专题七 通分与分式的计算、实际应用（9大题型）（期末复习）2025-2026学年苏科版数学八年级下册

期末复习·重点难点题型·2025—2026学年苏科版八年级下册 专题七 通分与分式的计算、实际应用 考点一：最简公分母 1、最简公分母的定义： 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 2、一般方法： ①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．　 ②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 【典例精讲】（2026春•榆树市期中）分式，，的最简公分母是（　　） A．12 B．24x3 C．12x6 D．12x3 【变式训练1】（2026春•榆树市期中）分式与的最简公分母是（　　） A．3（x+1） B．3x2+3 C．x+1 D．3（x+1）2 【变式训练2】（2026春•钟楼区校级月考）分式，的最简公分母是 ． =考点二：分式加减法 1、同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． 2、异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明： ①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 【典例精讲】（2026•东丽区二模）计算的结果是（　　） A． B． C． D．x+2 【变式训练1】（2026•博望区二模）化简：（　　） A．2x﹣2 B． C． D． 【变式训练2】（2026•青山区一模）计算 ． 考点三：分式乘除法 1、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． 2、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 3、分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． 4、分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． 5、规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 【典例精讲】（2026•鲁山县二模）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2026•槐荫区二模）化简的结果是（　　） A．a B． C．a﹣1 D． 【变式训练2】（2026•永丰县模拟）计算（﹣a）2的结果为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣a2 D．a2 考点四：分式混和运算 1、分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 2、最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 3、分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题 1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． 3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 【典例精讲】（2026•泌阳县二模）化简•（a）的结果是（　　） A．a+b B． C．a﹣b D． 【变式训练1】（2026•河南模拟）化简的结果是（　　） A． B．m﹣1 C．m+1 D． 【变式训练2】（2026春•沙坪坝区校级同步）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 考点五：分式方程 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 【典例精讲】（2026春•成都校级期中）下列各式中，是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2026•平武县开学）下列方程中不是分式方程的是（　　） A． B．2 C．0 D． 【变式训练2】（2025秋•盐亭县期末）在方程5＝0，6，3＝0，1，2中，分式方程的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 考点六：分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 【典例精讲】（2026•新都区模拟）已知x＝3是分式方程的根，则实数k的值为（　　） A．k＝2 B．k＝﹣1 C．k＝1 D．k＝3 【变式训练1】（2026春•项城市月考）若分式方程的解为x＝a，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【变式训练2】（2026•成都一模）关于x的分式方程的解为x＝﹣3，则m的值为 ． 考点七：解分式方程 1、解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． 2、解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 【典例精讲】（2026春•兴化市期中）解下列方程： （1）； （2）． 【变式训练1】（2026春•钟楼区校级月考）解下列方程： （1）； （2）． 【变式训练2】（2026•榆树市模拟）解方程： （1）； （2）． 考点八：由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 【典例精讲】（2026•永春县模拟）元朝朱世杰所著《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？设快马所需时间为x天，下列方程正确的是（　　） A．150（x+12）＝240x B．150x＝240（x﹣12） C． D． 【变式训练1】（2026•包河区校级三模）甲乙两地修建智能化高速铁路，运行里程由原来的200km缩短为160km，运行时间缩短为原来的一半，平均速度比原来快100千米/小时，设原来的运行时间为x小时，则以下方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026•任城区二模）古代建筑中，榫（sǔn）卯（mǎo）结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.5千克．已知用35千克木材制作榫的数量与用30千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为x千克，符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 考点九：由实际问题抽象出分式方程 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 【典例精讲】（2026•东莞市校级二模）人工智能的广泛应用，正深刻改变着我们的工作与生活方式．某图书馆计划购进一批图书分拣机器人和搬运机器人，已知分拣机器人的单价比搬运机器人的单价少3万元，且用12万元购买分拣机器人的数量是用18万元购买搬运机器人的数量的2倍． （1）分拣机器人和搬运机器人的单价各是多少？ （2）若该图书馆计划购进两种机器人共30台，每台分拣机器人每小时能分拣2000册图书，每台搬运机器人每小时能搬运1000册图书．图书的分拣和搬运需两种机器人协同工作，为确保系统流畅运行，在30台机器人一起投入使用的情况下，需满足分拣与搬运同一批图书所用的时间相等，应该怎样购进这两种机器人？ 【变式训练1】（2026•姜堰区二模）某练习上有这样一道题：有甲、乙两个工程队，甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等，乙队每天比甲队多修30米，求甲队每天修路的长度．下面是小潘和小罗的解答过程： 小潘的解答（全部）： 解：设甲队每天修路的长度为x米． 根据题意，得：， 解这个方程，得x＝70， 答：甲队每天修路70米． 小罗的解答（部分）： 解：设甲队修路700米所用时间为x天． …． （1）批阅过程中，小潘被扣分了，你认他被扣分的主要原因是： ； （2）批阅过程中，小罗得到了满分，请写出小罗的解答过程． 【变式训练2】（2026春•渝中区校级期中）某文具店第一次花费600元购进一批文具礼盒，全部售完；第二次花费1950元购进同款文具礼盒，购进数量是第一次的2倍，且每个文具礼盒的进价比第一次上涨了5元． （1）请列分式方程解决以下问题，第二次购进了这批文具礼盒多少盒？ （2）该店12月份共售出该礼盒80盒，每盒售价为35元．为回馈顾客并提升销量，该店决定在次年1月份调整销售方案：线上渠道每盒降价a元销售，线下门店每盒降价5元销售；1月份总销量较12月份增加了2a%，其中线上、线下销量各占1月份总销量的50%，1月份总销售额比12月份总销售额减少了200元，求a的值． 1．（2025秋•襄都区期中）若将分式与通分，则分式的分子应变为（　　） A．6m2﹣6mn B．6m﹣6n C．2（m﹣n） D．2（m﹣n）（m+n） 2．（2026•裕华区校级二模）计算的结果等于（　　） A．1 B． C． D． 3．（2025秋•广南县期末）已知方程：①2；②；③；④；⑤；⑥1+3（x﹣2）＝7﹣x，其中是分式方程的是（　　） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 4．（2026春•市中区校级期中）化简的结果是（　　） A．m﹣2 B．m C． D． 5．（2025秋•湖北期末）化简的结果是（　　） A． B． C． D．y2 6．（2026•西华县模拟）下列计算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a6÷a3＝a2（a≠0） C．（a2）3＝a5 D．（a≠0） 7．（2025春•新安县期中）若，这个等式恒成立，则a﹣2b的值是（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣2 D．2 8．（2025秋•翁牛特旗期末）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（　　） A． B． C． D． 9．（2026春•罗湖区校级期中）“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释（a+b）n（n＝1，2，3，4）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律：例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着（a+b）2的展开式a2+2ab+b2中各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3的展开式a3+3a2b+3ab2+b3中各项的系数…当n是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则下列说法正确的有（　　）个． ①第六排数字依次是：1，5，10，10，5，1； ②（a+b）10的展开式中各项系数和为1024； ③的展开式中的系数是7． A．0 B．1 C．2 D．3 10．（2026•于洪区一模）计算的结果是 ． 11．（2025秋•渝中区校级期末）若，则分式的值为 ． 12．（2026•宿城区校级二模）已知关于x的分式方程有增根，则m的值 ． 13．（2026•白银模拟）当x＝ 时，分式与的值互为相反数． 14．（2026•永修县一模）小张家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费7000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费多60元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 ． 15．（2026春•同步）通分： （1）， （2）， （3）， （4）， （5）， （6）， 16．（2026春•梁溪区校级期中）计算： （1）． （2）． 17．（2026春•同步）计算下列各题． （1）． （2）． （3）． 18．（2026•灞桥区校级模拟）化简：（1）． 19．（2026春•钟楼区校级月考）化简： （1）； （2）． 20．（2026春•济南校级月考）计算： （1）； （2）． 21．（2026春•福田区校级期中）（1）； （2）； （3）． 22．（2026春•永春县期中）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务： 化简：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 任务一： （1）以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，其依据是 ． （2）第 步开始出现错误，出现错误的原因是 ． 任务二： （3）请直接写出该分式化简后的正确结果： ． 23．（2026春•惠山区期中）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由，知x≠0，所以3，即x3． 所以2＝7． 所以的值为． 说明：该题的解法叫做“倒数法”． 请你利用“倒数法”解下面题目： 已知：4． 求：（1）x的值； （2）的值． 24．（2026•南山区一模）以下是某同学计算的部分过程： 第一步 第二步 第三步 ＝… 老师在批改这道题时，发现了其中的错误． （1）上述解题过程中，从第 步开始出现错误； （2）请你给出正确的解答过程并求出当a＝﹣3时分式化简后的值． 25．（2026春•北碚区校级月考）（1）a为何值时，关于x的分式方程的解为x＝0． （2）当m为何值时，关于x的方程有增根． 26．（2026•惠东县模拟）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如图． 设每支圆珠笔为x元．请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？ 7．（2026•江油市二模）“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景，全运会纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多20元，用1000元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍． （1）求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ （2）若计划购买A，B两种型号的纪念品共70个，要求购进A型号纪念品的数量不少于B型号纪念品数量的1.5倍，且所花费用不超过6480元，请求出所有满足条件的购买方案． 28．（2026春•泉港区月考）对于形如的分式方程，若k＝ab，m＝a+b，容易检验x1＝a，x2＝b是分式方程的解，所以称该分式方程为“和谐方程”． 例如：可化为，容易检验x1＝2，x2＝3是方程的解， ∴是“和谐方程”； 根据上面的学习解答下列问题： （1）若是“和谐方程”，则x1＝ ，x2＝ ．（x1＜x2） （2）若x1＝m，x2＝n是“和谐方程”的两个解，求的值． 29．（2025秋•朔州期末）综合与实践 问题背景：若两个分式P与Q，满足P﹣Q＝k，k为整数且k≠0，则称Q为P的“差整分式”，k称为“差整值”．例如：分式，，P﹣Q＝1，则Q为P的“差整分式”，“差整值”k＝1． 探究1： （1）已知三个分式，，，则下列结论中，正确的是　③　 （填序号）． ①A是B的“差整分式”；②A是C的“差整分式”；③B是C的“差整分式”． 探究2： （2）已知分式，（S是关于x的整式），若M为N的“差整分式”，且“差整值”k＝4，求整式S． 探究3： （3）已知分式，（a，b为整数），若M为N的“差整分式”，请直接写出“差整值”k的值． 30．（2026春•姜堰区期中）【探究任务】关于分式有一个应用广泛的定理——等比定理：若，则．“善思小组”与“智慧小组”从两个方面来论证等比定理． （1）善思小组用生活常识的方法来验证等比定理： 如图，调制两杯浓度相同的糖水分别为a1g，a2g，其中含糖量分别为b1g，b2g，那么两杯糖水的浓度分别为，，则；把它们倒入同一个大烧杯，得到大烧杯糖水浓度为 ＝ ． 得出结论：无论多少杯浓度相同的糖水合并后，糖水浓度不变．利用这一试验就说明了等比定理成立． （2）智慧小组用代数推理的方法来证明等比定理： 设，那么b1＝ka1，b2＝ka2，…，bn＝kan． … 请你补充完成智慧小组的证明过程． 【拓展应用】 （3）已知，求的值． 31．（2025秋•长沙期末）我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值（此时x满足A，B均有意义），有A+B或A﹣B为定值，则称代数式A，B互为关于x的“关联代数式”．例如：A＝﹣2x﹣1，B＝2x﹣1，因为A+B＝﹣2，所以A，B互为关于x的“关联代数式”．根据该约定，解答下列问题． （1）判断下列各式是否互为关于x的“关联代数式”．若是，则在横线中划“√”，若不是，则划“×”． ①x+1与﹣x+2；　 ②2x2+x﹣1与2x2﹣2； ③与； （2）若关于x的代数式，B＝x2+b（x﹣4）+2，A，B互为关于x的“关联代数式”，求a2﹣4ab+4b2+2026的值； （3）若关于x的代数式A＝mx+1，B＝nx﹣2，A，B互为关于x的“关联代数式”，且满足，求此时A2﹣B2的值． 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习·重点难点题型·2025—2026学年苏科版八年级下册 专题七 通分与分式的计算、实际应用 考点一：最简公分母 1、最简公分母的定义： 通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 2、一般方法： ①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．　 ②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 【典例精讲】（2026春•榆树市期中）分式，，的最简公分母是（　　） A．12 B．24x3 C．12x6 D．12x3 【答案】D 【分析】根据最简公分母确定方法解答． 【解答】解：分式，，的最简公分母是12x3， 故选：D． 【变式训练1】（2026春•榆树市期中）分式与的最简公分母是（　　） A．3（x+1） B．3x2+3 C．x+1 D．3（x+1）2 【答案】A 【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【解答】解：最简公分母是3（x+1）， 故选：A． 【变式训练2】（2026春•钟楼区校级月考）分式，的最简公分母是　12a2b2c ． 【答案】12a2b2c． 【分析】根据确定最简公分母的方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母，求解即可．． 【解答】解：分式与的最简公分母为12a2b2c． 故答案为：12a2b2c． =考点二：分式加减法 1、同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． 2、异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减． 说明： ①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘． ②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的． 【典例精讲】（2026•东丽区二模）计算的结果是（　　） A． B． C． D．x+2 【答案】B 【分析】根据分式的加减法化简即可． 【解答】解： ． 故选：B． 【变式训练1】（2026•博望区二模）化简：（　　） A．2x﹣2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的加减运算法则化简即可． 【解答】解：原式 ． 故选：B． 【变式训练2】（2026•青山区一模）计算　　 ． 【答案】． 【分析】将分子相加即可． 【解答】解：原式， 故答案为：． 考点三：分式乘除法 1、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． 2、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 3、分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． 4、分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． 5、规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 【典例精讲】（2026•鲁山县二模）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式乘除法运算法则化简即可． 【解答】解：根据分式乘除法运算法则化简可得： ． 故选：D． 【变式训练1】（2026•槐荫区二模）化简的结果是（　　） A．a B． C．a﹣1 D． 【答案】A 【分析】先把除法运算化为乘法运算，再约分即可． 【解答】解： ＝a， 故选：A． 【变式训练2】（2026•永丰县模拟）计算（﹣a）2的结果为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣a2 D．a2 【答案】B 【分析】原式先算乘方运算，再算乘除运算即可求出值． 【解答】解：原式＝a2÷a• ＝a• ＝1． 故选：B． 考点四：分式混和运算 1、分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 2、最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 3、分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题 1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． 3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 【典例精讲】（2026•泌阳县二模）化简•（a）的结果是（　　） A．a+b B． C．a﹣b D． 【答案】A 【分析】先算括号里，再算括号外，即可解答． 【解答】解：•（a） • • ＝a+b， 故选：A． 【变式训练1】（2026•河南模拟）化简的结果是（　　） A． B．m﹣1 C．m+1 D． 【答案】A 【分析】运用分式通分、平方差公式因式分解、分式约分的知识，解题思路为先计算括号内的加法，再将除法转化为乘法，约分后得到结果． 【解答】解： ． 故选：A． 【变式训练2】（2026春•沙坪坝区校级同步）化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，然后把除法运算化为乘法运算，最后约分即可． 【解答】解：原式 • ． 故选：A． 考点五：分式方程 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 【典例精讲】（2026春•成都校级期中）下列各式中，是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分母里含有未知数的方程叫做分式方程，注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母．据此解答即可． 【解答】解：A．该方程是一元一次方程，不符合题意； B．是代数式，不符合题意； C．该方程是一元一次方程，不符合题意； D．该方程是分式方程，符合题意． 故选：D． 【变式训练1】（2026•平武县开学）下列方程中不是分式方程的是（　　） A． B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】利用分式方程的定义，即可得出结论． 【解答】解：A．方程t＝3是分式方程，选项A不符合题意； B．方程2是分式方程，选项B不符合题意； C．方程0是分式方程，选项C不符合题意； D．方程是一元一次方程，选项D符合题意． 故选：D． 【变式训练2】（2025秋•盐亭县期末）在方程5＝0，6，3＝0，1，2中，分式方程的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义进行解答即可． 【解答】解：方程6，3＝0，1的分母中含有分式，是分式方程． 故选：B． 考点六：分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 【典例精讲】（2026•新都区模拟）已知x＝3是分式方程的根，则实数k的值为（　　） A．k＝2 B．k＝﹣1 C．k＝1 D．k＝3 【答案】C 【分析】将已知解代入方程中解得k的值即可． 【解答】解：已知x＝3是分式方程的根， 则k+1＝2， 解得：k＝1， 故选：C． 【变式训练1】（2026春•项城市月考）若分式方程的解为x＝a，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】B 【分析】通过去分母将分式方程转化为整式方程，然后求解整式方程，最后检验所得的解是否为增根． 【解答】解：， 方程两边同乘最简公分母x（x﹣1）得：2x＝x﹣1， 移项整理得：x＝﹣1， 检验：当x＝﹣1时，x﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2≠0，x＝﹣1≠0， ∴x＝﹣1是原方程的解， 即a＝﹣1． 故选：B． 【变式训练2】（2026•成都一模）关于x的分式方程的解为x＝﹣3，则m的值为　2　 ． 【答案】2． 【分析】将分式方程的解代入原方程计算即可． 【解答】解：由条件可得， 解得：m＝2． 故答案为：2． 考点七：解分式方程 1、解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． 2、解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 【典例精讲】（2026春•兴化市期中）解下列方程： （1）； （2）． 【分析】（1）分式方程两边乘以x（x+2）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程两边乘以（x+1）（x﹣1）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：（1）去分母得：5x＝x+2， 解得：x， 经检验x是分式方程的解； （2）去分母得：（x+1）2﹣4＝x2﹣1， 去括号得：x2+2x+1﹣4＝x2﹣1， 移项合并得：2x＝2， 解得：x＝1， 经检验x＝1是增根，原分式方程无解． 【变式训练1】（2026春•钟楼区校级月考）解下列方程： （1）； （2）． 【分析】（1）首先把方程两边同乘（x+1）（2x+1），化为一元一次方程，可得：3（x+1）＝2x+1，解一元一次方程求出x的值，再把求出的解代入最简公分母检验是否增根； （2）首先把方程两边同乘x（x﹣2），化为整式方程，可得：x2﹣8＝x（x﹣2），解整式方程求出x的值，再把求出的解代入最简公分母检验是否增根． 【解答】解：（1）原方程两边同乘（x+1）（2x+1），可得：2x+1＝3（x+1）， 去括号可得：2x+1＝3x+3， 移项得：2x﹣3x＝3﹣1， 合并同类项得：﹣x＝2， 系数化为1得：x＝﹣2， 检验：把x＝﹣2代入（x+1）（2x+1）， 可得：（x+1）（2x+1）＝（﹣2+1）（﹣2×2+1）＝3≠0， ∴x＝﹣2是原分式方程的解； （2）原方程两边同乘x（x﹣2）可得：x2﹣8＝x（x﹣2）， 去括号得：x2﹣8＝x2﹣2x， 移项得：x2﹣x2+2x＝8， 合并同类项得：2x＝8， 系数化为1得：x＝4， 检验：把x＝4代入x（x﹣2）， 可得：x（x﹣2）＝4×（4﹣2）＝4×2＝8≠0， ∴x＝4是原分式方程的解． 【变式训练2】（2026•榆树市模拟）解方程： （1）； （2）． 【分析】（1）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可； （2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：（1）原方程去分母得：4（x﹣1）＝3x， 整理得：4x﹣4＝3x， 解得：x＝4， 检验：当x＝4时，x（x﹣1）≠0， 故原方程的解为x＝4； （2）原方程去分母得：2x（x﹣3）＝7（x﹣2）+2（x﹣2）（x﹣3）， 整理得：2x2﹣6x＝7x﹣14+2x2﹣10x+12， 解得：x， 检验：当x时，（x﹣2）（x﹣3）≠0， 故原方程的解为x． 考点八：由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 【典例精讲】（2026•永春县模拟）元朝朱世杰所著《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？设快马所需时间为x天，下列方程正确的是（　　） A．150（x+12）＝240x B．150x＝240（x﹣12） C． D． 【答案】A 【分析】根据快马追上慢马时路程相等列方程即可． 【解答】解：根据题意得：150（x+12）＝240x， 故选：A． 【变式训练1】（2026•包河区校级三模）甲乙两地修建智能化高速铁路，运行里程由原来的200km缩短为160km，运行时间缩短为原来的一半，平均速度比原来快100千米/小时，设原来的运行时间为x小时，则以下方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“平均速度比原来快100千米/小时”列方程即可． 【解答】解：设原来的运行时间为x小时，则运行里程缩短后所需时间为x小时， 根据题意，得100． 故选：B． 【变式训练2】（2026•任城区二模）古代建筑中，榫（sǔn）卯（mǎo）结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.5千克．已知用35千克木材制作榫的数量与用30千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为x千克，符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设制作1个榫需要的木材为x千克，则每个卯需要的木材为（x﹣0.5）千克，结合35千克木材制作榫的数量与用30千克木材制作卯的数量相同，列出方程即可． 【解答】解：由题意可得，． 故选：A． 考点九：由实际问题抽象出分式方程 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 【典例精讲】（2026•东莞市校级二模）人工智能的广泛应用，正深刻改变着我们的工作与生活方式．某图书馆计划购进一批图书分拣机器人和搬运机器人，已知分拣机器人的单价比搬运机器人的单价少3万元，且用12万元购买分拣机器人的数量是用18万元购买搬运机器人的数量的2倍． （1）分拣机器人和搬运机器人的单价各是多少？ （2）若该图书馆计划购进两种机器人共30台，每台分拣机器人每小时能分拣2000册图书，每台搬运机器人每小时能搬运1000册图书．图书的分拣和搬运需两种机器人协同工作，为确保系统流畅运行，在30台机器人一起投入使用的情况下，需满足分拣与搬运同一批图书所用的时间相等，应该怎样购进这两种机器人？ 【分析】（1）设分拣机器人的单价是x万元/台，则搬运机器人的单价是（x+3）万元/台，利用数量＝总价÷单价，结合用12万元购买分拣机器人的数量是用18万元购买搬运机器人的数量的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即分拣机器人的单价），再将其代入（x﹣3）中，即可求出搬运机器人的单价； （2）设应该购进y台分拣机器人，则购进（30﹣y）台搬运机器人，根据“在30台机器人一起投入使用的情况下，需满足分拣与搬运同一批图书所用的时间相等”，可列出关于y的一元一次方程，解之可得出y的值（即购进分拣机器人的数量），再将其代入（30﹣y）中，即可求出购进搬运机器人的数量． 【解答】解：（1）设分拣机器人的单价是x万元/台，则搬运机器人的单价是（x+3）万元/台， 根据题意得：2， 解得：x＝1.5， 经检验，x＝1.5是所列方程的解，且符合题意， ∴x+3＝1.5+3＝4.5． 答：分拣机器人的单价是1.5万元/台，搬运机器人的单价是4.5万元/台； （2）设应该购进y台分拣机器人，则购进（30﹣y）台搬运机器人， 根据题意得：2000y＝1000（30﹣y）， 解得：y＝10， ∴30﹣y＝30﹣10＝20． 答：应该购进10台分拣机器人，20台搬运机器人． 【变式训练1】（2026•姜堰区二模）某练习上有这样一道题：有甲、乙两个工程队，甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等，乙队每天比甲队多修30米，求甲队每天修路的长度．下面是小潘和小罗的解答过程： 小潘的解答（全部）： 解：设甲队每天修路的长度为x米． 根据题意，得：， 解这个方程，得x＝70， 答：甲队每天修路70米． 小罗的解答（部分）： 解：设甲队修路700米所用时间为x天． …． （1）批阅过程中，小潘被扣分了，你认他被扣分的主要原因是：　解分式方程未检验　 ； （2）批阅过程中，小罗得到了满分，请写出小罗的解答过程． 【分析】（1）根据解分式方程必须检验，即可得出结论； （2）设甲队修路700米所用时间为x天，根据甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等，乙队每天比甲队多修30米，列出分式方程，解方程，即可解决问题． 【解答】解：（1）小潘被扣分的主要原因是：解分式方程未检验， 故答案为：解分式方程未检验； （2）设甲队修路700米所用时间为x天， 由题意得：， 解得：x＝10， 经检验：x＝10是原方程的解，且符合题意， ∴甲队每天修路的长度为700÷10＝70（米）， 答：甲队每天修路的长度70米． 【变式训练2】（2026春•渝中区校级期中）某文具店第一次花费600元购进一批文具礼盒，全部售完；第二次花费1950元购进同款文具礼盒，购进数量是第一次的2倍，且每个文具礼盒的进价比第一次上涨了5元． （1）请列分式方程解决以下问题，第二次购进了这批文具礼盒多少盒？ （2）该店12月份共售出该礼盒80盒，每盒售价为35元．为回馈顾客并提升销量，该店决定在次年1月份调整销售方案：线上渠道每盒降价a元销售，线下门店每盒降价5元销售；1月份总销量较12月份增加了2a%，其中线上、线下销量各占1月份总销量的50%，1月份总销售额比12月份总销售额减少了200元，求a的值． 【分析】（1）依据题意，设第一次购进x盒，则第二次购进2x盒，则，从而计算可以得解； （2）依据题意得，12月总销售额：80×35＝2800（元），结合1月总销量：80（1）＝80（1），且线上、线下销量各占一半，从而线上销量＝线下销量，又线上售价：（35﹣a）元，线下售价：35﹣5＝30（元），则，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，设第一次购进x盒，则第二次购进2x盒， ∴． ∴x＝75． 经检验：x＝75是原方程的解，且符合题意． ∴2x＝2×75＝150． 答：第二次购进150盒； （2）由题意得，12月总销售额：80×35＝2800（元）， 又∵1月总销量：80（1）＝80（1），且线上、线下销量各占一半， ∴线上销量＝线下销量． ∵线上售价：（35﹣a）元，线下售价：35﹣5＝30（元）， ∴1月总销售额， ∴， ∴a1＝0（不合题意，舍去），a2＝15． ∴a的值为15． 1．（2025秋•襄都区期中）若将分式与通分，则分式的分子应变为（　　） A．6m2﹣6mn B．6m﹣6n C．2（m﹣n） D．2（m﹣n）（m+n） 【答案】A 【分析】先确定两分式的最简公分母为2（m+n）（m﹣n），然后分式的分子分母都乘以2（m﹣n），从而可对各选项进行判断． 【解答】解：分式与的最简公分母为2（m+n）（m﹣n）， 所以分式分子分母都乘以2（m﹣n），此时分子变为6m2﹣6mn． 故选：A． 2．（2026•裕华区校级二模）计算的结果等于（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】先把x﹣2写成分母是x+2的分式，然后按照同分母分式相加法则进行计算即可． 【解答】解：原式 ， 故选：D． 3．（2025秋•广南县期末）已知方程：①2；②；③；④；⑤；⑥1+3（x﹣2）＝7﹣x，其中是分式方程的是（　　） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【答案】C 【分析】根据分式方程的定义进行判断即可． 【解答】解：根据分式方程的定义，②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程， 故选：C． 4．（2026春•市中区校级期中）化简的结果是（　　） A．m﹣2 B．m C． D． 【答案】C 【分析】将除法转化成乘法进行约分计算． 【解答】解：原式 ， 故选：C． 5．（2025秋•湖北期末）化简的结果是（　　） A． B． C． D．y2 【答案】B 【分析】先计算乘方，再计算乘法约分即可． 【解答】解：， 故选：B． 6．（2026•西华县模拟）下列计算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．a6÷a3＝a2（a≠0） C．（a2）3＝a5 D．（a≠0） 【答案】D 【分析】根据分式的乘除法，合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方的运算法则逐一判断选项即可． 【解答】解：A、a2 与 a3 不是同类项，不能合并，不符合题意； B、a≠0 时，a6÷a3＝a6﹣3＝a3≠a2，选项计算错误，不符合题意； C、（a2）3＝a2×3＝a6≠a5，选项计算错误，不符合题意； D、a≠0 时，，选项计算正确，符合题意． 故选：D． 7．（2025春•新安县期中）若，这个等式恒成立，则a﹣2b的值是（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣2 D．2 【答案】B 【分析】先去分母，得4x＝（a﹣b）x+（﹣2a﹣2b），再根据对应相等求出a、b的值，代入计算即可． 【解答】解：化简得，4x＝（a﹣b）x+（﹣2a﹣2b）， ∴a﹣b＝4，﹣2a﹣2b＝0， 解得a＝2，b＝﹣2， ∴a﹣2b＝2﹣2×（﹣2）＝6， 故选：B． 8．（2025秋•翁牛特旗期末）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列式为，将其计算即可． 【解答】解： ， 故选：C． 9．（2026春•罗湖区校级期中）“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释（a+b）n（n＝1，2，3，4）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律：例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着（a+b）2的展开式a2+2ab+b2中各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3的展开式a3+3a2b+3ab2+b3中各项的系数…当n是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则下列说法正确的有（　　）个． ①第六排数字依次是：1，5，10，10，5，1； ②（a+b）10的展开式中各项系数和为1024； ③的展开式中的系数是7． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据（a+b）5＝（a+b）4（a+b）求出（a+b）5的展开式可判断①；令a＝1，b＝1，则（a+b）10的展开式中各项系数和＝（1+1）10，据此可判断②；求出（a+b）7的展开结果，令，则，找到含ab6的项的系数即可判断③． 【解答】解：∵（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4， ∴（a+b）5＝（a+b）4（a+b） ＝（a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4）（a+b） ＝a5+4a4b+6a3b2+4a2b3+ab4+a4b+4a3b2+6a2b3+4ab4+b5 ＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5， ∴第六行数字依次是：1，5，10，10，5，1，故①正确； 令a＝1，b＝1，（a+b）10＝（1+1）10＝1024，故②正确； （a+b）6＝（a+b）5（a+b）＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6， ∴（a+b）7＝（a+b）6（a+b）＝a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7， 令， ∴， ∴的展开式中的系数为7，故③正确； ∴正确的有①②③，共3个； 故选：D． 10．（2026•于洪区一模）计算的结果是a ． 【答案】a． 【分析】将分子相减后再约分即可． 【解答】解：原式 ＝a； 故答案为：a． 11．（2025秋•渝中区校级期末）若，则分式的值为　　 ． 【答案】． 【分析】根据分式的加减法的运算法则进行计算即可． 【解答】解：∵， ∴2， ∴x+y＝2xy， ∴ ． 故答案为：． 12．（2026•宿城区校级二模）已知关于x的分式方程有增根，则m的值　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【分析】将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程即可求出m的值． 【解答】解：， 方程两边同乘最简公分母（x﹣1），去分母得：x﹣2（x﹣1）＝﹣m， 解得：x＝m+2， ∵分式方程有增根， ∴x﹣1＝0， 即x＝1， ∴1＝m+2， 解得m＝﹣1． 13．（2026•白银模拟）当x＝ 　0　 时，分式与的值互为相反数． 【答案】0． 【分析】先根据题意列出方程，求解方程得结论． 【解答】解：∵分式与的值互为相反数， ∴． ∴x+2＝2﹣x． ∴x＝0． 经检验，x＝0是分式方程的解． 故答案为：0． 14．（2026•永修县一模）小张家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费7000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费多60元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为　　 ． 【答案】． 【分析】设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可得燃油汽车每百公里的耗油费为（x+60）元，根据“燃油汽车耗费7000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同”列出分式方程即可． 【解答】解：根据题意得： ． 故答案为：． 15．（2026春•同步）通分： （1）， （2）， （3）， （4）， （5）， （6）， 【分析】（1）首先确定最简公分母为xyz，再通分即可； （2）首先确定最简公分母为10a2b，再通分即可； （3）首先确定最简公分母为（a﹣b）2，再通分即可； （4）首先确定最简公分母为ab（b+1），再通分即可； （5）首先确定最简公分母为（2a+1）（2a﹣1），再通分即可； （6）首先把分式约分，再确定最简公分母为2（1﹣a）（a+3），再通分即可． 【解答】解：（1）最简公分母为xyz， ， ； （2）最简公分母为10a2b， ， ； （3）最简公分母为（a﹣b）2， ， ； （4）最简公分母为ab（b+1）， ， ； （5）最简公分母为（2a+1）（2a﹣1）， ； （6）最简公分母为：2（1﹣a）（a+3）． ． ． 16．（2026春•梁溪区校级期中）计算： （1）． （2）． 【分析】（1）根据分式的基本性质进行计算即可； （2）根据分式的基本性质进行计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17．（2026春•同步）计算下列各题． （1）． （2）． （3）． 【分析】（1）根据分式的加减运算法则即可求出答案； （2）根据分式的加减运算法则即可求出答案； （3）根据分式的加减运算法则即可求出答案． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 2 ； （3）原式 ． 18．（2026•灞桥区校级模拟）化简：（1）． 【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法． 【解答】解：原式＝（） ． 19．（2026春•钟楼区校级月考）化简： （1）； （2）． 【分析】（1）先进行分式的乘法运算，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （2）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【解答】解：（1）原式 •• ； （2）原式 ． 20．（2026春•济南校级月考）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）根据分式的加减运算法则化简即可； （2）根据分式的混合运算法则化简即可． 【解答】解：（1）原式 ＝x； （2）原式 ． 21．（2026春•福田区校级期中）（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）先算乘方，再算除法即可； （2）先通分，再把分子相减即可； （3）先算括号里面的，再算除法即可． 【解答】解：（1） • ； （2） ； （3） • • ． 22．（2026春•永春县期中）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务： 化简：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 任务一： （1）以上化简步骤中，第　一　 步是进行分式的通分，其依据是　分式的基本性质　 ． （2）第　二　 步开始出现错误，出现错误的原因是　括号前是“﹣”，去括号后，括号里的第二项和第三项没有变号　 ． 任务二： （3）请直接写出该分式化简后的正确结果：　　 ． 【分析】（1）根据分式的通分，分式的基本性质，即可解答； （2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，逐一判断即可解答； （3）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答． 【解答】解：（1）以上化简步骤中，第一步是进行分式的通分，其依据是分式的基本性质， 故答案为：一；分式的基本性质； （2）第二步开始出现错误，出现错误的原因是括号前是“﹣”，去括号后，括号里的第二项和第三项没有变号， 故答案为：二；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的第二项和第三项没有变号； （3）原式 • • ， 故答案为：． 23．（2026春•惠山区期中）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由，知x≠0，所以3，即x3． 所以2＝7． 所以的值为． 说明：该题的解法叫做“倒数法”． 请你利用“倒数法”解下面题目： 已知：4． 求：（1）x的值； （2）的值． 【分析】（1）将已知条件的两边计算各自的倒数，约分后可得结论； （2）计算所求式子的倒数，再将x代入可得结论． 【解答】解：（1）∵4． ∴， ∴x﹣2， ∴x； （2）∵ ＝x2﹣6 ＝（x）2﹣2 ＝（2 ， ∴． 24．（2026•南山区一模）以下是某同学计算的部分过程： 第一步 第二步 第三步 ＝… 老师在批改这道题时，发现了其中的错误． （1）上述解题过程中，从第　二　 步开始出现错误； （2）请你给出正确的解答过程并求出当a＝﹣3时分式化简后的值． 【分析】（1）第二步同分母分式的减法运算出现错误； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，再进行计算即可． 【解答】解：（1）第二步进行减法运算时，出现错误． 故答案为：二； （2） ； 当a＝﹣3时，原式． 25．（2026春•北碚区校级月考）（1）a为何值时，关于x的分式方程的解为x＝0． （2）当m为何值时，关于x的方程有增根． 【分析】（1）将x＝0代入原方程得到关于a的分式方程，解方程并检验即可； （2）将原方程去分母并整理，再根据增根的定义得到x的值，然后将其代入解得m的值即可． 【解答】解：（1）若关于x的分式方程的解为x＝0， 则， 去分母得：4a﹣6＝a+5， 解得：a， 经检验，a是该分式方程的解； （2）原方程去分母得：2x+4+mx＝3x﹣6， 整理得：（1﹣m）x＝10， 若该方程有增根， 那么（x+2）（x﹣2）＝0， 则x＝﹣2或x＝2， 当x＝﹣2时， ﹣2（1﹣m）＝10， 解得：m＝6， 当x＝2时， 2（1﹣m）＝10， 解得：m＝﹣4， 综上，m＝6或﹣4． 26．（2026•惠东县模拟）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如图． 设每支圆珠笔为x元．请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了？ 【分析】设每支圆珠笔的价格是x元，则每支中性笔的价格是（x+1.2）元，利用数量＝总价÷单价，结合花21元购买中性笔的数量和花12元购买圆珠笔的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：嘉嘉搞错了，理由如下： 设每支圆珠笔的价格是x元，则每支中性笔的价格是（x+1.2）元， 根据题意得：， 解得：x＝1.6， 当x＝1.6时，7.5，7.5，7.5＝7.5，7.5不是正整数， ∴x＝1.6是所列方程的解，但不符合题意， ∴淇淇说嘉嘉搞错了． 7．（2026•江油市二模）“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景，全运会纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多20元，用1000元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍． （1）求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ （2）若计划购买A，B两种型号的纪念品共70个，要求购进A型号纪念品的数量不少于B型号纪念品数量的1.5倍，且所花费用不超过6480元，请求出所有满足条件的购买方案． 【分析】（1）设B型号纪念品的单价是x元，则A型号纪念品的单价是（x+20）元，利用数量＝总价÷单价，结合用1000元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B型号纪念品的单价），再将其代入（x+20）中，即可求出A型号纪念品的单价； （2）设购买y个A型号纪念品，则购买（70﹣y）个B型号纪念品，根据“购进A型号纪念品的数量不少于B型号纪念品数量的1.5倍，且所花费用不超过6480元”，可列出关于y的一元一次不等式组，解之可得出y的取值范围，再结合y为正整数，即可得出各购买方案． 【解答】解：（1）设B型号纪念品的单价是x元，则A型号纪念品的单价是（x+20）元， 根据题意得：2， 解得：x＝80， 经检验，x＝80是所列方程的解，且符合题意， ∴x+20＝80+20＝100（元）． 答：A型号纪念品的单价是100元，B型号纪念品的单价是80元； （2）设购买y个A型号纪念品，则购买（70﹣y）个B型号纪念品， 根据题意得：， 解得：42≤y≤44， 又∵y为正整数， ∴y可以为42，43，44， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买42个A型号纪念品，28个B型号纪念品； 方案2：购买43个A型号纪念品，27个B型号纪念品； 方案3：购买44个A型号纪念品，26个B型号纪念品． 28．（2026春•泉港区月考）对于形如的分式方程，若k＝ab，m＝a+b，容易检验x1＝a，x2＝b是分式方程的解，所以称该分式方程为“和谐方程”． 例如：可化为，容易检验x1＝2，x2＝3是方程的解， ∴是“和谐方程”； 根据上面的学习解答下列问题： （1）若是“和谐方程”，则x1＝　2　 ，x2＝　5　 ．（x1＜x2） （2）若x1＝m，x2＝n是“和谐方程”的两个解，求的值． 【分析】（1）根据题干方法求解即可； （2）根据新定义得到m+n＝7，mn＝﹣5，再对分式化简代入求解即可． 【解答】解：（1）根据题干方法求解可知： 可化为，容易检验x1＝2，x2＝5是方程的解， ∴的解为x1＝2，x2＝5； 故答案为：2，5； （2）由新定义可知：m+n＝7，mn＝﹣5， ∴． 29．（2025秋•朔州期末）综合与实践 问题背景：若两个分式P与Q，满足P﹣Q＝k，k为整数且k≠0，则称Q为P的“差整分式”，k称为“差整值”．例如：分式，，P﹣Q＝1，则Q为P的“差整分式”，“差整值”k＝1． 探究1： （1）已知三个分式，，，则下列结论中，正确的是　③　 （填序号）． ①A是B的“差整分式”；②A是C的“差整分式”；③B是C的“差整分式”． 探究2： （2）已知分式，（S是关于x的整式），若M为N的“差整分式”，且“差整值”k＝4，求整式S． 探究3： （3）已知分式，（a，b为整数），若M为N的“差整分式”，请直接写出“差整值”k的值． 【分析】（1）根据“差整分式”逐个计算即可解答； （2）根据M为N的“差整分式”，“差整值”k＝4，列出等式求出整式S； （3）根据题意N﹣M＝k，解方程组等式两边，比较系数即可解答． 【解答】解：（1），结果含分母，不是整数，故①错误； ，结果含分母，不是整数，故②错误； ，结果为整数且非0，故③正确； 故答案为：③； （2）由条件可知N﹣M＝4，即， 方程两边同时乘以（2x+3）（2x﹣3）得：S﹣（x﹣2）（2x+3）＝4（2x+3）（2x﹣3）， 展开得：S﹣2x2+x+6＝16x2﹣36， 故整式S＝18x2﹣x﹣42； （3）根据题意 ， 通分合并分子得：4x+b﹣（ax﹣2）（x﹣1）＝k（x﹣1）2， 展开左边：﹣ax2+（a+6）x+（b﹣2）， 展开右边：kx2﹣2kx+k， 比较系数得方程组：﹣a＝k，a+6＝﹣2k， 解得：k＝﹣6． 答：k＝﹣6． 30．（2026春•姜堰区期中）【探究任务】关于分式有一个应用广泛的定理——等比定理：若，则．“善思小组”与“智慧小组”从两个方面来论证等比定理． （1）善思小组用生活常识的方法来验证等比定理： 如图，调制两杯浓度相同的糖水分别为a1g，a2g，其中含糖量分别为b1g，b2g，那么两杯糖水的浓度分别为，，则；把它们倒入同一个大烧杯，得到大烧杯糖水浓度为　　 ＝　　 ＝　　 ． 得出结论：无论多少杯浓度相同的糖水合并后，糖水浓度不变．利用这一试验就说明了等比定理成立． （2）智慧小组用代数推理的方法来证明等比定理： 设，那么b1＝ka1，b2＝ka2，…，bn＝kan． … 请你补充完成智慧小组的证明过程． 【拓展应用】 （3）已知，求的值． 【分析】（1）根据题意，表示出浓度即可； （2）根据题意，将所给证明过程补充完整即可； （3）根据（2）中的结论进行计算即可． 【解答】解：（1）由题知， 大烧杯糖水浓度为：， 所以． 故答案为：； （2）设， 那么b1＝ka1，b2＝ka2，…，bn＝kan， 所以， 所以； （3）设k， 则k． 当a+b+c≠0时，k， 即， 所以b+c＝2a， 则； 当a+b+c＝0时， b+c＝﹣a， 则， 综上所述，的值为或2． 31．（2025秋•长沙期末）我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值（此时x满足A，B均有意义），有A+B或A﹣B为定值，则称代数式A，B互为关于x的“关联代数式”．例如：A＝﹣2x﹣1，B＝2x﹣1，因为A+B＝﹣2，所以A，B互为关于x的“关联代数式”．根据该约定，解答下列问题． （1）判断下列各式是否互为关于x的“关联代数式”．若是，则在横线中划“√”，若不是，则划“×”． ①x+1与﹣x+2；　√　 ②2x2+x﹣1与2x2﹣2；　×　 ③与；　√　 （2）若关于x的代数式，B＝x2+b（x﹣4）+2，A，B互为关于x的“关联代数式”，求a2﹣4ab+4b2+2026的值； （3）若关于x的代数式A＝mx+1，B＝nx﹣2，A，B互为关于x的“关联代数式”，且满足，求此时A2﹣B2的值． 【分析】（1）根据定义操作判断即可得解； （2）分两种情况讨论，当A+B为定值，或A﹣B为定值时，进而可得a、b关系，代入求解即可； （3）由题意先求出AB＝1，进而分两种情况讨论求解即可． 【解答】解：（1）∵x+1+（﹣x+2）＝3，为定值， 故①是关于x的“关联代数式”； ∵2x2+x﹣1+2x2﹣2＝4x2+x﹣3不是定值，2x2+x﹣1﹣（2x2﹣2）＝x+1也不是定值， 故②不是关于x的“关联代数式”； ∵，不是定值， 但2， 故③是关于x的“关联代数式”； 故答案为：①√；②×；③√； （2），B＝x2+bx﹣4b+2， （i）不为定值，不满足题意； （ii）， ∴当时，A﹣B为定值，即a﹣2b＝8， ∴a2﹣4ab+4b2+2026＝（a﹣2b）2+2026＝2090； （3）∵， ∴A（B+1）+B（A+1）＝（A+1）（B+1）， ∴AB+A+AB+B＝AB+A+B+1， ∴AB＝1． （i）若A+B＝（m+n）x﹣1为定值，则m+n＝0，A+B＝﹣1， ∴（A﹣B）2＝（A+B）2﹣4AB＝﹣3＜0（舍）； （ii）若A﹣B＝（m﹣n）x+3为定值，则m﹣n＝0，A﹣B＝3， ∴（A+B）2＝（A﹣B）2+4AB＝13， ∴， ∴， 综上， 第 1 页 共 35 页 学科网（北京）股份有限公司 $