专题04特殊的平行四边形、三角形中位线、梯形期末复习讲义(28大核心题型精讲+重点知识全归纳)-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期.

专题04特殊的平行四边形、三角形中位线、梯形 期末复习讲义 期末复习◆重点 厘清四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含逻辑，掌握各类图形相互转化的判定条件。 熟记各图形边、角、对角线的专属特征，熟练运用菱形与正方形的特殊面积公式，灵活运用直角三角形斜边中线定理。 掌握两类判定思路；证明正方形需先证图形为矩形或菱形，再补充限定条件，判定过程不可缺少平行四边形前置条件。 结合勾股定理求解边长、对角线长，借助 45°、90° 特殊角完成角度推导。 区分普通四边形与平行四边形的对角线判定差异，规避定理条件残缺的典型错误。 重点攻克几何证明、折叠线段求解、动点探究、面积计算四大高频考题。 牢记中位线平行于第三边且长度等于第三边一半的性质，能利用该结论证明平行、计算线段长度。 熟记两腰相等、同一底上两角相等、对角线相等的性质；掌握判定方法，区分等腰梯形与矩形对角线的异同，用于角度、线段证明与计算。 核心题型◆归纳 题型1.矩形性质理解 题型2.利用矩形性质求角度 题型3.利用矩形性质求线段长 题型4.利用矩形性质求面积 题型5.矩形性质相关证明 题型6.矩形判定定理及添加条件判定 题型7.证明四边形是矩形 题型8.矩形性质与判定综合计算 题型9.利用菱形性质求角度 题型10.利用菱形性质求线段长 题型11.利用菱形性质求面积 题型12.菱形性质相关证明 题型13.菱形判定定理及添加条件判定 题型14.菱形性质与判定综合计算 题型15.正方形性质理解及基础计算 题型16.正方形性质相关证明 题型17.正方形判定定理及添加条件判定 题型18.正方形性质与判定综合计算及证明 题型19.等腰梯形的判定定理 题型20.三角形中位线求解与实际应用 题型21.与三角形中位线有关的证明 题型22.中点四边形 题型23.矩形折叠与坐标系问题 题型24.正方形折叠与重叠面积问题 题型25.利用对称性求特殊平行四边形阴影面积 题型26.特殊平行四边形动点问题 题型27.四边形中的线段最值问题 题型28.四边形其他综合问题 重点知识◆梳理 【知识点一、矩形】 1.矩形的定义 ：有一个内角为直角的平行四边形，称为矩形。 如下图：在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠ A=90°，则四边形ABCD为矩形。 2.矩形的性质：矩形属于特殊的平行四边形，具备平行四边形的全部性质，同时具有专属特殊性质： （1）边：对边平行且相等； （2）角：四个内角均为 90°； （3）对角线：对角线互相平分且长度相等，即 AC=BD，OA=OC，OB=OD； （4）对称性：矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，共有两条对称轴。 重要推论：直角三角形斜边上的中线，长度等于斜边长的二分之一。如下图：   几何应用：在直角三角形中，若已知斜边中点，可利用该结论进行线段长度计算与等量证明。 3.矩形周长与面积公式 设矩形相邻两边长分别为长a、宽b 周长公式：C=2(a+b) 面积公式：S=ab 4.矩形的判定方法 定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 角判定法：有三个内角为直角的四边形是矩形； 对角线判定法：对角线相等的平行四边形是矩形。 拓展结论：对角线相等且互相平分的四边形为矩形。 【知识点二、菱形】 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形，叫做菱形。 如上图：四边形ABCD为平行四边形，且AB=AD，则四边形ABCD为菱形。 2.菱形的性质：菱形为特殊的平行四边形，继承平行四边形所有性质， 同时，菱形具备其独有特殊性质： （1）边：四条边的长度全部相等，对边互相平行； （2）角：对角相等，邻角互补； （3）对角线：对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，即 AC⊥ BD，OA=OC，OB=OD； (4)对称性：菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，共有两条对称轴； 3.菱形周长与面积公式 设菱形的边长为a，两条对角线长分别为m、n 周长公式：C=4a 面积公式： 通用公式（底乘高）：S=ah.h为菱形一边上的高 专用公式（对角线求面积）：S=mn 4.菱形的判定方法 定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 边判定法：四条边都相等的四边形是菱形； 对角线判定法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 拓展结论：对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形。 【知识点三、正方形】 1.正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形。 四边形ABCD中，AB=BC， ∠A=90°，且四边形ABCD为平行四边形，则该四边形为正方形。 本质：正方形是最特殊的平行四边形，既是特殊的矩形，也是特殊的菱形。 2.正方形的性质：正方形兼具矩形、菱形、平行四边形的全部性质，是性质最全的四边形： （1）边：四条边相等，对边平行，邻边互相垂直； （2） 角：四个内角均为 90^\circ； （3）对角线：对角线相等、互相垂直、互相平分，且每条对角线平分一组对角，即 AC=BD，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD； （4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，共有四条对称轴。 3.正方形周长与面积公式 设正方形的边长为a，对角线长为l 周长公式：C=4a;面积公式： 边长计算：S=; 对角线计算： 4.正方形的判定方法 定义法：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形； 矩形基础判定：一组邻边相等的矩形是正方形； 菱形基础判定：有一个角为直角的菱形是正方形； 对角线判定：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形。 5.特殊平行四边形从属关系 ✅平行四边形包含矩形、菱形；矩形和菱形的交集为正方形；正方形同时属于矩形、菱形、平行四边形。 【知识点四、三角形中位线】 1.三角形中位线的定义 连接三角形任意两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 在△ABC 中，点D为AB中点，点E为AC中点，线段DE ABC的中位线。 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 3.用符号语言表示：∵AE=EB,AD=DC。∴DE∥BC,DE=BC 3.概念区分 三角形中位线：连接三角形两边中点，不含顶点； 三角形中线：连接三角形顶点与对边中点，二者概念不可混淆。 4.中位线常用重要结论 (1)任意三角形共有三条中位线； (2)三角形三条中位线首尾顺次连接，可构成一个新的小三角形； (3)中位线围成的三角形，周长为原三角形周长的，面积为原三角形面积的； (4)中位线定理常用于证明线段平行关系、求解线段长度、推导几何数量关系。 【知识点五、梯形的定义、性质及分类】 1.梯形定义：在同一平面内，一组对边互相平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 其中，互相平行的一组对边称为梯形的底（分为上底、下底），不平行的一组对边称为梯形的腰。 2. 梯形的分类： 3.直角梯形定义：有一个角是直角的梯形，叫做直角梯形。 ✅直角梯形的性质： （1）有两个相邻内角为直角。如上图：∠A=∠B=90° （2）一组对边平行（上下底），另一组对边不平行。如上图：AD∥BC （3）垂直于底边的腰，就是梯形的高。 4..等腰梯形的定义：两腰长度相等的梯形，叫做等腰梯形。 梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，则四边形ABCD为等腰梯形。 ✅等腰梯形的性质 边的性质：上下两底互相平行，两条腰长度相等，即AD∥BC，AB=CD； 角的性质：同一底边上的两个内角对应相等，即∠A=∠D，∠B=∠C； 对角线性质：等腰梯形的两条对角线长度相等，即AC=BD； 对称性质：等腰梯形是轴对称图形，对称轴为上下两底中点连线所在的直线。 5.等腰梯形的判定方法 定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形； 角判定：同一底上两个内角相等的梯形是等腰梯形； 对角线判定：对角线相等的梯形是等腰梯形。 【知识点六、本章核心考点总结】 矩形：直角推论、矩形判定、边角与对角线计算、周长和面积运算； 菱形：四边相等、对角线垂直、两种面积公式为高频考点； 正方形：综合性质辨析、多重判定方法、周长与面积的灵活计算； 中位线：平行证明、线段倍分、周长面积比例计算； 等腰梯形：性质证明、辅助线转化、梯形综合计算。 题型解析◆精准备考 题型1.矩形性质理解 1．正方形具有矩形不一定有的性质是（    ） A．对角互补 B．对角线相等 C．四个角相等 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】根据正方形的性质，矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A． 对角互补，正方形具有而矩形也具有，故不符合题意； B．对角线相等，正方形具有而矩形也具有，故不符合题意； C． 四个角相等，正方形具有而矩形也具有，故不符合题意； D． 对角线互相垂直，是正方形具有而矩形不具有，故符合题意． 2．如图，把一块含有角的直角三角板放在长方形纸片上，三角板的斜边与重合，三角板的顶点落在边上，，则的值为___________．    【答案】2 【分析】本题考查了矩形的性质和含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键； 根据矩形的性质得，根据含30度角的直角三角形的性质得，即可得出结论． 【详解】把一块含有30°角的直角三角板放在长方形纸片上， ， ，， ， ，即 故答案为：2． 3．如图，菱形的对角线相交于点O，过B点作，且，连结． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定、矩形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由菱形的性质可得，再证明四边形是平行四边形，最后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明结论； （2）根据菱形的性质、勾股定理可得，由矩形的性质可得，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ． ， ， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴根据勾股定理得：， ， 由（1）知四边形是矩形， ， 在中，， ． 题型2.利用矩形性质求角度 1．如图，矩形的对角线与交于点，点在的延长线上：，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据矩形的性质得，再结合已知得，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵矩形的对角线与交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．如图，矩形中，的垂直平分线与交于点E，连接．若，则______． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据矩形的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点．求的度数． 【答案】 【分析】解题关键是利用矩形对角线互相平分且相等的性质，得出为等腰三角形，求出的度数，再结合构造的直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 题型3.利用矩形性质求线段长 1．如图，在矩形中，，，对角线、相交于点，过点作垂直交于点，则的长是（   ）  A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，解题的关键是确定出垂直平分，作出辅助线，利用勾股定理来求解． 根据题意可得垂直平分，连接，设，则，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在矩形中，，，， 又∵垂直， ∴垂直平分， 连接，如下图： 设， 则， 由勾股定理可得，， 即， 解得， 即． 2．如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可得，，结合已知条件求出，判定为等边三角形，从而得出，再根据矩形对角线互相平分求解． 【详解】解：四边形为矩形 ，，， 为等边三角形 ． ． 3．已知：如图，在矩形中，点E为上一点，平分，点F为的中点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质，根据勾股定理构造出方程． （1）根据矩形的性质可得，再根据角平分线可得，从而得到，即可求证； （2）根据F为的中点，可得，设，根据线段之间的关系，得到，，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵矩形中，， ∴， ∵平分， ∴，则， ∴； （2）解：∵F为的中点，， ∴， 设，则，， ∵矩形， ∴，，， ∵， ∴，则， ∴， 在中，∵， ∴，解得，则， 在中，． 题型4.利用矩形性质求面积 1．如图，矩形的对角线、相交于点O，，．若矩形的面积为12，则四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】首先根据，判定四边形是平行四边形，再根据矩形的性质得出，最后利用平行四边形的性质得出即可求解． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 与互相平分， ， 四边形是平行四边形， ． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的两边分别平行于坐标轴，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是________． 【答案】28 【分析】根据矩形的性质，得到轴，轴，进而得到点坐标，求出的长，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵矩形的两边分别平行于坐标轴， ∴轴，轴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， ∴矩形的面积是． 3．如图，在菱形中，对角线，相交于点，是中点，连接．过点作交的延长线于点，连接．求证： (1)； (2)四边形是矩形； (3)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（）由，则，又是的中点，所以，然后通过“”证明即可； （）由≌，得，则可证四边形是平行四边形，然后通过菱形的性质可得，则有四边形是矩形； （）由四边形是菱形，则，，根据勾股定理得，然后通过面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵是的中点， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵≌， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （3）解：∵四边形是菱形， ∴，， 在中，，， 根据勾股定理， ∵四边形是矩形， ∴四边形的面积为． 题型5.矩形性质相关证明 1．如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定，矩形的性质；根据矩形的性质结合已知条件，证明四边形是菱形，即可判断A，C和D，没有条件得出B选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵矩形的对角线，相交于点， ∴， ∴ ∴四边形是菱形， ∴，故A正确， ∴，，故C，D正确， 没有条件得出B选项． 故选：B． 2．如图，在矩形中，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在上，连接，，交于点H，连接，若平分，则下列结论正确的是______． ①；②；③；④． 【答案】①③/③① 【分析】过点作于点，由旋转的性质得：，证明和，根据全等三角形的性质逐一判定即可． 【详解】解：过点作于点， ， 在矩形中，， ， 由旋转的性质得：， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，③正确； ，①正确； 设，则， ， ，②错误； ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ，则④错误； 综上，结论正确的有①③． 3．如图，已知矩形，点是边的中点，过点作直线交于点（不与点，重合），交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，，若时，求证：． 【答案】(1)证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 在和中，∵，， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，再由，可得，再由等腰三角形的性质，即可求证． 【详解】（1）略 （2） 略 题型6.矩形判定定理及添加条件判定 1．下面四个命题； ①相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形 ②对角线相等的四边形是矩形 ③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 ④对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 其中正确的是（     ） A．①④ B．②④ C．②③ D．①③ 【答案】A 【分析】①利用同旁内角互补，两直线平行，即可证得此四边形的两组对边分别平行，得平行四边形；②、③举反例等腰梯形，即可判断；④根据平行四边形与菱形的判定即可证得． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 即相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形， 故①是符合题意的； 对角线相等的四边形不一定是矩形，也可能是等腰梯形， 故②是不符合题意的； 一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形； 故③是不符合题意的； 对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 故④是符合题意的； 2．如图，线段的端点在直线上，过线段上的一点作的平行线，分别交和的平分线于点，，连接，．添加一个适当的条件，使四边形为矩形，则这个条件是_________________（写出一个即可）． 【答案】是的中点（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 先证，则，同理，再由，证出四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论． 【详解】解：， ． 平分， ， ， ． 同理可证， ． 是的中点， ， 四边形是平行四边形． ，， ， 是矩形． 故答案为：是的中点 ． 3．如图，在直角梯形中，，，，，，点P沿线段从点A向点B运动，其速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t．    (1)求的长； (2)点P在运动过程中，t为何值时，四边形是矩形？ (3)点P在运动过程中，t为何值时，四边形是平行四边形？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过C作于点E，利用含角直角三角形的性质得到，然后利用勾股定理求出，即可求得的长； （2）根据题意得到当点P和点E重合时，四边形是矩形，然后求出，然后根据点P运动的速度求解即可； （3）根据题意得到，然后根据点P运动的速度求解即可． 【详解】（1）如图，过C作于点E，    ∵， ∴ ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）由（1）可得，四边形为矩形， ∴当点P和点E重合时，四边形是矩形 ∵， ∴ ∵点P沿线段从点A向点B运动，其速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t ∴（秒） ∴时，四边形是矩形； （3）∵四边形为矩形， ∴ ∵，即 ∴当时，四边形是平行四边形 ∴此时 ∴（秒） ∴时，四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查了含角直角三角形的性质，勾股定理，矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 题型7.证明四边形是矩形 1．为了判断课桌的桌面是否为矩形，数学小组的同学对四张课桌采用了不同的测量方式，其中不一定能判断桌面是矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．矩形的判定方法有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；由矩形的判定方法即可求解． 【详解】解：A、，同旁内角互补可知一组对边平行，且都等于，可判定是平行四边形，并且有一个角是直角，因此能判定是矩形，故A选项不符合题意； B、含角的两个三角形不一定全等，有可能相似，不能判定上下两条边一定平行，桌面有可能是等腰梯形，也有可能是矩形，因此不能判定一定是矩形，故B选项符合题意； C、由两组对边相等可判定是平行四边形，又根据可知左下和右上两个角是直角，因此能判定是矩形，故C选项不符合题意； D、对角线互相平分且相等，能判定是矩形，故D选项不符合题意． 2．平行四边形中，若，则四边形的形状一定是______． 【答案】矩形 【分析】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，根据平行四边形的性质得到，进而推出，进而证得四边形是矩形，熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∴四边形是矩形 故答案为：矩形． 3．如图，菱形的对角线、交于点O，，． (1)证明：四边形是矩形； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据两组对边分别平行的条件，判定四边形是平行四边形；再利用菱形对角线互相垂直的性质，得到是直角，由此可证明该平行四边形是矩形； （2）根据菱形对角线互相平分的性质，求出和的长度；再利用矩形的性质，得到与相等，结合勾股定理计算的长度即可得到的长度． 【详解】（1）解：，， 四边形是平行四边形 ， 四边形是菱形， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形， 、， 由（1）知，， 在中，由勾股定理得：， 四边形是矩形， ． 题型8.矩形性质与判定综合计算 1．的三边长分别为7，24，25，顺次连接三边的中点D、E、F．得的面积是（    ） A．7 B．21 C．28 D．56 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、中位线定理、矩形的判定与性质等知识点，解题的关键是根据勾股定理的逆定理得出． 先由勾股定理的逆定理判定，再根据中位线定理判定四边形是矩形且求出的长，最后根据直角三角形的面积公式即可求得答案． 【详解】如图所示．不妨设中，，点分别是的中点．    ∵， ∴是直角三角形． ∴． ∵点分别是的中点． ∴， ∴四边形是平行四边形，又， ∴四边形是矩形．则， ∵DE、DF分别是△ABC的中位线， ∴， 于是在中，． 故选：B． 2．如图，在等腰梯形中，，，梯形的高，则的度数是______． 【答案】 【分析】过点作于点，证明四边形为矩形，结合全等三角形性质和判定，进而推出，以及的度数，再结合平行线性质求解，即可解题． 【详解】解：过点作于点， ， ， 四边形为矩形， 梯形的高， ， ， ， 四边形为矩形， ， 连接，有， ， ， ， ， ， ． 3．如图，的对角线相交于点，是等边三角形，且．求的面积． 【答案】 【分析】先根据平行四边形的性质得到，，再根据等边三角形的性质得到，然后判断是矩形，再根据勾股定理求出长，利用举行的面积计算解答即可． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的面积为． 题型9.利用菱形性质求角度 1．如图，在菱形中，点是上一点，连接交于点，连接，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，再根据菱形的性质证明，根据全等三角形对应角相等即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． 2．在菱形中，对角线，相交于点O，点E在菱形的边上，若，则的度数为_____________． 【答案】或 【分析】根据菱形对角线互相垂直的性质，可得，结合点在菱形边上的不同位置，分两种情况分类计算即可． 【详解】解： 四边形是菱形，对角线、相交于点， 菱形对角线互相垂直，即， ， 分两种情况讨论： ① 当点在边上时，在内部， ； ② 当点在边上时，在外部， ． 综上，的度数为或． 3．如图，菱形的对角线、相交于点，点是中点，延长线段至点，使，连接，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵菱形， ∴，， ∵点是中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得，，再根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，得，，再根据，，即可证明四边形是平行四边形，再由，即可判定四边形是矩形； （2）根据菱形的性质得，，则，再根据四边形为矩形，得，再根据角的和差求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵菱形，， ∴，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴． 题型10.利用菱形性质求线段长 1．如图，在菱形中，对角线、相交于点，若，，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意易得，则有是等边三角形，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴． 2．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，．过点O作于点E，则的长为_________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得对角线互相垂直平分及四边相等，从而求出和的长，在中利用勾股定理求出的长，最后利用等面积法求出的长即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴，解得：． 3．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ，，， ， 在中，， ， ， ， ． 题型11.利用菱形性质求面积 1．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为菱形，若对角线，，则该菱形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，直接代入已知对角线长度计算即可． 【详解】解：如图， ∵重叠的部分为菱形， ∴菱形的面积， ∵，， ∴． 2．如图，在矩形中，，，延长至点E，延长至点F，连接，．若四边形为菱形，则这个菱形的面积为__________． 【答案】 【分析】设，在中，运用勾股定理，建立关于x的方程，解方程求得x的值，从而得到的长，最后运用菱形面积底高，求出菱形的面积． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵矩形， ∴， ∴． 在中， ∵，，，， ∴，即， 化简得：， 解得：， ∴． ∵，，四边形为菱形， ∴， ∴菱形的面积为：． 3．如图，在中，，是的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：∵，点是中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据三线合一得到，结合菱形的判定即可求解； （2）根据菱形的性质，结合勾股定理求得的长，再由菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， 在中， ∴ ∴． 题型12.菱形性质相关证明 1．有下列说法，其中正确说法的序号是（    ） ①矩形具有平行四边形的所有性质； ②平行四边形是轴对称图形； ③菱形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的等腰三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． A．①④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据平行四边形与特殊平行四边形的性质逐个判断各说法即可． 【详解】解：∵矩形是特殊的平行四边形， ∴矩形具有平行四边形的所有性质，故①正确； ∵普通平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形， ∴②错误； ∵菱形是四边相等的平行四边形，任意一条对角线分割该平行四边形（菱形）后，得到的两个三角形三边对应相等（菱形边长相等，对角线为公共边），因此两个三角形全等，且每个三角形有两条边是菱形的边长，因此是等腰三角形， ∴③正确； ∵平行四边形的对角线互相平分，四个小三角形等底同高，面积都等于平行四边形面积的，因此四个小三角形面积相等， ∴④正确； 综上，正确说法的序号是①③④． 故选：C． 2．如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，连接，若，则菱形的周长为__________． 【答案】24 【分析】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出．本题属于基础题，难度不大． 由菱形的性质可得出，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出的长，结合菱形的周长公式即可得出结论． 【详解】解：四边形为菱形， ，， 为直角三角形． ，且点为线段的中点， ． ． 故答案为：24． 3．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，连接交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，，即， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形； (2) 【分析】（1）根据菱形的性质可得，，结合题意可推出，得到四边形为平行四边形，根据，即可得证； （2）根据菱形的性质可得，，，根据题意推出是等边三角形，得到，，进而求出，根据矩形的性质得到，，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ． 题型13.菱形判定定理及添加条件判定 1．如果一个平行四边形要成为一个正方形，需要增加的条件是（   ）． A．对角线互相垂直 B．对角互补 C．对角线互相垂直且相等 D．对角线相等 【答案】C 【分析】结合平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理逐一判断，正方形是同时满足矩形和菱形性质的平行四边形． 【详解】解：选项：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不一定是正方形，故选项不符合题意； 选项：∵平行四边形对角相等，若对角互补，则每个内角为，此时平行四边形是矩形，不一定是正方形，故选项不符合题意； 选项：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是矩形又是菱形的平行四边形是正方形， ∴对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项符合题意； 选项：对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故选项不符合题意． 2．如图，在中，点、、分别在边、、上，且，．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是正方形．其中，正确的有__________．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据平行四边形平行四边形、菱形、矩形的判定，即可求解， 本题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定，掌握平行四边形、菱形、矩形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：①∵， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ②若， ∴平行四边形是矩形；故②正确； ③若平分， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴； ∴平行四边形是菱形；故③正确； ④若； ∴平分； ∴结合③可得平行四边形是菱形；故④错误； 所以正确的结论是①②③， 故答案为：①②③． 3．如图，四边形是矩形，O是对角线的中点，连接，分别过点A，D作，，F是对角线延长线上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，即可根据菱形的判定证明结论； （2）过点F作交的延长线于点G，先证明，得到，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 四边形是菱形； （2）解：过点F作交的延长线于点G， ， 四边形是矩形， ，，， ， 在与中， ， ， ，， ， 在中，． 题型14.菱形性质与判定综合计算 1．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键，根据题意得出四边形为菱形，由菱形的性质可得，得到的度数，再由,即可得到的度数，从而得到答案． 【详解】解：由题可得：在四边形中，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定以及菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键． 先根据矩形的性质得到对角线相等且互相平分，再由两组对边分别平行判定四边形是平行四边形，最后结合矩形性质得出，从而判定该平行四边形为菱形，进而得到，求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形， ∴． 故答案为：． 3．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，已知，． (1)求菱形的边长； (2)若于点，直接写出的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据菱形的对角线相互垂直平分这一性质，判断，再由勾股定理求解即可； （2）利用，即可求解答案． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，相互垂直平分，即， ∵，， ∴， 即菱形的边长为； （2）解：由（1）可知，，， ∴， ， ∴， ∴． 题型15.正方形性质理解及基础计算 1．下列图形：①等腰三角形；②平行四边形；③菱形；④矩形；⑤正方形，其中对称轴只有两条的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形对称轴的概念，逐个确定各图形的对称轴数量，统计对称轴只有两条的图形个数即可. 【详解】解： ①等腰三角形的对称轴可能为条或条，不符合要求； ②平行四边形不是轴对称图形，对称轴数量为，不符合要求； ③菱形有条对称轴，符合要求； ④矩形有条对称轴，符合要求； ⑤正方形有条对称轴，不符合要求； ∴对称轴只有两条的图形共个. 2．如图，在正方形中，点，．分别在边，上，连接，，，且是等边三角形，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，，利用证明，得到，结合角的和差关系计算即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 3．如图，在正方形中，对角线、交于点O，所在的直线上有两点E、F（点E、F在正方形的外部），满足，连接、、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，直接写出的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由正方形的性质可得，，，再结合题意得出，则四边形是平行四边形，再结合，即可得证； （2）根据正方形的性质并结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型16.正方形性质相关证明 1．如图，在正方形中，O是对角线与的交点，M是边上的动点（点M不与B，C重合），连接，作交于N，连接，．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】先根据正方形的性质和已知条件可证可得可判断①；由可得，进而证明可得，再结合可得，即可判断②；根据线段的和差可得，然后分别在和中运用勾股定理可判断③．当点接近点时，点接近点，接近，此时，即④错误． 【详解】解：∵正方形， ∴, ∴, ∵交于， ∴， ∴, ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴, ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即②正确； ∵， ∴，即， ∵中，， ∴， ∵中，， ∴， ∴，即③正确； 当点接近点时，点接近点，接近，此时，故④错误． 综上，正确的有①②③． 2．如图，已知四边形和四边形均为正方形，且G是的中点，连接，若，则的长为 _________． 【答案】 【分析】过点作交于点，交于点，则，再证明，得出，再利用勾股定理求线段长即可解答． 【详解】解：过点作交于点，交于点， 则， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在中，，四边形、都是正方形．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先根据正方形的性质得到，，且，再由同角的余角相等推出，利用证明，最后根据全等三角形对应边相等即可得出． 【详解】证明：∵四边形、都是正方形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 题型17.正方形判定定理及添加条件判定 1．下列命题中，正确的是（     ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．四角相等的四边形是矩形 D．四边相等的四边形是正方形 【答案】C 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理，逐项判断各命题即可求解． 【详解】解：A．对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，该命题错误，不符合题意； B．对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，该命题错误，不符合题意； C ．∵四边形内角和为，四边形四个内角相等，∴每个内角为，四个角都是直角的四边形是矩形，该命题正确，符合题意； D．四边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，该命题错误，不符合题意． 2．如图，已知平行四边形的对角线，相交于点，．如果_____，那么四边形为正方形（请你填上能使结论成立的一个条件）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意可得四边形是矩形，所以添加，进而可得四边形为正方形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 所以添加条件：，则四边形是正方形． 3．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点．线段的端点均在格点上．按要求完成下列作图． (1)在图①中找到格点C、D，画一个以点A、B、C、D为顶点且以为边面积为6的平行四边形； (2)在图②中找到格点E、F，画一个以点A、B、E、F为顶点且以为对角线的正方形． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）作，使，其中； （2）作的垂直平分线，且使，则四边形是正方形． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； （2）解：如图所示，四边形即为所求； 题型18.正方形性质与判定综合计算及证明 1．如图，已知四边形ABCD为正方形，，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②；③CG平分；④．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，过作于点, 过作于点，根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，推出矩形为正方形；故正确；根据正方形的性质得到，，推出，得到，求得，故错误；当时，点与点重合，所以不一定等于，故错误；掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点, 过作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形，故正确； ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴平分，故正确； ∴，故错误； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故错误； 综上可得：正确； 故选：A． 2．如图所示，在中，平分交于点，按下列步骤作图．步骤1：分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；步骤2：作直线，分别交于点；步骤3：连接．若，则线段的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图-线段垂直平分线，正方形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 推出直线垂直平分，证明四边形为正方形，根据三角形的面积解题即可． 【详解】解：由题意知，直线垂直平分， ∴，， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， 又∵， ∴四边形为正方形； ∵， 又∵， ∴， 解得． 故答案为： ． 3．如图1，在矩形纸片中，，，折叠纸片使B点落在边上的点E处，折痕为．过点E作交于F，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)当点E在边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动． ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形的边长； ②若限定P、Q分别在边、上移动，试求出菱形的面积最大值． 【答案】(1)见解析 (2)；36 【分析】（1）由折叠的性质得出，，，由平行线的性质得出，证出，得出，因此，即可得出结论； （2）①根据矩形的性质和勾股定理求得的长，在中求得，即可求得菱形的边长；②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形为正方形，，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边上的E处，折痕为， ∴点B与点E关于对称， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）①∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点B与点E关于对称， ∴， 在中， ， ∴， 在中，，， ∴，解得： ， ∴菱形的边长为； ②当点Q与点C重合时，点E离点A最近， 由①知，此时，， 那么， 当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形为正方形，如图， 则， 那么， ∴菱形的面积范围为，即最大值为36． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识，找到临界点是解题的关键． 题型19.等腰梯形的判定定理 1．下列命题中，真命题是（       ） A．一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形 B．一组对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，且对角线相等的四边形是等腰梯形 D．一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形是矩形 【答案】A 【分析】通过已知条件推导出对应图形以及根据平行四边形、等腰梯形、正方形、矩形和菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、 一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形，原命题是真命题； B、一组对边平行，且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，原命题是假命题； C、一组对边平行，且对角线相等的四边形可能是矩形，原命题是假命题； D、一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形可能是直角梯形，原命题是假命题； 故选：A． 2．已知在梯形中，，，，那么等于 ______度． 【答案】108 【分析】本题考查的是等腰梯形的判定和性质、平行线的性质、三角形内角和定理，用表示出和是解题的关键． 先证明梯形为等腰梯形，得到，进而证明，分别用表示出和，计算即可． 【详解】解：如图， 设， ， ， ， 在梯形中，， 则梯形为等腰梯形， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：108． 3．如图，在四边形中，，于点B，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，同时点Q从点C出发，以的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为．    (1)填空：当________s时，四边形为矩形； (2)若，求t的值； (3)填空：当________时，在点P、Q运动过程中，四边形能构成菱形． 【答案】(1)； (2)的值为或； (3)． 【分析】（1）由可得当时，四边形是矩形，即可得方程： 解此方程即可求得答案； （2）根据①四边形为平行四边形，可得方程②四边形为等腰梯形，可求得当，即时， 四边形为等腰梯形，解此方程即可求得答案； （3）由菱形的性质得出得出解得：得出 作于，则得出 在中，由勾股定理求出，即可得出答案． 此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、等腰梯形的性质．熟练掌握平行四边形和矩形的判定，根据题意得出方程是解决问题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵， ∴， ， ∵， ∴当时， 四边形是矩形， ∴， 解得：， 即当时， 四边形是矩形； 故答案为：； （2）解：若， 分两种情况： ①时， 则四边形是平行四边形， ， 即， 解得：， ②与不平行时， 四边形为等腰梯形， 则即 解得：， ∴的值为或； （3）解：若四边形为菱形， 则 解得： 作于，如图所示：    则 在中， ， ∴当时，在点运动过程中，四边形能构成菱形， 故答案为：． 题型20.三角形中位线求解与实际应用 1．如图，的对角线，相交于点，点是的中点．若，，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形性质即可知为中点，所以为的中位线，即可求解． 【详解】的周长的一半, ， ， ， ， ， ， ，可知为中点，且点是的中点， 为的中位线， ， 的周长为． 2．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，是的中点，连接，若，则的长为_____． 【答案】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分可得是的中点，结合是的中点，可判定为的中位线，利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵是的中点， ∴是的中位线． ∴． ∵， ∴． 3．阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见解析；③全等三角形对应边相等 【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可； （2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可． 【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等； “智慧”小组：∵D，E分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第三边的一半； （2）①如图， ②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使， ，最后量出的距离就是的距离； ③在和中， ， ∴， ∴， ∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质． 题型21.与三角形中位线有关的证明 1．如图，点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【分析】先根据三角形的中位线性质证明四边形为平行四边形，然后逐项分析判断即可解答． 【详解】解：∵点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ①若，则，即， ∴四边形为矩形，故①正确； ②若，则， ∴四边形为菱形，故②正确； ③∵四边形是平行四边形， ∴四边形是否是平行四边形与都互相平分，故③正确． ∴正确的个数是3个． 2．如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，与应满足的条件是_____ 【答案】 【分析】连接，，先根据三角形中位线定理、平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，再根据菱形的判定即可得． 【详解】解：如图，连接，， E，F，G，H分别为，，，的中点， ，，，， 四边形为平行四边形， 要使四边形为菱形，则， ， 与应满足的条件是． 3．如图，在四边形中，，，，，分别是，，，的中点．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析． 【分析】由三角形中位线定理可得，即可证四边形是菱形． 【详解】解：∵，是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 题型22.中点四边形 1．顺次连接对角线互相垂直的四边形的四条边的中点，得到的四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】先根据题意作图，再结合中位线的性质，得证四边形是平行四边形，结合对角线互相垂直，证明有一个直角的平行四边形是矩形，即可作答． 【详解】解：如图：，分别是边上的中点，连接，设交于点，交于点， ∵分别是边上的中点， ∴，分别是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， 同理， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴四边形是矩形，即得到的四边形一定是矩形． 2．如图，在四边形中，、、、分别是、、、的中点，要使四边形是菱形，四边形还应满足的一个条件是_______． 【答案】四边形对角线相等 【分析】利用三角形中位线定理证得四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定定理，由邻边相等推导出原四边形对角线的关系即可． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∵，分别是，的中点 ∴是的中位线 ∴ 当时 ∴ ∴平行四边形是菱形． ∴当时，四边形是菱形， 即四边形还应满足的一个条件是四边形对角线相等． 3．如图，在四边形中，点E、F、G、H分别是边的中点，连接，得到四边形．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：如图，连接， 点E、F、G、H分别是边的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， ， 四边形是平行四边形． 【分析】连接，由中位线可得，，即可证四边形是平行四边形． 【详解】略 题型23.矩形折叠与坐标系问题 1．如图，矩形纸片的边，将这张纸片沿折叠，使点与点重合，则长为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】设，根据折叠性质可知，用表示，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠知，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得，即． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，且轴，直线与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，一次函数与直线交点的计算，掌握交点的计算是关键． 根据题意得到点到点之间的整点有，结合题意得到点的横坐标的范围为，分别代入计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，顶点，且轴， ∴， ∴点到点之间的整点有， ∵线段上有3个整点（包含线段端点）时，即点的横坐标的范围为， 当，即点在直线上时，， 解得，， 当点，即点在直线上时，， 解得，， ∴的取值范围为， 故答案为： ． 3．如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点与原点重合，顶点，分别在轴、轴上，，，为边上一动点，连接，将沿折叠，点落在点处． (1)如图1，连接，当点在线段上时，线段的长度为______； (2)如图2，当点与点重合时，沿将折叠得，与轴交于点，求的面积． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据勾股定理求出的长，折叠的性质得到，再利用线段的和差关系进行求解即可； （2）设，在中，利用勾股定理进行求解，再利用三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，， ， 由折叠的性质得， ； （2）解：四边形是矩形， ， ， 由折叠得：， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：； ， . 题型24.正方形折叠与重叠面积问题 1．如图，正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质及勾股定理的应用，解题的关键是利用折叠性质得对应边相等，结合勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵正方形边长为，是中点， ∴ 设，则，由折叠性质得． 在中，由勾股定理：， 即，，，． ∴，，． 故选：C． 2．如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形，即可列式作答． 【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，连接交于点O，如图所示： ∵四边形和是正方形， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形面积， ∴， 那么两个正方形重叠的部分的面积等于， 故答案为：． 3．综合与实践： 数学课学习了特殊四边形之后，勤学小组的同学展开了对矩形纸片的裁剪与折叠实践活动，如图1． 实践操作： 第一步：如图2，折叠矩形纸片，使得点D的对应点B落在线段上，折痕为，然后把纸片展平，再沿将纸片剪开，得到四边形和四边形． 第二步：如图3，将四边形沿折叠得到，点E在线段上，点A的对应点为点F，连接． 问题解决： (1)图2中的四边形的形状是______； (2)当时，判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，请直接写出的度数． 【答案】(1)正方形 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）利用折叠的性质即可求得四边形是正方形； （2）连接，证明为等边三角形，得到点在线段的垂直平分线上，得到点也在线段的垂直平分线上，即可证明； （3）利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， 由折叠的性质得， ∴四边形是矩形， 由折叠的性质得， ∴四边形是正方形； （2）解：；理由如下： 连接， 由折叠知，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵正方形， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴； （3）解：∵正方形，等边， ∴，， ∴， 同理， ∴． 题型25.利用对称性求特殊平行四边形阴影面积 1．在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得PM=AB，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分， 由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD， ∴AM=PB， ∴PM=AB， ∵PM==， 故选：A． 【点睛】本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 2．如图，菱形的对角线，长分别为3和8，是对角线上的任一点（点不与点，重合），且交于，交于点，则阴影部分的面积是________． 【答案】6 【分析】设与相交于点．先证明四边形是平行四边形．利用平行四边形的性质可得，即，然后结合菱形的面积为对角线积的一半求解即可． 【详解】解：设与相交于点． ∵四边形为菱形， ，． ，， ，． 四边形是平行四边形． ． ． 3．如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 【答案】图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变．理由见解析 【分析】连接AC，根据点O是边长为2的正方形ABCD的对称中心，得到AC过点O，推出△AOG≌△CON，得到OG=OC，同理△AOH≌△COM，得到OH=OM，于是得到图中的阴影部分是否关于O点为中心对称，两部分的面积不改变． 【详解】解：图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变． 理由：如图，连接， ∵点O是边长为2的正方形的对称中心， ∴过点O， ∴， 在和中， ∴，， 同理可证， ∴， ∴图中的阴影部分关于O点成中心对称，连接， ∵点O是正方形的对称中心， ∴，，． ∵垂直， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积正方形的面积． 同理四边形的面积正方形的面积． ∴两部分的面积不改变． 【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，能证得三角形全等是解题的关键． 题型26.特殊平行四边形动点问题 1．如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（     ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况：当F在M的右侧时，当F在M的左侧时，分别列出方程，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，， 当F在M的右侧时，， 又， ∴， ∴； 当F在M的左侧时，， 又， ∴， ∴； 综上， 当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或． 2．如图，在正方形中，，点在边上，，点，是正方形的边，上的动点，以，，，四点构造菱形．在点，运动变化过程中，点到的距离为___ ；点的运动路径（起点到终点）长度为___ ． 【答案】 / 【分析】过作于，延长，交于点，证明，可得，点到的距离为，点的运动轨迹是一条平行于的线段，且与相距，在下方，记与的交点为，此时，且，可得，当，重合时， ，当，重合时，同理：，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作于，延长，交于点， ，，， ， ，， ， ， ， ， 点到的距离为， 点的运动轨迹是一条平行于的线段，且与相距，在下方， 如图，当，重合时，位置为点起始位置，当，重合时，点在终点， 记与的交点为，此时，且， ， 当，重合时， ， ，， 当，重合时，同理：， ， ， 点的运动轨迹（起点到终点）长度为， 故答案为：，． 3．如图，矩形纸片的每一条边长都是，动点从点出发，沿着运动到点时停止，设点经过的路程为，的面积为． (1)当时，_____； (2)求与的函数关系式； (3)当时，求的值； (4)将四边形纸片沿剪开，当剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)16 (2) (3)或18 (4)的值为4，8，12 【分析】（1）由，可得，然后由，求得答案； （2）分三种情况：当时，当时，当时，根据三角形面积公式，求出函数解析式即可； （3）由已知得只有当点P在边或边上运动时，，然后分别求解即可求得答案； （4）分三种情况：当点P运动到的中点处时，当点P运动到的中点处时，当点P运动到点处时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 即； （2）解：当时，点P在上，； 当时，点P在上，； 当时，点P在上，； 综上，与的函数关系式为：； （3）解： 根据解析（2）可得：只有当点P在边或边上运动时，， 当点P在边上运动时，把代入得：， 解得：； 当点P在边上运动时，把代入得： ， 解得：； 综上所述，当时，或18； （4）解：当点P运动到的中点处时，延长，交于点Q，如图所示： ∵矩形中，， ∴， ∴， ∵P为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴此时将放在的位置，剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形， 即当时，剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形； 当点P运动到的中点处时，延长，交于点Q，如图所示： ∵矩形中，， ∴， ∴， ∵P为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴此时将放在的位置，剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形， 即当时，剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形； 当点P在点处时，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，， ∴将的顶点P与的顶点D重合， 将的顶点C与的顶点A重合，如图所示： ∵， ∴、、B在同一直线上， ∴此时剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形， 即当时，剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形； 综上，将四边形纸片沿剪开，当剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形时，的值为4，8，12． 题型27.四边形中的线段最值问题 1．如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接，则四边形周长的最小值为（　　） A． B． C．10 D．12 【答案】D 【分析】如图：延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图：延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴四边形周长， 根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值． ∵E为边长是4的正方形的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形周长的最小值为． 2．如图，在矩形中，，，，分别是边，上的动点，连接，，是线段的中点，过点作，，垂足分别为，，连接，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】连接，，利用矩形的性质及勾股定理可得，根据矩形的判定可得四边形是矩形，进而得到，当点B、P、D三点共线时，最小，进而可求解． 【详解】解：连接，，如图所示： 四边形是矩形， ∴， ， ，P是线段的中点， ， ∵，， ， ∵， 四边形是矩形， ， 当点B、P、D三点共线时，最小， 此时， 的最小值为：． 3．如图1，在平面直角坐标系中，点、、、的坐标分别为、、、，连接和，点为线段上从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点落在轴上． (1)则的长为______，的度数为______； (2)在点运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，当点运动到使菱形的顶点恰好在边上时，求出此时点F的坐标； (4)若点为射线上的动点，连接、，交于点，连接．在运动过程中，的最小值为______． 【答案】(1)， (2)存在， (3) (4) 【分析】（1）过点作于，根据各点坐标得出，，，，四边形是矩形，求出，利用勾股定理求出，是等腰直角三角形，得出； （2）利用正方形的性质及角的和差关系得出，即可证明，得出，即可得出； （3）过点作轴于，延长交延长线于，延长交轴于，根据菱形的性质及平行线的性质得出，可得，得出，，可得是等腰直角三角形，得出,即可得出点坐标； （4）设，，根据菱形点性质，结合中点坐标公式求出，即可得出点在直线上运动，根据垂线段最短即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于， ∵点、、的坐标分别为、、， ∴，，，， ∴， ∴四边形是矩形，，， ∴， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴点运动过程中，能使得四边形为正方形，点坐标为． （3）解：如图，过点作轴于，延长交延长线于，延长交轴于， ∴四边形是矩形，， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点的坐标为． （4）解：如图，设，， ∵四边形是菱形，、，交于点， ∴点为中点， ∴， ∴点在直线上运动， ∴当轴时，取最小值，最小值为． 题型28.四边形其他综合问题 1．正方形的边长为，点是边的三等分点，连接，将沿翻折到正方形所在的平面内得，点的对应点为点，连接，点为边上的一点，且，连接分别交，于点，，点为的中点，连接，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接与交于点，过点作交于点，根据折叠的性质得出，，推得，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质得出，，推得，根据全等三角形的判定和性质得出，，结合直角三角形的性质得出，根据等腰直角三角形的性质得出，，结合三角形内角和定理求得，根据等腰直角三角形的性质推得，根据勾股定理和三角形的面积公式求出，根据勾股定理求出，，求得，根据全等三角形的判定和性质得出，即可求解． 【详解】解：连接与交于点，过点作交于点，如图： 根据题意可得，，，， ∵将沿翻折得到， ∴，， ∴， ∴， 又∵点为的中点， ∴，， 故， 又∵， ∴， 即； ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， 则 ∴， ∴， 故是等腰直角三角形， ∴， ∴． 在中，， ∵， 即， 解得：， 即； 在中，， ∴， 则； ∵，，， ∴， ∴， 故的面积为． 2．如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点H在边AD上，AH＝2，E为边AB上一个动点，连接HE．以HE为一边在HE的右上方作菱形HEFG，使点G落在边DC上，连接CF． （1）当菱形HEFG为正方形时，DG的长为___； （2）在点E的运动过程中，△FCG的面积S的取值范围为___． 【答案】 2 【分析】（1）由于四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为正方形，那么∠D=∠A=∠GHE=，HG=HE，易证△GDH≌△HAE，得DG=AH=2； （2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于ABCD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性质有∠AEH=∠MGF，再结合∠A=∠M=，HE=FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM=HA=2，进而可求△FCG的面积S的最大值和最小值，从而确定S的取值范围． 【详解】解：（1）如图1，当菱形为正方形时，，， 四边形为矩形， ， ， ， 在和中， ， ， ； 故答案为：2； （2）如图2，过作，交延长线于，连接， ∵ABCD， ， ∵HEGF， ， ， 在和中， ， ，即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值2， ∴， 设，则， 在中，， ， ， 即， ， ， 的最小值为，此时， 的最大值为8时，， 在点的运动过程中，的面积的取值范围为：； 故答案为：； 【点睛】本题考查了矩形、菱形、正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 3．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【问题探究】如图1，已知四边形是垂美四边形，，垂足为． （1）发现：由勾股定理得___________，___________． （2）猜想：___________．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【学以致用】如图2，在中，，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，，，相交于点． （3）①判断四边形是不是垂美四边形？请说明理由； ②若，，直接写出的长． 【答案】（1），；（2）；（3）①四边形是垂美四边形；理由见解析；②． 【分析】（1）根据勾股定理进行求解即可； （2）由勾股定理列出等式即可求解； （3）①先证明可得，再根据三角形内角和定理列式整理可得，然后根据垂美四边形定义进行求解即可；②根据勾股定理，结合，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴，． 故答案为：，． （2）在和中，根据勾股定理得：，， ，， ∴． 故答案为：． （3）①如图2：四边形是垂美四边形；理由如下： ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴； ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形． ②∵，，， ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴，， 根据解析（2）可知：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查四边形的综合应用，掌握垂美四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理等知识点，正确理解垂美四边形的定义并灵活运用勾股定理是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04特殊的平行四边形、三角形中位线、梯形 期末复习讲义 期末复习◆重点 厘清四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含逻辑，掌握各类图形相互转化的判定条件。 熟记各图形边、角、对角线的专属特征，熟练运用菱形与正方形的特殊面积公式，灵活运用直角三角形斜边中线定理。 掌握两类判定思路；证明正方形需先证图形为矩形或菱形，再补充限定条件，判定过程不可缺少平行四边形前置条件。 结合勾股定理求解边长、对角线长，借助 45°、90° 特殊角完成角度推导。 区分普通四边形与平行四边形的对角线判定差异，规避定理条件残缺的典型错误。 重点攻克几何证明、折叠线段求解、动点探究、面积计算四大高频考题。 牢记中位线平行于第三边且长度等于第三边一半的性质，能利用该结论证明平行、计算线段长度。 熟记两腰相等、同一底上两角相等、对角线相等的性质；掌握判定方法，区分等腰梯形与矩形对角线的异同，用于角度、线段证明与计算。 核心题型◆归纳 题型1.矩形性质理解 题型2.利用矩形性质求角度 题型3.利用矩形性质求线段长 题型4.利用矩形性质求面积 题型5.矩形性质相关证明 题型6.矩形判定定理及添加条件判定 题型7.证明四边形是矩形 题型8.矩形性质与判定综合计算 题型9.利用菱形性质求角度 题型10.利用菱形性质求线段长 题型11.利用菱形性质求面积 题型12.菱形性质相关证明 题型13.菱形判定定理及添加条件判定 题型14.菱形性质与判定综合计算 题型15.正方形性质理解及基础计算 题型16.正方形性质相关证明 题型17.正方形判定定理及添加条件判定 题型18.正方形性质与判定综合计算及证明 题型19.等腰梯形的判定定理 题型20.三角形中位线求解与实际应用 题型21.与三角形中位线有关的证明 题型22.中点四边形 题型23.矩形折叠与坐标系问题 题型24.正方形折叠与重叠面积问题 题型25.利用对称性求特殊平行四边形阴影面积 题型26.特殊平行四边形动点问题 题型27.四边形中的线段最值问题 题型28.四边形其他综合问题 重点知识◆梳理 【知识点一、矩形】 1.矩形的定义 ：有一个内角为直角的平行四边形，称为矩形。 如下图：在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠ A=90°，则四边形ABCD为矩形。 2.矩形的性质：矩形属于特殊的平行四边形，具备平行四边形的全部性质，同时具有专属特殊性质： （1）边：对边平行且相等； （2）角：四个内角均为 90°； （3）对角线：对角线互相平分且长度相等，即 AC=BD，OA=OC，OB=OD； （4）对称性：矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，共有两条对称轴。 重要推论：直角三角形斜边上的中线，长度等于斜边长的二分之一。如下图：   几何应用：在直角三角形中，若已知斜边中点，可利用该结论进行线段长度计算与等量证明。 3.矩形周长与面积公式 设矩形相邻两边长分别为长a、宽b 周长公式：C=2(a+b) 面积公式：S=ab 4.矩形的判定方法 定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形； 角判定法：有三个内角为直角的四边形是矩形； 对角线判定法：对角线相等的平行四边形是矩形。 拓展结论：对角线相等且互相平分的四边形为矩形。 【知识点二、菱形】 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形，叫做菱形。 如上图：四边形ABCD为平行四边形，且AB=AD，则四边形ABCD为菱形。 2.菱形的性质：菱形为特殊的平行四边形，继承平行四边形所有性质， 同时，菱形具备其独有特殊性质： （1）边：四条边的长度全部相等，对边互相平行； （2）角：对角相等，邻角互补； （3）对角线：对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，即 AC⊥ BD，OA=OC，OB=OD； (4)对称性：菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，共有两条对称轴； 3.菱形周长与面积公式 设菱形的边长为a，两条对角线长分别为m、n 周长公式：C=4a 面积公式： 通用公式（底乘高）：S=ah.h为菱形一边上的高 专用公式（对角线求面积）：S=mn 4.菱形的判定方法 定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 边判定法：四条边都相等的四边形是菱形； 对角线判定法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 拓展结论：对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形。 【知识点三、正方形】 1.正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形。 四边形ABCD中，AB=BC， ∠A=90°，且四边形ABCD为平行四边形，则该四边形为正方形。 本质：正方形是最特殊的平行四边形，既是特殊的矩形，也是特殊的菱形。 2.正方形的性质：正方形兼具矩形、菱形、平行四边形的全部性质，是性质最全的四边形： （1）边：四条边相等，对边平行，邻边互相垂直； （2） 角：四个内角均为 90^\circ； （3）对角线：对角线相等、互相垂直、互相平分，且每条对角线平分一组对角，即 AC=BD，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD； （4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，共有四条对称轴。 3.正方形周长与面积公式 设正方形的边长为a，对角线长为l 周长公式：C=4a;面积公式： 边长计算：S=; 对角线计算： 4.正方形的判定方法 定义法：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形； 矩形基础判定：一组邻边相等的矩形是正方形； 菱形基础判定：有一个角为直角的菱形是正方形； 对角线判定：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形。 5.特殊平行四边形从属关系 ✅平行四边形包含矩形、菱形；矩形和菱形的交集为正方形；正方形同时属于矩形、菱形、平行四边形。 【知识点四、三角形中位线】 1.三角形中位线的定义 连接三角形任意两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 在△ABC 中，点D为AB中点，点E为AC中点，线段DE ABC的中位线。 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 3.用符号语言表示：∵AE=EB,AD=DC。∴DE∥BC,DE=BC 3.概念区分 三角形中位线：连接三角形两边中点，不含顶点； 三角形中线：连接三角形顶点与对边中点，二者概念不可混淆。 4.中位线常用重要结论 (1)任意三角形共有三条中位线； (2)三角形三条中位线首尾顺次连接，可构成一个新的小三角形； (3)中位线围成的三角形，周长为原三角形周长的，面积为原三角形面积的； (4)中位线定理常用于证明线段平行关系、求解线段长度、推导几何数量关系。 【知识点五、梯形的定义、性质及分类】 1.梯形定义：在同一平面内，一组对边互相平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 其中，互相平行的一组对边称为梯形的底（分为上底、下底），不平行的一组对边称为梯形的腰。 2. 梯形的分类： 3.直角梯形定义：有一个角是直角的梯形，叫做直角梯形。 ✅直角梯形的性质： （1）有两个相邻内角为直角。如上图：∠A=∠B=90° （2）一组对边平行（上下底），另一组对边不平行。如上图：AD∥BC （3）垂直于底边的腰，就是梯形的高。 4..等腰梯形的定义：两腰长度相等的梯形，叫做等腰梯形。 梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，则四边形ABCD为等腰梯形。 ✅等腰梯形的性质 边的性质：上下两底互相平行，两条腰长度相等，即AD∥BC，AB=CD； 角的性质：同一底边上的两个内角对应相等，即∠A=∠D，∠B=∠C； 对角线性质：等腰梯形的两条对角线长度相等，即AC=BD； 对称性质：等腰梯形是轴对称图形，对称轴为上下两底中点连线所在的直线。 5.等腰梯形的判定方法 定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形； 角判定：同一底上两个内角相等的梯形是等腰梯形； 对角线判定：对角线相等的梯形是等腰梯形。 【知识点六、本章核心考点总结】 矩形：直角推论、矩形判定、边角与对角线计算、周长和面积运算； 菱形：四边相等、对角线垂直、两种面积公式为高频考点； 正方形：综合性质辨析、多重判定方法、周长与面积的灵活计算； 中位线：平行证明、线段倍分、周长面积比例计算； 等腰梯形：性质证明、辅助线转化、梯形综合计算。 题型解析◆精准备考 题型1.矩形性质理解 1．正方形具有矩形不一定有的性质是（    ） A．对角互补 B．对角线相等 C．四个角相等 D．对角线互相垂直 2．如图，把一块含有角的直角三角板放在长方形纸片上，三角板的斜边与重合，三角板的顶点落在边上，，则的值为___________．    3．如图，菱形的对角线相交于点O，过B点作，且，连结． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 题型2.利用矩形性质求角度 1．如图，矩形的对角线与交于点，点在的延长线上：，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，矩形中，的垂直平分线与交于点E，连接．若，则______． 3．如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点．求的度数． 题型3.利用矩形性质求线段长 1．如图，在矩形中，，，对角线、相交于点，过点作垂直交于点，则的长是（   ）  A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长为______． 3．已知：如图，在矩形中，点E为上一点，平分，点F为的中点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型4.利用矩形性质求面积 1．如图，矩形的对角线、相交于点O，，．若矩形的面积为12，则四边形的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的两边分别平行于坐标轴，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是________． 3．如图，在菱形中，对角线，相交于点，是中点，连接．过点作交的延长线于点，连接．求证： (1)； (2)四边形是矩形； (3)若，，求四边形的面积． 题型5.矩形性质相关证明 1．如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，把矩形绕点C旋转，得到矩形，且点E落在上，连接，，交于点H，连接，若平分，则下列结论正确的是______． ①；②；③；④． 3．如图，已知矩形，点是边的中点，过点作直线交于点（不与点，重合），交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，，若时，求证：． 题型6.矩形判定定理及添加条件判定 1．下面四个命题； ①相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形 ②对角线相等的四边形是矩形 ③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 ④对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 其中正确的是（     ） A．①④ B．②④ C．②③ D．①③ 2．如图，线段的端点在直线上，过线段上的一点作的平行线，分别交和的平分线于点，，连接，．添加一个适当的条件，使四边形为矩形，则这个条件是_________________（写出一个即可）． 3．如图，在直角梯形中，，，，，，点P沿线段从点A向点B运动，其速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t．    (1)求的长； (2)点P在运动过程中，t为何值时，四边形是矩形？ (3)点P在运动过程中，t为何值时，四边形是平行四边形？ 题型7.证明四边形是矩形 1．为了判断课桌的桌面是否为矩形，数学小组的同学对四张课桌采用了不同的测量方式，其中不一定能判断桌面是矩形的是（     ） A． B． C． D． 2．平行四边形中，若，则四边形的形状一定是______． 3．如图，菱形的对角线、交于点O，，． (1)证明：四边形是矩形； (2)若，，求的长度． 题型8.矩形性质与判定综合计算 1．的三边长分别为7，24，25，顺次连接三边的中点D、E、F．得的面积是（    ） A．7 B．21 C．28 D．56 2．如图，在等腰梯形中，，，梯形的高，则的度数是______． 3．如图，的对角线相交于点，是等边三角形，且．求的面积． 题型9.利用菱形性质求角度 1．如图，在菱形中，点是上一点，连接交于点，连接，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．在菱形中，对角线，相交于点O，点E在菱形的边上，若，则的度数为_____________． 3．如图，菱形的对角线、相交于点，点是中点，延长线段至点，使，连接，，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求的度数． 题型10.利用菱形性质求线段长 1．如图，在菱形中，对角线、相交于点，若，，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 2．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，．过点O作于点E，则的长为_________． 3．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 题型11.利用菱形性质求面积 1．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为菱形，若对角线，，则该菱形的面积是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，，延长至点E，延长至点F，连接，．若四边形为菱形，则这个菱形的面积为__________． 3．如图，在中，，是的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 题型12.菱形性质相关证明 1．有下列说法，其中正确说法的序号是（    ） ①矩形具有平行四边形的所有性质； ②平行四边形是轴对称图形； ③菱形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的等腰三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． A．①④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 2．如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，连接，若，则菱形的周长为__________． 3．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，连接交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 题型13.菱形判定定理及添加条件判定 1．如果一个平行四边形要成为一个正方形，需要增加的条件是（   ）． A．对角线互相垂直 B．对角互补 C．对角线互相垂直且相等 D．对角线相等 2．如图，在中，点、、分别在边、、上，且，．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是正方形．其中，正确的有__________．（只填序号） 3．如图，四边形是矩形，O是对角线的中点，连接，分别过点A，D作，，F是对角线延长线上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 题型14.菱形性质与判定综合计算 1．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，则的长为______． 3．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，已知，． (1)求菱形的边长； (2)若于点，直接写出的长． 题型15.正方形性质理解及基础计算 1．下列图形：①等腰三角形；②平行四边形；③菱形；④矩形；⑤正方形，其中对称轴只有两条的个数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，点，．分别在边，上，连接，，，且是等边三角形，则的度数为______． 3．如图，在正方形中，对角线、交于点O，所在的直线上有两点E、F（点E、F在正方形的外部），满足，连接、、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，直接写出的长为 ． 题型16.正方形性质相关证明 1．如图，在正方形中，O是对角线与的交点，M是边上的动点（点M不与B，C重合），连接，作交于N，连接，．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 2．如图，已知四边形和四边形均为正方形，且G是的中点，连接，若，则的长为 _________． 3．如图，在中，，四边形、都是正方形．求证：． 题型17.正方形判定定理及添加条件判定 1．下列命题中，正确的是（     ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．四角相等的四边形是矩形 D．四边相等的四边形是正方形 2．如图，已知平行四边形的对角线，相交于点，．如果_____，那么四边形为正方形（请你填上能使结论成立的一个条件）． 3．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点．线段的端点均在格点上．按要求完成下列作图． (1)在图①中找到格点C、D，画一个以点A、B、C、D为顶点且以为边面积为6的平行四边形； (2)在图②中找到格点E、F，画一个以点A、B、E、F为顶点且以为对角线的正方形． 题型18.正方形性质与判定综合计算及证明 1．如图，已知四边形ABCD为正方形，，点E为对角线AC上一点，连接DE．过点E作，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②；③CG平分；④．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 2．如图所示，在中，平分交于点，按下列步骤作图．步骤1：分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；步骤2：作直线，分别交于点；步骤3：连接．若，则线段的长为__________． 3．如图1，在矩形纸片中，，，折叠纸片使B点落在边上的点E处，折痕为．过点E作交于F，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)当点E在边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动． ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形的边长； ②若限定P、Q分别在边、上移动，试求出菱形的面积最大值． 题型19.等腰梯形的判定定理 1．下列命题中，真命题是（       ） A．一组对边平行，且对角线平分一组对角的四边形是菱形 B．一组对边平行，且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，且对角线相等的四边形是等腰梯形 D．一组对边平行，且一组邻边互相垂直的四边形是矩形 2．已知在梯形中，，，，那么等于 ______度． 3．如图，在四边形中，，于点B，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，同时点Q从点C出发，以的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为．    (1)填空：当________s时，四边形为矩形； (2)若，求t的值； (3)填空：当________时，在点P、Q运动过程中，四边形能构成菱形． 题型20.三角形中位线求解与实际应用 1．如图，的对角线，相交于点，点是的中点．若，，的周长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，是的中点，连接，若，则的长为_____． 3．阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 题型21.与三角形中位线有关的证明 1．如图，点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 2．如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，与应满足的条件是_____ 3．如图，在四边形中，，，，，分别是，，，的中点．求证：四边形是菱形． 题型22.中点四边形 1．顺次连接对角线互相垂直的四边形的四条边的中点，得到的四边形一定是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 ∵分别是边上的中点， 2．如图，在四边形中，、、、分别是、、、的中点，要使四边形是菱形，四边形还应满足的一个条件是_______． 3．如图，在四边形中，点E、F、G、H分别是边的中点，连接，得到四边形．求证：四边形是平行四边形． 题型23.矩形折叠与坐标系问题 1．如图，矩形纸片的边，将这张纸片沿折叠，使点与点重合，则长为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，且轴，直线与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的取值范围为___________． 3．如图，将一张长方形纸片放在平面直角坐标系中，点与原点重合，顶点，分别在轴、轴上，，，为边上一动点，连接，将沿折叠，点落在点处． (1)如图1，连接，当点在线段上时，线段的长度为______； (2)如图2，当点与点重合时，沿将折叠得，与轴交于点，求的面积． 题型24.正方形折叠与重叠面积问题 1．如图，正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是(　　) A． B． C． D． 2．如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________． 3．综合与实践： 数学课学习了特殊四边形之后，勤学小组的同学展开了对矩形纸片的裁剪与折叠实践活动，如图1． 实践操作： 第一步：如图2，折叠矩形纸片，使得点D的对应点B落在线段上，折痕为，然后把纸片展平，再沿将纸片剪开，得到四边形和四边形． 第二步：如图3，将四边形沿折叠得到，点E在线段上，点A的对应点为点F，连接． 问题解决： (1)图2中的四边形的形状是______； (2)当时，判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，请直接写出的度数． 题型25.利用对称性求特殊平行四边形阴影面积 1．在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（    ） A． B． C． D． 2．如图，菱形的对角线，长分别为3和8，是对角线上的任一点（点不与点，重合），且交于，交于点，则阴影部分的面积是________． 3．如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 题型26.特殊平行四边形动点问题 1．如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（     ） A．或 B． C．或 D．或 2．如图，在正方形中，，点在边上，，点，是正方形的边，上的动点，以，，，四点构造菱形．在点，运动变化过程中，点到的距离为___ ；点的运动路径（起点到终点）长度为___ ． 3．如图，矩形纸片的每一条边长都是，动点从点出发，沿着运动到点时停止，设点经过的路程为，的面积为． (1)当时，_____； (2)求与的函数关系式； (3)当时，求的值； (4)将四边形纸片沿剪开，当剪开后的两个图形能不重叠地拼接成一个三角形时，直接写出的值． 题型27.四边形中的线段最值问题 1．如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接，则四边形周长的最小值为（　　） A． B． C．10 D．12 2．如图，在矩形中，，，，分别是边，上的动点，连接，，是线段的中点，过点作，，垂足分别为，，连接，则的最小值为_____________． 3．如图1，在平面直角坐标系中，点、、、的坐标分别为、、、，连接和，点为线段上从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点落在轴上． (1)则的长为______，的度数为______； (2)在点运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，当点运动到使菱形的顶点恰好在边上时，求出此时点F的坐标； (4)若点为射线上的动点，连接、，交于点，连接．在运动过程中，的最小值为______． 题型28.四边形其他综合问题 1．正方形的边长为，点是边的三等分点，连接，将沿翻折到正方形所在的平面内得，点的对应点为点，连接，点为边上的一点，且，连接分别交，于点，，点为的中点，连接，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点H在边AD上，AH＝2，E为边AB上一个动点，连接HE．以HE为一边在HE的右上方作菱形HEFG，使点G落在边DC上，连接CF． （1）当菱形HEFG为正方形时，DG的长为___； （2）在点E的运动过程中，△FCG的面积S的取值范围为___． 3．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【问题探究】如图1，已知四边形是垂美四边形，，垂足为． （1）发现：由勾股定理得___________，___________． （2）猜想：___________．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【学以致用】如图2，在中，，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，，，相交于点． （3）①判断四边形是不是垂美四边形？请说明理由； ②若，，直接写出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $