专题02认识概率 期末复习讲义（9大核心题型精讲+重点知识全归纳）-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期.

专题02认识概率 期末复习讲义 期末复习◆重点 辨析必然事件、不可能事件、随机事件，掌握确定事件与随机事件核心定义，熟练完成数学及生活情境类概念辨析题型。 掌握随机事件发生可能性大小的定性判断； 厘清频率与概率内在联系、本质差异，掌握利用大量重复试验的频率估计概率的核心解题方法。 规范概率计算题答题步骤，攻克摸球、掷骰子、转盘等经典解答题型 核心题型◆归纳 题型1.事件的分类 题型2.判断事件发生的可能性的大小 题型3.判断实验所得结果是否具有等可能性 题型4.概率的意义理解 题型5.判断几个事件概率大小关系 题型6.求某事件的频率 题型7.频率与概率关系说法的正误 题型8.由频率估计概率 题型9.用频率估计概率的综合应用 重点知识◆梳理 【知识点一、事件分类】 定义：依据事件发生结果是否预先确定，将事件划分为确定事件、随机事件两大类，细分三类基础事件 一级分类 二级分类 定义 概率取值 典型实例 确定事件 必然事件 一定条件下，事先能肯定一定发生的事件 P=1 三角形内角和180°、太阳东升西落 不可能事件 一定条件下，事先能肯定一定不发生的事件 P=0 掷骰子点数为7、水中捞月 随机事件 不确定事件 一定条件下，无法预先确定是否发生的事件 0＜P＜1 抽奖中奖、抛硬币正面朝上、随机摸红球 【知识点二、随机事件的可能性大小】 规律：相同试验条件下，随机事件对应样本数量越多，事件发生可能性越大；反之则可能性越小。 概念：事件可能性属于定性文字描述，仅可对比大小；概率为定量数值，精准刻画事件发生可能性大小。 典例：袋中装有5个红球、1个白球，随机抽取一球，摸到红球的发生可能性大于摸到白球。 【知识点三、概率】 定义：刻画随机事件发生可能性大小的数值，称为该随机事件发生的概率。 {P(A)= 公式适用前提：（1）试验所有等可能结果数量有限；（2）每一种试验结果发生的概率完全相等。 概率取值范围 概率通用取值范围：0≤P(A)≤1；必然事件：P=1；不可能事件：P=0；随机事件：0<P<1 【知识点四、 频率与概率】 频率定义:频率=. 频率属于试验实测值，单次试验波动较大，具备随机性。 ✅频率、概率对比辨析 对比维度 频率 概率 本质属性 试验实测值，具有随机性、可变性，单次试验波动明显 理论固有值，具有确定性、唯一性，数值恒定不变 获取方式 依托实际重复试验，统计计算得出 依托事件特征，通过理论推导、公式运算得出 数值特征 试验次数改变，频率随之发生改变 不受试验次数影响，为事件固有属性 内在关联 试验次数越多，频率越逼近概率，误差持续缩小 频率长期稳定后的恒定值，即为事件概率 ★核心结论:无法直接计算理论概率时，可依托大量重复试验，利用频率估计概率；试验样本容量越小，频率与概率偏差越大，估算误差越高。 【知识点五、概率的实际应用】 ✅判断游戏公平性 核心原理：对比游戏双方获胜概率，若双方概率相等，则游戏公平；若概率不相等，则游戏不公平。 标准解题步骤：分别计算双方获胜概率→概率数值对比→作出公平性判断；规则不公平时，可调整规则使双方概率一致。 ✅用概率估算总体数量 依托样本概率或稳定试验频率，估算总体中目标个体数量， 核心公式：目标个体总量=总体数量×对应事件概率 ✅生活实际场景应用 涵盖摸球试验、等分转盘、骰子抛掷、产品合格率检测、抽奖概率、生物种群数量估算六大教材原型考题。 ★易错提醒 审题关键：摸球试验分为有放回摸球、无放回摸球两类，两类试验总等可能结果数不同，概率计算结果存在差异。 题型解析◆精准备考 题型1.事件的分类 1．下列说法正确的是（     ） A．“从四大名著中任意抽取一本是《三国演义》”是不可能事件 B．“掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是随机事件 C．“旭日东升”是必然事件 D．“学校合唱队共有13名队员，至少两名队员的生日在同一个月”是不可能事件 2．“拔苗助长”是一个______事件．（填“必然”、“随机”或“不可能”） 3．在一个不透明的袋子里，装有9个除颜色不同，其余均相同的小球，其中3个红球，3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，红球、白球、黑球至少各有一个． (1)当n为何值时，这个事件不可能发生？ (2)当n为何值时，这个事件必然发生？ 题型2.判断事件发生的可能性的大小 1．学校“爱昆虫”社团买回一些盲袋，每个盲袋里装一个琥珀昆虫吊坠．如图，这些琥珀昆虫吊坠中，蝴蝶10个，蝎子1个，瓢虫5个．菲菲随机领取一个盲袋，里面是什么昆虫呢？下面说法正确的是（   ） A．三种昆虫的可能性一样大 B．不可能是蝎子 C．瓢虫的可能性最小 D．蝴蝶的可能性最大 2．不透明的口袋里放入同样大小的个红球和一些黑球，每次从口袋里任意摸出一个球，然后放回．如果摸到黑球的可能性是，那么口袋里放了______个黑球．要使摸到黑球的可能性变成，可以从口袋里拿走______个红球，也可以往口袋里再放入______个黑球． 3．某商家举行抽奖活动，设置如图所示的9个翻奖牌，翻奖牌的正面是编号1~9（图①），背面是对应的奖品（图②），若只能选择一个翻奖牌进行抽奖，请解决下面的问题： (1)得到以下奖品的可能性最小的是（   ） A．平板      B．手机      C．球拍      D．水壶 (2)在图③中请你设计翻奖牌反面剩余的奖品，奖品包含“手机”“球拍”“水壶”，使得抽到“水壶”的可能性>抽到“球拍”的可能性>抽到“手机”的可能性． 题型3.判断实验所得结果是否具有等可能性 1．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 2．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（    ） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．相等 D．无法确定 3．将一枚图钉抛起，落地后会出现“钉尖朝上”和“钉帽朝上”两种情况．有人认为这两种情况是等可能的，因此“钉尖朝上”的概率是．请判断该观点是否正确，并说明理由． 题型4.概率的意义理解 1．下列说法正确的是（     ） A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件 B．“汽车累计行驶10000 km，从未出现故障”是随机事件 C．“200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品”是不可能事件 D．明天的降水概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨 2．下列说法：①某种彩票的中奖率是，则购买该种彩票100张一定中奖；②同时掷两枚均匀的骰子，朝上的点数和可能为6；③某次投篮活动中，张明同学投篮5次，投中4次，那么他投篮命中的概率为．其中正确的序号为___________． 3．为了解学生参加体育活动的情况，学校对初一学生进行了抽样调查，调查结果如下表： 体育项目 篮球 足球 羽毛球 乒乓球 其他 人数 (1)请根据表格数据绘制扇形统计图； (2)若该校初一学生共有人，请估计喜欢足球的学生人数； (3)在这些被调查的学生中，随机抽取一名学生，抽到喜欢篮球的学生的概率是多少？ 题型5.判断几个事件概率大小关系 1．一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黑球、3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，则摸到球的概率最大的是（　　） A．白球 B．黑球 C．红球 D．黄球 2．从一副扑克牌中任意抽取1张，则下列事件：①这张牌是“2”，②这张牌是“红桃”，③这张牌是“黑桃3”，发生的可能性最小的是 _____．（填写序号） 3．有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不指向绿色． 思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：    (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． 题型6.求某事件的频率 1．小星做掷一枚质地均匀的骰子实验，通过大量重复试验，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．出现数字为2点朝上的频率 B．出现数字为3朝上的频率 C．出现数字为奇数的频率 D．出现数字为2或4的朝上频率 2．如图是一枚图钉被抛起后钉尖触地的频率和抛掷次数变化趋势图，则一枚图钉被抛起后钉尖触地的频率稳定值约是____． 3．某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如下表所示： 抽取作业数量 100 200 300 400 500 1000 优秀数量 94 194 288 380 475 优秀频率 0.97 0.96 0.95 0.95 0.95 (1)______，______； (2)估计该市学生作业优秀的概率大约是______；（精确到0.01） (3)若该市有80000名中学生，则估计全市优秀作业的数量为______． 题型7.频率与概率关系说法的正误 1．在一个不透明的袋子里装有若干个红球和黄球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再重新摸球．下列说法正确的是（    ） A．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越大 B．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越小 C．重复多次摸球后，摸到黄球的频数逐渐稳定 D．重复多次摸球后，摸到黄球的频率逐渐稳定 2．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸次，则频率一定为；②可以估计摸一次得白球的概率约为．则这两个判断正确的是__________（若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”）． 3．你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”的试验中，小丽做了20次试验，发现硬币落地后共有1次正面朝上，小丽说：“我可以确定硬币落地后正面朝上的概率是．” (2)小亮在连续5次抛掷一枚质地均匀的硬币时发现硬币落地后都是正面朝上，由此他说：“虽然抛掷一枚质地均匀硬币正面朝上的概率是0.5，但是由于前5次都是正面朝上，所以第6次抛掷这枚硬币正面朝上的概率应该小于0.5．” 题型8.由频率估计概率 1．围棋起源于中国，棋子分黑白两色，一个不透明的盒子中装有黑白两色棋子共枚，每枚棋子除颜色外都相同．将盒子中的棋子搅拌均匀，从中随机摸出一枚棋子，记下颜色后再放回盒子中．不断重复这一过程，发现黑色棋子出现的频率如图所示，则可估计摸到黑色棋子的概率为（     ） A． B． C． D． 2．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果，那么，这名球员投篮一次，投中的概率约是____．（精确到） 投篮次数(n) 50 100 150 200 250 300 500 投中次数(m) 28 60 78 104 123 152 251 3．某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次研究中，一共调查了_______名学生； (2)补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是_______； (3)在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是______； (4)若该校共有1500名学生，估计全校爱好运动的学生人数． 题型9.用频率估计概率的综合应用 1．某区为了解初中生近视情况，对全区初中生开展视力随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率估计，最合理的选项是（    ）． 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410 A．0.423 B．0.410 C．0.413 D．0.400 2．某林业部门统计某种树苗在本地区一定条件下的移植成活率，结果如表： 累计移植的棵数n 300 700 1000 5000 15000 累计成活的棵数m 280 622 912 4475 13500 累计成活的频率 （1）根据表中的数据，估计这种树苗移植成活的概率为______．（精确到） （2）如果该地区计划要成活万棵幼树，那么还需要移植这种幼树大约______万棵． 3．对某篮球运动员进行分球投篮测试，结果如下表： 投篮次数 命中次数 命中率 (1)计算并直接填写表中投篮次、次相应的命中率； (2)这个运动员投篮命中的概率约是______； (3)估计这个运动员分球投篮次能得多少分． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02认识概率 期末复习讲义 期末复习◆重点 辨析必然事件、不可能事件、随机事件，掌握确定事件与随机事件核心定义，熟练完成数学及生活情境类概念辨析题型。 掌握随机事件发生可能性大小的定性判断； 厘清频率与概率内在联系、本质差异，掌握利用大量重复试验的频率估计概率的核心解题方法。 规范概率计算题答题步骤，攻克摸球、掷骰子、转盘等经典解答题型 核心题型◆归纳 题型1.事件的分类 题型2.判断事件发生的可能性的大小 题型3.判断实验所得结果是否具有等可能性 题型4.概率的意义理解 题型5.判断几个事件概率大小关系 题型6.求某事件的频率 题型7.频率与概率关系说法的正误 题型8.由频率估计概率 题型9.用频率估计概率的综合应用 重点知识◆梳理 【知识点一、事件分类】 定义：依据事件发生结果是否预先确定，将事件划分为确定事件、随机事件两大类，细分三类基础事件 一级分类 二级分类 定义 概率取值 典型实例 确定事件 必然事件 一定条件下，事先能肯定一定发生的事件 P=1 三角形内角和180°、太阳东升西落 不可能事件 一定条件下，事先能肯定一定不发生的事件 P=0 掷骰子点数为7、水中捞月 随机事件 不确定事件 一定条件下，无法预先确定是否发生的事件 0＜P＜1 抽奖中奖、抛硬币正面朝上、随机摸红球 【知识点二、随机事件的可能性大小】 规律：相同试验条件下，随机事件对应样本数量越多，事件发生可能性越大；反之则可能性越小。 概念：事件可能性属于定性文字描述，仅可对比大小；概率为定量数值，精准刻画事件发生可能性大小。 典例：袋中装有5个红球、1个白球，随机抽取一球，摸到红球的发生可能性大于摸到白球。 【知识点三、概率】 定义：刻画随机事件发生可能性大小的数值，称为该随机事件发生的概率。 {P(A)= 公式适用前提：（1）试验所有等可能结果数量有限；（2）每一种试验结果发生的概率完全相等。 概率取值范围 概率通用取值范围：0≤P(A)≤1；必然事件：P=1；不可能事件：P=0；随机事件：0<P<1 【知识点四、 频率与概率】 频率定义:频率=. 频率属于试验实测值，单次试验波动较大，具备随机性。 ✅频率、概率对比辨析 对比维度 频率 概率 本质属性 试验实测值，具有随机性、可变性，单次试验波动明显 理论固有值，具有确定性、唯一性，数值恒定不变 获取方式 依托实际重复试验，统计计算得出 依托事件特征，通过理论推导、公式运算得出 数值特征 试验次数改变，频率随之发生改变 不受试验次数影响，为事件固有属性 内在关联 试验次数越多，频率越逼近概率，误差持续缩小 频率长期稳定后的恒定值，即为事件概率 ★核心结论:无法直接计算理论概率时，可依托大量重复试验，利用频率估计概率；试验样本容量越小，频率与概率偏差越大，估算误差越高。 【知识点五、概率的实际应用】 ✅判断游戏公平性 核心原理：对比游戏双方获胜概率，若双方概率相等，则游戏公平；若概率不相等，则游戏不公平。 标准解题步骤：分别计算双方获胜概率→概率数值对比→作出公平性判断；规则不公平时，可调整规则使双方概率一致。 ✅用概率估算总体数量 依托样本概率或稳定试验频率，估算总体中目标个体数量， 核心公式：目标个体总量=总体数量×对应事件概率 ✅生活实际场景应用 涵盖摸球试验、等分转盘、骰子抛掷、产品合格率检测、抽奖概率、生物种群数量估算六大教材原型考题。 ★易错提醒 审题关键：摸球试验分为有放回摸球、无放回摸球两类，两类试验总等可能结果数不同，概率计算结果存在差异。 题型解析◆精准备考 题型1.事件的分类 1．下列说法正确的是（     ） A．“从四大名著中任意抽取一本是《三国演义》”是不可能事件 B．“掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是7”是随机事件 C．“旭日东升”是必然事件 D．“学校合唱队共有13名队员，至少两名队员的生日在同一个月”是不可能事件 【答案】C 【分析】必然事件指一定会发生的事件，不可能事件指一定不会发生的事件，随机事件指可能发生也可能不发生的事件，根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义逐一判断选项即可得到结果． 【详解】A、从四大名著中任意抽取一本，可能抽到《三国演义》，该事件是随机事件，因此A错误； B、掷一枚质地均匀的骰子，点数最大为6，不可能掷出点数7，该事件是不可能事件，因此B错误； C、“旭日东升”是自然规律，一定会发生，该事件是必然事件，因此C正确； D、一年共12个月，13名队员中，至少有两名队员生日在同一个月，该事件是必然事件，因此D错误． 2．“拔苗助长”是一个______事件．（填“必然”、“随机”或“不可能”） 【答案】不可能 【分析】本题考查了事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断即可，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：“拔苗助长”是一个不可能事件， 故答案为：不可能． 3．在一个不透明的袋子里，装有9个除颜色不同，其余均相同的小球，其中3个红球，3个白球，3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出n个球，红球、白球、黑球至少各有一个． (1)当n为何值时，这个事件不可能发生？ (2)当n为何值时，这个事件必然发生？ 【答案】(1)或 (2)或或 【分析】本题考查了事件的分类，理解必然事件的定义是解题的关键． （1）这个事件不可能发生，摸球数小于个，即可求解； （2）这个事件必然发生，摸球数大于个，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 当或时，不可能摸到红球、白球、黑球至少各有一个， 故这个事件不可能发生； （2）解：由题意得 当或或时，一定能摸到红球、白球、黑球至少各有一个， 故这个事件必然发生． 题型2.判断事件发生的可能性的大小 1．学校“爱昆虫”社团买回一些盲袋，每个盲袋里装一个琥珀昆虫吊坠．如图，这些琥珀昆虫吊坠中，蝴蝶10个，蝎子1个，瓢虫5个．菲菲随机领取一个盲袋，里面是什么昆虫呢？下面说法正确的是（   ） A．三种昆虫的可能性一样大 B．不可能是蝎子 C．瓢虫的可能性最小 D．蝴蝶的可能性最大 【答案】D 【分析】本题考查了可能性的大小，明确可能性的大小与数量的多少有关，数量多的可能性大一点，数量少的可能性小一点，据此即可解答． 【详解】解：，蝴蝶琥珀昆虫吊坠最多，蝎子琥珀昆虫吊坠最少， 菲菲随机领取一个盲袋，领取蝴蝶的可能性最大，蝎子的可能性最小， 故选：D． 2．不透明的口袋里放入同样大小的个红球和一些黑球，每次从口袋里任意摸出一个球，然后放回．如果摸到黑球的可能性是，那么口袋里放了______个黑球．要使摸到黑球的可能性变成，可以从口袋里拿走______个红球，也可以往口袋里再放入______个黑球． 【答案】 【分析】本题考查了事件的可能性的大小，先求出袋子球的总个数为（个），则黑球的个数为（个），要使摸到黑球的可能性变成，则球的总个数为（个），从口袋里拿走个红球，也可以往口袋里再放入黑球（个），掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：袋子中球的总个数为：（个）， 则黑球的个数为（个）， 要使摸到黑球的可能性变成， 则球的总个数为（个）， ∴此时红球个数为，即从口袋里拿走个红球， 也可以往口袋里再放入黑球（个）， 故答案为：，，． 3．某商家举行抽奖活动，设置如图所示的9个翻奖牌，翻奖牌的正面是编号1~9（图①），背面是对应的奖品（图②），若只能选择一个翻奖牌进行抽奖，请解决下面的问题： (1)得到以下奖品的可能性最小的是（   ） A．平板      B．手机      C．球拍      D．水壶 (2)在图③中请你设计翻奖牌反面剩余的奖品，奖品包含“手机”“球拍”“水壶”，使得抽到“水壶”的可能性>抽到“球拍”的可能性>抽到“手机”的可能性． 【答案】(1)B (2)见解析 【分析】本题主要考查可能性的大小、概率公式等知识点，可能性的大小分两种，第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （1）根据概率公式算出每项发生的概率，然后比较即可解答； （2）根据概率公式求解求出每个事件发生的情况数，然后据此设计翻奖牌反面剩余的奖品即可． 【详解】（1）解：∵抽到“水壶”的可能性，抽到“球拍”的可能性，抽到“手机”的可能性，抽到“平板”的可能性． ∴得到奖品的可能性最小的是“手机”． 故选：B． （2）解：∵抽到“水壶”的可能性>抽到“球拍”的可能性>抽到“手机”的可能性， ∴“水壶”需要出现3次，“球拍”需要出现2次，“手机”需要出现1次． 故设计如下（不唯一）： 题型3.判断实验所得结果是否具有等可能性 1．在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下），他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：7；乙：12；丙：17；丁：3；戊：16根据以上信息，下列判断正确的是（    ） A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7 B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和8 C．乙同学手里拿的两张卡片上的数字是4和8 D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5 【答案】B 【分析】正确的推理判断即可求解． 【详解】解：因为丁同学手里拿的两张卡片上的数字之和是3，所以丁拿的卡片只能是1和2，则甲同学手里拿的就只能是3和4． 如果戊同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7， 则乙同学拿的就是6和6，因为不能重复，所以A是错误的； 如果丙同学拿的是9和8，则乙同学拿的是5和7，戊同学拿的就是10和6，符合数学的演绎推理，是正确的． 根据数学选择题的四选一原则，就选B． 故选：B． 【点睛】本题考查数学演绎推理，结合数学知识，进行正确的演绎推理是解决本题的关键， 2．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性（    ） A．正面朝上的可能性大 B．反面朝上的可能性大 C．相等 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查等可能事件的概率概念，根据质地均匀硬币的性质即可判断结果． 【详解】∵抛掷质地均匀的硬币，仅存在正面朝上和反面朝上两种结果，且两种结果出现的概率相同， ∴正面朝上和反面朝上的可能性相等； 故选：C． 3．将一枚图钉抛起，落地后会出现“钉尖朝上”和“钉帽朝上”两种情况．有人认为这两种情况是等可能的，因此“钉尖朝上”的概率是．请判断该观点是否正确，并说明理由． 【答案】不正确，理由见解析 【分析】本题主要考查概率的意义，判断实验所得结果是不是等可能的，熟练掌握以上知识点是做题的关键．根据概率的意义及判断“钉尖朝上”和“钉帽朝上”所得结果不是等可能的进行解答即可． 【详解】解：该观点不正确，理由如下： 因为图钉的构造不是对称的，其重心偏向一侧，所以落地时“钉尖朝上”和“钉帽朝上”两种结果发生的可能性不相等，因此“钉尖朝上”的概率不是，故该观点不正确． 题型4.概率的意义理解 1．下列说法正确的是（     ） A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件 B．“汽车累计行驶10000 km，从未出现故障”是随机事件 C．“200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品”是不可能事件 D．明天的降水概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨 【答案】B 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义，结合概率的概念逐一判断选项即可． 【详解】解：A，中奖率为的奖券10张，仍有可能不中奖，“中奖”是随机事件，不是必然事件，故A错误，不符合题意； B，汽车累计行驶，可能从未出现故障，也可能出现故障，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件，故B正确，符合题意； C，200件产品中只有5件次品，任意抽取6件，最多有5件次品，因此至少1件正品一定发生，是必然事件，不是不可能事件，故C错误，不符合题意； D，明天降水概率为，指明天降水的可能性为，不是的时间下雨，故D错误，不符合题意． 2．下列说法：①某种彩票的中奖率是，则购买该种彩票100张一定中奖；②同时掷两枚均匀的骰子，朝上的点数和可能为6；③某次投篮活动中，张明同学投篮5次，投中4次，那么他投篮命中的概率为．其中正确的序号为___________． 【答案】② 【分析】此题考查事件发生可能性大小，根据每项事件发生的可能性大小依次判断即可，正确理解各事件发生的可能性大小是解题的关键． 【详解】解：①某种彩票的中奖率是，则购买该种彩票100张不一定中奖，故错误； ②同时掷两枚均匀的骰子，朝上的点数和可能为6，故正确； ③某次投篮活动中，张明同学投篮5次，投中4次，那么他投篮命中的概率不一定为，故错误． 故答案为：②． 3．为了解学生参加体育活动的情况，学校对初一学生进行了抽样调查，调查结果如下表： 体育项目 篮球 足球 羽毛球 乒乓球 其他 人数 (1)请根据表格数据绘制扇形统计图； (2)若该校初一学生共有人，请估计喜欢足球的学生人数； (3)在这些被调查的学生中，随机抽取一名学生，抽到喜欢篮球的学生的概率是多少？ 【答案】(1)图见解析 (2)约为人 (3)抽到喜欢篮球的学生的概率是 【分析】本题考查了扇形统计图的绘制、用样本估计总体、随机事件的概率，熟练掌握知识点解答即可． （1）先根据表格数据计算各体育项目人数所占百分比，再绘制扇形统计图即可； （2）根据该校初一学生共有人，喜欢足球的学生人数所占百分比，相乘得出答案即可； （3）根据随机事件的概率表示，得出答案即可． 【详解】（1）解：（人）， ∴篮球人数所占百分比，足球人数所占百分比，羽毛球人数所占百分比，乒乓球人数所占百分比，其他人数所占百分比， 绘制扇形统计图如下， ； （2）解：∵该校初一学生共有人，由（1）得喜欢足球的学生人数所占百分比， ∴估计喜欢足球的学生人数（人）； （3）解：∵在这些被调查的学生中，随机抽取一名学生，由（1）得喜欢篮球的学生人数所占百分比， ∴抽到喜欢篮球的学生的概率是， 答：抽到喜欢篮球的学生的概率是． 题型5.判断几个事件概率大小关系 1．一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黑球、3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，则摸到球的概率最大的是（　　） A．白球 B．黑球 C．红球 D．黄球 【答案】C 【分析】根据概率公式可知，哪种球的数量最多，摸到那种球的概率就大． 【详解】解：袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球， ∵ ∴其中红球最多， ∴摸到红球的概率最大． 故选：C． 【点睛】本题考查了概率公式，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 2．从一副扑克牌中任意抽取1张，则下列事件：①这张牌是“2”，②这张牌是“红桃”，③这张牌是“黑桃3”，发生的可能性最小的是 _____．（填写序号） 【答案】③ 【分析】根据等可能事件的概率公式分别求出概率，然后判断即可． 【详解】解：P（这张牌是“2”） P（这张牌是“红桃”） P（这张牌是“黑桃3”） ∴这张牌是“黑桃3”，发生的可能性最小． 故答案为：③． 【点睛】本题考查等可能事件的概率，利用公式正确的求出概率是解题的关键． 3．有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不指向绿色． 思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：    (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． 【答案】(1)⑤；② (2) 【分析】（1）分别求出各个事件的概率，即可比较出对应事件可能性大小关系； （2）根据所求的概率，即可得出答案． 【详解】（1）∵共3红2黄1绿相等的六部分， ∴①指针指向红色的概率为； ②指针指向绿色的概率为； ③指针指向黄色的概率为； ④指针不指向黄色的概率为， ⑤指针不指向绿色的概率为， ∴可能性最大的是⑤，可能性最小的事件是②； （2）解：由（1）得：． 【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 题型6.求某事件的频率 1．小星做掷一枚质地均匀的骰子实验，通过大量重复试验，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．出现数字为2点朝上的频率 B．出现数字为3朝上的频率 C．出现数字为奇数的频率 D．出现数字为2或4的朝上频率 【答案】D 【分析】先得到试验结果的频率，分别计算各选项的频率，进而判断即可． 【详解】解：由统计图可知试验结果的频率逐渐稳定在左右， A．出现数字为2点朝上的概率为，即试验结果的频率逐渐稳定在左右，不符合题意； B．出现数字为3朝上的概率为，即试验结果的频率逐渐稳定在左右，不符合题意； C．出现数字为奇数的概率为，即试验结果的频率逐渐稳定在左右，不符合题意； D．出现数字为2或4的朝上概率为，即试验结果的频率逐渐稳定在左右，符合题意． 2．如图是一枚图钉被抛起后钉尖触地的频率和抛掷次数变化趋势图，则一枚图钉被抛起后钉尖触地的频率稳定值约是____． 【答案】 【详解】解：随着抛掷次数的增加，钉尖触地频率逐渐稳定在附近， 则一枚图钉被抛起后钉尖触地的频率稳定值约是． 3．某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如下表所示： 抽取作业数量 100 200 300 400 500 1000 优秀数量 94 194 288 380 475 优秀频率 0.97 0.96 0.95 0.95 0.95 (1)______，______； (2)估计该市学生作业优秀的概率大约是______；（精确到0.01） (3)若该市有80000名中学生，则估计全市优秀作业的数量为______． 【答案】(1)0.94，950 (2)0.95 (3)76000 【分析】本题主要考查了频率、概率的计算及用频率估计概率的应用，熟练掌握频率公式和用频率估计概率的思想是解题的关键． （1）根据频率公式频率优秀数量抽取作业数量求，根据优秀数量抽取作业数量优秀频率求． （2）观察随着抽取作业数量增加，优秀频率的稳定值，以此估计概率． （3）用全市中学生数量乘以估计的优秀概率，得到优秀作业数量． 【详解】（1）解：，， ∴，． 故答案为，； （2）解：随着增大，优秀频率稳定在附近， ∴估计该市学生作业优秀的概率大约是． 故答案为：； （3）解：全市有名中学生，优秀概率约， ∴全市优秀作业数量约为． 故答案为： ． 题型7.频率与概率关系说法的正误 1．在一个不透明的袋子里装有若干个红球和黄球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再重新摸球．下列说法正确的是（    ） A．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越大 B．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越小 C．重复多次摸球后，摸到黄球的频数逐渐稳定 D．重复多次摸球后，摸到黄球的频率逐渐稳定 【答案】D 【分析】本题考查频率与频数的概念以及频率的稳定性． 频数是事件发生的次数，频率是频数与总次数的比值. 随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定在概率附近． 【详解】解：A、摸到黄球的频数增大时，总摸球次数也会增加，频率是频数与总次数的比值，因此频率不一定增大，该说法错误，不符合题意； B、同理，频数增大时总次数也增加，频率不一定减小，该说法错误，不符合题意； C、频数是摸到黄球的次数，会随试验次数增加而增加，不会稳定，该说法错误，不符合题意； D、重复多次摸球后，摸到黄球的频率会逐渐稳定在概率附近，该说法正确，符合题意． 故选：D． 2．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸次，则频率一定为；②可以估计摸一次得白球的概率约为．则这两个判断正确的是__________（若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”）． 【答案】② 【分析】根据利用频率估计概率，由于摸到白球的频率稳定在0.6左右，由此可估计摸到白球的概率为0.6． 【详解】解：①若摸次，则频率在上下波动，故①错误； ②根据摸到白球的频率稳定在0.6左右，所以摸一次，摸到白球的概率为0.6，故②正确 故答案为：② 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 3．你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”的试验中，小丽做了20次试验，发现硬币落地后共有1次正面朝上，小丽说：“我可以确定硬币落地后正面朝上的概率是．” (2)小亮在连续5次抛掷一枚质地均匀的硬币时发现硬币落地后都是正面朝上，由此他说：“虽然抛掷一枚质地均匀硬币正面朝上的概率是0.5，但是由于前5次都是正面朝上，所以第6次抛掷这枚硬币正面朝上的概率应该小于0.5．” 【答案】(1)不同意，见解析 (2)不同意，见解析 【分析】本题考查的是频率和概率的意义，熟知概率的定义是解答此题的关键． （1）根据“频率”和“概率”的定义即可判断； （2）根据“频率”和“概率”的定义即可判断． 【详解】（1）解：不同意，小丽混淆了“频率”和“概率”．做了20次试验，发现硬币落地后共有11次正面朝上，只能确定在这20次试验中，正面朝上的频率是． （2） 解：不同意，对于一个随机事件，它发生的概率是由它自身决定的，是独立的，并不受其他事件的干扰，也就是说，第6次抛掷这枚硬币的概率不会受到前5次抛掷结果的影响． 题型8.由频率估计概率 1．围棋起源于中国，棋子分黑白两色，一个不透明的盒子中装有黑白两色棋子共枚，每枚棋子除颜色外都相同．将盒子中的棋子搅拌均匀，从中随机摸出一枚棋子，记下颜色后再放回盒子中．不断重复这一过程，发现黑色棋子出现的频率如图所示，则可估计摸到黑色棋子的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察折线统计图，随着试验次数的增加，频率波动幅度减小并趋于稳定，该稳定值即为概率的估计值． 【详解】解：观察折线统计图可知，随着摸棋子次数的增加，黑色棋子出现的频率逐渐稳定在 附近， 可估计摸到黑色棋子的概率为． 2．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果，那么，这名球员投篮一次，投中的概率约是____．（精确到） 投篮次数(n) 50 100 150 200 250 300 500 投中次数(m) 28 60 78 104 123 152 251 【答案】 【分析】当试验次数足够大时，频率会逐渐稳定在某一常数附近，该常数可作为事件发生概率的估计值，结合表格数据即可求解． 【详解】解：根据表格数据计算各次投中频率，得 ，，，，，，， 由计算结果可知，随着投篮次数逐渐增大，投中频率逐渐稳定到常数附近，因此这名球员投篮一次，投中的概率约为． 3．某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次研究中，一共调查了_______名学生； (2)补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是_______； (3)在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是______； (4)若该校共有1500名学生，估计全校爱好运动的学生人数． 【答案】(1)100 (2) 如图所示： (3) (4)名 【分析】（1）运用运动的人数除以占比，得出调查的学生的总人数； （2）先运用调查的学生的总人数减去其他兴趣爱好的人数，得出阅读的学生人数，再补全条形统计图，再列式计算得出阅读部分圆心角，即可作答． （3）根据调查的学生的总人数为名，爱好阅读的学生人数为名，用频率估计概率列式计算，即可作答． （4）根据样本估计总体，运用爱好运动的学生的占比乘上，计算即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（名） ∴在这次研究中，一共调查了名学生． （2）解：依题意，（名）， 补全条形统计图：略， ∴． （3）解：依题意，． （4）解：估计全校爱好运动的学生有（名）． 题型9.用频率估计概率的综合应用 1．某区为了解初中生近视情况，对全区初中生开展视力随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率估计，最合理的选项是（    ）． 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410 A．0.423 B．0.410 C．0.413 D．0.400 【答案】B 【分析】本题考查用频率估计概率，解题关键是掌握：当试验次数足够大时，频率会逐渐稳定在概率附近，可用稳定的频率估计概率. 【详解】解：∵在大量重复试验中，频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数可作为概率的估计值. 观察表格可知，随着累计抽测学生数增大，近视学生数与的比值逐渐稳定在. ∴对该区初中生近视概率的估计最合理的是. 2．某林业部门统计某种树苗在本地区一定条件下的移植成活率，结果如表： 累计移植的棵数n 300 700 1000 5000 15000 累计成活的棵数m 280 622 912 4475 13500 累计成活的频率 （1）根据表中的数据，估计这种树苗移植成活的概率为______．（精确到） （2）如果该地区计划要成活万棵幼树，那么还需要移植这种幼树大约______万棵． 【答案】 【分析】本题考查用频率估计概率，根据概率求值等． （1）利用频率估计概率即可； （2）利用（1）中求出的概率列式计算即可． 【详解】解：（1）根据表中的数据，这批树苗成活频率在附近波动， ∴ 这种树苗移植成活的概率为； （2）∵该地区计划要成活万棵幼树， ∴， ∴， 还需要移植这种幼树大约为万棵， 故答案为：． 3．对某篮球运动员进行分球投篮测试，结果如下表： 投篮次数 命中次数 命中率 (1)计算并直接填写表中投篮次、次相应的命中率； (2)这个运动员投篮命中的概率约是______； (3)估计这个运动员分球投篮次能得多少分． 【答案】(1)， ； (2)； (3)分． 【分析】本题主要考查了用频率估计概率．从表中可以看出：随着投篮次数的增加，命中的频率接近，所以这个运动员分球投篮命中的概率大约是． 根据表中的数据分别求出投篮次、次相应的命中率即可； 用频率估计概率．随着投篮次数的增加，命中的频率接近，所以这个运动员分球投篮命中的概率大约是； 由可知这个运动员分球投篮命中的概率大约是，估计投篮次命中次，共得分． 【详解】（1）解：投篮次的命中率为， 投篮次的命中率为； 故答案为：，； （2）解：这个运动员投篮命中的概率约是， 故答案为：； （3）解：估计这个运动员分球投篮次能得：分， 答：估计这个运动员分球投篮次能得分． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $