乙款书桌的单价为元，则甲款书桌的单价为元， 根据题意，得 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴ 答：甲款书桌单价为120元，乙款书桌单价为80元； （2）解：设购进甲款书桌张，则购进乙款书桌张， 根据题意，得 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵是正整数， ∴可取值为20,21,22,23,24,25,26,27，共8个不同值. 答：共有8种进货方案． 题型23.分式方程和差倍分问题 1．在课外活动跳绳时，相同时间内小林跳100次，小颖比小林多跳20次，已知小颖每分钟比小林多跳30次，求小颖每分钟跳多少次？设小颖每分钟跳次，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程在实际生活中的应用．审清题意、找出等量关系是解题的关键． 设小颖每分钟跳次，，那么小林每分钟跳下．再根据相同时间内小林跳100次，小颖比小林多跳20次列出分式方程即可解答． 【详解】解：设小颖每分钟跳次，，那么小林每分钟跳下． 由题意可得： ． 故选：A． 2．莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一．某莜麦标准化种植基地在改良前总产量为，改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩，平均亩产量为原来的1.5倍，则改良前的平均亩产量为_______ 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设改良前的平均亩产量为，则改良后的平均亩产量为，根据“改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩”列出分式方程，解分式方程即可得出答案． 【详解】解：设改良前的平均亩产量为，则改良后的平均亩产量为， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴改良前的平均亩产量为， 故答案为：． 3．师徒两人加工同一种“非遗文化”工艺品，师傅比徒弟每天多加工10个这种工艺品，师傅加工300个这种工艺品所用的时间是徒弟加工120个这种工艺品所用时间的2倍，求师傅和徒弟每天各加工多少个这种工艺品． 【答案】 师傅每天加工50个这种工艺品，徒弟每天加工40个这种工艺品． 【分析】设师傅每天加工个这种工艺品，则徒弟每天加工个这种工艺品，根据师傅加工300个这种工艺品所用的时间是徒弟加工120个这种工艺品所用时间的2倍，列出分式方程求解即可． 【详解】解：设师傅每天加工个这种工艺品，则徒弟每天加工个这种工艺品， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 则（个）， 答：师傅每天加工50个这种工艺品，徒弟每天加工40个这种工艺品． 题型24.分式方程的其它实际问题 1．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文如下：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别售出后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？ 若设某个量为x，根据题意可列方程，则x（   ） A．只能表示绫布的长度 B．只能表示罗布每尺的价格 C．既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度 D．既可以表示绫布每尺的价格，又可以表示罗布每尺的价格 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，设其中一种布的长度为x尺，则另一种布的长度为尺，根据题意可列方程，由于题目条件对于绫、罗两种布是对称的，由此可知x既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度． 【详解】解：根据题意，设其中一种布的长度为x尺，则另一种布的长度为尺， 由“绫布和罗布各出售1尺共收入120文”可列方程为：， 由于题目条件对于绫、罗两种布是对称的， 因此x既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度． 故选：C． 2．河水是流动的，在点流入一个静止的湖中．游泳健将朱泳在河中顺流从到，再穿过湖游到，共用1小时；而由到再到，共用2小时．如果湖水是流动的，从流向，速度与河水速度相同，那么朱泳从到再到，共用50分钟．这时，他从到再到，共用_____小时． 【答案】2.5/ 【分析】本题考查分式方程的应用、解决本题的关键是首先假设全程为1，并以全部顺水行完需要50分钟作为突破口，并做好合理的假设． 首先假设全程为1，那么从A到B到C全部顺水，根据朱泳从A到B再到C，共用50分钟以及速度时间关系求得顺水行的速度为，假设朱泳在最初1小时全部顺水，就会比全程多行，也就是说该种情况说明行段同样的时间，顺水比静水多行全程的；同理行段同样的时间，逆水比静水少行全程的，因此逆水行2小时，只能行全程的，故设游泳健将朱泳在从C到B再到A逆水行进中共用x小时，由，解得x即为所求． 【详解】解：设全程为1，设游泳健将朱泳在从C到B再到A逆水行进中共用x小时， 由题意可得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴他从到再到，共用小时． 故答案为：2.5 ． 3．分拣机器人是一种应用于物流、快递、制造业等领域的智能工业设备，核心配置包括传感器、物镜和电子光学系统，为企业带来了勃勃生机．某公司仓库选用了甲、乙两种型号的分拣机器人，已知甲型机器人比乙型机器人每小时多分拣快递200件，且甲型机器人分拣9000件快递所用时间与乙型机器人分拣8000件所用时间相等．求甲、乙两种型号的分拣机器人每小时分拣快递的数量． 【答案】甲型机器人每小时分拣快递1800件，乙型机器人每小时分拣快递1600件 【分析】设乙型机器人每小时分拣快递件，则甲型机器人每小时分拣快递件，再根据两型机器人分拣快递所用时间相等列出方程求解即可，注意分式方程需要检验． 【详解】解：设乙型机器人每小时分拣快递件，则甲型机器人每小时分拣快递件， 根据题意，得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意, ， 答：甲型机器人每小时分拣快递1800件，乙型机器人每小时分拣快递1600件． 题型25.分式方程的规律性问题 1．对任意非负数，若记，给出下列说法，其中正确的个数为（    ） ①； ②，则； ③； ④对任意大于3的正整数，有． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值、解分式方程、数字类规律题等知识点，找出相关规律是解题的关键． 将代入即可判断①，解方程，即可判断②，分别计算，，， ，……即可判断③，同理分别求得，找到规律，进而即可判断④． 【详解】解：∵， 当时，，故①错误， ∵，即，解得：，经检验是原方程的解，故②正确； ∵，，， ，…… ∴，故③正确； ∵，，，…… ∴ ，故④错误， 综上，正确的有2个． 故选：C． 2．现有一列数：，，，，，，（为正整数），规定，，，，，若，则的值为______. 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先观察数列的规律，根据已知的关系，通过错项相加的方法，求出的通项公式：，再根据此公式，对分式方程的左边进行裂项，化简分式方程，最后可求出的值，通过错项相加法得到是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，， ∴以上各式左右两边分别相加得， ， ∴， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 故答案为：． 3．阅读以下材料，并解答相关问题． 【背景材料】一个容器装有水，按照以下规则倒水：第1次倒出水；第2次倒出的水量是的，即；第3次倒出的水量是的，即；第4次倒出的水量是的，即；；第次倒出的水量是的，即；按照这种倒水的方法，这水经过多少次可以倒完?为什么? 数学兴趣小组的同学们将上面的问题抽象成数学问题加以解决． 【规律探究】探索发现： （1）填空：；（n为正整数）； 【解决问题】 （2）按照背景材料中的方案，倒出10次后，总共倒出的水量是多少？ （3）若倒出次后，总共倒出的水量是多少？容器中的水能否被倒完？请说明理由； 【拓展运用】 （4）运用（1）中得到的规律解方程： 【答案】（1），；，； （2）； （3）总共倒出的水量是，水不能被倒完，因为； （4） 【分析】（1）观察题目给出的、等例子，发现分母为两个连续正整数的乘积时，分式可拆分为这两个数的倒数之差．因此直接推导得，推广到一般式； （2）倒出次的总水量是前个分式的和，即．根据（1）的规律，将每一项拆为两个倒数的差，拆项后中间项相互抵消，最终仅剩首项和末项，相加即可得到结果； （3）将每一项()拆为，抵消中间项后得到和为，分析的取值，因为正整数，，故，即总倒出水量始终小于，因此水不能被倒完； （4）将方程左边的每一项()拆为，抵消中间项后左边化简为，因此化简后的方程为，求解此分式方并检验即可． 【详解】（1）解：根据已知规律，， 可得；(为正整数)； 故答案为：，；，． （2）解：倒出次后总水量为； （3）解：倒出次后总水量为． ∵(为正整数)，即总倒出水量始终小于， ∴容器中的水不能被倒完； （4）解：原方程左边=， 因此方程化为， 两边同时减去，得， 两边同乘()，得， 解得； 检验：将代入分母，，，…，， ∴是原方程的解； 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式的规律探索、异分母分式的减法以及解分式方程，核心是裂项相消法的综合应用．从具体的数字规律出发，提炼出的通用裂项规律，再通过“消去中间项、保留首尾项”的技巧，把复杂的分式求和转化为简单的计算问题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $